ch13-Translations et vecteurs

CHAPITRE 13 TRANSLATIONS ET VECTEURS
I. NOTION DE TRANSLATION
On passe du fanion n°1 au fanion n°2 par une translation.
Pour définir une translation, 3 éléments sont nécessaires :
- une direction : ici, l’ « horizontale ».
- un sens : ici, vers la droite.
- une longueur : ici 5cm.
Ces 3 éléments peuvent être représenté par un segment orienté :
II. NOTION DE VECTEUR
Fanion n°1 Fanion n°2
A B
C D
Les deux segments oriéntés ci-dessus ont :
- la même direction : ceci signifie que les droites (AB) et (CD) sont parallèles.
- le même sens : vers la droite.
- la même longueur : 5 cm.
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Ils définissent donc la même translation.
On écrit : ⎯→ ⎯→
AB = CD
On lit « le vecteur AB est égal au vecteur CD ».
III. VECTEURS EGAUX ET PARALLELOGRAMMES
Si ⎯→
AB = ⎯→
CD alors le quadrilatère ABDC est un parallélogramme.
Si ABDC est un parallélogramme alors ⎯→
AB = ⎯→
CD (et aussi ⎯→
AC = ⎯→
BD , ⎯→
DC = ⎯→
BA …..)
Remarque :
Dans ce cas on dit que ABDC est bien un parallélogramme mais un parallélogramme aplati.
IV. RAPPEL : CARACTERISATION DES PARALLELOGRAMMES PAR LES DIAGONALES.
Si un quadrilatère est un parallélogramme alors ses diagonales ont le même milieu.
Si les diagonales d’un quadrilatère ont le même milieu alors c’est un parallélogramme.
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V. RESUME
Voici plusieurs façons de dire la même chose :
⎯→
� Par la translation de vecteur AB , le point E a pour image F.
� ⎯→
AB = ⎯→
EF .
� Le quadrilatère EFBA est un parallélogramme.
� Les segments [AF] et [EB] ont le même milieu.
VI. CONSTRUCTIONS
Enoncé
Construire le point S tel que
⎯→
RS = ⎯→
AB .
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Solution
Méthode :
Prévoir la position du point S : « en haut à droite ».
Il s’agit maintenant de construire le parallélogramme. Pour cela on utilise la propriété suivant :
Les côtés opposés d’un parallélogramme ont la même longueur.
On construit dans la zone prévue : – un arc de centre B est de rayon RA
– un arc de centre R est de rayon AB.
Le point S est le point d’intersection des deux arcs.
VII. SOMME DE DEUX VECTEURS
A. INTRODUCTION
Fanion 3
Fanion 1 Fanion 2
Arc de centre R et
de rayon AB
→
u
→
v
Arc de centre B
est de rayon AR
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Le fanion 2 est l’image du fanion 1 par la translation de vecteur →
u .
Le fanion 3 est l’image du fanion 2 par la translation de vecteur →
v .
On remarque que le fanion 3 est l’image du fanion 1 par une translation dont le vecteur est
représenté en trait épais sur la figure ci-dessous :
De plus, en faisant les translations dans l’autre ordre (en commençant par celle de vecteur →
v puis
en faisant celle de vecteur →
u ), on retombe bien sur le fanion 3.
B. THEOREME (ADMIS)
Fanion 3
Fanion 1 Fanion 2
Faire successivement deux translations, des vecteurs →
u et →
v , revient à en faire une seule.
Le vecteur de cette translation est appelé vecteur somme des vecteurs →
u et →
v . On le note →
u + →
v .
De plus, l’ordre dans lequel on fait les translations n’a pas d’importance : →
u + →
v = →
v + →
u .
→
u
→
u
→
v
→
v
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C. EXEMPLE
Enoncé :
Construire un représentant du vecteur →
u + →
v .
Solution :
- on choisit un point M,
→
- on construit le point m, image de M par la translation de vecteur u ,
→
- on construit le point M’, image de m par la translation de vecteur v .
Le vecteur
→
u
→
u + →
v
→
u
⎯→
MM’ est égal au vecteur →
u + →
v .
Note : on peut commencer par la translation de vecteur →
v puis faire celle de vecteur →
u .
→
v
→
v
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D. DEUX CONFIGURATIONS A CONNAITRE
���� Configuration n° 1 :
A, B et C sont trois points quelconques :
On a toujours :
���� Configuration n° 2 :
⎯→
AB +
⎯→
BC =
A, B et C sont trois points quelconques :
Le vecteur
C
A B
A B
⎯→
AC Relation de Chasles
⎯→
AB + ⎯→
AC est égal au vecteur ⎯→
AE où E est tel que ABEC est un parallélogramme.
C E
A B
⎯→
AB + ⎯→
AC = ⎯→
AE où E est tel que ABEC est un parallélogramme. Règle du parallélogramme.
C
C
A B
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E. EXERCICE
Enoncé :
ABCD est un rectangle de centre I.
En utilisant les lettres de la figure, simplifier les expressions vectorielles suivantes :
⎯→
DC + ⎯→
CB
⎯→
BA + ⎯→
AD
⎯→
AB + ⎯→
AD
⎯→
DC + ⎯→
DA
⎯→
AB + ⎯→
CD
Solution :
⎯→
DC + ⎯→
CB = ⎯→
DB Relation de Chasles
⎯→
BA + ⎯→
AD = ⎯→
BD Relation de Chasles
⎯→
AB + ⎯→
AD = ⎯→
AB + ⎯→
BC car ⎯→
AD = ⎯→
BC
⎯→
DI + ⎯→
IC
⎯→
AB + ⎯→
ID
⎯→
AD + ⎯→
IB
⎯→
AI + ⎯→
AI
⎯→
AB + ⎯→
ID + ⎯→
IC =
⎯→
DI + ⎯→
IC = ⎯→
DC Relation de Chasles
⎯→
AB + ⎯→
ID = ⎯→
AB + ⎯→
BI car ⎯→
ID = ⎯→
BI
⎯→
= AI Relation de Chasles
⎯→
AD + ⎯→
IB = ⎯→
AD + ⎯→
DI car ⎯→
IB = ⎯→
DI
= ⎯→
AC Relation de Chasles = ⎯→
AI Relation de Chasles
⎯→
DC + ⎯→
DA = ⎯→
DC + ⎯→
CB car ⎯→
DA = ⎯→
CB
⎯→
AI + ⎯→
AI = ⎯→
AI + ⎯→
IC car ⎯→
AI = ⎯→
IC
= ⎯→
DB Relation de Chasles = ⎯→
AC Relation de Chasles
Note : ⎯→
AI + ⎯→
AI s’écrit ⎯→
2AI
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⎯→ ⎯→ ⎯→ ⎯→
AB + CD = AB + BA car
⎯→ ⎯→
CD = AB
La relation de Chasles donnerait ⎯→
AA . On convient de dire que ⎯→
AA est le vecteur nul que l’on
→ ⎯→ ⎯→ →
écrit 0 . Donc AB + CD = 0 .
⎯→ ⎯→ ⎯→ ⎯→ ⎯→ ⎯→ ⎯→ ⎯→ ⎯→ ⎯→ ⎯→ ⎯→ ⎯→ ⎯→
AB + ID + IC = AB + BI + IC car ID = BI
= ⎯→ ⎯→ ⎯→ ⎯→
AI + ⎯→
IC Relation de Chasles
⎯→
= AC Relation de Chasles
VIII. COMPOSEE DE DEUX SYMETRIES CENTRLES
A. INTRODUCTION
Fanion 1
Fanion 2
Le fanion 2 est l’image du fanion 1 par la symétrie de centre A.
Le fanion 3 est l’image du fanion 2 par la symétrie de centre B.
Fanion 3
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On remarque que le fanion 3 est l’image du fanion 1 par une translation dont le vecteur est
représenté en trait épais sur la figure ci-dessous :
Fanion 1
On remarque aussi que le vecteur →
u a une longueur est le double de celle du vecteur ⎯→
AB mais
qu’ils ont même direction et le même sens. On écrit : →
u = 2 ⎯→
AB .
B. THEOREME (ADMIS)
Fanion 2
→
u
Fanion 3
Faire une symétrie de centre a suivie d’une symétrie de centre B revient à en faire une translation
de vecteur 2 ⎯→
AB .
Attention : l’ordre a de l’importance ! Faire d’abord la symétrie de centre b puis celle de centre a
reviendrait à faire une translation de vecteur 2 ⎯→
BA (c'est-à-dire dans l’autre sens !).
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