RENDSZERTECHNIKA JEGYZET 1. Témakör

1.1 Bevezető:
RENDSZERTECHNIKA JEGYZET
1. Témakör
A rendszertechnika célja fizikai jelenségek leírása az alkalmazott matematika különböző
eszközeivel, például differenciál egyenletekkel. Lineárisan független egyenletek generálása
ott ahol ez nem triviális, pl: bonyolult áramköröknél, csőhálózatok számításánál, bányák
szellőztető rendszereinél. Ennek megoldásához gráfelméleti alapok szükségesek.
1.2 Gráfelméleti alapok:
1.2.1 Definíciók:
Gráf: élek és csúcsok kölcsönös egymáshoz rendelése. Az élt vonaldarabbal, a csúcsot kis
körrel jelöljük. Az él végpontja a csúcs. Két élnek közös pontja csak a csúcs lehet.
Egyszerű gráf: Olyan gráf, amely nem tartalmaz hurok élt és többszörös élt.
Irányított egyszerű gráf: olyan egyszerű gráf, amelyben különbséget teszünk az élek
kiindulópontja és végpontja között
Út: Olyan (irányított) részgráf, amelynek két végcsúcsa van, a többi csúcsának fokszáma a
részgráfban pedig 2. Az út egy élen legfeljebb egyszer halad át.
Összefüggő gráf: bármely csúcsa között van legalább egy út.
Továbbiakban összefüggő irányított egyszerű gráfot feltételezve…
Részgráf: a gráf csúcsainak és éleinek egy részhalmaza.
Kör (hurok) részgráf: olyan összefüggő speciális részgráf, amelyben minden csomóponthoz
pontosan él csatlakozik.
Fa: olyan összefüggő részgráf, amelyikben nincs kör azaz bármely pontba egyféleképpen
juthatunk el.
Feszítőfa részgráf: olyan speciális fa, amely az összefüggő gráf minden csomópontját
tartalmazza. Ha n csomópontja van, akkor n-1 éle van. Lineáris egyenleteket a feszítő fa
segítségével generálunk.
Vágat részgráf: azon élek összessége, amelyeket ha kiveszünk egy összefüggő gráfból az 2
független, de magukban összefüggő gráfokra esik szét.

1.2.2 Hálózatot jellemző mátrixok
Ha ismerjük a hálózat struktúráját, defini definiálhatjuk álhatjuk a hálózatot jellemző mátrixokat:
● Hurokmátrix (Körmátrix (Körmátrix): ): lineárisan független hurkokat tartalmazza. n sora van
(hurkok száma=n), és m oszlopa (m=élek =élek száma). Többféleképpen felírható. Első lépés
a feszítőfa kijelölése a gráfban, majd a hurkok kij kijelölése úgy, hogy a feszítőfa élein
kívül csak egy éle szereplejen a gráfnak. Így a mátrix felírásakor egy egységmátrixot
kapunk. Értékei a következők lehetnek egy adott hurok irányítottsága szerint:
0 – él nincs benne a hurokban
(-1) – él a hurok irányít irányítottságával ellentétes
1 – él a hurok irányítottságával megegyező
példa:
.
.
.
Itt: Az 1, 2 és 3 élek nem részei a feszítő feszítőfának. Amelyiket éppen vizsgáljuk közülük, az 11-es
értéket kap a mátrixban, a másik kettő pedig 00-t.
1-1. ábra
1. é 2. é 3. é 4. é 5. é 6. é
1 0 0 1 1 0
0 1 0 0 1 1
0 0 1 1 1 1
1-2. ábra
● Vágatmátrix (Csomóponti mátrix): A feszítőfa adott tt éle mentén elvágva a gráfot két
egymástól független, de külön külön-külön külön összefüggő részgráfot kapunk. A feszítő feszítőfával
együtt az összes többi élt is elvágjuk ami összekötné a kialakuló részgráfokat, majd az
élekről mátrixot alkotunk, aminek n-1 sora van (feszítő zítő fa éleinek száma) és m
oszlopa (élek száma). A mátrixba írt értékek a következőképpen értelmezhetőek az
elvágott él iránya szerint:
0 – nincs elvágva
(-1) – ellenkező irányú az elvágott feszítő feszítőfa ágával
1 – egyirányú az elvágott feszítő feszítőfa ágával
7. é
0
1
(1.1.)
1
1-3. ábra

példa:
. íő é
. íő é
. íő é
. íő é
Itt: 4-5-6-7 a feszítőfa fa élei. Az ezek közül éppen elvágott él viseli az 11-es
es értéket közöttük.
1-4. ábra
1-6. ábra
1.3 Áramkörök számítása
1.3.1 Egyenletek felírása
A hurok és csomóponti egyenleteket szeretnénk felírni, a csom csomóponti óponti mátrix és hurok mátrix
segítségével.
Csomóponti mátrix jelölése:
Hurokmátrix jelölése:
Ismert:
generátor feszültség:
generátor árama:
ellenállások nagysága:
1. é 2. é 3. é 4. é 5. é 6. é
1 0 1 1 0 0
1 1 1 0 1 0
0 1 1 0 0 1
0 1 1 0 0 0
1-5. ábra
1-7. ábra
7. é
0
0
0
1
(1.2.)

Ebből számítható az ellenállások:
árama:
feszültsége:
Csomóponti egyenlet:
∙ = (1.3.)
ahol i az egyes ágakon átfolyó áram
Hurok egyenlet:
∙ = (1.4.)
Ohm törvény:
∙ =
(1.3.) egyenletet átalakítva:
∙ ( + ) = ∙ = ( ∙ ) (1.6)
(1.4.) egyenletet átalakítva:
∙ ( + ) = ∙ ( ∙ + ) = ∙ ∙ = ( ∙ ) (1.7.)
(1.3.) és (1.4.) egyenletek átalakítása után felírhatjuk a kapott két egyenletet a következő
alakban:
(1.5)
∙ = ∙ (1.8.)
∙ =
1.3.2 Módszerek egy mátrix lecsökkentésére:
1.3.2.1 Hurokáramok módszere
. ℎ
⋮
− − 1. ℎ
∙ ∙ (1.9.)
∙ 1. á … . á
⋯
⋮ ⋱ ⋮
⋯
∙
⋮
= ⋮
(1.10.)
I. ∙ = = + (1.11.)
ahol
a hurokmátrix transzponáltja
- az adott hurokban keringő áramok vektora

A hurokmátrix transzponálására azért van szükség, mert ágakban akarunk összegezni.
A csomóponti egyenletből tudjuk, hogy:
∙ = (1.12.)
ezt felhasználva, és beszorozva az I. egyenletet:
∙ ∙ =
∙ = (1.13.)
mindig teljesül, mert a csomóponti mátrix, amiben benne vannak az adott élhez tartozó
csomópontok. A hurokban is ugyanúgy vannak csomópontok és egy csomópontba 2 él
csatlakozik (hurok def. alapján). Ilyenkor, ha az egyik mátrixban pozitív az érték, az a
másikban negatív lesz.
Hurokegyenletek:
∙ = ∙ + = (1.14.)
Nekünk a hurokáramokra van szükségünk, ezért átalakítjuk az (1.14.) egyenletet:
∙ ∙ + = ∙ ∙ ∙ − +
= ∙ ∙ ∙ + ∙ − ∙
= ∙ ∙ ∙ − (1.15.)
Hurokellenállás mátrix:
= ∙ ∙ – ez közvetlenül felírható (számításnál hasznos), az átlóban lévő elemek az
egyes hurkokban lévő ellenállások összegei. Az adott sorban és oszlopban lévő elemek pedig
az adott hurkok közös éleihez tartozó ellenállások előjeles összegei. Az előjel a hurkok
irányításától függ, ha a két hurok irányítása ellentétes, akkor negatív, ha megegyező, akkor
pozitív
. ℎ éő áá ö é ℎ öö é áá ö ö …
é ℎ öö é áá ö ö . ℎ éő áá ö
⋮ ⋱
1.3.2.2 Vágatfeszültségek módszere
A vágatfeszültségek módszere hasonlít a hurokáramokéhoz, de itt nem egyes hurkokhoz
rendeljük a bennük keringő áram értékét, hanem az egyes vágatokhoz a bennük fellépő
feszültséget. Ezekből feszültségekből képezünk egy vágatfeszültség-vektort (vQ). Ha ezzel
megszorozzuk a vágatmátrix transzponáltját (Q T ) megkapjuk az ágfeszültségek vektorát.
∙ = (1.16.)
1.3.2.3 Csomóponti potenciálok módszere
A vágatfeszültségek módszeréhez hasonlóan alkotunk egy csomóponti potenciálvektort (φ)
oly módon, hogy egy tetszőleges csomópontot zérusnak választva, az összes többinek az
ehhez viszonyított potenciálját összeírjuk. Mivel sorba haladunk a csomópontokon, a
vektorban szomszédos értékek a rendszerben is szomszédos csomópontokhoz tartoznak, így
ha bármelyik két szomszédos értéket kivonjuk egymásból, akkor a hozzájuk tartozó két
csomópont közötti potenciálkülönbséget (feszültséget) kapjuk.

= φ − φ A kapott csomóponti potenciálvektorral megszor
megkapjuk a rendszer ágfeszültség vektorát.
A kapott csomóponti potenciálvektorral megszorozva ozva a rendszer csomóponti mátrixát
megkapjuk a rendszer ágfeszültség vektorát.
∙
(1.17.)
1.4. Példák
1.4.1.Példa
Ug = 100V
1 0 0 0 1 1
0
1 0 1 0 1
0 0 1 1 1 0
1 0 0
0 1 0
0
0 1
0
1 1
1
0 1
1
1 0
1 1 0 0 0 1
0
1 1 1 0 0
0 0 0 1 11
1
100
0
0
0
0
0
∙ ∙
15 20 30 30
20
30 10 10 30 10
20 10
10 10 20
1-8. 8. ábra

1
1110
38 28 26
28 44 25
26 25 47
15 0 0 0 0 0
0 10 0 0 0 0
0 0 10 0 0 0
0 0 0 10 0 0
0 0 0 0 20 0
0 0 0 0 0 30
1 0 0
0 1 0
∙ 0
0 1 ∙
0
1 1
1
0 1
1
1 0
1
1110
38 28 26
28 44 25
26 25 47
1
38 28 26
28 44 25
26
25 47
1110 2 19 22
12
3 21
10
16 1
38 28 26
28 44 25
1
1 0 0 0 1 1
∙ ∙ 26
25 47 ∙ 0
1 0 1 0 1
1110 2 19 22
0 0 1 1 1 0
12
3 21
10
16 1
1
38 28 26 2 12 10
28 44 25 19 3 16
26
25 47 22 21 1
1110 2 19 22 41 24 17
12
3 21 24 33 9
10
16 1 17 9 26
∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙
Mivel nincs áramforrásunk, ig (a generátoráram) kiesik az egyenletből.
0,03423 …
0,02522
0,02342
⋮ ⋱
∙
0,0018 ⋮
0,01081
0,009 …
100
0
0
0
0
0

Megoldás:
3,423
2,522
2,342
0,18
1,081
0,901
1.4.2.Példa
1 1 0 1
1 1 1 0
1 1 0 0
0 1 1 1
0 0 0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
0 0 0
0
0
0
0
0
0
0 0 0 1-9. 9. ábra
1-10. 10. ábra

0 0 0 1 −1
1
−1
1
−1
0
1
1 0
∙
0 0
0
0
0 1
∙
0 0
−1
1
0 0 0 1 0
= + + − +
− + + + 1-11. ábra