J-94110

J-94110 

BUDAPESTI MŰSZAKI ES 

GAZDASÁGTUDOMÁNYI EGYETEM 

VILLAMOSMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR 

Tuschák Róbert 

SZABÁLYOZÁSTECHNIKA 

Műegyetemi Kiadó

TARTALOMJEGYZÉK 

oldal 

1. ALAPFOGALMAK. . . 1. 

1. 1 Az irányítás 2. 

1.2 Nyitott és zárt hatásláncú irányítás . 5. 

1. 3 Az önműködő szabályozás elvi felépítése 6. 

1. 4 Zavarkompenzáció. 8. 

2. MATEMATIKAI ALAPOK . 11. 

2. 1 Az n-edrendű állandó együtthatós differennciálegyenlet 

megoldása az időtartományban 11. 

2. 2 Fourier transzformáció 12. 

2. 3 Laplace transzformáció. 13. 

2. 4 Lineáris állandó együtthatós n-edrendű differenciálegyenlet 

megoldása a frekvencia tartományban 17. 

3. LINEÁRIS FOLYTONOS IDEJŰ FOLYAMATOK RENDSZERTECHNIKAI LEÍRÁSA 21. 

3. 1 Folyamatok matematikai mode 11 je 21. 

3.2 Állapotegyenlet . 30. 

3.3 Dualitás. 33. 

3.4 Az ál lapotegyénietek megoldása a frekvencia tartományban ...35. 

3.5 Az ál lapotegyenlet megoldása az időtartományban .39. 

3. 6 A 1 ineáris rendszer mozgása 41. 

3.7 Renszeranalí'zis tipikus vizsgáló jelekkel 43. 

4. LINEÁRIS DISZKRÉT IDEJŰ FOLYAMATOK RENDSZERTECHNIKAI LEÍRÁSA 45. 

4. 1 Mintavételezés. -n 45. 

4.2 Tartás 47. 

4. 3 Mintavételezett jelek matematikai leírása ...49. 

4.3.1 Leírás az idő- és a frekvencia tartományban 49. 

4. 3. 2 A z transzformáció néhány összefüggése 50. 

4. 3.3 Az eltolási operátor ..54. 

4.3.4 Az inverz z transzformáció 55. 

4. 4 Folytonos idejű rendszer diszkrét model 1 je 59. 

4.4.1 Folynonos idejű és diszkrét idejű rendszerek összekapcsolása..59. 

4.4.2 Folytonos idejű rendszer diszkrét idejű állapotegyenlete 61. 

5. AZ ÁLLAPOTEGYENLETEK ÁTALAKÍTÁSA 71. 

5.1 Összakapcsolt rendszerek ál lapotegyenlete 71. 

5.2 Állapot-transzformáció. 73. 

- I -

5. 3 Kanonikus transzfomáció 75. 

5. 4 Jordán alak 80. 

5.5 Az ál lapotegyenlet rekonstruálása az átviteli függvényekből 81. 

5. 6 Irányithatóság 93. 

5. 7 Megfigyelhetőség . 95. 

5.8 Rendszerek Kalman féle dekompoziciója .98. 

5.9 Az általánositott rendszer 101. 

6. LINEÁRIS TAGOK JELÁTVIVŐ TULAJDONSÁGAIT JELLEMZŐ FÜGGVÉNYEK 107. 

6. 1 Átviteli függvény 107. 

6.2 Az átmeneti függvény 110. 

6.3 Impulzusátviteli függvény 113. 

6.4 Hatásvázlatok átalakitása 119. 

6.5 Folytonos idejű tag frekvencia átviteli függvénye. 122. 

6.5.1 Nyquist giagram. . 123. 

6.5.2 A frekvencia diagram származtatása konform leképezéssel 129. 

6.5.3 Bode diagram 132. 

6.5.4 Összefüggés az ampl itudó és a fázisdiagram között .135. 

6. 6 Diszkrét idejű tag frekvencia átvitel i függvénye. 138. 

6.6.1 A mintavételelzett jel frekvencia spektruma 138. 

6.6.2 A visszaállított jel spektruma 141. 

6.6.3 Diszkrét frekvencia átvitel i függvény. ,...144. 

6.6.4 A diszkrét frekvencia átviteli függvény kisfrekvenciás 

helyettesítése • 145. 

6.7 Tipikus folytonos idejű lineáris tagok jelátviteli 

tulajdonságai 150. 

6.7.1 Ideális alaptagok • • 151. 

6.7.2 Tárolós tagok • 152. 

6.7.3 A visszacsatolt tag 159. 

7. LINEÁRIS SZABÁLYOZÁS STABILITÁSA 167. 

7.1 A stabilitás fogalma 167. 

7.2 A folytonos idejű zárt rendszer aszimptotikus stabilitása 168. 

7.3 A zárt kör stabilitásának megítélése a nyitott kör 

átviteli függvényéből 168. 

7.4 A diszkrét idejű zárt rendszer stabilitása 177. 

7.5 Strukturális és feltételes stabilitás 179. 

7.6 A visszacsatolás hatása a stabilitásra 179. 

- II - 

I

8. A SZABÁLYOZÁSI KÖR KÖVETÉSI ÉS ZAVARELHÁRITÁSI JELLEMZŐI 181. 

8.1 A szabályozási hiba 181. 

8.2 Dinamikus jel lemzők a f rekvencia tartományban. . 183. 

8.3 Statikus hiba elhárítása, a szabályozási kör típusszárna 186. 

9. A SZABÁLYOZÁSI KÖR SZINTÉZISE 191. 

9.1 Méretezési eljárások 191. 

9.2 Egykimenetű folytonos idejű szabályozási kör méretezése az 

átvitel i függvény alapján 192. 

9.3 Kompenzációs szabályozó 194. 

9.3.1 P kompenzáció 194. 

9.3.2 Pl kompenzáció 199. 

9.3.3 PD kompenzáció. . : 202. 

9.3.4 PID kompenzáció 206. 

9.3.5 Különböző jelformálása szabályozók összehasonlítása 208. 

9.3.6 Holt idős szakasz kompenzálása. 209. 

9.3.7 Labilis folyamatok szabályozása 211. 

9.4 Diszkrét idejű kompenzáció 219. 

9.4.1 Összefüggés a diszkrét idejű és a folytonos idejű 

kompenzáció között , 221. 

9.4.2 Diszkrét idejű kompenzáció tervezése 223. 

9.4.3 A mintavételezési idő kiválasztása 234. 

10. A SZABÁLYOZÁS ZAVARELHÁRÍTÓ KÉPESSÉGÉNEK NÖVELÉSE 235. 

10.1 Zavarkompenzáció • 235. 

10.2 Kaszkád szabáyozás 236. 

11. STATIKUS NEMLINEARITÁSAOK HATÁSA 243. 

11.1 Munkaponti 1 inearizálás • 244. 

11. 2 A leíró, függvény • 245. 

11.3 Határciklus • - 249. 

11.4 A szabályozási kör működése a tel ítési tartományban 253. 

11.5 Állásos szabályozás 256. 

11.6 Korlátozás • • • -260. 

IRODALOMJEGYZÉK 263. 

- III -

1. ALAPFOGALMAK 

Az irányítás egy folyamatba való beavatkozás adott cél elérése 

érdekében. Szűkebb értelemben rendszerint technológiai, tágabb 

értelemben bármilyen fizikai, kémiai, biológiai, gazdasági folyamatról 

van szó. 

A fo1yamat változását a foívárnat mozgásának tekintjük, amely külső és 

belső hatások következtében ál 1 elő. Mind a jel lemzőket, amelyekben a 

mozgás megnyi1vánul , mind pedig a külső hatásokat jelek testesítik meg. 

A jeleknek van fizikai megjelenési formája - áram, feszültség, 

hőmérséklet, elmozdulás, stb.- ez a jel hordozó, és van információ 

tartalma, ame1y a jel által képviselt hatásról tudósít (pl. mutatja, 

hogy egy hálózat valame1y i k ágában hogyan változik az áram, vagy hogy 

milyen tápfeszültség változás éri kívülről a hálózatot). 

Az irányi tás általános módja az, hogy egy e célra létesített külső 

irányító berendezés -nért vagy más úton szerzett adatok alapján 

megváltoztatja a foiyanat közvetlenül befolyásolható jellemzőit, és ezen 

keresztül eléri más jellemzőknek a kívánt mozgását is. 

Az irányi tott foiyanat és az irányító berendezések együttese az 

irányítási rendszer. A rendszertechnika a folyamatok anyagi minőségétől 

elvonatkoztatva a rendszerek közös je11egzet ősségeive 1 foglalkozik és 

azokból von le következtetéseket (pl . az irányító berendezés 

struktúrájára vonatkozóan). 

Ha például egy villamos, mechanikai vagy hőtechni kai rendszert egy külső 

hatás nyugalmi helyzetéből kimozdit, akkor az új egyensúlyi ál lapot 

olyan tranziens mozgás útján ál 1 be, amelynek jellege az anyag i 

minőségtől független azonos matemat ikai apparátussal 

differenc iáiegyéni etekkel - írható le. Ha a tranziens folyamatot kel 1 

befolyásolni, akkor a beavatkozás is a tranziens változás jel legétől 

függ. A lehetséges irányítási beavatkozások így nem a fizikai közeg, 

hanem a tranziensek jellege ( pl . exponenciáiisan esi 1lapodó, lengő 

rezonanciát mutató, stb.) szerint különülnek el. A fizikai közeg akkor 

jut szerephez, ha a rendszertechni kai elképzeléseket konkrét 

eszközökkel realizálni kel 1, vagy a konkrét fo1yamat jeleit kel 1 mérni. 

Az anyagi minőségtől elvonatkoztatott jel az információközlés eszköze. 

Az irányítási rendszertechnika a jelekkel végzett műveletek tudománya. 

Irány í t áse1mé1e t nek is szokás nevezni, ame1y az i rány í t ás t e c hn i kának 

egyik fontos, de nem kizárólagos része. Kifogástalánul működő rendszer 

létrehozásához ezenkívül nem nélkülözhető a folyamatnak, a felhasznált 

eszközök működésének, a méréstechnikának, a szoftver technikának, stb. 

az ismerete. Figyelembe kell venni környezeti, biztonsági, technológiai 

és gazdasági szempontokat is. 

A következőkben a rendszertan kérdéseit tárgyaljuk. Áz egyéb szoftver és 

hardver ismereteket illetően a megfelelő szaktárgyakra (elektronika, 

digitális technika, méréstechnika, villamos gépek, informatika, stb.) 

utalunk.

Az irányítás jelei 

1.1 Az irányítás 

A befolyásolni kívánt folyamatnak vannak belső jelei - az ál lapotváltozók 

(state space variable) - amelyeknek egymás közötti 

összefüggései írják le a folyamat mozgását. Ha a folyamatot zárt 

doboznak tekintjük, a belső mozgásról a kívülről is érzékelhető 

jelekből , a kimenő .leiekből (output signal) lehet információt kapni. A 

folyamatot külső hatások érik, amelyeket a bemenő jelek (input signal) 

szimbolizálnak. 

A bemenő jelek egy része az irányítás céljából szándékosan előidézett 

hatásokat közvetíti, ezek az irányi tó jelek (control signal). A bemenő 

jelek másik részét az irányítástól független, elkerülhetetlen külső 

hatások, a zavaró jelek (disturbance signal) képezik. Szokás az 

irányítandó folyamat azon ki- és bemenő jeleit, amelyek az irányítástól 

függetlenül ís léteznek, jellemzőknek nevezni (pl. zavaró jellemzők). A 

külföldi irodalom ilyen megkülönböztetést nem tesz. 

A jeleket időbeii viselkedésük alapján folytonos idejű és diszkrét idejű 

jelekre lehet felosztani. Az előbbiek a jelhordozó pi1lanatértékeivel 

reprezentált információt az időben folytonosan közvetítik (1.1a ábra), 

míg az utóbbiakat szimbolizáló impulzusok az amplitudójuk vagy a 

területük által hordozott információt csak a diszkrét t ^, t ,•• • 

stb. időpontokban jelenitik meg (1.1b ábra). 

Folytonos idejű jel h Diszkrét idejű jel 

© 

1.1 ábra 

ti *2 h * 

® 

Kódolás szerint megkülönböztethető analóg és digitális jel. Az analóg 

jel elvileg információtartalmának tetszőlegesen kis változását is képes 

közvet íteni, mert értéktartománya megszámlálhatatlanul végtelen sok 

elemből ál 1 (folytonos eloszlású). A digitális jel értéktartómányának 

véges számú eleme van, ezért számjegyes - helyérték szerint rendezett - 

formában írható le. Az i nformáció változást csak meghatározott 

kvantumokban képes visszaadni (diszkrét értékkészlet). 

Az irányítás funkciói 

Az irányítás funkcióit vázlatosan az 1.2 ábra szemléltet i. Az irányított 

folyamatokhoz hasonlóan a különböző funkciókat ellátó részrendszereknek 

is vannak bemenő, kimenő és belső jelei. Az irányítási folyamat úgy ál 1 

elő, hogy a részrendszerek a kimenő és a bemenő jeleken keresztül hatnak 

egymásra. Vegyük például az irányító alrendszert. 

2

Információ 

az irányítási 

célról 

Hibás 

információ 

Irányítási 

ai rendszer 

Információ t 

feldolgozás és 

irányító jelképzés 

1 

Előzetes 

információ 

Irányító jel 

Mért 

ínformáció 

1.2 ábra 

Zavarójelek 

Információ 

szerzés 

Kimenőjel 

Bemenő jelek: Az irányítási célt közlő jel; 

A folyamat fizikájából vagy kisérlet i vizsgálatából 

rendelkezésre ál ló (a priori) t információ; 

Az irányítással azonos időben szerzett valós idejű 

(real time) információ; 

Kimenő jel: Az irányító jel; 

Zavaró jel: Az információban lévő hibák; 

A belső adatfeldolgozás hibái, amelyek ugyan a 

rendszeren beiül képződnek,de hatásukat külső jelekkel 

lehet szimbolizálni 

A rendszertechnikai összefüggések ábrázolása 

Az egyes funkciókat több egymásra ható készülék, eszkőz, stb. valósítja 

meg, A rendszer működését a különböző vázlatok szemléltetik. 

A szerkezeti, vázlat a rendszert alkotó berendezésekrő1 ad áttekintést. 

Az 1.3a ábrán egy előírt hőmérsékletű meleg vizet előállító berendezés 

sematikus szerkezeti vázlata látható. A kazán tűztérben elhelyezett 

csövekben cirkulál a víz. A tüzeléshez használt szenet vi1iamos motorral 

hajtott szállítószalag viszi a széntárolóból 8 fűtőberendezésig. A 

villamos motor fordulatszámával szabályozható a szalag sebessége, ili. 

ezen keresztül a szállított szén mennyisége. Á szabályozó a ki lépő vízre 

előírt és a hőmérséklet mérésből származó tényleges hőmérséklet 

különbsége alapján egy előerősítőn és egy teljesítmény erősítőn 

keresztül állítja be a villamos motor tápfeszültségét, amely megszabja a 

f ordulatszámot. 

Rendszertechnikailag nem az egyes készülékek működése, hanem az általuk 

kiváltott ínformáció módosító hatások az érdekesek, Az 1.3b ábra 

szerinti vázlat a szerkezetek egymásra hatását hangsúlyozza azáltal, 

hogy a szerkezeteket fizikai jellegüktől elvonatkoztatja. Ez a vázlat 

azonban felosztásában még mindig a konkrét berendezésekhez kötődik, 

holott a hatások szempontjából a jelek információ tartalmának a 

módosulása a fontos. 

3

ttom 

hőfok 

Előrrt 

hőfok 

Szabályozó 

Szabályozó Erősítő 

Erősítő 

Mért hőfok 

Erősítő 

Motor 

1.3 ábra 

Teljesítmény 

erősítő 

Hőmérséklet 

mérés 

Szénszálító 

r 

Vízmelegltő 

Zavaró jelek 

Vízhőfok 

A feszültség és a teljesítmény szintek i1lesztése pl. a jelek információ 

tartalmának szempontjából közömbös, ezért ha két erősí tő csak ezt a 

funkciót látja el, nemcsak megkülönböztetésük, de a vázlatban való 

feltüntetésük is felesleges. 

A hatásvázlat (block diagram) a jelképzés vagy jelátalakítás folyamatát 

ábrázolja, elemei nem a szerkezetekhez, hanem a jelformálási 

eseményekhez kötődnek. Építőeleme a tag, amely a berendezés kimenő és 

bemenő jelei között i függvénykapcsolatot szimbolizálja valami 1 yen 

könnyen rajzolható idom (pl. téglalap) vagy más művelet i jelkép 

segítségével. A jeleket nyí11a1 el látott - irányított - vonalak 

ábrázolják. Az idomba befutó vonalak a tag bemenő, az onnan ki lépők a' 

tag kimenő jelei. A nyilak iránya a hat ás irány. Azon tagok összessége, 

amelyeken a jel azonos hatás irányban áthalad, a hatás1ánc. 

A tagok bemenő és kimenő jelei között ok és okozati összefüggés van. Az 

összefüggés matemat ikai formula, táblázat, művelet i utasítás, stb. 

alakjában adható meg. A gyakran előforduló műveletek jelzésére az idomba 

írt jel (pl. integrálás jel ) vagy külön jelölés szolgál. Ez utóbbiak 

közül gyakoriak az összeg- i 11. különbségképző szimbólumok, amelyek 

néhány vázlata az 1.4 ábrán látható. 

4

1.4 ábra 

A továbbiakban a d. ) ábra szerint i legegyszerűbb vázlatot fogjuk 

használni. 

Hangsúlyozni kel 1, hogy a hatásvázlat bizonyos hasonlóságok el lenére sem 

vi1lamos kapcsolási vázlat. Az összegezési pontokba belépő je lek 

információ tartalma - a csomópont i áramokhoz hasonlóan - összegződik 

ugyan, de az elágazási pontokban az információ nem osztódik, hanem 

valamennyi ki lépő jel a beérkező teljes információt (bemenő jelet) 

további tja. 

1.2 Nyitott és zárt hatásláncú irányítás 

Ha az irányi tójel képzésben a fo1yamat irányi tott jellemzőjéről szerzett 

valós idejű információ nem vesz részt, akkor nyitott láncú irányitásról 

vezérlésrő1 - (open loop control) van szó. A beavatkozás a 

folyamatról előzetesen rendé 1 kezesre ál ló ismeretek szerint valósul meg, 

arra az irányi tott jellemző nem hat vissza. Pé1da az előre megadott 

időprogram szerint i feszültség vagy ellenállás átkapcso1 ásókkal 

végrehajtótt ál 1andó áramú motorindítás vagy irányitás. 

Ha az összes zavaró jellemzőről megbi zható információk ál 1nak 

rendé 1 kezesre, a beavatkozó és az irányított jelek között i kapcsolat 

pontosan i smert, a vezérlés kel lő eredményt adhat. Ha azonban a 

felsorolt i smeretek pontatlanok vagy nem várt események történnek, a 

vezérlés nem hozza meg a kívánt eredményt. Ha például rosszul becsüljük 

a motor i ndí táskor a várható el lennyomatékot, az időben programozott 

feszültség-átkapcso1 ás nem bi ztos í tja az állandó i ndí tó áramot. 

A nyi111áncú i rányí tás előnye, hogy nem okoz stabi1i tási problémát. 

A zárt hatás láncban megvalósuló irányí tás (closed loop control ) a 

szabályozás, amelyben az irányi tot t jellemző tényleges értéke visszahat 

a beavatkozásra. A hatásváz latban zárt hurok alakul ki. Az irányi tott 

jellemzőnek a kívánt és a tényleges értékét összehasonlí tva az 

eltéréstő 1 függően képződik a beavatkozó jel. 

Ha ez minden emberi közreműködés nélkül következik be, akkor önműködő 

vagy autómat ikus szabályozásról, e11enkező esetben kézi szabályozásról 

van szó. 

A szabályozás előnye, hogy előre nem kalkulált hatásokat is képes 

korrigálni. A hátránya az, hogy önmagukban stabi1 is folyamatokat is 

labi1issá, illetőieg lengővé tehet. 

5

1.3 Az önműködő szabályozás elvi felépítése 

Az önműködő szabályozás ez szerkezet i vázlata az 1.5 ábrán látható. 

Ebben az egyes irányítástechnikai funkciókat megvalósító szerkezet i 

egységeket az un. szerveket és azok kapcsolatát tüntettük fel. Az 

önműködő szabályozás fő jellegzetessége a szabályozott jellemző 

visszacsatolása, ami által szabályozási kör (control loop) jön létre. 

A szabályozott folyamatot (process, plánt) szabályozott szakasznak 

szokás nevezni, amelynek a kimenő jele az y szabályozott jellemző 

(controlled signal). 

Alapjelképző 

szerv 

Alapjel Hibajel Beavatkozó Módosított Szabályozott 

jel jellemző jellemző 

Különbség 

képző 

szerv 

Ellenőrző 

jel 

Erősítő és | 

jelformálój 

szerv I 

Érzékelő 

szerv 

1.5 ábra 

Beavatkozó 

szerv 

Szabályozott 

szakasz 

Hatásirány 

A szabályozott jeilemzőt az érzékelő szerv (sensor) méri, amelynek 

ki menőjele az y^ e11enőrző jel (observed signal gnal). 

A szabályozott jellemző előírt értékét az alapértéket, amely időben 

változó is lehet az külső jel , az un. alapjel (reference signal) 

reprezentálja. Az alapjelet az alapjelképző szerv állítja elő olyan 

jelhordozón, ame1y alkalmas az el lenőrző jel lel való összehasonlításra. 

Az összehasonlí tást általában ki vonással a különbségképző szerv végzi, 

amelynek bemenő jele az y ellenőrző és az u alapjel, míg kimenő jele 

e a 

az y^ rendelkező vagy különbségi jel. Ha az ellenőrző jel időben 

torzítatlan mása a szabályozott jellemzőnek, a rendélkező jel a 

szabályozás pillanatnyi hibájával (az előírt értéktől való e1 térést 

mutató hibajel lei) azonos (error signal). Ez az egyezés a mérőeszköz 

di namikus torzítása miatt szigorúan csak állandosult állapotban áll 

fenn. A következőkben azonban a mérőeszköz ál tálában nem túl jelentős 

torzításait elhanyagoljuk, és a rendelkező jelet a hibajel lel 

azonosítjuk. 

A rendelkező jel hatására a jelformáló és erősítő szerv kialakítja az u 

irányító vagy beavatkozó jelet, amely a beavatkozó szervet (actuator) 

működtet i. A beavatkozó szerv a folyamathoz i 1 lesztett olyan 

szerkezet, amely a folyamat egy alkalmasan kiválasztott bemenő 

6

jellemzőjét, a módosított jellemzőt változtatja. Ez utóbbit úgy kel 1 

kiválasztani a f o1yamat hozzáférhető bemenő jelei közül, hogy minél 

közvetlenebb kapcsolatban ál Íjon a szabályozott jellemzővel. 

Amint a szerkezeti vázlatból látszik, a rendszer zárt kört (closed loop) 

alkot, így a hatásvázlatban is zárt hurok keletkezik. 

A szabályozási kör egyes funkciói még aláoszthatók vagy integrálhatók, 

ezért konkrét esetben egyes f elsorolt szervek elmaradhatnak vagy 

újabbakkal bővülhetnek. 

Az irányító jel képzési funkciókat általában egy univerzálisan 

használható szerkezetbe, a szabályozóba (controller) vonják össze, amely 

így egyesíti az alapjelképzés, a különbségképzés, jelformálás és 

jelerősítés funkcióit és pótol ja a megfelelő szerveket. 

Az univerzális szabályozó a legtöbbször vi1lamos, pneumat ikus vagy 

hidráulikus segédenergiával működik. Magja egy analóg vagy újabban egyre 

inkább digitál is számi tógép. A szabályozó az esetleg szükséges 

analóg/digitál is i1letve digitál/analóg jelátalakítókat is magában 

foglalja. 

A beavatkozó szerv szerkezete a folyamat jel legétől függ. Vi1lamos 

hajtásokban pl. csaknem kizárólagosan vezérelhető teljesítmény 

elektronikus tápegység. Fo1yamatszabályozások leggyakoribb módosított 

jellemzője az anyagáram, amelynek t ipikus beavatkozó szerve a szelep 

(valve). Teoret ikus vizsgálatokban a beavatkozó szervet általában a 

folyamathoz sorolják. 

Az érzékelő szerv a mérés és az adat t ovább í t ás eszközeit, a 

mérőátalakítót, a távadót, az adatokat nagyobb távolságra átvivő 

átalakí tó és további tó eszközöket foglal ja magában. A vi1lamos jelek 

könnyű feldolgozhatósága és továbbíthatósága miatt a mérőátalakító a 

mért információt igen gyakran vi1lamos je1 hordozóra ültet i. 

Az érzékelő szervvel szembeni pontossági igények igen nagyok, mert a 

szabályozó az el lenőrző jelet tekint i a szabályozott jellemző hiteles 

képének. Ugyancsak nagyok a pontossági igények az alapjel lel szemben is, 

hiszen a szabályozó az alapjel lel együtt jelentkező és a szabályozási 

kör átviteli frekvenc iasávjába eső eset leges zavaró jeleket nem tudja 

megkülönböztetni a valóságos alapjeltől. 

Digi tál is számítógépes szabályozóban az alapjelet a számítógép képezi. 

Az említett összevonásokkal a szabályozás i kör hatásvázlata az 1.6 

ábrára egyszerűsödik. További vizsgálatainkban legtöbbször ezt fogjuk 

használni. 

i 

V 

e 

Szabályozó 

u 

Irányító jel 

1.6 ábra 

7 

Zavaró jel 

Szakasz

A hatásvázlat jeleinek különböző jelhordozói vannak, így mérőszámaik 

dimenziós mennyiségek. Ez az analízist megnehezít i, és sokszor 

kel lemet len - túl kicsi vagy túl nagy - számértékhez vezet. A 

hatásvázlat információcentrikus felfogásának sokkal inkább megfelel a 

dimenziófüggetlen rendszer, amelyben minden dimenziós mennyiséget az 

arra a dimenzióra választott alapegység százalékában (percent rendszer) 

vagy többszörösében (perunit rendszer) fejezünk ki. Az alapegységeket 

szabadon választjuk. Arra azonban ügyelni kel 1, hogy ezekre is 

érvényesül jenek a jel hordozók között fennálló fizikai törvények. Ha 

például a feszültség dimenziójú mennyiségek alapegységét lOOV-ban, az 

áram dimenziójúakét 5A-ben határozzuk meg, akkor az ellenállás 

(impedancia) dimenzióra (az Ohm törvény miatt) már csak 100/5=20 ohmot, 

a teljesítményre 500W-ot választhatunk. Ha ezt betartjuk, akkor a 

dimenzió nélküli mennyiségekkel ugyanúgy számolhatunk, mint a 

dimenziósakkal. Viszont az alapegység kel lő kiválasztásával a jelek 

értékét kellemesen kezelhető nagyságrendekbe ál 1íthatjuk. Ha például a 

kör összes időál landó ja 100 és 1000 sec közé esik, idő alapegységnek 

100 sec-ot választva az összes időállandó dimenzió nélküli mérőszáma 1 

és 10 közé, 1000 sec alapértékkel 0.1 és 1 közé esik. 

1.4 Zavarkompenzáció 

A szabályozási kör a szabályozott jellemzőnek a hatás lánc kezdetére való 

visszacsatolásával (feedback) keletkezik. Negat ív visszacsatoláskor a 

stat ikus viszonyokat tekintve nyi1vánvaló, hogy kel lő jelerősítéssel a 

módosított jellemző az el lenőrző i 11. az alapjelhez viszonyí tva kis 

értékű rendelkező jel lel ál 1ítható a kívánt értékre. Ekkor az el lenőrző 

és az alapjel közel azonosak, a szabályozott jellemző az alapértéket 

közel í t i meg. Az egész zárt szabályozási kör egyet len olyan tagnak 

tekinthető, amelynek bemenő jele (az alapjel) és kimenő jele 

(szabályozott jellemző) között meghatározott arányosság ál 1 fenn, 

függetlenül az egyes tagokra ható zavaroktól. A zavaró jelekről külön 

információra nincs szükség, mert azok hatása a szabályozott jellemző 

megvá11ozásában tükröződik és ez megfelelő beavatkozást vált ki. 

A stat ikus képet lényegesen módosítják a dinamikus hatások. A jelek 

bizonyos időkéséssel terjednek a hatás láncban, így a zavaró jelek hatása 

is csak időkéséssel mutatkozik a szabályozott jellemzőben, és az 

elhárítást célzó beavatkozás kifejlődéséhez ugyancsak időre van szükség. 

Kedvezőt len esetben az időkésések a szabályozott jellemzőben 

megengedhetetlen eltérésekhez, lengésekhez, sőt esetleg ahhoz vezetnek. 

hogy nem képes új egyensúlyi ál lapot beálIni. Ez el len a szabályozási 

kör megfelelő méretezésével lehet védekezni. 

Megkönnyíthet i a feladatot az, ha a lényegesebb zavaró jelek 

érzékelhetők, és a mért értékek alapján még a szabályozott jel 1emzőre 

gyakorolt hatás kialakulása előtt beavatkozás kezdeményezhető. Ez az 

eljárás az un. zavarkompenzáci ó, megvalósítási eszköze pedi g az 

előrecsatolás (feedforward). Ekkor a mért zavaró jellemzőtől függő olyan 

jelet vezetünk a hat ás 1ánc valamelyik alkalmas jelösszegzési pontjára, 

amely a zavaró jellemző hatását várhatóan kiegyéniíti. Ez a beavatkozás 

nyi lt láncú. Előzetes ismeretek alapján kell az alkalmas beavatkozó 

jelet a zavaró jelből megállapítani, és a beavatkozás magára a zavaró 

jellemzőre nem hat vissza. 

8

Az előre- és a visszacsatolást igen gyakran kombinálva alkalmazzák (1.7 

ábra). A mérhető legfontosabb zavaró jelek előrecsatolása mellett zárt 

(visszacsatolt) szabályozási kört is létesítenek, amelynek feladata 

egyrészt a többi zavartól és az előrecsatolás tökéletlenségéből származó 

eltérések csökkentése. 

-s& -—®í- 

ye 

Zavarkompenzáció 

Szabályozó 

1.7 ábra 

± 

Szakasz 

A zavarkompenzációra klasszikus példa a különböző vi1lamos generátorok 

kompaund gerjesztése. A kapocsfeszültséget irányított, a gerjesztést 

módosított jellemzőnek tekintjük. A feszültségtartás szempontjából a 

legfontosabb zavaró jel a terhelő áram. Kompaundáláskor a gerjesztés 

egyik részét maga a terhelőáram létesít i, így a zavaró jel azonnal 

létrehozza a semlegesítő hatást, és ezzel nagymértékben stabi1izálja a 

generátor feszültségét. Ezen túlmenő finomabb feszültségszabályozásra 

önműködő szabályozási kör alkalmazható. 

9

2. MATEMATIKAI ALAPOK 

Lineáris folytonos idejű irányítási rendszer vizsgálatának legfontosabb 

matematikai eszköze a lineáris állandó együtthatós differenciálegyenletek 

idő és frekvencia tartománybeii kezelése. 

2.1 Az n-edrendű állandó együtthatós differenciálegyenlet megoldása 

az időtartományban 

Egy bemenő jelű (u), egy kimenő jelű (y) 1ineáris rendszer működését az 

alábbi n-ed rendű differenciálegyenlet írja le: 

(n) (n-1) (m) 

y +n .y +. . . + n ny = m u +. . . + m nu = g(t) 

n-1 0 m 0 ( 2. n 

ahol y^ n 

^ az y változó idő szerinti n-edik deriváltja. Itt m^n. A 

differenciálegyenleteknek elvileg végtelen sok megoldása közül azt kel 1 

kiválasztani, amely eleget tesz az y függvényre vonatkozó 

peremfeltételeknek. A peremfe1 tételek rendszerint kezdet i feltételek, 

n 1 

tehát y(0); y(0);.. .;y^ * formájában adottak. 

A (2.1) az un. inhomogén egyenlet, amely g(t)=0 esetén homogén 

egyenletté válik. 

A differenciálegyenlet általános megoldása a homogén egyenlet általános 

megoldásának (y^) és az inhomogén egyenlet egy partikuláris megoldásának 

(y i) szuperpozíciójaként ál 1ítható elő. 

y 

= y + y 

h i ' (2.2) 

A homogén differenciálegyenlet általános megoldása 

S 

y u=k 1e l t 

S 

+k 0e 2 t 

+ . . .+k e V (2.3) 

J 

h l 2 n 

ahol k4 ..... k áliandók, s,,.. . , s pedig az n-edfokú karakterisztikus 

r ' n 1 n 

r & 

egyenlet gyökei. Az egyenlet úgy keletkezik, hogy a homogén 

differenciálegyenletbe 

helyettesítjük. 

y deriváltjai helyébe s megfelelő hatványait 

s n 

n 

+n 1s " l 

+ . ..+n = 0 (2.4) 

n-1 0 

Ha többszörös gyökök is előfordulnak, akkor (2.3)-ban a megfelelő 

tagokban az exponenciális függvény t hatványaival van szorozva. Például 

feltételezve, hogy az 1, 2 és a 3 sorszámú gyök azonos s 

^ 2 3 értékű, 

akkor 

11

2 S 

t S 

l 2 3 4^ 

y^Ck^kgt+^t )e ' ' +k4e + (2.5) 

Áz inhomogén egyenlet egyetlen partikuláris megoldását, amely az u 

jeltől függ, jelöljük f(u)-val. Egyenlőre feltételezve, hogy valamilyen 

módszerrel - pl. próbálgatással - sikerült megtalálni, a (2.1) általános 

megoldása: 

s t s t 

y=y h+f(u)=k 1e +...+ ke ° + f(u) (2.8) 

A k konstansokat a kezdeti feltételekből kell meghatározni. Á jobboldali 

kifejezésben f(u) kivételével az egyes tagok nem függnek az u bemenő 

jel időfüggvényétő1. 

2.2 Fourier transzformáció 

Bármely y(t) jel felbontható harmonikus függvények összegére. 

Periodikus y( t) függvény esettén az összeg megszámol hatóan végtelen sok 

tagból áll, amelyek diszkrét frekvenciákhoz rendelhetők. A felbontásnak 

ez az esete a Fourier sor, amely komplex formában 

y(t) = 

Itt 

n=-co 

0 = » ahol T g az y( t) jel periódusideje, 

s 

c n= 1 ) S/Z 

S 

-T /2 

s' 

y(t) e-Jât 

komplex szám, amelyre fennáll a 

(2.7) 

(2.8) 

c = c (2,9) 

n -n 

összefüggés, ahol c a konjugált értéket jelzi. 

Az U=TIQ diszkrét frekvenciákhoz rendelt c^ amplitúdók a periodikus y(t) 

jel amplitudó spektrumát alkotják. Mivel a komplex amplitudók az egyes 

összetevők fáziseltolását is mutatják, az amplitúdó spektrum teljes 

információt ad az összetevőkről, sőt a (2.9) alapján ez az információ 

már az n>0 értékekhez tartozó részspektrumban ís megtalálható. 

Nem periodikus y(t) jel nem megszámolhatóan végtelen sok összetevőből 

ál .1, amelynek frekvenciái folytonos eloszlásúak. Ezért egyetlen 

frekvenciához nem tartozik véges értékű amplitúdó, de - ugyanúgy mint 

minden folytonos eloszlásban - megadható egy u> frekvencia körüli da> 

12

sávra számított amp 1 itudósűrúség. Jelöljük ennek 2rr-szeresét y(jw) -val. 

OD 

y(t)= JL JV(jw)e Jwt 

du 

-co (2. 10a) 

00 

y(Jw)= fylt)e~ Jwt 

dt 

J 

— 00 

(2.10b) 

Az egyenletek kölcsönösen egyértelmű összefüggést 1 r anszf or mác i ó t - 

állapítanak meg az y(t) időfüggvény és az y(jw) frekvencia függvény 

között. Ez a Fourier transzformáció. Az y(jai) ampl itudósűrűség spektrum 

az y (t) időfüggvény Fourier transzformáltja . , 

A (2.10b) integrál csak akkor létezik, ha az y(t) függvény abszolút 

integrálható, tehát ha 

00 

f|y(t)|dt=véges 

J 

-oo 

(2.11) 

Ez azt jelent i, hogy ha t => oo, y abszolút értéke legalább l/t 

nagyságrendjében kel 1 hogy csökkenjen. Ekkor a (2.10b) még akkor is 

véges eredményre vezet, ha az integrandusban a fáziskülönbségbő1 eredő 

kompenzációs hatások nem érvényesülnek. 

Ha az y(t) függvény csak t^t^ időkre különbözik zérustól, akkor 

egyoldalas i dőfüggvényrő1 i11. egyoldalas Fourier t rans zformác i óró1 

beszélünk. Az általánosság megszorítása nélkül feltételezhetjük, hogy 

t Q=0. Ekkor y(t)-t pozitív időfüggvénynek nevezik. 

A Fourier transzformációval a differenciálegyenletek algebrai 

egyenletekké redukálódnak, mert a frekvencia tartományban az 

időtartománybeii differenciálást és integrálást algebrai műveletek 

helyettesítik. 

(2. 11) azt is jelenti, hogy y(t) négyzetes integrálja is létezik. így a 

jelnek, véges energiája van, amely a frekvencia tartományban a Parseval 

vagy Rayleigh tétellel fejezhető ki. 

00 00 

y 2 

(t)dt = | y(jw)y(-Jti))dc«) (2.12) 

A műveleti szabályokat a Laplace transzformáció kapcsán ismertetjük. 

2.3 Laplace transzformáció 

A Fourier transzformáció használatát a (2.11) feltétel erősen 

korlátozza, hiszen annak már az ugrásfüggvény sem felel meg, így nincs 

Fourier transzformáltja. 

E korlátozás jelentősen csökkenthető, ha a transzformálandó függvényt 

exp(-irt )-vel szorozzuk és azután képezzük a Fourier transzformáltját, 

mert tr>a feltétel lel még az -exp(at) függvény is abszolút 

integrálhatóvá válik a t=0 és t=+oo pontok között. 

13

A szorzótényezővel korrigált egyoldalas függvény Fourier transzformáltja 

az eredeti függvény Laplace transzformáltja. 

Uy(t)}= J y(t)e-°V jwt dt y(t)e 

S t 

dt= y(s) (2.13) 

aho1 az s = cr+joo és 0 (2.14) 

transzformációs változó pozitív valós részű komplex szám. 

s=> joo határátmenettel az y(s) Laplace transzformált az y(jca) Fourier 

transzforrnáltba megy át, amennyiben az létezik. 

Az inverz Laplace transzformált a (2.10a)-ból s=jcu helyettesítéssel 

kapható meg. 

y(t) 

1 

2Hj 

C+ja 

cr-joo 

y(s)e St 

ds 

(2.15) 

Az integrálási utat úgy kel 1 kiválasztani, hogy y(s) regularitási 

tartományában haladjon, a szinguláris helyek tőle balra essenek. Ezt az 

általános érvényű Riemann-Mel1 in féle inverziós formulát a gyakorlati 

számításokban szűkebb érvényű, de könnyebben kezelhető módszerekkel (pl. 

kifejtési tétel) lehet helyettesíteni , 

Néhány egyszerű függvény Laplace transzformáltját az 2.1. táblázat 

mutatja. Értelemszerűen valamennyi függvény egyoldalasán értendő. 

y(t) y(s) yít) y(s) 

ő(t) 

Kt) 

sinwt 

Műveleti szabályok 

a.) Differenciálás 

1 

l/s 

ü> 

2 2 

S + U 

±at 

e 

. lat 

te 

coswt 

2.1. táblázat 

1 

s+a 

1 

, _ ,2 

(s+a) 

s 

2 2 

S +Cü 

L {yít)} - s y(s)-y(0) (2.16a) 

14

L { y } = s 2 

y(s) - sy(0) - y(0) (2.16b) 

Ha az összes kezdeti érték zérus, akkor az időszerinti differenciálás s 

megfelelő hatványával való szorzássá redukálódik. 

L {t y(t)} = - -iL y(s) (2.17) 

Azokban az esetekben, amikor egy egyoldalas függvény a t=0 pontban a tÔ 

tartománybeii y=0 értékéről y=y Q-ra ugrik a (2.16) egyenletben y(0) két 

különböző felfogásban értelmezhető. 

a. ) A szigorú matematikai szemléletmódban az y függvény a szakadás 

helyén nem differenciálható, így a (2.16) a t>0 tartománybeii 

d i f ferenc i á1hányadosai nak Laplace transzformáltját adja 

értelemszerűen e tartomány határán elhelyezkedő y(0)=y^ kezdet i 

értékkel. (Ezek a d i ff erenc i ál hányadosok t-» 0 esetén a szakadási 

hely un. jobboldali ^ differenciálhányadosaihoz tartanak, így a 

(2.16b)-ben előforduló y(0); stb. értékek is egyértelműek). 

(3. ) A matematikai lag nem eléggé precíz, de prakt ikus esetben - legalább 

is a (2.16a) egyenletre - jól használható és jól interpretálható 

felfogás az y függvény ugrását a t=0 pontban egy At ideig tartó 

véges meredekségű szakasz elméleti határesetének tekinti. Ekkor a 

(2. 16a) egyenletben szereplő kezdeti érték y(0)=0. A véges 

meredekségű szakaszon létezik d i f ferenc iáihányados, ame1ynek pl. az 

időfüggvénye, ha a meredekség állandó, At szélességű állandó 

amplitudójú négyszögimpulzus. Ennek területe a meredeken emelkedő 

szakasz y^ végértéke (At-y^/At). Ha a meredekség nő, At csökken, az 

impulzus terület azonban változatlan marad. A végtelen meredekségre 

való áttéréskor az impulzus y^ területű Dirac impulzussá válik. 

Ekkor a (2.16a) egyenlet y(0)=0 helyettesítéssel nemcsak a t>0 

tartomány d i fferenc iáihányadosának, hanem formálisan az "ugrás 

differenciálhányadosának" minősíthető Dirac impulzusnak is megadja a 

Laplace transzforrnáltját. 

A /3. ) felfogás matemat ikai pongyolasága el lenére is helyes eredményt 

ad, ameddig olyan jelek képzésére használják, amelyek egy 

integrátoron (vagy a későbbiekben tárgyalt tárolós tagon) haladnak 

keresztül. Az integrálás ugyanis megszünteti a problémát okozó Dirac 

függvényt. 

A b.) értelmezés akkor válik egyre nehezebbé, ha a (2.16b) egyenlet 

kapcsán a magasabb rendű di fferenc iáihányadosokra is ki akarjuk 

terjeszteni. Ekkor már a Dirac függvény differenciálhányadosait is 

értelmezni kel lene, ami matemat ikailag egyre abszurdabb eredményre 

vezet. 

b.) Integrálás 

15

t 

c.) Eltolási tételek 

L | j y (t)dtj = ~ y(s) (2.18) 

0 

L {y(t±T)> = e 

± s T 

y(s) (2. 19a) 

L { e~ at 

y(t)> = y(s+a) (2.19b) 

Az egyoldalas y(t) függvény kezdőpont jának T-vel való késleltetése a 

transzformált függvényben exp(-sT)-vel való szorzással vehető 

figyelembe. 

d.) Végérték tételek 

y(t=0) = lim syís) . (2.20a) 

s-*» 

y(t-*») = lim syís) (2.20b) 

s-»o 

Ez utóbbi kifejezés akkor alkalmazható, ha y(s) pólusai a baloldali 

félsíkra esnek (tehát pl. expíat); sínít); stb. függvényekre helytelen 

eredményt ad). 

e. ) Konvolúció (Faltung) tétel 

t 

L | J y^x) y 2(t-T)dr | = y^s) y2(s) (2.21) 

0 

f. ) Racionális törtfüggvény inverz transzformáltja 

Lineáris koncentrált paraméterű rendszerek analízisekor és szintézisekor 

előforduló jelek Laplace transzformáltja a legtöbbször racionális 

törtfüggvény. 

e 

w, x m s +. . . + m 

f v M(s) m o 

y ( s ) 

= -NÍiT = 

"ír n-1 ^ ~ 

s + n , s +. . . + n 

n-1 o 

; m s n 

(2.22) 

Az egyenlet jobb oldala részlettörtekre (partial fraction) bontható és 

tagonként t rans zformá1hat ó az időtartományba. Ez a kifejtési tétel 

(expansion theorem), amely akkor egyszerű, ha a nevező s^ gyökei - y(s) 

pólusai - egyszeresek. Ekkor 

n k. Mis.) 

yís) = Y 

X 

— ; k. = -— (2.23a-b) 

Lá S — S, 1 . T, f \ 

i«i 

1 í s 

i 5 

hol W az N(s) polinom s szerinti d i f f erenc i ál hányadosa. Az 

időfüggvény: 

16

n M(s. ) s. t 

y(t) = £ — e 1 

i-1 N'(s ) (2.23c) 

Többszörös gyökhöz a részlettörtekre bontáskor a gyök multiplicitásával 

azonos számú részlettört tartozik. Pl. ha az i-edik gyök kétszeres, a 

megfelelő részlettört 

s-s. 

I 

+ 

Ennek inverz transzformáltja a 2.1. táblázat szerint 

( k 

il 

k. 

i2 

(s-s.r 

í 

+ t k 

) e 1 

i2 

s. t 

(2.24a) 

(2.24b) 

Gépi számítás: A részlet törtekre bontást (part ial fract ion expansion) a 

MATLAB residue utasí tása végzi. Megfelelő paraméterezéssé 1 az utasí tás a 

rációnál is törtfüggvények rész lettörtjeinek együtthatói t és pólusai t 

adja, vagy ezekből rekonstruálja az eredő tört számlálóját és nevezőjét. 

2.4 Lineáris állandó együtthatós n-edrendű differenciálegyenlet 

megoldása a frekvencia tartományban 

A (2.1) szeri nt i állandó együtthatós differenciálegyenlet frekvencia 

tartománybeli megoldásakor az időfüggvények helyett áttérünk azok 

Laplace traszforrnáltjára, ezáltal a differenciálegyenlet algebra" 

egyenletté vál ik. Kifejezzük a keresett ismeret len jelet és az eredményi, 

visszatranszformáljuk az időtartományba. 

Vegyük például az 

yít) - a yít) = b u(t) (2.25a) 

elsőrendű differenciálegyenletet y(0) kezdet i fel tétel lel. 

Áttérve a Laplace transzformáltra a (2.16a) figyelembevételével: 

s y(s) - y(0) - a y(s) = b u (s) (2.25b) 

Y ( S ) = £Í°I + uís) 

(2.25c) 

A 2. 1 táblázattal és a második tagban -j (2.21) konvolúciós integrál lal 

elvégezve az inverz transzformációt 

t 

a t 

a ( t 

yít) = e y(0) + | e " T } 

b•u(x)dx (2.25d) 

0 

Az első tag a zérustól különböző kezdeti citék határát mutatja. 

Az eljárás lényegesen egyszerűsödik, ha a kezdeti értékek zérusok. Ekkor

az eredmény a konvolűciós integrállal számítható. Ha azonban a bemenő 

jel Laplace transzformaitja is rációnál is törtfüggvény, a 

visszatranszformálás a konvolűciós integrál mellőzésével a kifejtési 

tétel lel közvet lenül is megkapható. 

Zérus kezdeti feltételeket feltételezve a (2.1) egyenlet Laplace 

transzforrnáltjára áttérve 

(s n 

n 

+n is ..+n ) y(s)=(m s m 

+...+m ) u(s) (2.26a) 

n-1 o m o 

y(s)= 

m 

m 3 +. . . + m 

- — 1 — u(s) = wís)u(s) 

n n-1 

s +n „ s +... +n^ 

n-1 0 

(2.26b) 

A 2. 1 egyenlet által leírt rendszert egyet len jelátvivő tagnak tekintve 

a frekvencia tartományban annak u(s) bemenő és y(s) kimenő jele között 1 

összefüggését a w(s) átviteli függvény (transfer function) írja le. Ha a 

bemenő jel Dirac impulzus, akkor u(s)=1, így a kimenő jel maga az 

átviteli függvény y(s)=w(s). Ennek az időtartománybeií értéke a w( t) 

súlyfüggvény (weight ing funct ion). 

2.1 ábra 

Az átviteli függvény nevezője azonos a differenciálegyenlet 

karakter i szt i kus polinomjávai (2.4 egyenlet), az s most a Laplace 

transzformáció változóját jelenti. A karakteriszt ikus egyenlet 

megoldását ekkor sem lehet megkerülni, hiszen a súlyfüggvényt a (2.23) 

kifejtési tétel lel kel 1 meghatározni. 

A súlyfüggvény ismeretében bármely tetszőleges u( t) bemenő jelre a 

megoldás a konvolúciós integrállal határozható meg, mert ez felel meg 

az időtartományban a (2.26b) szerinti szorzatnak. 

t 

yít) = J w(t-x) ulx) dx (2.26c) 

0 

Az egyenlet jelentését a 2.1 ábra világítja meg. 

Az u( t) jel egymást követő u(x)dx impulzusok sorozatának fogható fel. 

18

Minden impulzus egy-egy az u(x)dx területtel arányos súlyfüggvényt 

generál, amelyeknek hatása a t pontban szuperponá1ódik. A x pontban 

induló részfolyamatban a megindulásától kezdve a t pontig (t-x) idő 

telik el, így a hozzárendelt súlyfüggvény értéke w(t-x). Az összes 

részfolyamatokat összegezve, amelyek a x=0 és x=t pontok között 

indulnak, kapjuk a t pontban az y(t) jelet, 

2.1. példa 

Oldjuk meg Laplace transzformációval a következő differenciálegyenletet 

yíO) = y(0) = 0 kezdeti feltételekkel: 

yít) + 6y(t) + 8y(t) = ú(t) + u(t) (2.27a) 

A bemenő jel 

a. ) u(t) - ő(t) ; b. ) u(t) = 1(t) 

Áttérve a Laplace transzforrnáltra 

y(s) = w(s) u(s) = — u(s) = — u(s) (2.27b) 

s +6s+8 (s+2) (s+4) 

A nevező gyökei egyszeresek: s* = -2; s - - 4 . 

a. ) Ha a bemenőjel a Dirac impulzus, akkor u.(s) = 1. 

A súlyfüggvény a kifejtési tétel (2.23c) szerinti alakjával 

-2+1 -2t -4+1 -4t 1 -2t 3 -4t 

y(t) = w( t J= — e + -—— e = ~ p- e + p e 

-4+6 ~8+6 

(2.27c) 

Az y jel időbeli változása csak a karakterisztikus egyenlet gyökeitől 

(w(s) pólusaitól) függ. 

b. ) Egységugrás alakú bemenő jelre u(s)=1/s . 

A kimenő jel kétféleképpen számítható, a (2.27b)-bői a kifejtési 

tétellel, vagy a konvolúciós integrállal. 

A (2.27b) és a (2.23b)-bői 

Y ( S ) = "T¥+^flsT47i~ = 

4(I+~2T ~ "4" ~iT4~" + 

A nevező gyökei s^= -2, s^= -4, s^= 0. 

"t (2.28a) 

A karakterisztikus egyenlet két sajátértékén kívül y(s) pólusai között 

megjelenik az u(s) jel pólusa (s 3=0) is. Visszatranszformálva az 

időtartományba 

2 t 

4 t 

y(t) = l + | e~ - | e" 

(2.28b) 

A konvolúciós integrálhoz a (2.27c) súlyfüggvényt használva ugyanerre az 

eredményre jutunk. 

19

yít) 

, 1 -2(t-x) 3 -4(t-xh . 1 1 -2t 3 -4t 

( 

6 

" 2 

+ 

2 6 

> d T = 

8 + 

4 e 

' 8 6 

(2.28c) 

Az eredmény első tagja a bemenő jel pólusától (esetünkben s^=0) függő 

időfüggvény, amely független a differenciálegyenlet sajátértékeitől. A 

megoldásnak ez a része az inhomogén egyenlet egyik part ikuláris 

megoldása. A másik két tag csak a sajátértékektől függ, de független a 

bemenő jel pólusaitól. A megoldásnak ez a része kielégít i a homogén 

egyenletet, ez a tranziens összetevő. Amint látszik, a megoldásban zérus 

kezdet i fel tételek esetén is jelen vannak mind a differenciálegyenlet 

paramétereitől, mind a bemenő jeltől függő összetevők, így az irányítási 

rendszer vizsgálatakor rendszerint elegendő a zérus kezdet i feltételekre 

szorítkozni. 

2.2. példa 

Oldjuk meg az alábbi differenciálegyenletet zérus kezdet i fel tételekkel 

u(t)= 1(t) egységugrás bemenetre (u(s)=l/s). 

y(t) + 5y(t) + 8y(t) + 4y(t) = u(t) (2.29a) 

y(s) 

s(s 3 

1 

+ 5s 2 

+ 8s +4) (2.29b) 

A nevező gyökei: s^ = 0, s^ = -1, s^ = s^ = -2. 

A részlettörteket pl. a MATLAB residue utasításával kiszámítva: 

y(s) = 

1 1 3 1 

4 5 5 + 1 4 ( s + 2 ) 

y(t) = -i- - e 1 

2(s+2) 2 

+ (-|- + -i- t) e 

2 t 

20 

(2.29c) 

(2.29d)

3. LINEÁRIS FOLYTONOS IDEJŰ FOLYAMATOK RENDSZERTECHNIKAI LEÍRÁSA 

3.1 Folyamatok matematikai modellje 

Irányítástechnikai vizsgálatokban a folyamatot rendszertechnikai 

model1je helyettesiti, amely a vizsgálat szempontjából érdekes külső és 

belső jelek között i összefüggéseket írja le. Ha ezek matemat ikai 

kifejezésekkel adhatók meg, matemat ikai modellről van szó. 

A model1 a fo1yamat működéséről rendelkezésre ál ló ismeretektől függően 

elmélet i megfontolásokkal vagy empirikusan, i 11. a két eljárás 

kombinációjával állapí tható meg. Az empirikus model1 meghatározás az 

identifikáció (identification), amely egy feltételezett 

model1struktúrához a paramétereket a folyamaton végzett mérésekből 

határozza meg. A model1 mindig csak egyszerűsített mása a valóságnak, 

amely a kevésbé fontos tényezőket elhanyagolja. Ezért a kísérlet i 

modellépi tés hatékonyságát is növeli, ha a ki indulási struktúrát elvi 

megfontolások támasztják alá. 

Az e1mé1eti modellépitésben rendelkezésre ál ló előzetes ismeretek 

alapján a folyamat működésének minőségi képét kel 1 megalkotni. Ennek 

alapján el kel 1 dönteni, hogy melyek azok az elsődleges hatások, 

amelyeket fel tét lenül figyelembe kel 1 venni, és melyek azok a modellezés 

célját i1letően másodlagos hatások, amelyeket el lehet hanyagolni. Ki 

kel 1 jelölni azokat a belső változókat, amelyek az egyszerűsített 

model1t egyértelműen jellemzik. Végül annak a rendszernek a 

törvényszerűségei szerint, amelyben a folyamat realizálódik (vi1lamos, 

mechanikai, kémiai, gazdasági, stb. ) meg kel 1 állapí tani a model1 külső 

és belső jelei között i matemat ikai összefüggéseket. 

A realizált rendszerekben a folyamatok részfo1yamatokbó1 tevődnek 

össze, amelyek a rendszert alkotó elemekhez (részrendszerekhez) 

kötődnek. 

Az elemek egyik része az őt érő hatásokat tehetetlensége miatt nem 

tudja azonnal követni. A tehetetlenség mindig valamilyen tároló hatástól 

- teljes általánosságban információ tárolástól - származik. 

Fizikai rendszerekben ez pl. az energiatárolás különböző megjelenési 

formáiban (vi1lamos töltés, mágneses f1uxus, helyzet i és mozgási 

energia, hőtartalom, stb ), míg logikai rendszerekben a regiszterek vagy 

egyéb memória jellegű elemek tartalmában mutatkozi k. A t áro1ó elem 

tartalmát - "töltését 11 

- a bemenő jelek csak véges idő alatt tudják 

megváltoztatni, így az adott időpontban ez a tartalom nem a bemenőjelek 

ugyanezen időpontbeii értékeitől függ, hanem a korábbi események során 

alakult ki. Azokat az információkat hordozza, amelyeket a rendszer a 

múltjából megőrzött. A rendszer mozgását egy adott pi1lanatban a bemenő 

jelek és a tároló elemek töltése szabja meg, de az közömbös, hogy ez a 

töltés milyen korábbi mozgás fo1yamán alakult ki . 

Más szóval a t árolók tártalma egyértelműen jellemzi a rendszer 

állapotát, amelynek segí tségével a további mozgás a vizsgált időpont 

előtt i ál lapotok ismerete nélkül is meghatározható. A rendszer olyan 

21

első jelekkel - ál lapotváltozókkal ( state space variable) írható le, 

amelyek egyértelmű kapcsolatban ál Inak a tároló elemek tartalmával, ezen 

be 1ü1 azonban többféleképpen is kiválaszthatók. A rendszer jellemzésére 

annyi egymástól független állapotváltozóra van szükség, ahány tároló 

típusú - memória tulajdonságú - eleme van. 

Formálisan definiálva az állapotváltozó o1yan jel, amelynek adott 

pontbeii értekéből a bemenő jelek és a paraméterek ismeretében a 

következő )dőpontbeli értéke meghatározható. 

Folytonos idejű rendszer analóg számi tás i model1jében a táró ló t ípusú 

tagok integrátorokként jelennek meg, amelyek kimenő jeleire teljesül az 

emlí tett kri térium, így azok mindig ál lapotváltozóknak tekinthetők. 

Passzív vi1lamos hálózatok energiatárolói kondenzátorok vagy 

indukt ivi tások. Az indukt ivitás tartalma - "töltése" - a tárolt mágneses 

energia, amely az átfolyó árammal vagy a fluxussal fejezhető ki, így az 

ezektől egyértelműen függő bármilyen jel ál lapotváltozó lehet. A 

kondenzátorban tárolt vi1lamos energia a töltéssel vagy a kondenzátor 

feszültségével van egyértemű összefüggésben, így ezek i11. a ve 1 ük 

összefüggő jelek választhatók állapotváltozónak. 

Az állapotváltozók, a bemenő jelek és a kimenő jelek között i 

összefüggéseket differenciálegyenletek és algebrai egyenletek - az 

ál 1apo t e gye n1e t e k (state space equat ion) - írják le, ame1yek különböző 

formákban adhatók meg. 

Az e1mé1e t i modellépi tést a következő pé1dák szemléltetik. 

3.1. példa 

Külsó' gerjesztésű egyenáramú motor matematikai modellje 

Az e1 rendezés a 3. 1 ábrán látható. Az e feszültségrő1 t ápIáit EM 

egyenáramú motor G munkagépet (pl. szerszámgépet) hajt. Ez a motor 

tenge lyét f forgatónyomatékkal' terhe 1 i, ame 1 ybe magának a gépnek a saját 

lég- és csapágysúr1ódása is beleértendő. A forgó tömegek tehetetlenségi 

nyomatéka 8. A tengely fordulatszáma u, szögelfordulása pedig

A működési mód leírása: A mágneses mezőben forgó armatúra tekercselésben 

e^ belső feszültség indukálódik, amely az LÚ szögsebességgé 1 és a $ 

mágneses fluxussal arányos. Az e kapocsfeszültség és az e^ belső 

feszültség különbsége hajtja át az i áramot az armatúra tekercselésen, 

amelynek R ellenállása és L induktivitása van. Az áram és a gerjesztett 

mágneses mező közötti kölcsönhatásként a motorban olyan f^ hajtónyomaték 

ébred, amely részint egyensúlyozza a terhelő nyomatékot, részint 

gyorsítja a forgó tömegeket. Egyensúlyi helyzet akkor ál 1 be, ha a 

gyorsulás megszűnik, a hajtónyomaték egyenlővé válik a terhelő 

nyomatékkal. Ez annál a szögsebességné1 következik be, amikor a 

kapocsfeszültség és az indukált feszültség különbsége éppen az ehhez 

szükséges áramot képes létrehozni. 

Kimenő jelek 

Bemenő jelek 

Irányi tó jel 

a szögelfordulás és a szögsebesség, 

a kapocsfeszültség és a terhelő nyomaték, 

a kapocsfeszültség, 

Zavaró je1: a terhelő nyomaték. 

Egyszerűsítő fel tételezések: A rendszer 1ineáris. Az armatúra tekercs 

ellenállása és induktivitása állandó. Ezeket az armatúra elé kiemelt 

koncentrált elemekkel helyettesítve maga az armatúra olyan ideál is 

tekercsrendszerré válik, ame1ynek kapcsain (a kefék között) az átfolyó 

áramtó1 függetlenül az beIső feszültség jelenik meg. A hőmérséklettől 

függő ellenállás változásoktól valamint az armatúra áram változásakor az 

ál ló és a f orgórész vastestében indukálódó örvényáramoktól e1 tekintünk. 

A terhelő nyomatékot a fordulatszámtól függetlennek vesszük. 

Fel tételezzük, hogy az e feszültséget előál1ító tápforrás képes felvenni 

a fordított irányú áramot, i1 letve a visszatáplált teljesítményt, amely 

akkor keletkezhet, ha az indukált feszültség a szögsebesség átmeneti 

növekedése miatt meghaladja a kapocsf észültség értékét. Végül az 

armatúra áramnak a mágneses mezőre való visszahatását az un. armatúra 

visszahatást is figyelmen kívül hagyjuk. 

Mennyiségi összefüggések az időtartományban: 

Állandó fluxusnál az indukált fészültség a szögsebességgel, a vi1lamos 

úton képződő hajtónyomaték az armatúra árammal arányos. 

e u = Ku> ; f = kî (3. la-b) 

b b a f 

Itt k, és k„ konstansok, 

b f 

Az armatúra áramkörre fel írható hurokegyenlet 

e = R i + L ~ + k u

Az ál lapotváltozókat fizikai alapon lehet kijelölni. 

i az L induktivitás "töltése", így nem tud ugrásszerűen változni, 

u) a forgó tömegek mozgási energiája miatt csak fokozatosan 

változhat, 

f 1 

L 

jdj 

dt 

I(O)

Mindegyik bemenő jelhez (a kezdeti értékeket is beleértve) annyi 

átviteli függvény rendelhető, amennyi a kimenő jelek száma. Esetünkben 

tekintsünk el a kezdeti értékektől és vizsgáljuk meg, hogyan függenek az 

y^(s) és y^Cs) kimenő jelek az e(s) és az f(s) bemenő jelektől. 

y^s) =

Ezzel 

W n(B) - wl2(s) = - 

T 

e 

8 

1+sT a 

s(s 2 

T T + sT + 1) 

e a e ' 

(3.6c-d) 

Az átviteli függvényekkel felépített hatásvázlat a 3.3 ábrán látható. 

3.2. példa 

Két hőforrásból álló rendszer melegedés! folyamata 

Az elrendezést a 3.4 ábra mutatja. 

Az m 2 tömegű fajhőjű test, amelyben p^ teljesítmény alakul hővé 

körülveszi a g fajhőjű m tömegű testet, amelynek saját hoteljesítmenye 

Határozzuk meg a két test i 11. hőmérsékletének a változását a 

hőfejlesztés bekapcsolása után, ha a kapcsolás előtt a rendszer hőfoka 

a #Q környezeti értéken volt. 

A fo1yamat leírása: A hoteljesítmenyek bekapcsolása után a két test 

hőmérséklete növekedni kezd. A képződő hőenergia egy része a testek 

hőkapacitásában raktározódik, míg a másik része a kialakuló hőmérséklet 

különbség hatására a határfelületeken keresztül a környezetbe távozik. A 

stacionárius ál lapot olyan és hőfoknál ál 1 be, amikor a tfj-tf^ 

különbség hatására a belső testben képződő hőmennyiség teljes egészében 

a külső testbe, onnan pedig az ott képződő hőmennyiséggel együtt a ^""^ 

hőmérséklet különbség hatására a környezetbe távozik. 

Egyszerűsítő feltevések: Feltételezzük, hogy az egyes testeken belül a 

jó hővezetési tulajdonságok következtében nem alakul ki érdemleges 

hőmérséklet különbség, ezért azok i 11. # 2 hőmérsékletű homogén 

testeknek tekinthetők. A felületi hőátadás törvényszerűsége szerint a 

felületeken At idő alatt átáramló hőmennyiség az f^ i 11. f felülettel, 

a h^ i 11. h 2 felületi hőátadási tényezővel, a felület két oldalán 

kialakult hőmérséklet különbséggel és a At idővel arányos. Végül úgy 

tekintjük, hogy a környezet hőfoka a jó szellőzés következtében a 

beáramló, hő hatására sem növekszik # Q fölé. 

A feladat igen erősen egyszerűsített f ormában szemléltet i azokat a 

jelenségeket, amelyek pl. vi1lamos gépek hornyaiban elhelyezett vezetők 

melegedésekor lejátszódnak. 

Mennyiségi összefüggések: A belső testben At idő alatt képződő hő 

részben Atf^ hőfokkal megemeli a test hőmérsékletét, részben a külső 

testbe távozik. A külső testben a belsőből érkező hőmennyiséghez 

27

hozzáadódik a p 2 teljesítményből képződő hő. Az eredő egyik része A# 2 

hőmérséklet növekedést okoz, másik része a környezetbe távozik. A két 

testre ezt a hőmérleget fel írva: 

P 1At=g 1m 1A# 1+h 1f 1(# 1-# 2)At 

Bemenő jelek: p^; p 2 és , 

Kimenő jelek: # és # 2 . 

P 2At +h 1f 1(* r* 2)At=g 2» 2A Vh 2f 2( V* 0)At 

(3.7a-b) 

Az állapotváltozók fizikai megfontolásból a #^ és # 2 hőmérsékletek, 

amelyek a két testben tárolt hőenergiával arányosak, így ugrásszerűen 

nem változhatnak (a hőkapacitások töltéseivel arányosak). 

Az egyenleteket g^mÂt-vel ill. g 2m2At-vel elosztva és rendezve az 

ál lapotegyenletekhez jutunk. 

d#. 

dt g 1 m1 

dt g 2 m 2 1 

h 

i f 

i 

g, mj 

h 

l f 

l f 

2 

Az y és y 2 kimenő jelek 

m 1 I 9l 

*2 

g 

2 m 

2 

g 

l m 

l 

0~ + 

2 g 

; 2 m 

2 

h 

2 f 

2 

g 

2 m 

2 ° 

(3.8a-b) 

^2 = ű 

2 (3.8c-d) 

1 «PI r 

3.4 ábra 

23 

!»2'P2

^(0)

_^2 _J_ , , *2 %_ 

dt " G ^ 2 + 

G 2 

+ 

G 2R 2 

d 

y2 - *2 

A hatásvázlatot a 3.5 ábra szemlélteti. 

Legyen perunit rendszerben G^= 1, 

Ekkor 

Ű V 2 

+ P 

l 

# 2 = 0.2^- 0.4^2+ 0.2p2+ 0.2 # Q 

*1=*V 

y 

Z=*2 

G 2 

3.2 Állapotegyenlet 

= 5, 

R R l « 2 ' 1 

(3.10b) 

(3.lOc-d) 

(3.11a) 

(3.11b) 

(3. llcr) 

A 3. 1 és a 3.2 pé1dák tanulságát a következőkben általánosíthatjuk. 

Folytonos idejű folyamatok dinamikus viselkedését az állapotváltozók 

számával azonos elsőrendű differenciálegyenlettel és a kimenő jelek 

számával azonos algebrai egyenlettel lehet jellemezni. Ezek az 

állapotegyenletek. 

Ha az állapotváltozókat x, a bemenő jeleket u, a kimenő jeleket y 

jelöli, akkor pl. egy két állapotváltozós, három bemenő és egy kimenő 

jelű lineáris rendszerre az állapotegyenletek az alábbi uniformizált 

alakban írhatók: 

X = a b 

l llV a12 X2 + llV b 1 2 V b 

13°3 

X2 = a 2 l V b21 

y i = c 

a22 X2 + 

Ul + b 

b22 U2 + 23°3 

llV C 

12 X + d 

2 llV d 

12V d 

13 U 

3 

(3.12a-c) 

Az a, b, c, d együtthatók a rendszer paraméterei. A bemenő jelek az 

irányító és a zavaró jelekből ál Inak. 

A skaláris forma a változók számának növekedésével kezeihetet lenné 

válik. Az áttekinthetőséget, vektorváltozók bevezetésével lehet növelni. 

Legyenek X, U, Y olyan oszlopvektorok, amelyeknek skalár rendezői az 

ál lapotváltozók, a bemenő jelek i 11. a kimenő jelek. Ezekkel a (3.12) 

egyenletek mátrixos formában: 

1 "11 

*21 

A 

"12 

"22 

11 

b21 

30 

12 

b 

22 

13 

b 

23 

*1 

"AT 

B (3.13a)

V 

c 

-/ \- 

vagy a mátrixokat nagybetűkkel jelölve 

X = AX + BU 

Y = CX + DU 

d 

ll d 

12 d 

13 

"V" 

D 

(3.13b) 

(3.14a-b) 

A, B, C, D a rendszer paraméter mátrixai. A (3.13) egyenletek 

megoldásához peremfeltételeket kel 1 rögzíteni. Ezeket a következőkben 

kezdeti 

meg: 

feltételek formájában a t=0 időre vonatkozó X(0) értékkel 

xÔ) 

X(0) = 

x2(0) adjuk 

(3.14c) 

A következőkben a jelölésben nem teszünk különbséget a mátrixok^, a sor 

és az oszlopvektorok között. Valamennyit nagybetűvel jelöljük. A 

jel legük a definíciójukból következik. X, U, Y oszlopmátrixok, az A 

mátrix kvadrátikus, B, C, D általában nem kvadrátikusak. 

A bemenő jelek többféleképpen is csoportosíthatók, így a B és D 

mátrixok is többféleképpen felbonthatók. Ha a pé1dánkban u^-t az 

irányító, u 2~t és u^-t a zavaró jel komponenseinek tekintjük, akkor a 

bemenő Vektor 

U 

részekre bontható, a (3.14a) állapotegyenlet pedig 

X= AX+B.U.+B U 

1 í z z 

Y= CX+D.U.+D U 

1 í z z 

(3.15a-b) 

alakú lesz, ahol B. ill. D. oszlopmátrixok, B és D kvadratikus. 

1 í z z 

B. - 

11 

b 

21 

12 

b 

22 

13 

b 

23 

D = 

z 

d 

12 d 

13 

d 

22 d 

23 

De U-nak mindhárom skaláris komponense is megtartható önálló 

bemenőjelnek. Ekkor a hozzájuk rendelhető B és D mátrixok értelemszerűen 

módosulnak. 

Az egybemenetű - egy kimenetű (SISO, single input-single output) 

rendszerekben U=u és Y=y skalárok, B oszlop, C pedig sormátrix, D=d 

skalár. 

31 

11 

*21

A frekvencia tartományba az állapotegyenletek a (3.14) Laplace 

transzformációjával vihetők át. Jelölje az X, U, Y idővektorok 

transzformáltját X(s), U(s), Y(s). 

Figyelembe véve a differenciálhányados transzformá1ásának a szabályait: 

sX(s) = AX(s) + BU(s) + X(0) 

Y(s) CX(s) + DU(s) (3. 16a-b) 

Az a egyenletben X(0) olyan bemenő jelnek tekinthető, amely a 

B 0 

1 0 

0 1 

egységmátrixon keresztül hat a rendszerre. 

X(0) 

X(0)

A kezdeti értékeket tehát egy speciális bemenő .jelként lehet figyelembe 

venni. Ugyanez az i dő t art ományban is megtehető. A frekvencia 

tartományban konstans érték az időtartományban Dirac impulzust jelent. A 

(3. 16) időtartománybeii megfelelője: 

X = AX + BU + X(0)ő(t) 

Y = CX + DU (3.18a-b) 

A (3.14) és (3.18) egyenletek azonos eredményt adnak azzal az elvi 

különbséggel, hogy az utóbbiakat - mivel a kezdet i értékeket egy bemenő 

jel automatikusan előál1ítja - zérus kezdet i feltételekkel kel 1 

megoldani. 

A (3.16) és a (3.18) egyenleteknek megfelelő hatásvázlat a 3.6a ábrán 

látható, míg annak egy két állapotváltozós egy bemenetű - egy kimenetű 

változatát a b ábra mutatja. 

A következőkben a legtöbbször vagy egy bemenetű - egy kimenetű (SISO 

single input - s i ng1e output), v agy több bemenetű - egy kimenetű 

rendszert (MISO mult i input - single output) vizsgálunk, amelyben a 

kimenőjel skalár. 

A bemenő jelnek a kimenő jelre gyakorolt közvetlen hatása (a 3.14 

egyenletben DU) sokszor elkülöníthető magától a rendszertől, ezért a D=0 

feltételt is gyakran használjuk. 

Az ál lapotváltozók mint koordináták egy teret -- az ál lapotteret (state 

space) - definiálnak. Ebben a térben helyezkedik el az X( t) 

ál lapotvektor. Végpontjának elmozdulása jelent i a rendszer mozgását. Az 

ál lapotvektor végpontja által leírt görbe az ál lapottrajektória. 

3.3 Dualitás 

Duális alakzat úgy keletkezik, hogy egy rendszerben valamennyi külső és 

belső jel hatásiránya megfordul. 11yenkor az eredeti kimenő és bemenő 

jelek szerepet cserélnek, valamint az állapotváltozók ki- és bemenő 

pontjai megcserélődnek. 

Tekintsünk például egy két bemenetű egy kimenetű két állapotváltozós 

rendszert, amelynek az ál lapotegyenlete rendezőkben: 

X 

X 

y 

l 

2 

i 

= a 

il X 

l 

= a 

21 X 

l 

= C 

11 X 

1 

+ a 

i2 X + b 

2 ll U 

l 

+ a 

21 X 

l 

+ b 

21 U 

l 

+ C 

12 X + d 

2 ll U 

l 

+ b 

12 U 

2 

+ b 

22 U 

2 

+ d 

12 U 

2 

( 3 1 9 a ) 

(3.19b) 

(3.19c) 

A hatásvázlat a 3.7 ábrán látható, a hatás irányt a folytonos vonalakra 

rajzolt nyi1ak jelzik. 

Változatlan paraméterekkel az ábrán szakadozottan rajzolt nyilak szerint 

megfordítva a hatás irányt az így keletkezett duális rendszernek két 

kimenő és egy bemenő jele lesz. Legyen a kimenő jel vektora Y^, a bemenő 

jel vektora U =u és az állapotvektora X . Az ábra szerint 

33.

X 

D1= a 

ll X 

+ a 

lD 21 X 

+ C 

2D 11 U 

D 

X 

D2= a 

!2 X 

+ a 

lD 22 X 

+ C 

2D 12 U 

D 

y 

Dl= b 

ll x 

+ b 

lD 21 X 

+ d 

2D ll u 

D 

y 

D2= b 

12 X 

+ b 

lD 22 X 

+ d 

2D 12 U 

D 

( 3 2 0 a ) 

( 3 2 0 b ) 

( 3 2 0 c ) 

( 3 2 0 d ) 

A (3.19) és (3.20) egyenletek összevetéséből a duális és az eredet i 

rendszer paraméter mátrixai közötti összefüggés: 

A 

D 

= A 

' 

: B 

D 

= C 

' 

; C 

D 

= B 

' 

; D 

Ahol A' , B', C, és D' transzponált mátrixok. 

J 22 

U b 12 

r- b 

J 21 

J 11 

D 

= D 

' 

*1D 1D 

3 12 

3 12 

2 21 

3.7 ábra 

*2D 

3 22 

X 2D 

•H c1 

A duális rendszerben az eredeti rendszer valamennyi páramétermátrixának 

a transzponált.iát kel 1 venni, ezenkívül a B és a C mátrixok még szerepet 

is cserélnek. 

34 

c 12

A dualitás elvének a fe1haszná1ásáva1 a duális rendszerre vonatkozó 

fe1adat a megfelelő mátrix cserékkel az eredeti rendszerben oldható meg. 

3.4 Az állapotegyenletek megoldása a frekvencia tartományban 

A (3.16a) egyenletből 

(sI-A)X(s)= X(0) + BU(s) 

X(s)= (sI-A) 1 

£ X(0) + BU(s)j 

I az egységmátrix. 

A mátrix invertálás szabálya szerint 

(sI-A) 

-1 adj(sI-A) 

det(sI-A) 

(3.22) 

(3.23) 

Itt adj(sI-A) olyan mátrix transzponáltja, amelynek skalár rendezői az 

(sI-A) mátrix megfelelő rendezőjéhez tartozó előjeles aldeterminánsok, 

det(sI-A) pedig az (sí-A) mátrix determinánsa, amely s-nek n-edfokú 

polinomja (n az ál lapotváltozók száma). 

N(s) = det(sI-A)= s n 

+n . s n 

n-1 

N(s) az A mátrix karakteriszt ikus polinomja, 

r 

• » s 

n gyökei pedig az A mátrix sajátértékei, 

pólusainak is neveznek. 

li 

0 

(3.24) 

az N(s)=0 egyenlet 

amelyeket a rendszer 

A (3.23) egyenlet számlálójában ál ló mátrix mindegyik rendezője is s-nek 

egy-egy polinomja, amelyik azonban - minthogy egy (n-1)-edrendű 

aldeterminánsból származik - legfeljebb (n-1) -edfokú. 

A (3.22) szerint az ál lapotvektor mozgását az X(0) kezdet i ál lapot és az 

U(s) bemenő jel határozza meg. Az X(0)-tól függő rész valamennyi 

rendezőjének nevezőjében a karakteriszt ikus polinom ál 1, ezért a 

kifejtési tételből következően időfüggvényeiket kizárólag a rendszer 

pólusai határozzák meg. 

A megoldásnak ez a része a nyugalmi helyzetéből kitérített és magára 

hagyott rendszer mozgását írja le és mind a frekvencia, mind az 

időtartományban kizárólag a rendszer paraméterek egyikétől, az A 

ál lapotmátrixtól függ. 

A megoldásnak az U(s)-től függő összetevőjében a rendezők nevezője a 

karakterisztikus polinomon kívül U(s) egyes komponense i nek nevező 

polinomjait is tartalmazza, így időfüggvényei nemcsak a rendszer, hanem 

a bemenőjel pólusaitól is függenek. 

A megoldásnak ez a része a gerjesztett rendszer mozgását írja le. 

35

A kimenő jel a (3.16b) és a (3.22) egyenletekből: 

Y(s) = C(sl-A) •1 

X(0) + BU(s) + DU(s) (3.25a) 

A gerjesztett mozgás kimenő jele (X(0) = 0): 

Y(s) =[C(sI-A) l 

B + D] U(s) = W(s)U(s) (3.25b) 

W(s) a rendszer átviteli mátrixa (transfer mátrix), ame1ynek rendezői - 

az átviteli függvények - az egyes ki és bemenő jel komponensek Laplace 

transzformaitjainak a hányadosai. Egy két kimenetű, három bemenetű 

rendszerben például: 

y^s) 

y 2(s) 

w n(s) w 1 2(s) w 1 3(s) 

w 2 1(s) w 2 2(s) w 2 3(s) 

u 2(s) 

u 2(s) 

u 3(s) 

(3.26) 

A (3.25b) egyenlet szerint valamennyi w komponens s-nek rációnál is 

törtfüggvénye, amelynek nevezőjében az A mátrix karakterisztikus 

polinomja ál 1. A számláló D=0 esetén minimálisan eggyel alacsonyabb 

fokú, mint a nevező, D*0 esetén pedig legfeljebb azzal azonos fokszámú 

lehet. 

SISO rendszerben az átviteli mátrix a skalár átviteli függvény. 

w(s) 

y(s) = M(s) = 

u(s) N(s) 

m 

m s + . . . + m. 

m 

0 

n n-1 

s + n , s +. . . + n^ 

n-1 0 

M(s) a számláló, N(s) a nevező polinomját jelenti. 

(3.27a) 

A számláló és a nevező polinomját gyöktényezős alakra bontva az átviteli 

függvény faktorizált formája: 

w(s) 

(s-s , )...(s-s ) 

zl zm 

(s-s,)...(s-s ) 

1 n 

Itt k az átviteli tényező (gain), s 

zV 

w(s) függvény zérusai (zeros), 

(poles). 

V 

(3.27b) 

, s az M(s) po1inom gyökei, a 

zm ^ 

; pedig a függvény pólusai 

Mivel az M(s) és N(s) po1inomok együtthatói valósak, komplex s^. i11. s^ 

értékek mindig konjugált párjukkal együtt fordulnak elő. 

A (3.27a) egyenlet parciális törtek összegeként is előál1ítható. 

Egyszeres gyökök esetén: 

wCs) (3.27c) 

,...,k valós vagy páronként konjugált komplex konstansok. Többszörös 

36

gyökök vonatkozásában a 2.3 pontra (2.24a egyenlet) utalunk. 

Annak ellenére, hogy w(s) nevezőjében a rendszer karakterisztikus 

polinomja ál 1, az átviteli függvény pólusai nem mindig azonosak a 

rendszer pólusaival, mert a számlálónak és a nevezőnek azonos gyökei is 

lehetnek, amelyekkel egyszerűsíteni lehet a függvényt. Ekkor azonban a 

rendszer egyes pólusai és az azoknak megfelelő időfüggvények is 

hiányoznak a kimenő jelből, azaz az u bemenő jel nem képes olyan kimenő 

jelet generálni, amelyben a rendszer teljes dinamikája tükröződik. 

Átviteli mátrix a magára hagyott rendszer kimenő jelére is definiálható, 

ha bemenő jelnek az X(0) vektort tekintjük. Ekkor a (3.25b)-ben B=I, 

D=0. 

3.3. példa 

Gépi számítások: A MATLAB az előzőekben ismertetett számításokat a 

következő utasításokkal segíti. 

Az A mátrix karakterisztikus polinomja: 

N = poly (A) 

A rendszer pólusai: 

S = roots (N) 

Az átvitel i függvény M számláló és N nevező poliriomjai: 

[M, N]= ss2tf (A,B,C,D, iu) 

Az ss2tf (state space to transfer function) utasítás a C és D 

mátrixokkal definiált kimenő jel (3.14b) komponensei és a B mátrixon 

keresztül ható bemenő jel egy kiválasztott komponense közötti átviteli 

függvényeket számítja. Ezeknek nevezője azonos, számlálóik különbözőek, 

így az utasítás hatására a gép a közös N nevező polinomot és a kimenő 

jelek számával azonos számú sort tartalmazó M mátrixot írja ki. Az M 

mátrix sorai az egyes átviteli függvények számláló polinomjai. A bemenő 

jel komponens kiválasztására szolgál az iu paraméter, amely az U vektor 

kiválasztott rendezőjének a sorszáma. 

Az utasítással az állapotmodel1 minden olyan két jele közötti átviteli 

függvény is kiszámítható, amely alkalmas B és C mátrixokkal be- i11. 

kimenő jelként definiálható. 

Ügyelni kel 1 a D mátrix alakjára, amelyet D=0 esetében is olyan 

mátrixként kel 1 megadni, amely C-vel azonos számú sort és B-vel azonos 

számú oszlopot tartalmaz! 

Az átviteli függvényt faktorizált formában az ss2zp (state space to 

zero-pole-gaín), míg részlettörtes formában a residue utasítás számítja. 

3.4 példa 

A 3.2 példában tárgyalt melegedési probléma állapotegyenleteiben 

jelöljük az ál lapotváltozó hőmérsékleteket x-szel, a bemenő jeleket 

u-val és legyen ű = const = 0 . 

37

Ezzel a paraméter mátrixok 

sI-A 

-1 

0,2 

s+1 

-0,2 

1 

-0,4 

-1 

B = 

s+0,4 

A karakterisztikus polinom 

1 0 

0 0,2 

1 0 

0 1 

N(s) = det(sI-A) = (s+l)(s+0,4)-0,2 = s 2 

+l,4s+0,2 

A rendszer pólusai az N(s)=0 egyenletből 

; D 

0 0 

0 0 

(3.28a) 

(3.28b) 

s^-0, 1615; s 2=-1,2385 (3.28c) 

Az adjungált mátrix 

adj(sI-A)= 

Az ál lapotvektor 

s+0,4 0,2 

1 s+1 

v, , adj(sI-A)[X(0) + BU(s)] 

X(s)~ 

Rendezőkben 

X 

l 

( s ) 

s+0,4 

0,2 

1 

s+1 

(s+0,4) x 1(0)+x2(0)+(s+0,4) Uj(s) + 0,2 u2(s) 

s 2 

+ l,4s+0,2 

(3.29) 

0,2 x1(0)+(s+l)x2(0)+0,2u1(s)+0,2(s+l)u2(s) x ( s) = = = y1 (s) 

s +l,4s+0,2 

1 

Az Y(s) és U(s) jelek közötti átviteli mátrix 

W(s) =C(sI-A) ! 

B+D = 

W 

21 

"12 

y xla) 

W 

22 (3.30) 

A W(s) rendezőit alkotó négy átviteli függvény az y^(s) és y 

kifejezéséből mint az u^(s) és u 2(s) szorzói közvetlenül kiolvasható 

W 

ll 

( S ) 

s+0,4 

s + l,4s+0,2 

w 1 2(s) = -2 0,2 

s + l,4s+0,2 

38

w 2 1 

(s) 

0,2 

W 

( S ) 

22 

0,2(s+l) 

s + l,4s+0,2 s"+ l,4s+0,2 

Valamennyi átviteli függvény nevezője azonos. 

3.5 Az állapotegyenlet megoldása az időtartományban 

Az elsőrendű vektor differenciálegyenlet az elsőrendű skaiár egyenlet 

(2.25d) megoldásának értelemszerű általánosítása, amely zárt formában is 

előállítható. t=t Q kezdeti időpontra X(tQ) kezdeti feltétellel: 

X = AX+BU 

X(t) = e 

A U t 

0 ) 

X(t ) + 

konvergens Taylor sora definiál. 

eA(t-t Q) = j + A(t-t0)-f -A_ (t-tQ) 2 

A(t-x) _ , . , 

e B u(x) dx 

0 (3.31) 

a rendszer alapmátrixa, amelyet minden t értékre 

2 

(3.32) 

A függvény analitikusan is egyszerűen számítható, ha A diagonális, mert 

akkor annak bármi 1yen f(A) függvénye diagonális mátrix, amelynek 

főátlójában az A főátló elemeinek f függvényei ál Inak. Nem diagonális A 

mátrixot a később ismertetendő hasonlósági transzformációval előzetesen 

diagonálizálni kel 1, vagy a frekvencia tartományban kel 1 a számításokat 

elvégezni. 

A (3.22) és (3.31) egyenleteket összehasonlítva t Q=0 és u(s)=0 

értékekkel 

A t 

L{ e } = (sI-A) 1 

$ (s) (3.33) 

A (3.31) megoldás első tagja az X(t Q) kezdeti értékből induló magára 

hagyott rendszer mozgása; a második tag - a konvolúciós integrál - az 

X(t Q)=0 kezdeti értékből induló gerjesztett mozgás. 

3.5 példa 

Határozzuk meg egy U=u=exp(-0, 11) skaláris bemenő jel lel gerjesztett, a 

t Q=0 pontban X(0) kezdeti állapotból induló rendszer mozgását. 

A= 

-1 

0,2 

1 

-0,4 

B= X(0) = 

39

Mivel az A mátrix a 3.4 példabelivel azonos, a (3.28b) és (3.29) 

egyenletek fe1haszná1ásáva1 a (3.33)-ból 

At 

s+0. 4 

(3.34) 

A karakterisztikus egyenlet (3.28c) szerinti gyökeit használva a 

kifejezés rendezői a kifejtési tétellel transzforrnálhatók az 

időtartományba. 

At 

0,22 e S 

l l 

0,19 (e 53 

! 1 

+ 0,78 e S 

2 t 

- e s 

2 t 

) 

A magára hagyott rendszer mozgása 

X Q 

A t 

= e X(0) = 

1,15 e S 

0,96 e S 

l t 

l t 

- 0,15 e S 

+ 0,04 e S 

0,93(e S 

l t 

0,78e S 

l t 

2 l 

- e s 

2 t 

) 

+ 0,22 e S 

A gerjesztett rendszer mozgását a konvolúciós integrál adja. 

X = 

g 

t 

A(t-x) _ -0,1T . -1 

e Be dx = L 

2 l 

(sI-A) 1 

B 1 

s+0, 1 

2 t 

(3.35) 

(3.36) 

(3.37) 

A műveleteket akár a (3.35) f igye1embevéte1éve1 az időtartományban, akár 

a (3.34) segítségével a frekvencia tartományban elvégezve: 

, 0 0 -0,lt _ c -0,1615t n -l,2385t 

x i = 4,28e - 3,6e -Q,68e 

gl 

o o c -0,lt 0 n o -0,1615t n 1 C -l,2385t 

x _ = 2,86e - 3,02e +0,16e 

g2 

Az egyenletek jobboldalán két rész különíthető el: 

X = X + X. 

g u tu 

(3.38a-b) 

(3.39) 

X u komponensei az első tagok, amelyek a bemenőjel szerint változnak, de 

40

exponenciális függvényük kitevője független a rendszer pólusaitól. az 

inhomogén egyenlet partikuláris megoldása, ame1ynek t=0 pontbe1i értéke 

X (0)=|4,28 2,86 I ' 

1 1 

u 

Az X^^ tranziens összetevő rendezői az i 11. x^ kifejezésének 

két-két utolsó tagja, amelyek a kezdeti X (0)=-|4,28 2,861' értékről 

zérusra csökkennek a rendszer pólusai által meghatározott exponenciális 

kitevők szerint. 

A (3.38) egyenletek szerint a t=0 pontban az X^ értéke X^(0)=0, azaz a 

konvolúciós integrál olyan gerjesztett mozgás megoldását írja le, ame 1 y 

a zérus kezdő állapotból indul. A tranziens összetevő a kezdeti 

pi1lanatban kiegyenlíti az X (0)=0 és az X (0) közötti eltérést, a 

— -g~ —• — — ~u • - 

későbbiekben pedig a bemenőjel tői függetlenül a rendszer pólusai szerint 

esi 1lapodik. 

A teljes megoldás a (3.36) és (3.39) összege: 

A oo -t o „cr -0, 1615t _ n o -l,2385t 

x = x + x = 4,28e -2,45e -0,83e 

1 ol gl 

x = x + x == 2,86e- t 

1 6 1 5 t 

-2,06e~°' ~0,2e" 1 2 3 8 5 t 

' 

2 o2 g2 

vagy vektoros formában 

(3.40a-b) 

X = X + (X. +X ) = X + X. í o , n 

u tu o u t (3.41J 

A (3.39)-hez képest annyi a különbség, hogy az X^ tranziens összetevő - 

az azonos időál landó jú tagokból ál ló X^ és X^ összege - most a t=Q 

pontban az X(0).= j 1 1 | kezdőál lapot és az ^ÍPi közötti különbséget 

egyénií t i ki . 

3.6 A lineáris rendszer mozgása 

Az előző pontok és a 3.5 példa eredményei alapján a 1 ineáris rendszer 

mozgási sajátosságait a következőkben foglalhatjuk össze. 

A mozgásnak két formája van: 

1.) A nyugalmi helyzetéből kimozdított, majd (pl. a t=0 pontban) 

magára hagyott rendszer mozgása. 

2. ) A gerjesztett rendszer mozgása, ameiyet. a nyugalmi helyzetben levő 

rendszerre adott bemenő jel - gerjesztő jel - vált ki. Az általános 

mozgásban a két forma szuperponálódik. 

A nyugalmi állapotábóí kitérített. majd magára hagyott rendszer 

kétféleképpen viselkedhet: 

41

la) Stabi1 is rendszer visszatér a nyugalmi helyzetébe, vagy annak a 

kimozdítás mértékétől függő környezetébe. 

lb) Labi1 is rendszer nem tér vissza a nyugalmi helyzetébe i 11. annak a 

környezetébe. 

A magára hagyott rendszer állapotvektora (3.5 példa X ) kielégíti a 

homogén vektor differenciálegyenletet (3.14a egyenlet, U=0), időbeii 

változását a rendszer pólusai (sajátértékei) szabják meg. Stabi1 is 

rendszerben a mozgás egy stacionárius vagy kvazistacionárius egyensúlyi 

ál lapothoz tart. 

A stacionárius egyensúlyi állapotban valamennyi ál lapotváltozó mozgása 

megszűnik (X=0; X=konst). 

A magára hagyott rendszer kvazistacionárius egyensúlyi állapotában egyes 

ál lapotváltozók mozgása nem szűnik meg, hanem állandósult periodikus 

mozgássá alakul. 

A gerjesztett rendszer mozgásában két mozgástípus szuperponálódik. 

2a) A gerjesztett egyensúlyi mozgás a bemenő jel által kiváltott 

mozgásnak az a komponense, amelyik kielégíti az inhomogén egyenletet 

(az inhomogén egyenlet part ikuláris megoldása, a 3.5 pé1dában X^). 

Ha a rendszer pólusai különböznek a bemenő jelétől, ez az összetevő 

a bemenő jel pólusai szerint változik. Ha közös pólusok is vannak, 

ez a megkü1önböztetés értelmét veszti. 

2b) Ha a ki indulási (t=0) állapotban a rendszer állapota eltér a 

gerjesztett egyensúlyi mozgás ugyanezen időpontbeii állapotától, a 

közöttük levő eltérés kiegyenlítő (tranziens) összetevőt gerjeszt, 

amely a két ál lapot különbségéből, mint kezdő állapotbói ki indulva a 

magára hagyott rendszer mozgási törvényszerűsége szerint változik. 

A gerjesztett rendszer egyensúlyi állapota így a gerjesztett 

egyensúlyi mozgásból és a magára hagyott rendszer egyensúlyi 

állapotából tevődik össze. A stabi1 is gerjesztett rendszer mozgása 

ugyanúgy tart e felé, mint ahogyan a magára hagyott rendszer 

megközel ít i saját egyensúlyi ál lapot-át. 

Szokásos az is, hogy a tranziens össze.tevők közé a kiegyenl í tő 

mozgásnak csak a esi 1lapodó komponenseit sorolják. Ekkor úgy kel 1 

fogalmazni, hogy a tranziens összetevőt a ki indulási állapotban a 

gerjesztett rendszernek a tényleges és az egyensúlyi állapota 

közötti különbség generálja. 

Az ál lapotvektor különböző felbontásban számítható. 

1.) A tranziens összetevői a homogén egyenlet megoldásai, az egyensúlyi 

állapota az inhomogén egyenlet partikuláris megoldása. 

2. ) A (3.22) ill. (3.31) ezzel szemben az X(t Q) kezdeti értékek és az U 

bemenő jel hatása szerint különíti el az egyes komponenseket. t^=0 

feltételezésével az eredő mozgás úgy jön létre, hogy az X(0) kezdeti 

állapotbói induló magára hagyott rendszer mozgására szuperponálódik 

az X=0 nyugalmi állapotbói U gerjesztőjel lel kimozdított rendszer 

42

mozgása. Az első összetevőt az egyenletek X(0)-tól függő tagjai, a 

másodikat a konvolúciós szorzat i 11. a konvolúciós integrál 

szolgáltatja. 

3.7 Rendszeranalízis tipikus vizsgáló jelekkel 

Az irányítási rendszer analízisének a célja a statikus és a dinamikus 

tulajdonságok feltárása. Ezek részben a bemenő jeltől, részben a 

rendszer paramétereitől függnek. A rendszerfüggő dinamika a tranziens 

mozgáskomponensekben tükröződik. 

Minthogy az X(0)=0 kezdeti állapotbói induló gerjesztett mozgásban mind 

a gerjesztő jelnek megfelelő egyensúlyi ál lapot, mind a tranziensek 

megjelennek, általában elegendő ennek vizsgálata. Bemenő jeleknek 

célszerű olyan jeleket használni, amelyek képesek a vizsgálni kívánt 

hatást kellő mértékben előidézni, eléggé egyszerűek és az eredményben 

könnyen e1különíthetőkké teszik a rendszer és a bemenő jel hatását. 

A Dirac impulzus csak tranzienseket gerjeszt, a hozzárendelhető 

egyensúlyi állapot megegyezik a magára hagyott rendszer nyugalmi 

állapotával. Mivel azonban kísérletileg nem reálizálhat6, sokszor az 

ugrásfüggvényt használják helyette. 

Az ugrásfüggvény tranzienseket és olyan egyensúlyi állapotot hoz létre, 

amely csak egy additív konstansban különbözik a magára hagyott rendszer 

nyugalmi állapotától. 

További tipikus vizsgáló jelek az egyoldalas hatványfüggvények és az 

exponenciális függvények. 

3.6 példa 

Gépi számitások folytonos idejű rendszerekre az időtartományban 

A MATLAB az X állapotvektort és a kimenő Y vektort az 

ál lapotegyenletekből vagy az átviteli függvényekből számítja, az Isim 

(1inear simulation), impulse, step és az initial utasításokkal. 

Az Isim tetszőleges bemenő jelre és kezdeti értékekre használható. 

Paraméterként vagy az ál lapotegyenlet paraméter mátrixait, vagy az 

átviteli függvény számláló és nevező polinomjait kel1 megadni az azonos 

lépésközű számítási időpontokkal és az ezen időpontokbeii bemenő jel 

értékekkel együtt. 

Az initial utasítás a magára hagyott rendszer állapotvektorát és kimenő 

jelét számítja az X(0) kezdeti állapotvektorból ki indulva. Az idővektort 

automatikusan is képes generálni. 

Az impulse i 11. a step utasítások Dirac függvény i 11. ugrásfüggvény 

bemenetre számítják az állapotvektort és a kimenő jeleket. Az időpontok 

vektorait autómatikusan is meg tudják állapítani. 

Amikor a megadott paraméterek az áviteli függvényre vonatkoznak, a 

MATLAB a tf2ss (transfer function to state space) utasítással 

automatikusan előállítja az állapotegyenletet (az 5.5 

szerinti irányíthatósági formában) és annak az ál lapotvektorát számítja 

ki. 

43

4. LINEÁRIS DISZKRÉT IDEJŰ FOLYAMATOK RENDSZERTECHNIKAI LEÍRÁSA 

4.1 Mintavételezés 

A jelfeldolgozás fő eszközei a digitális számítógépek. Szabályozási 

körökben is igen gyakran ezek oldják meg a szabályozók jelformáló és 

információ feldolgozó feladatait. 

A digitális számítógépek irányítástechnikai fe1használásának a két fő 

területe: 

a. ) Digitális szimuláció, amikor analízis vagy szintézis céljából az 

irányítási rendszert - folytonos idejű részeivel együtt - digitális 

számítógépen modellezik. 

b. ) Digitális irányítás, amikor a számítógép az irányítási rendszer 

szerves része, amely vagy átveszi egy vagy több szabályozási körben 

az irányítójel képzéséhez szükséges döntési és jelformáló funkciókat 

(ddc = direct digitál control),vagy valami 1yen hierarchikusan 

szervezett rendszer magasabb fokaként a stratégiai céloknak 

megfelelően beál1ítja az alárendelt szabályozó körök alapjeleit 

(supervisory control). 

A digitális számítógép szakaszos működésű, egy adat feldolgozásához 

bizonyos időre van szüksége, ezért csak megszámlálhatóan sok adatbó1 

ál ló információt képes fogadni. Az y(t) folytonos idejű jelet ezért a 

feldolgozás előtt megszámlálható sokaságú t^, t^,...,t^ időpontokhoz 

tartozó y(tj), y(t 2) y(t^) értékekből ál ló számsorozattá kel 1 

átalakítani (4.la ábra). 

7d 

y(Ts)

átalakítása a mintavételezés. 

A 4.2 ábrán az átalakítást az y(t) folytonos jel útjába tett M 

mintavételező szerv (sampler) végzi. Működésének lényegét tekintve egy 

kapcsoló, amely a kiválasztott 0, 2T g,... időpontokban t ideig 

záródik. így a kimenő vezetéken egymást T g időközökben követő t ^ 

szélességű impulzusokból ál ló y^(t) impulzussorozat alakul ki (4.1b 

ábra), amelyben az impulzusok átlagos amplitudója közelíti az y(0), 

y(T s), y(2Ts),..., i11. amennyiben a mintavételező erősít is, az azokkal 

"arányos értékeket. A közelítés pontossága t^ csökkentéséve1 javítható, 

de ekkor az impulzus területének megőrzése céljából az amplitudót is 

növelni kell. (A terület megőrzését az indokolja, hogy az impulzusoknak 

a lineáris jelátvivő tagokra gyakorolt hatása elsősorban ettől függ.) 

így azonban a terület alkalmasabb a mintavételezett jel értékének a 

jellemzésére, mint a t^-től függően változó amplitudó. Ezért a 

továbbiakban feltételezzük, hogy a mintavételező szerv a t. szélességtől 

függetleaüL mindig olyan impulzusokat ál 1ít elő, amelyeknek területi 

mérőszámai megegyeznek a y(t) jelnek a megfelelő diszkrét időpontban 

felvett értékeivel. 

A folytonos jelből így keletkezett y^(t) impulzussorozat diszkrét idejű 

(mintavételezett) analóg jel, amelyben az információ időben 

szaggatottan, az impulzusok területi mérőszámában jelenik meg. Mivel a 

mintavételező szervet követő digitál is berendezés az információt 

impulzusterülettől eltérő kódban képes fel ismerni, a mintavételezést 

átkódolás követ i, amely a területi mérőszámot pl. a helyértékes 

(digitális) számábrázolás módszereivel számjegyes formára alakítja. 

4.2 ábra 4. 3 ábra 

Valójában a mintavételezés és a digitális kódolás fizikailag nem különül 

el egymástól, hanem egyet len szerkezetben, az A/D (analog-digital 

converter) átalakítóban realizálódik, amely a folytonos idejű analóg 

jelből mindjárt digitális kódban képezi a diszkrét idejű jelet. Az 

elmélet i különválasztás mégis indokolt, mert a rendszertechnikai 

tulajdonságok módosulása elsősorban nem a jelek kódjával, hanem 

46

diszkrét idejével függ össze. Ezért a digitális kódolást és 

dekódolást a jelfeldolgozó eszköz belső működési módjához sorolva úgy 

tekintjük, hogy az diszkrét idejű analóg jeleken - impulzus sorozatokon 

- végez műveleteket. 

A t. impulzusszélességet technikai és zavarszűrési szempontok határozzák 

meg. Általában a mintavételi lépésközhöz képest kicsi. Ezért az elméleti 

tárgyalás jelentősebb hiba nélkül egyszerűsíthető, ha a tényleges 

fizikai impulzust azonos területű Dirac impulzussal helyettesítjük. 

Ekkor az ideálizált matemat ikai mintavételezéshez jutunk (4.1c ábra). 

A mintavételezés inf ormáció veszteséggel jár. Az y^(t) jel az y(t) 

jelről csak a mintavételi időpontban ad információt, közbenső 

viselkedéséről semmit sem mond. A két jel között i kapcsolat nem 

kölcsönösen egyértelmű. y(t)-bői egyértelműen képezhető y^(t), ez 

utóbbihoz azonban tetszőlegesen sok különböző, de a mintavételi 

pontokban megegyező y(t) is található (4. 3 ábra 1,2 görbék). 

4.2 Tartás 

A digitális szabályozó kimenő jele digitál is kódolású diszkrét idejű 

jel, amelyet folytonos idejűvé kel 1 átalakítani, mert a szabályozási kör 

többi eleme ilyen jelekkel működik. Az átalakítás, amelyet általában 

egyet len Szerkezet, a D/A (digital-analog converter) átalakító végez, 

funkcionálisan két műveletre, a dekódolásra és a tartásra (ho1d) 

bontható. 

A dekódolás a digitál is diszkrét idejű jelből analóg kódolású impulzus 

sorozatot ál 1 ít elő. Ha a dekódolást a digitál is szerv funkcióihoz 

soroljuk, akkor az impulzus sorozatot a digitál is szerv analóg kimenő 

jelének tekinthetjük. 

A tartás során a tartószerv (holder) az y^(t) i mpulzussorozatbó1 

folytonos idejű y (t) jelet ál 1ít elő. Ez a művelet nem egyértelmű, 

H 

hiszen y(t)-nek. két mintavételi pont között i alakja szabadon 

választható. A " tartószervek a megelőző n db mintavételi értékre 

támaszkodó n-edrendű extrapolációs polinommal képezik a mintavételi 

intervallumon belüli jelalakot. 

A legegyszerűbb a zérusrendű tartás (zero order hold), amely az nT^ és 

az (n+1)T időpontok között az y(nT g) állandó jelértéket tartja. így az 

y (t) jelet az y(0), y(T ), y(2T ), stb. értékekre támaszkodó lépcsős 

H s s 

görbeként ál 1ítja elő (4.4a ábra). 

A zérusrendű tartószerv az impulzusokat T g ideig integrálja, ezáltal az 

y^( t) impulzussorozat y(nT g) területű Dirac impulzusait T g szélességű 

y(nT ) amplitudójú (T y(nT ) területű) impulzusokká alakítja. 

s s s 

Az nT g és (n+1)Ts határok közötti jelátvitel két egymástól T g idővel 

eltolt kezdőpontú integrál különbségeként írható le, ezért a zérusrendű 

tartószerv átviteli függvénye: 

47

w H(s) 

= 

-sT 

l-e 

(n-1)Ts nTs (n*1)Ts (n+2)Ts 

© 

4.4 ábra 

(4. 1) 

(n-1)Ts nTs (n+1)Ts (nt2)Ts 

© 

Elsőrendű tartáskor (first order hold) a tartószerv az nT és az (n+1)T 

,—. _ s s 

időpontok közé az y(nT g) és y(n-l)Tg értékekből egyenest (4.4b ábra), 

míg másodrendű tartáskor (second order hold) az y(nT^), y[(n-l)T g], 

y[(n-2)T g] értékekből parabolát extrapolál. 

A magasabbrendű tartásnak a cél.ja az y(t) görbealak minél tökéletesebb 

rekonstrukció.ja. Az extrapoláció azonban mindig a múl tbel i viselkedés 

előrevetítése, amely akkor hatásos, ha a rekonstruálandó görbe a 

továbbiakban is az extrapolációhoz használt pontokban megnyilvánuló 

tendenciát követ i. Minden ezekből a pontokból előre nem jelezhető 

váratlan esemény - bemenő jelek ki- és bekapcsolása, rendszertelen 

ingadozása - elrontja a rekonstrukció alakhűségét, ami akkor ál 1 ismét a 

korábbi szintre, amikor az extrapolációhoz használt valamennyi pontban 

már megmutatkozik a zavaró esemény hatása. Ez annál hosszabb időbe 

telik, minél magasabbrendű a tartószerv. 

A kvaz i s t ac i onár i us viszonyok között hatásosabb magasabbrendű 

tartószervek dinamikája nagyobb tehetetlenségük miatt rosszabb, mint az 

alacsonyabb rendűeké, a gyakori változásokhoz nehezebben aikaimazkodnak. 

Az elmondottakat illusztrálja a 4.5 ábra, amelyből egyrészt az látszik, 

hogy az egyes tartószervek még kvaz i s t ac i o nár i us állapotban is csak 

meghatározott típusú görbéket képesek alakhűen rekonstruálni, másrészt 

az is, hogy ha ezeknek a görbéknek a menetében változás ál 1 be, a tartás 

rendszámától függő adaptációs időn belül jelentős rekonstrukciós hiba 

keletkezik. 

Az a ábrán látható, hogy a zérusrendű tartószerv az ugrásfüggvényt, 

állandósult állapotban a1akhűen ál 1ítja vissza, az amplitúdó változásait 

- ha azok a mintavételi pontban történnek - azonnal, ha a mintavételi 

intervallumon belül következnek be, a következő mintavételi pontban - 

tehát legrosszabb esetben T idő múlva - követ i, így az átlagos 

48

adaptációs idő T g/2. Más típusú jelet (b ábra) kvaz i s t ac i onár i us 

állapotban sem alakhűen, hanem lépcsős görbével rekonstruál. 

Az elsőrendű tartószerv a 1ineáris vagy az annál alacsonyabb rendszámú 

időfüggvényt tudja alakhűen helyreál 1ítani kvaristacionárius állapotban. 

A változásokhoz azok bekövetkezésének pi1lanatától függően T és 2T , 

s s 

átlagosan 1,5T s idő alatt adaptálódik (4.5c ábra), más típusú jelet nem 

rekonstruál alakhűen (d ábra). 

ii Ái 

21 s 

T s^T d maximálisan 3T g adaptációs késleltetéssel. 

4.3 Mintavételezett jelek matematikai leírása 

4.3.1 Leírás az IDŐ- és a frekvencia tartományban 

Az időtartományban a mintavételezett jelet Dirac impulzusokból ál ló 

49

sorozat írja le, amelyet a továbbiakban vagy a d index (diszkrét idő) 

vagy az nT s időponti impulzus területre utaló {(y(nTs)> jelölés 

különböztet meg a folytonos idejű jel megadásától. 

y d(t)={y(nTs)}=y(0)ő(t)+y(Ts) - y(z) (4,6) 

4.3.2 A z transzformáció néhány összefüggése 

A z transzformáció a (4.4) helyettesítéssel a Laplace transzformációból 

származik, művelet i szabályai is abból erednek. 

A definíciós egyenlet: 

t / T 

yd(z) = y d (t) e ~ dt | yd(t)z s dt - [ y(nTs)z" js -T 

s 

l n z o n-0 

Minthogy a (2.14) egyenlet figye1embevéte1éve 1 

(4.7a) 

z= exp(sT ) = exp[(cr + jw)T ], ahol cr > 0 , (4.7b) 

50

z abszolút értéke az egységnél nagyobb, míg a reciprokáé egynél kisebb. 

_ 1 

| z | > 1 ; |z | < 1 . (4.7c) 

Néhány jellegzetes Impulzussorozat z transzformáltja: 

a. ) Egyetlen impulzusból ál 16 sorozat. Ilyen jel keletkezik pl. a t=0 

pontban fellépő egyetlen t ;

y(t) yís) {y(nT g)} y(z) 

l(t) 

t 

t 2 

t 2 

2 

t 3 

t 3 

6 

-at 

e 

, -at 

t e 

i 

s 

1 

2 

s 

1 

3 

s 

1 

4 

s 

1 

s+a 

1 

(s+a) 2 

1 

nT 

s 

z 

z - 1 

zT 

s 

(z - l) 2 

(nT ) 2 

T 

s 

2 

2 

s 

2 

z(z+l) 

, , ,3 

(z-1) 

T 3 2 

(nT ) 3 

s 

s z(z +4z+l) 

6 6 , , ,4 

(z-1) 

-anT s 

e 

-anT 

i-p s 

nT e 

s 

z 

-aT s 

z-e 

-aT 

z T e 

s 

-aT . 

. s.2 

(z-e ) 

-at -bt 

e -e 

b-a 

1 

(s+a)(s+b) 

-anT -bnT 

s s 

e -e 

b - a 

1 

b-a 

-aT 

s 

z(e 

-aT 

-bT 

s 

-e 

-bT 

(z-e 

S 

)(z-e 

S 

) 

. at 

a 

l-e sGs+a) 

sin ü)t 

COS tűt 

-at . , 

e sin o>t 

u 

2 2 

S +U) 

S 

2 2 

S +0) 

2 2 

(s+a) +w 

-at . s+a 

e cos u>t 

, ,2 2 

(s+a) +o) 

l-e 

-anT 

S 

sin wnT 

s 

cos a>nT 

s 

-aT 

z(l-e 

S 

) 

-aT 

(z-l)(z-e 

S 

) 

z sin ü)T 

s 

2 

z -2z cos ü)T +1 

s 

z(z-cos uT ) 

s 

2 

z -2z cos wT + 1 

s 

-anT 

-aT 

z e sin üT 

e sin wnT 

s 

s 

-aT -2aT 

2 _ s ^ , s 

z -2z e cos ü)i +e 

s 

-anT 

s 

e cos wnT 

s 

-aT 

s 

z(z-e cos ú)T ) 

s 

-aT -2aT 

2 _ s _ ^ s 

z -2z e cos un +e 

s 

4.1 táblázat 

52

Ennek abszolút értéke a esetén az egységnél kisebb, így az y (z) 

geometriai sora pozitív a esetében is konvergenssé tehető, tehát 

y ( z ) 

d 

= — f i r " = —rgr 

l-e" s 

z" 1 

z-e- 

s ( 4 1 0 d ) 

a valós vagy komplex szám lehet. Ez utóbbi esetben a (4. 10c)-ben a 

helyett annak valós értéke értendő. 

A 4. 1 táblázat egyéb impulzussorozatok z transzformaitjait is 

tartalmazza. y(t) olyan függvény, amelynek mintavételezéséből 

származtatható a sorozat, y(s) pedig annak a Laplace transzformáltja. 

y(nT) az n-edik impulzus területe. 

Végérték tételek 

y d(t=0) = lim yd(z) (4.11a) 

Z =» oo 

1 

yd(t=* oo) = lim (1-z" ) yd(z) z =» 1 

Eltolási tételek 

z|y d(t+kTs)j=z{^ 

z[y d(t-kT s)]=z{y d[(n-k)T s]p k 

y d(z) 

Az eltolási tételek jelentését a 4.7 ábra szemlélteti. 

(4. 11b) 

. .-zy((k-l )Tg) 

(4.12a) 

(4.12b) 

A folytonos idejű y(t) jelet T g idővel negat ív i rányban eltolva és 

mintavételezve, az y d(t+Tg) impulzussorozat ugyanazokbó1 az 

impulzusokból áll, mint az eredeti y d(t) mintavételezett jel. A 

különbség az, hogy azonos (pl. nT g) időpontban az eredeti jelben y(nTg), 

az eltolt jelben viszont az eredetinek T g idővei későbbi y[(n+l)Tg] 

impulzusa jelenik meg. Mivel a z transzforrnáltban az egyes impulzusok 

he 1yé t z negat ív hatványai jelzik, az eltolt jelben az eredet ivei azonos 

impulzusok z hatványai az eredetihez képest abszolút értékben eggyé1 

-1 -2 

csökkennek (z-z ; z-z ; stb.). Mivel az egyoldalas jel mindig t=0-tól 

(z°-tól) kezdődően értendő, az eredeti görbe y(0) impulzusa az 

eltoláskor elvész, azt a transzformált függvényből le kell vonni. 

Pozitív i rányú eltoláskor valamely időpontban az eltolt görbében az 

eredet i görbe korábbi impulzusa jelenik meg. Az eltolt függvény 

transzformáltjában az azonos impulzusok z hatványai abszolút értékben az 

eltolás mértékében növekednek. 

53

s y 

( 5 

y!t.T s) 

k 

VTs> 4.3.3 Az eltolási operátor 

c ) 

y ( T s) 

11 

1 r— 

'—i i—^ 

y(t-T s) 

Ali 

y(t) 

y[(n-1)Tsl 

y(nT s) 

i 

r 

ylnl s) y[ln.1JTs] 

yBn+1)Ts] 

y[ln-1)Ts] 

i 

y(nT s) 

0 T s (n-1)Ts nTs (n+1)T s t 

4.7 ábra 

Az eltolási tételek alapján a z változó eltolási operátorként 

értelmezhető. 

Egy impulzus sorozatot z-vel megszorozva az az időben negatív irányban 

tolódik, és bármely pontban az eredet i görbe jövőjét - a következő 

időpontban felvett értékét - mutatja. 

z *-gyel való szorzás ellenkező irányú eltolást - késleltetést - 

jelent. Az eltolt görbe minden időpontban az eredetinek a múltját - az 

előző időpontban felvett értékét - mutatja. 

A z változót eltolási operátorként értelmezve a z transzformációs 

összefüggések rekurzív aigoritmusnak foghatók fel, ame11ye1 az 

időfüggvény a kezdeti értékekből ki indulva pontról pontra határozható 

meg. 

Ha például az ismert u és az ismeret len y jel között a z tartományban az 

alábbi összefüggés ál 1 fenn: 

54 

t 

t

z + l 

akkor az egyenletet átrendezve: 

z y d(z) = -zyd(z) -3yd(z) + zud(z) + ud(z) 

z -tel osztva 

(4.13a) 

(4.13b) 

Az egyes tagok az időtartományban impulzus sorozatot jelentenek, amelyek 

azonos időpontbeii impulzus területeire is fennál1 a 4.13b összefüggés. 

-1 -2 

Figyelembe véve, hogy z y d(z) i 11. z yd(z) az yd(z) sorozatnak egy 

i 11. két időosztással késleltetett alakja (egy i11. két osztásos 

múltja), egy adott nT időpontban az impulzus területek között az alábbi 

s 

összefüggés ál 1 fenn: 

y(nT s) = -y[(n-l)Ts]- 3y[(n-~2)IJ+ u[(n-l)Ts] + u[(n-2)T ] 

vagy az egyszerűség kedvéért az időpontok jelöléséből csak a sorszámot 

megtartva, T -t e1hagyva az 

s 

y(n) = -y(n-l) 3y(n-2) + u(n-l) + u(n-2) (4.13c) 

összefüggés ál 1 fenn, ame 1 ybő .1 y bármelyik mintavételezési értéke 

meghatározható az y és u függvények előző két mintavételi időpontbeli 

értékeinek ismeretében. 

Ha az u d impulzussorozatot generáló u jel olyan folytonos idejű 

dif ferenciáiegyenlet gerjesztő jele, amelynek y a kimenő jele, a (4.13c) 

kifejezés a differenciálegyenlet zérus kezdetí feltételekre vonatkozó 

numerikus megoldó algoritmusa (digitális szimulációs algoritmusa). 

Az eljárás rokon azzal, amikor a Laplace transzformáció s i11. 

-1 

s változóját a differenciálás i11. az integrálás operátorának 

tekintjük. A lényeg mindkét esetben az, hogy a frekvencia tartománybeii 

összefüggéseket az érintett függvények közötti időtartornánybe 1 i műveleti 

utasításoknak fogjuk fel. 

4.3,4 Az inverz z transzformáció 

A z transzf ormáció inverz művelete az y d(z) transzf ormait függvénybő1 

határozza meg az y d 

impulzussorozatot. 

Az irányítástechnikai gyakorlatban y d(z) általában z-nek rációnál is 

törtfüggvénye. Ekkor az inverz transzformált 1egegyszerűbben az alábbi 

eljárásokkal határozható meg. 

1. ) A törtnek z negat ív hatványai. ^ szerinti sorbafejtése, amely a _ ^ 

számlálónak a nevezővel való osztásával oldható meg. z 

hatványainak együtthatói közvet lenül megadják a mintavételezett jel 

értékeit a mintavételí pontokban. 

55

2.) Részlettörtekre bontás 

A törtet 

kz k z k z (z-a) 

z - , ,2 ,2 

(z -a) + b 

(4.14) 

alakú részlettörtekre bontjuk és azokat táblázatok segítségével 

lehet az idő tartományba transzformálni. így olyan y függvényt 

kapunk, amelynek mintavételezéséből származtatható az y^ diszkrét 

idejű jel. 

3.) y^(z) kifejezését rekurziós formulának tekintve a (4.13c)-hez 

hasonló módon határozzuk meg az időtartományban a mintavételezett 

jelet. Ha a kifejezésben nem szerepel explicite az u^(z) bemenő jel, 

feltételezzük az u_,(z) = l, u =

a.) A rekurziós eljárással számolva 

u d(z) = l, u(t)= ő( t) bemenő jel feltételezésével a (4.16) 

egyenletek a (4.13)-hoz hasonlóan átalakítva: 

y(n)= y(n-l) - 0,24y(n-2) + 2u(n) - u(n-l) (4.16a) 

Itt u=l, ha n=0, és u=0, ha n>0. 

n=0 értékből indulva successive meghatározhatók y(n) értékei, melyek 

az y^ függvény impulzusainak együtthatói. 

A feladat úgy is megoldható, hogy a (4.16) egyenletben a számlálót 

algebrai szabályok szerint^ elosztjuk a nevezővel, így az eredmény 

közvet lenül mutatja z hatványainak együtthatói t, amelyek 

megegyeznek az y(n) értékekkel. 

Mindkét megoldás kiszámítható a (4.15) utasítással. 5 számítási 

pontot előírva a (4.16) alapján: 

m, = [2 -1 0] ; n = [ 1 -1 0,24 ]; n=5 (4. 17) 

d a 

az eredmény: 

y(0)=2; y(0,5)=l; y(l) = 0,52; y(l,5) = 0,28; y(2)=0,155 

y d(t)=y(0)ő(t)+y(0,5)ő(t-0,5)+y(l)ő(t-l)+y(l,5)ő(t-l,5)+y(2)ő(t-2)+.. 

1 

yd(z)=y(0)-fy(0,5)z" +y(l)z" 2 

+y(l,5)z" 3 

+y(2)z" 4 

+. . . (4. 18a-b) 

b. ) A 4. 16 egyenlet részlettörtekre bontható. Célszerű a számlálóból a 

z-t kiemelni, és a részlettörtek számlálóját utólag szorozni azzal, 

mert a táblázatokban általában ilyen formában adják meg a z 

transzforrnáltakat. 

y d(z)= 

z 

"Pi 

z- P o 

Az ismeret len paramétereket a 

[k,p,k Q] = residue (mid,nd) 

utasítással határozhatjuk meg. Ebben mld=[0 

számlálója z kiemelése után; k a k^ és 

vektor, p a nevező pólusainak vektora. Az eredmény 

Ezekkei 

y 

d 

( z ) 

0,6; 

1; 

0,4; 

1; 

z-0, 6 z-0, 4 

0. 

(4.19a) 

2 -1] a (4.16) egyenlet 

együtthatókat tartalmazó 

(4.19b) 

Az egyenlet jobb oldalán a (4.lOd) egyenlet értelmében két 

exponenciálisan csökkenő együtthatójú impulzussorozat z transzformáltja 

57

áll: 

ahol 

y d(t) 

aT 

bT 

{ •> f anT bnT > 

0,6; 

0,4; b 

0,5 

In 0, 4 

0,5 

Á 

' 

= - 1,83 (4.19c) 

így többek között az y = expí-1,02t)+exp(-l,83t) az egyik olyah 

folytonos idejű függvény, amelynek mintavételezéséből a (4.19c) 

származtatható. 

4.3 példa 

Határozzuk meg T =1 mintavételezési időre az 

ö 

s 

y d 

U) 

z 3 

3z 3 

- 3z 2 

- 6z 2 

+ 3,04z 

- 3,04z+ 1,04 

függvény inverz z transzforrnáltját zárt kifejezéssel. 

(4.20a) 

A függvényt pl. a 4.2 példa b pontjában leírt módon részlet törtekre 

bontva 

V 2 ) = -s=r z-(l+j 0,2) z- (l~j 0,2) 

(4.20b) 

A jobb oldalon a (4.9c) és a (4.lOd) egyenletek alapján egy állandó 

ampli tudójú és két exponenciálisan csökkenő ampl i tudójú impu1zussorozat 

áll. 

r naT nbT 

y, = iy(nT l 1+ e + e 

ahol T = 1 

s 

a = ln(1+j 0,2) = 0,0196 + j 0,1974 

b = ln(l-j 0,2) = 0,0196 - j 0 t1974 

T 0,0196n, j 0 1974n -j 

= j 1+ e (e J 

+ e ^ 

, 0 1 9 6 n 

^l+2e° 

cos(0,1974n) 

0, 1974n 1 

'1' 

(4.2i: 

amely pl. az y - 1+ 2exp(0,0196t)cos(0,1974t) folytonos idejű jel 

mintavételezéséből származtatható. 

58

4.4 Folytonos idejű rendszer diszkrét modellje 

4.4.1 Folytonos idejű és diszkrét idejű rendszerek összekapcsolása 

Digitális szabályozási körökben különböző jeltípusokkal működő 

rendszerek vannak összekapcsolva, A szabályozó diszkrét idejű, a 

folyamat folytonos idejű jelekkel működik. A kétféle jeltípus nem 

keveredhet, mert egy adott szerv csak az egyiket képes 

rendeltetésszerűen feldolgozni. A két jeltípus találkozási pontjaiban 

áta1; ki tókat (converter) kel 1 elhelyezni, amelyek elvégzik a jelek 

átalakítását. 

A 4.8a ábrán például az egyik konverter az M mintavételi kapcsoló, amely 

a folytonos idejű hibajelet alakítja a digitális szabályozó által 

feldolgozható diszkrét idejű jellé (C/D continuous-to discrete-time 

converter). A másik a H tartószerv, amely a szabályozó diszkrét idejű 

jelét alakítja át, a folyamatot befolyásolni képes U folytonos idejű 

H 

jellé í D/C discrete- to cont inuous-t ime converter). A kör előrevezető 

ágában az M és H konverterek között (az ábrán szakadozottan jelölve) 

diszkrét idejű, a kör egyéb helyein folytonos idejű jelek vannak 

(hibrid model1). 

Az irányítás vizsgálatakor a kört azonos típusú jellel működő 

rendszernek kell tekinteni, ezért valamelyik részét a vizsgálati 

jeltípusra vonatkozó egyenértékű modelljével kell helyettesíteni. 

A b ábrán a diszkrét idejű részek folytonos jelű modellel való 

helyettesítése látható. Az M mintavételező és a H tartőszervet a 

szabályozóhoz sorolva, az így keletkező alakzat Y bemenő és ü t> kimenő 

n h 

jelei folytonos idejűek. Ezért az egy olyan folytonos idejű jel át. vivő 

taggal helyettesíthető, amely a két jel között az eredetivel azonos 

összefüggést fejez ki (folytonos modell). 

Á c ábra a rendszer folytonos idejű részeit helyettesíti diszkrét idejű 

modellel. Az a ábra M mintavételezőjenek hatása két másikkal pótolható. 

M az alapjelet, az Y kimenő jelet mintavételezi. A H tartó és az 

mintavételező szerveknek a szabályozott szakaszhoz való csatolásával 

létrejött egység U bemenő és Y kimenő jelei diszkrét idejűek, ezért a 

két jel közötti kapcsolat diszkrét idejű modellel jellemezhető. 

Ha a folytonos és a diszkrét idejű jelek közötti konverziók mindkét 

irányban kölcsönösen egyértelműek lennének, az eredmény nem függne 

attól, hogy melyik helyettesítésből született. Mivel azonban a két 

jelt ípus között nincs egyértelmű transzformációs kapcsolat, az 

ekvivalens modellek közelítőek, hibáik különböző módon befolyásolják a 

vizsgálatok eredményét. A b ábra szerinti eljárásban a tökéletes 

ekvivalenciát az gátolja, hogy a folytonos jelű tagok nem képesek az U 

H 

kimenő jelet létrehozó diszkrét algoritmusokat tökéletesen utánozni. 

A, c ábra szerinti megoldásban viszont az ekvivalencia a mintavételi 

pontokra korlátozódik, a kimenő jel mintavételi pontok közötti értékeire 

nem nyújt információt. 

A szabályozó rendszertechnikai tervezésekor a diszkrét jelű 

helyettesi t és az előnyösebb, mert valósá.ghűen adja a ténylegesen is 

59

diszkrét idejű jelekkel realizálódó szabályozási algoritmusokat. 

A kimenő jeleknek a mintavételi időpontok közötti viselkedését i1yenkor 

járulékos módszerekkel kel 1 tisztázni. 

M 

JjwijDigitális ] _ u _d_ 

!szabályozó ir j i 

^ {Digitális ] 

{szabályozó j 

© 

Folytonos idejű modell 

© 

u h 

H Folyamat 

H Folyamat 

^ 

! 

i 

Yhdi rmg'táüs"Lud i - H Folyam at 

Ujj t — szabályozol s 

1 L. J i 

I ( j I 

! Diszkrét idejű modell j i 

4.8 ábra 

á szabályozási kör analízisekor a folytonos idejű mode11 lehet az 

előnyosebb, ha a folytonos idejű jeleknek a mintavételí pontok közötti 

ismerete, i 11. a folyamatra nem az irányító bemeneteken keresztül ható 

jelek egyszerű f i gye1embevé t e1e fontosabb, mint a szabályozó diszkrét 

idejű algoritmusának közelítésével elkövetett hiba. 

A következőkben főleg a c ábra szerinti diszkrét idejű mode11t 

60

tárgyaljuk. 

4.4.2 Folytonos idejű rendszer diszkrét idejű állapotegyenlete 

A folytonos idejű folyamatot irányító jelének és ál lapotvektorának (vagy 

kimenő jelének) a mintavételezésével lehet diszkrét idejűvé 

átalaki tani. A hatásvázlat a 4.9 a ábrán látható. 

Az U folytonos idejű irányi tó jelet az M. kapcsoló mintavételezi. Az U , 

1 d 

diszkrét idejű irányító jelből a H tartószerv ál 1ítja elő a fo1yamat U 

H 

bemenő jelét. Az ál lapotvektort az kapcsoló mintavételezi. A diszkrét 

idejű kimenő jelet (Y^) az mintavételezett ál lapotvektorból, míg a 

folytonos idejű kimenő jelet (Y) az X ál lapotvektorbó1 és a folyamat 

tényleges bemenő jeléből (U ) 1 ehet meghatározni. 

n 

A Bq bemenő mátrix azoknak a jeleknek az útját jelzi, amelyek nem az 

i rányí tó bemeneten keresztül hatnak a rendszerre. Esetünkben csak a 

kezdet i állapotot előidéző Dirac függvényt soroltuk ide (Bq=I). Ez 

azonban egyaránt tekinthető folytonos idejű jelnek vagy egyet len 

impulzusból álló diszkrét idejű jelnek, így bármelyik típusú model1ben 

változatlanul megtartható. Ha azonban a B Q ágon keresztül egyéb 

folytonos idejű - pl. zavaró - jel hat, annak a diszkrét modellben való 

igye lembe vétele további megfontolásokat igényel. 

Ha valamilyen t=t^= nT^ időpontban ismert az 

XJt) = X ,(nT ) = X{nT } (4.22a) 

d d s s 

U, (t) = U,(nT ) = U,.{nT > (4.22b) 

d d s H s^ 

diszkrét idejű ál lapotvektor i 11. bemenő jel, akkor a következő 

mintavételi pontra vonatkozó értékeket a folytonos idejű ál lapotegyenlet 

(3.31) általános megoldásából lehet kiszámítani. 

t=(n+l)T ; t =nT helyettesítéssel 

s o s 

x[(n+l )T J=e S 

X (nT 

(n+l)T 

s 

nT s 

A[(n+1)T -x] 

e 

S 

BU (x)dx 

(4.23) 

Zérusrendű tartószervvel egy mintavételi intervallumon belül állandó 

és megegyezik a diszkrét idejű bemenő jelnek az intervallum kezdetén 

felvett U TT(nT )=U ínT ) értékével, ezért az integrál jel alól 

H s d s 

kiemelhető. Figyelembe véve a (4.22) egyenleteket is, (4.23) az alábbi 

alakba írható: 

X,[(n+1 )T ] = A,X,(nT ) + B U (nT 

d L 

s d d s d d s 

i1letőleg az időpontokat csak a mintavételi pontok sorszámával jelölve, 

valamint a 4.9a ábra szerint a kimenő jelet is kiszámítva 

61

X .(n+1 ) = AXAn) + B .iMn) 

d d d d d 

Y (n) = C ,X,(n) + D,U,(n) 

d d d d d 

(4.24a) 

(4.24b) 

Ezek a folytonos idejű rendszert helyettesi tő diszkrét idejű rendszer 

ál lapotegyenletei, amelyek a diszkrét ál lapotváltozók, valamint a 

diszkrét ki- és bemenő jelek (impulzussorozatok) között i összefüggést 

írják 1e (4.9b ábra). 

A diszkrét idejű modell * A^, B^, C^, paraméter mátrixai a folytonos 

idejű mode11 paraméter mátrixaival a (4.23) egyenlet és a 4.9a ábra 

alapján az alábbi összefüggésben állnak: 

AT 

A = e (4.25a) 

(n+1)T 

nT 

c = cu 

d 

L í 

eA[(n +l)TS-T] B d T = A-l [ e 

D d=D 

s 

AT 

- I] B (4.25b) 

(4.25c-d) 

A (4.24a) rekurziós formulaként is értelmezhető, amellyel az X 

ál lapotvektor pontról pontra kiszámítható a t=nT^ diszkrét időpontokban. 

A (4.24) egyenletek z transzforrnáltját képezve és figye lembe véve, hogy 

az X(n+1) impulzussorozat az X( n) sorozat egy osztással i et tető 

(negat ív idővel való) el tolásával képződi k, a (4. 12a) e 11 o 1 ás í tel lel 

z X.(z) = A.X.(z) + zX(O) + B .U.(z) 

d d d ad 

Y íz) = C,X,(z) + D.U.(z) 

d d d d d 

(4.26a) 

(4.26b) 

Az egyenletek formailag pontos másai a folytonos idejű állapotegyenletek 

(3.16) szerint i alakjának azzal a különbséggel, hogy az s változó helyét 

a z változó vet te át. Ebből következik, hogy a diszkrét i de jü 

hatásvázlatban az s * integrátor helyét a z ^késleltető tag foglalja el. 

A diszkrét idejű modelIben az állapotváltozók mindig a késiéi tető tagok 

kimenő' jelei. A bonyolult jelölések elkerülése céljából a z * jelölést 

az időtartományban is megtartva a hatásvázlat az időtartományban a 4.9b 

ábra szerint alakul. 

Ebben azonban folytonos idejű jelek (X, U ) már nem szerepelnek, így a 

n 

folytonos idejű kimenő jelet is csak a diszkrét idejű Y^ jelből 

valamilyen H tartószervvel lehet rekonstruálni (Y^). Az eredmény azonban 

csak a mintavételi pontokban egyezik a tényleges folytonos idejű kimenő 

62

Y kimenő jel lel. Ugyanilyen eljárás használható az X vektor 

rekonstruálásrára is. (MATLAB-ban a zérusrendű rekonstrukciót a stairs 

utasítás végzi.) 

Ha a folytonos jeleket pontosan akarjuk meghatározni, vissza kel 1 térni 

az a ábra hat ás vázlat áho z és U-ból ki indulva kel 1 azokat kiszámítani. 

H 

A diszkrét és a folytonos idejű hatásvázlatot a frekvencia tartományban 

a 4. 10 ábra szemlélteti. Az ábrából következik, hogy a pólusokra és 

átviteli függvényekre vonatkozó valamennyi összefüggés az s tartományban 

az s=»z változó cserével és az értelemszerű paraméterekké 1 a z 

tartományban is érvényben marad. 

x(o)

A 4.11a ábra hatásvázlatában - amely X(0)=0 és D=ű feltételezésével 

készült - a bemenő jelek két csoportra oszthatók. Az vektor 

komponensei az irányító bemeneten keresztül (B^ mátrix) hatnak a 

rendszerre, míg az vektor komponensei - amelyek pl. a zavaró jeleket 

jelenítik meg - annak megkerülésével (B^ mátrix). Ez utóbbiak a rendszer 

diszkrét izálásakor elkerülik az irányító bemeneten végrehajtott 

mintavételezés - tartás konverziót, így a megismert módon közvetlenül 

nem vonhatók be a diszkrét idejű mode11 be. 

X(0) 

z X (0) 

U(s) 

U d(z) 

Mi 

J 

2á 

'ld 

sX(s) 

zX d(z) 

H B 2 

H 

U 2H 

B 2 

0^ 

4.10 ábra 

Xls! 

X d(z) 

J 

2d 

© © 

4.11 ábra 

64 

Y(s) 

Y d(z) 

B d = B 2dÍ B 1d 

X d(n+1]

Hatásuk figyelembevételére két út kínálkozik: 

MI 

H B 

I 1 

H B1 z- 1 I 

Md 

v 2d 

© 

X d U 1d 

A —J 

z" 1 

I 

@ © 

4.12 ábra 

*2d 

Xld 

A . K 1 

2d 

X d = X 1d* X 2d 

1.) Ha közelítésként feltételezzük, hogy az jel útjába is be van 

iktatva egy mintavételező kapcsoló és az azt követő tartószerv (b 

ábra) , akkor az U,, és vektorok 111. és mátrixok egyetlen 

U, bemenő jellé ill. B , bemeneti mátrixszá vonhatók össze (c ábra) a 

d d 

diszkrét idejű modellben: 

U d - 

U 

Id 

U. 2d 

3 

d=i B 

ldl B 

2dí 

65 

r 2d

Az ezekkel a bemeneti adatokkal kiszámított állapotvektor ill. 

kimenő vektor többé-kevésbé különbözik a tényleges értéktől, mert az 

hat ás i ranyában feltételezett- valójában ott nem levő - tartószerv 

U 2 

az U 2 jelet lépcsős görbévé alakítja. Az eltérés akkor hanyagolható 

el, ha a folytonos és a lépcsős IL, görbe között nincs számottevő 

különbség, tehát amikor a mintavételezési lépésköz alatt keveset 

változik. 

2. ) A pontos diszkrét idejű modellhez úgy jutunk, hogy a diszkrét idejű 

ál lapotvektorban ill. kimenő jelben a kétféle bemenet hatását 

szuperponáljuk. Ebből a célból az hatására képződő ill. 

komponenseket a folytonos idejű modellel határozzuk meg. Azoknak X_ , 

ill. ^2á m 

i n 

t av 

ételezett alakját már külön tartószerv nélkül 

hozzáadhatjuk 

° 

a mintavélezett U, J bemenő 

Id 

jel által előidézett X« , 

u 

Id 

ál lapotvektorhoz (4.12 a-b ábrák) ill. Y^ kimenő jelhez (c ábra). 

A diszkrét idejű ki és bemenő jelek között i összefüggés a W^(z) 

impulzusátviteli mátrix-szal írható le. A (4.26)-ból X(0)=0 feltétellel 

_ 1 

Y Jz)=C J(zl-A,) 

B.+D.]U.(z) = W,(z)U.(z) (4.27) 

d d d d d d a d 

W^(z) rendezői z-nek rációnál is törtfüggvényei, nevezőjükben a diszkrét 

karakterisztikus polinom ál1. 

N (z) = det (zI-A) = z n 

+ n,, z 11 

" 1 

+. . .+ n. n (4.28) 

d d(n-1) du 

Az egyes kimenő és bemenő jelkomponensek között i skaláris 

impulzusátviteli függvények vagy más néven diszkrét átviteli függvények 

polinomális alakban D^=0 feltétel lel: 

M Az) m , z +. . . + m 

, s d dm dO 

w,(z) 

& N.(z) n J^' l 

K ^ n 

d(n-1) dO (4.29a) 

zérusokkal és pólusokkal 

(z-z )...(z-z ) 

w.(z) = k. ^ — (4.29b) 

(z-z.)...(z-z ) 

1 n 

Részlettörtes formában egyszeres pólusokkal 

w. (z) = k + — — +. . .+ — — (4.29c) 

d do z-z, z-z 

1 n 

Az impulzusátviteli függvények gépi úton vagy analitikus úton 

számíthatók az átviteli függvényekbő1. Néhány egyszerűbb átszámítás a 

4.2 táblázatban található. 

66

w (s) w d (z) 

1 

s 

1 

2 

s 

1 

3 

s 

1 

1 + sT 1 

2 

2 2 

s +2s £w 0+«>0 

c < i 

T 3 

T 

s 

z- 1 

T 2 

s z * 1 

2 , , x2 

2 

s z + 4z + 1 

íz-l) 

z-e 1 

z + cr 

d _ -aT 2 

o s 

z -2 ze 

-aT 

-2aT 

s 

cos bT +e 

s 

K = l-e 

S 

d 

(cos bT +a/b sin bT ) 

s s 

-2aT -aT 

s s 

e -e (cosbT -a/bsin bT ) 

°*l -aT 

s s 

l-e s(cos bT + a/b sin bT ) 

s s 

2 2 

e K / c 


Diszkrét idejű állapotvektor kiszámítása az időtartományban az adott 

U,(n) sorozat esetén az X J(0)~ból ki indulva az X ,(n) értékeknek a 

d d a 

(4.24a) formulával való rekurzív meghatározásábó1 ál 1. 

4.4 példa 

Gépi számítások a diszkrét idejű rendszerre. 

A folytonos és a diszkrét idejű állapotegyenlet formai hasonlóságából 

következik, hogy a diszkrét idejű ál lapotegyenletek és az 

impulzusátviteli függvények közötti kölcsönös átalakítások, a 

karakt er i sz t i kus polinom kiszámítása, stb., ugyanazokkal a MATLAB 

utasításokkal végezhetők, mint a folytonos idejű esetben (3.3 példa), 

értelemszerűen a megfelelő paraméterekkél. 

A diszkrét idejű állapotegyenletek i11. impulzusátviteli függvények 

páramétereinek a folytonos idejű rendszer megfelelő adataiból való 

67 

2.2

meghatározására szolgálnak a c2d típusú (continuous-to discrete-time) 

utasítások, amelyeknek változói i11. paraméterezése dönti el, hogy miből 

mit kel 1 kiszámítani (pl. átviteli függvényből impulzusátviteli 

függvényt stb.). 

c2d utasítás zérusrendű tartásra, 

c2dm utasítás néhány zérusrendűtől eltérő tartási módra is, 

c2dt utasítás zérusrendű tartásra és a bemeneten holtidős késleltetésre 

vonatkozik. 

A diszkrét idejű ál lapotegyenletek paraméter mátrixaiból a d2c 

(discrete-to cont inuous-time) utasítás számítja a folytonos idejű 

paramétereket (4.25 egyenletek). A d2cm utasítás ezt az átvi teli 

függvények paramétereire is lehetővé teszi. 

A diszkrét idejű állapotegyenlet időtartománybeli megoldására szolgáló 

dlsim; dimpulse; dstep; dinital a 3.6 példában ismertetett utasítások 

diszkrét idejű változatai, amelyeket értelemszerűen a diszkrét idejű 

paraméterekkel kel1 használni. A dlsim utasításban nem kel 1 külön 

idővektort megadni, mert az bemenő jel mátrixa sorainak a számával 

rögzít i a kiszámítandó pontok számát. A többi utasításban a kiszámí tandó 

pontok számát lehet az idővektor helyett megadni, de azt az utasítások 

autómat ikusan is képesek megállapítani . 

A MATLAB a folytonos idejű rendszer jeleit digitális szimulációval 

számítja. A megadott időpontok lépésközét mintavételi időnek értelmezi, 

áttér a diszkrét idejű ál lapotegyenletekre és azokkal határozza meg az 

ál lapotvektort i 11. a kimenő jelet. A számítás pontosságának növelése 

érdekében i1yenkor a zérusrendűtől eltérő tartással számol, amely azonban 

nem valós idejű. A kiszámított diszkrét idejű értékekből 1ineáris 

interpolációval - tehát nem valós idejű eljárással - rajzolja fel a 

görbéket. 

4.5 példa 

Határozzuk meg a 3.4 pé1dában tárgyalt folytonos idejű rendszer diszkrét 

idejű moldel1jét T s=0,1 mintavételi idővel. 

A diszkrét idejű állapotegyenletekhez a paraméter mátrixok a 

[A BJ = c2d(A,B,T ) 

d d s 

0,9058 0,0983 

0,0187 0,9617 

C; D 5 = D 

utasításból 

0,0952 0,001 

0,001 0,0196 

C és D a (3.28a) egyenletből vehető. 

A diszkrét karakterisztikus egyenlet a poly (A^) utasítással 

(4.30a-b) 

N.(z) = z 2 

-l,8675z .+ 0,8694 = (z-0, 9840) (z-0, 8835) (4.31) 

d 

A ki és a bemenő jelek közötti impulzusátviteli függvények az ss2zp 

utasítással a (4.30) paraméter mátrixokból a két bemenő jelre 

elkülönítve számíthatók. Az eredmény a 3.4 pé1dában kiszámított négy 

átviteli függvény diszkrét idejű megfelelője. 

68

W 

f ) = 0,095(z-0,9608) 

U i 

dll 

= 

(z-0, 9840) (z-0, 8835) 

0,001(z+0,9544) 

w J ( 1 1 (z) 

d2l v 

' (z-0,9840)(z-0,8835) 

W 

í z ) = W 

( 2 ) 

dl2 d2l 

W 

, . 0,0l96(z-0,9049) f A »„ 

(Z^Ö79MÖTU^ (4.32a-d) 

( z ) = 

d22 

69

5. AZ ÁLLAPOTEGYENLETEK ÁTALAKÍTÁSA 

5.1 Összekapcsolt rendszerek állapotegyenlete 

Két rendszer összekapcsolásakor az eredő rendszer ál lapotegyenlete 

továbbra is a (3.14) ill. (4.24) alakú, a paraméter mátrixok azonban az 

összetevők paraméter mátrixaiból felépülő hipermátrixok. 

Az eredő ál lapotvektor a kapcsolástól függetlenül mindig az összetevők 

ál lapotvektorainak az egyesitéséből ál 1, rendezőinek száma a 

részrendszerek összes ál lapotváltozóinak a számával azonos. 

Az egyéb jelek és a paraméter mátrixok a kapcsolástól függő 

struktúrájúak. 

Példaképpen tekintsük az egy bemenetű - egy kimenetű folytonos idejű 1 

és 2 jelű rendszerek soros kapcsolását (5.1 ábra). 

y 1 =u 2 

© 

© 

-* c 

5.1 ábra 

71 

*2 

A 2kJ 

D 2 H 

y 2=y

A részrendszerek áliapotegyenletei: 

V A 

2 X 

2 

+ B 

2 U 

2 

A soros kapcsolás összefüggései: 

u 

2 = y r u = u r 

y = y 

2 

y 1=c 1x i +D 1u 1 

y = C 

2 2 X + D 

2 2 U 

2 

u és y az eredő rendszer bemenő és kimenő jele. Ezekkel 

X 

l = A 

1 X 

1 + 

k 

2 = B 

2 C 

1 X 

1 

°' X 

2 

+ B 

1 U 

+ A 

2 X 

2 + 

y = D 2C l X l + C 2X 2 + D 2D l U 

W 

(5.la-b) 

(5.2a-b) 

(5.3a-c) 

(5.4a) 

(5.4b) 

(5.4c) 

Az összevont X ál lapotvektor az X^ és X 2 vektorokból ál 1, így az eredő 

ál lapotegyenlet 

D 

2 C 

l| C 

2 

B 2 Cl A 2 B 

2°l 

x 2, 

C D 

+ 

(5.5a) 

°2 D 

1 U (5.5b) 

A szaggatott vonalak a hipermátrixok particionálását mutatják. 

Diszkrét idejű rendszerek soros kapcsolása azonos struktúrájú paraméter 

hipermátrixokat eredményez. 

5.1 példa 

Összekapcsolt rendszerek paraméter mátrixainak gépi számítása 

A MATLAB-ban különböző kapcsolások paraméter mátr ixainak 

meghatározására vannak utasítások. Ezekhez meg kell adni az öss zetevők 

paramétereit és a kapcsolás struktúráját (melyik jel hová kapcsol ódik). 

append 

series 

parallel 

feedback 

cloop 

két rendszer olyan egyesítése, amelyben az összes 

kimenő jel az eredőben is megmarad, 

két rendszer soros kapcsolása. 

két rendszer párhuzamos kapcsolása. 

be és 

az egyik rendszernek a másikon keresztül való 

visszacsatolása. 

a nyitott rendszer közvet len visszacsatolásával előál ló zárt 

72

endszer. 

augstate a rendszer kimenő vektorát az állapotvektorral bővíti. 

connect, blkbuiId tetszőleges kapcsolású rendszerek eredője. 

5.2 Állapot-transzformáció 

A folyamatot egyértelműen jellemző független állapotváltozók 

többféleképpen is kiválaszthatók, hiszen ugyanaz a modell azonos ki és 

bemenő jelekkel többféle struktúrában is felépíthető. 

A kiválasztott állapotváltozók minden lineáris kombinációja új 

állapotváltozó, amely felhasználható valamelyik réginek a kiváltására. 

Az állapotváltozók az állapotvektornak a koordináta rendszer 

i rányvekt orai ra vett vetületei (állapot koordináta). Kicserélésük új 

koordináta irányok kijelölését - koordináta transzformációt - jelent. 

Példaképpen vizsgáljunk egy kétdimenziós állapotegyenletet. 

koordináta egységvektorokat E E 2-vel, a kiválasztott új 

ferdeszögű - koordináta rendszer egységvektorai t 

jelölve 

V 

1 P 

11 E 

1 

P 

12 E 

1 

+ P 

21 E 

2 

+ P 

22 E 

2 

Jelölje az állapotvektort X az eredet i, 

rendszerben. 

X = X 

1 E 

1 

+ X 

2 E 

2 

Ip 1 2p 2 

pedig P r 

(5.6a) 

(5.6b) 

Az eredeti 

- általában 

P 2~vel 

az új koordináta- 

(5.7a) 

(5.7b) 

Ha (5.7 b)-be helyettesítjük az (5.6)-ból P 1 ill. P2~t, akkor Xp-nek 

régi koordinátákban kifejezett alakját, az X vektort kapjuk. 

X = ( p 

ll X 

+ P 

íp 12 X 

} E + ( p 

2p l 21 X 

+ P 

lp 22 X 

) E 

2p 2 

Az (5.7a) és az (5.8) egyenlőségéből az 

x 

r 

X 

2 

p 

ii x 

+ p 

i P i2 x 

2 P 

= P 

21 X 

+ P 

ip 22 X 

2p 

(5.8) 

(5.9a) 

(5.9b) 

lineáris összefüggésekhez jutunk, amelyek a régi és az új koordináták 

közötti kapcsolatot mutatják. Az összefüggések vektoros formában is 

kifejezhetők. 

X = P X ill. X = P ! 

P 

X 

73 

(5.lOa-b)

ahol 

'11 "12 

P= (5.11) 

K 

21 ^22 

a koordináta transzformációs mátrix, amely mindig invertálható (nem 

szinguláris). A P mátrix oszlopaiban álló vektorok - a mátrix 

vektorrendezői - az új koordináta irányvektorokkal azonosak. 

Az eredmény a következőképpen interpretálható: 

Egy vektornak egy kvadratikus A mátrix-szal való szorzása a vektort 

nyújtja vagy zsugorítja és eredeti helyzetéből elforgatja. A mátrix 

oszlopaiban azok a vektorok álInak, amelyekbe ez a művelet a koordináta 

egységvektorokat átviszi. Például az 

A = 

*11 

"21 

12 

"22 

A 

l | A 

2 (5.12a) 

mátrix az E^=|1 0| egységvektort (A ' jel a transzponáltat jelzi) az 

Á 

l 

= A E 

l = 

*11 

"21 

vektorrá alakítja, amely a A mátrix első vektorrendezője. 

(5.12b) 

A P transzformációs mátrix az új koordinátákban fel írt vektorokat a régi 

koord i nát ákban kifejezett alakjukba viszi át. Az új koord i nát ákban 

az 11 0|' ill. |0 1 |' alakú egységvektorok a régi alakjukban a P, 

i11. a P 2 

vektorok. Ezért ezek lesznek a P mátrix vektorrendezői. 

Az új koord i nát ákban az állapotegyenletek paraméter mátrixai 

megváltoznak. 

A folytonos idejű rendszer (3.14) egyenletében X-t (5.10a)-ból 

helyettesítve 

PX = APX + BU 

P P 

Mindkét "oldalt P inverzével szorozva 

X =(P _1 

AP)X + P^BU = A X + B U 

P P P P P 

Y =(CP)X + DU = C X + D U 

P P P P P 

(5.13) 

(5.14a) 

(5.14b) 

Az egyenlet szerint a paraméter mátrixok régi és új formája közötti 

összefüggések: 

74

A = P l 

AP A= PA P" 1 

P P 

(5. 15a-b) 

B = P" ! 

B = P B B= PB 

P P 

l 

B B= PB (5.15c-d) 

C = CP C= C P"' 1 

P P 

(5. 15e-f) 

D = D D= D (5.15g-h). 

P P 

Az (5.15) egyenlet szerinti átalakítás a hasonlósági transzformáció 

(similarity t ransf ormát ion). 

Az új koordináták kiválasztásának az a célja, hogy a paraméter 

mátrixokat a feladat megoldására a legjobban kezelhető alakra hozza. 

5.2 példa 

A hasonlósági transzformáció gépi számítása 

A transzformációs mátrix ismeretében az (5.15) egyenlet összefüggéseit 

az ss2ss MATLAB__ûtasítással lehet kiszámítani. Ügyelni kel 1 arra, hogy 

az utasítás a P mátrixot tekinti transzformációs mátrixnak! 

5.3 Kanonikus transzformáció 

Szorozzuk meg az (5.12a) szerinti kvadratikus A mátrix-szal az (5.7a) 

alakban kifejezett ál lapotvektort. Figyelembe véve, hogy az E koordináta 

egységvektorokat a mátrix saját vektorrendezőibe (A^ és A^) viszi át, az 

eredő H vektor: 

H = AX = x jAE 1 + x 2AE 2 = x ^ + x ^ (5. 16) 

A művelet olyan leképezés, amelyben a H eredményvekt ornak a mátrix 

vektorrendezőire vonatkozó koordinátái (ferdeszögű vetületei) 

megegyeznek az X vektornak az eredeti (derékszögű) koordinátáival (5.2 

ábra). 

5.2 ábra 

75

Található olyan X=V vektor is, amely a leképezés során csak a 

hosszúságát változtatja, az irányát megtartja. Ha pl. az Aj és az 

és E 2 közötti szögfelezőre szimmetrikusak (5.2b ábra), akkor a 

szögfelezőbe eső V vektor nem fordul el, csak s^-szeresére nyúlik. 

H = A X = s iX 

(5.17) 

V az A mátrix (a rendszer) sajátvektora (eigenvector), s^ a sajátértéke 

(eigenvalue). 

A mátrixoknak a rendszámukkal megegyező számú sajátértékük és normális 

esetben ugyanennyi egymástól független sajátvektoruk is van. 

Diagonális mátrix sajátvektorai a koordináta vektorok, mert azokat a 

leképezés nem forgatja el, sajátértékei pedig a főátló elemei.Ha ugyanis 

A = 

S 

l 

0 S 

2 

akkor AE =s Ej; A E ^ s ^ (5. 18) 

Megfordítva, ha a koordinátarendszer transzformálásakor a mátrix 

sajátvektorait választjuk űj koordináta vektoroknak, akkor az azokban 

felírt A transzformált mátrix diagonálissá válik (főátlóban a 

P 

sajátértékekkel). A P transzformációs mátrix oszlopaiban ilyenkor a ¥ 

sajátvektorok állnak. 

A transzformációt kanonikus transzformációnak (canonical transformát ion) 

nevezik. 

A sajátvektorodat és a sajátértékeket az (5.17) egyenletből lehet 

meghatározni. Rendezve az egyenletet 

(s I-A) V = 0 (5. 19a) 

Rendezőkben kiírt formában ez homogén n ismeret lenes egyenletrendszer 

(az ismeretlenek a V vektor v„,.. . ,v rendezői), amelynek akkor van a 

I n 

triviálistól eltérő megoldása, ha teljesül a 

det(s.I-A) = N(s.) = 0 (5.19b) 

1 i 

feltétel. A baloldal nem más, mint az A mátrix N(s) karakterisztikus 

po1inomja s=s^ he1yettesítésse1 (3.24 egyenlet). 

Ha az egyenlet gyökei egyszeresek, akkor összesen n db sajátérték van, 

amelyik mindegyikéhez az (5.Í9a)-ból végtelen sok sajátvektor 

határozható meg. Az azonos s-hez tartozó sajátvektorok azonban csak a 

hosszukban különböznek, irányuk azonos. így új koordináta tengelyek 

céljára normális esetben n különböző irány (lineárisan független 

sajátvektor) adható meg. 

A transzformációs mátrix vektorrendezői ezek a sajátvektorok. 

P-jVj ÍV 2 !. . . Vj (5.20a) 

76

A sajátvektor koordinátákra vonatkozó A^ mátrix 

A =p AP~ 

P 

Sj 0 0 

0 

0 s 20 0 

0 0 0 0 

0 0 0. . . s 

n 

(5.20b) 

Hasonló megfontolások érvényesek a diszkrét idejű rendszerekre is. Ott 

az A mátrix főátlójában az N d(z)=0 diszkrét karakterisztikus egyenlet 

,...,z gyökei ál Inak (diszkrét sajátértékek). 

Egybemenetű - egykimenetű kanonikus koordinátákban adott folytonos il 1. 

diszkrét idejű rendszerek ál lapotegyenletei a frekvencia tartományban: 

sXj(s)=s 1x1(s)+bjU(s) 

sx (s)=s x (s)+b u(s) 

n n n n 

y(s)=c,x,(s)+...+c x (s)+d u(s) 

I1letve 

11 n n 

zx d l(z)= Z lx d l(z) +b d lu d(z) 

zx , (z)=z x, (z)+b , u ,(z) 

dn n dn dn d 

(5.21a-c) 

y ( z ) = C 

d dl X 

( z ) + 

+ C 

dl "- dn X 

( z ) + d 

dn d U 

d ( z ) (5.22a-c) 

A hatásvázlat az 5.3 ábrán látható. Az átviteli függvény az ábrából pl. 

folytonos idejű rendszerre 

w(s) = 

b 

l C 

l 

s- S l 

b c 

n n 

(5.23) 

A kanonikus alakból tehát az átviteli függvény részlettörtes formában 

adódik. Az átviteli függvény változatlan marad, ha a számlálókban b ill. 

c úgy változnak, hogy a szorzatuk állandó. így végtelen sok olyan 

kanonikus alak van, amelyek a B és C mátrixokban különböznek, de 

átviteli függvényük közös. Ez abból is következik, hogy az (5.20a) 

szerinti transzformációs mátrix bárme1y vektorrendezője abszolút 

értékben tetszőlegesen változtatható, attól még sajátvektor marad. A 

változás az A mátrixot nem érinti, a B és C -re ellentétes értelemben 

P P P 

hat (5.15 egyenletek). 

Egyszeres pólusok esetén kanonikus koord i nát ákban a skaláris 

állapotegyéniet-rendszer n egymástól független egyváltozós elsőrendű 

differenciálegyenletre esik szét. Az állapotváltozók elkülönülnek és a 

77

endszer egy-egy pólusához rendelhetők (az 5.21, 5.22 egyenletekben pl. 

az x változó az s ill. z pólushoz). 

5.3 Példa 

5.3 ábra 

A kanonikus transzformáció gépi számítására az eig és a canon MATLAB 

utasítások használhatók. Az eig utasítás a sajátvektorok V mátrixát és a 

sajátértékek D g diagonális mátrixát számítja. V oszlopai a 

sajátvektorok, D g főátlójában a sajátértékek álInak. Ha a sajátvektorok 

különbözőek, a V mátrix a transzformációs mátrix (P=V), míg a D g mátrix 

a transzformált A mátrix (A-=D ). 

P s 

Ha azonban V oszlopai közül egyesek megegyeznek egymással, az annak a 

jele, hogy nem lehet a kanonikus alakot előál1ítani (D *A ). 

s p 

A canon utasítás különböző formákba transzforrnálja az eredeti paraméter 

mátrixokat. Valós sajátértékek esetén ezek közül az egyik megegyezik az 

előzőekben tárgyalt kanonikus alakkal. 

5.4 Példa 

Transzf orrnáljuk az alábbi állapotegyenlettel leírt folytonos idejű 

78

endszert kanonikus formába. 

X = X 

1 2 

x 2=-10x1~7x2+10u 

y=x. (5.23a-c) 

A paraméter mátrixok 

A= 

0 1 

-10 -7 

B = 

0 

10 

C =| 0 1 |; D=0 (5.24) 

A sajátvektorok meghatározására szolgáló ( sÎ-A) V = 0 vektoregyenlet 

rendezőkben: 

S 

V 

i l 

V 

2 = 

° 

lOv + (7 + s )v = 0 (5.25a-b) 

Az egyenletrendszernek akkor van a triviális v^=v 2=0 -tói küiőbőző 

megoldása, ha az egyenletrendszer determinánsa (ami det (s., I-A)-val, azaz 

a rendszer karakterisztikus polinomjávai azonos) zérus. s=s^ jelöléssel 

N(s)=det(sl-A)=s +7s+10=0 

A karakteriszt ikus egyenlet gyökei a sajátértékek: 

(5.26a) 

s 2= -2 (5.26b) 

A sajátértékeket 5.24-be helyettesítve mindkét egyenlet azonos 

összefüggésre vezet v^ és v 2 között, így az egyik érték szabadon 

választható. Legyen például v^=l. Ezzel a két különböző s-hez két 

különböző sajátvektort kapunk. 

V 

A = 

P 

V | V 

1 2 

-5 0 

0 -2 

1 1 

-5 -2 

B =P~ ! 

B = 

P 

P = 

-10 

3 

10 

3 

79 

-2 -1 

5 1 

C =CP= I 1 1| 

p I 1 

(5.27a) 

(5.27b-f)

5.4 Jordán alak 

Ha a karakterisztikus egyenletnek többszörös gyöke van, az mátrix 

csak kivételesen diagonálizálható, általában azonban legfeljebb Jordán 

formára hozható. 

J= 0 

"6" 0 | J n 

(5.28 a) 

Itt J,,..,J_ az s,,...,s 0 sajátértékekhez rendé1t, a sajátérték 

Í J 1 J 

multiplicitásával megegyező rendszámú kvadratikus mátrixok, amelyeknek a 

főátlójában a sajátértékek, az attól jobbra eső első mellékátlóban 

egyesek állnak, a többi elem zérus. 

Ha például s háromszoros sajátérték, a J részmátrix 

J 

l - 0 

s, 1 0 

1 

s 

l 

0 0 

1 

(5.28b) 

alakú lehet. Az egyesek száma attól függ, hogy a többszörös 

sajátértékhez hány egymástól lineárisan független sajátvektor található. 

Ha csupán egyetlen - ez az (5.28)-nak megfelelő normális eset - a 

mellékátló valamennyi eleme egyes. Ha ehhez képest a független 

sajátvektorok száma eggyé1 nő, az egyesek száma eggyel csökken. Ha 

létezik a multiplicitással azonos számú független sajátvektor, a Jordán 

mátrix diagonális. Ettől az esettől eltekintve a transzformációs mátrix 

megkeresése a korábbiaktól eltérő megfontolásokat igénye1, amelyekre itt 

nem térünk ki. 

5.5 Példa 

Határozzuk meg az alábbi ál lapotegyenlet kanonikus alakját: 

-1 0 1 

0 -1 1 

0 0-2 

V — 

A 

X + 

(5.29) 

A MATLAB [V, D g]= eig(A) utasításával ill. az (5.15) egyenletekből a 

következő eredményt kapjuk: 

80

-1 

0 

0 

-0,5774 

-0,5774 

0,5774 

=P; 

B = P 

P 

1 

1 

2 

2 

1,7321 

1,7321 

(5.30a-d) 

D g főátlójából látszik, hogy s^ kétszeres sajátérték, ennek el lenére a V 

mátrix oszlopaiban három egymástói független sajátvektor áll. Ezért V=P 

és D =A . 

s p 

A kanonikus állapotegyenletek rendezőkben: 

-x +2u 

pl Pl 

X 

p2 = 

~ X 

+ 2 U 

P 2 

x = -2x +l,7324u 

p3 p3 

(5.31a-c) 

Az x Pl és x „ ál lapotváltozók mozgását azonos differenciálegyenlet írja 

p

- = W(S)= 1 1 1 , —~T—r- - W ,(z) = n n , % 

u(s) s-s. u ,(z) d z-z. (5.32a-b) 

1 d 1 

1 

y(s)= -i- [u(s) + SjyCs)] ill. yd(z)= z " [ud(z)+z1yd(z)] (5.33) 

alakra hozhatók, amelyben az y i11 y^ kimenő jel egy integrátor ill. 

késleltető tag kimenete, tehát állapotváltozónak is tekinthető, maga az 

átviteli függvény pedig az (5.4a) hatásvázlata szerint visszacsatolt 

integrátorként (késleltető tagként) ál 1ítható elő. Ebből következik, 

hogy ha a nagyobb rendszámú átviteli függvényt az (5.32 a-b) szerinti 

egységekre lehet bontani, azok kimenetén az állapotváltozók, bemenetein 

pedig az sx(s) ill. zx^(z) függvények ill. az i dő t ar t o mányban x és 

x^(n+1) jelennek meg (5.4 b ábra). 

Az átviteli függvényben sokszor az s^ pólus helyett annak negat ív 

reciprokat - az időállandót - használják. Az (5.32 a) TJ=-1/SJ és 

y(s)=x(s) helyettesítéssel 

x(s) T 

u(s) 1+sTj (5.34) 

Ennek hatásvázlata a c ábra szerint alakul. 

u(s) x (s) 

ud(z) / Z -21 Xd(2) 

© 

u(s) 

Ti 

© 

x(s) 

u(s) 

ud(z) 

5.4 ábra 

sx(s) 

2 X d (Z) y (s)-x(s) 

yd(z)s 

=xd(z) 

Az átviteli függvényből csak akkor lehet az ál lapotegyénieteket teljesen 

rekonstruálni, ha a rendszer valamennyi pólusa az átviteli függvény 

nevezőjében jelen van. Ha egyes pólusok hiányoznak, az azokhoz rendelt 

állapotváltozók nem rekonstruálhatók. 

A következőkben egy konkrét példa keretében olyan eljárásokat 

tárgyalunk, amelyek az egybemenetű - egykimenetű rendszer átviteli 

függvényéből jellegzetes alakú ál lapotegyenleteket rekonstruálnak. A 

példa folytonos idejű rendszerre vonatkozik, de a módszerek s=>z változó 

cserével diszkrét idejű rendszerekre is érvényesek. 

82

5.6 példa 

Legyen az átalakítandó átviteli függvény 

y(s) s +9s+14 (s+2)(s+7) 

u(s) 3 2 _ n (s+1)(s+5)(s+10) 

s +16s +65s+50 

Határozzuk meg az állapotegyenleteket különböző formákban. 

(5.35) 

Ha a számlálót és a nevezőt polinomiális alakban használjuk, a következő 

módszerek a célravezetőek. 

1. ) A számlálót és a nevezőt s -nal osztjuk és y(s)-re rendezzük az 

egyenletet. 

y(s)=s" 3 

[14u(s)-50y(s)]+s" 2 

[9u(s)-65y(s)]+s~ 1 

[u(s)-16y(s)]= 

=s~ 1 

[u(s)-16y(s)+s" 1 

[9u(s)-65y(s)+s~ 1 

[14u(s)-50y(s)]]] 

A hatásvázlat az 5.5a ábrán látható. 

Az integrátorok (az s 1 

az ál lapotegyenlet: 

Al 

(5.36) 

operátor) kimenetét tekintve ál lapotváltozónak, 

-50 

-65 

-16 

+ 0. u 

14 

9 

1 

(5.37a) 

(5.37b) 

Ez a megfigye1hetőségí alak (megf igye1hetőségi kanonikus alak), amelynek 

jel legzetessége, hogy az x^ ál lapotváltozó maga a kimenő jel, amely 

valamennyi integrátor bemenetére is vissza van csatolva. A 

visszacsatolási tényezők a karakteriszt ikus egyenlet ~ n 

n-i' * * • »~ n 

Q 

negatív együtthatói, amelyek az A mátrix utolsó oszlopában is 

megjelennek. 

2.) vezessük be az 

X 

3 

( s ) = 

y(s) 

-2 

s + 9s + 14 

83 

(5.38a)

u *1 

-16 

-65 

-50 

p-1 c-1 

© 

© 

,-1 

5.5 ábra 

84 

•16 

•65 

-50 

x 3

új változót. Ezzel az (5.35) 

x 3 ( s ) = _ _ u(s) 

s + 16s +65s+50 

(5.38b) 

A nevezővel mindkét oldalt szorozva és rendezve az egyenletet 

s 3 

x 3(s)=[u(s)-50x3(s)]-16s 2 

x 3(s)-65s x3(s) (5.39a) 

x 3~at és differenciálhányadosait sx^(s)=x2(s); s x3(s)=Xj(s) tekintve 

állapotváltozónak (5.5b ábra) a kimenő jel az (5.38)-ból: 

y(s)=(s +9s+14)x 3(s)=x1(s)+9x2(s)+14x3(s) (5.39c) 

X = 

-16 -65 -50 

1 0 0 

0 1 0 

X + (5.40a) 

y=|l 9 14| X + O.u (5.40b) 

Ez a fázisváltozós vagy irányithatósági kanonikus alak. Jellegzetessége, 

hogy az utolsót kivéve mindegyik állapotyáltozó a hatásirányban 

következő ál lapotváltozó deriváltja, és valamennyi az első 

ál lapotváltozó bemenetére van visszacsatolva. A visszacsatolási tényezők 

- az előző esettel megegyezően - a karakterisztikus egyenlet negatív 

együtthatói, amelyek az A mátrix első sorában is megjelennek. A bemenő 

jel csak x^-re hat. A kimenő jelet képező előrecsatoló tényezők az 

átviteli függvény számlálójának együtthatói. 

Ha az 1. és 2. esetben az állapotváltozók sorszámozását megcseréljük, az 

A mátrix oszlopai vagy sorai felcserélődnek. 

Az átviteli függvény gyöktényezős alakjával a következő eljárások is 

használhatók. 

3. ) Bontsuk fel az átviteli függvényt egypólusú átviteli függvények 

szorzatára. 

y(s) 

u(s) 

s+2 

s+1 

s+7 

s+5* 

1 

s+10 s+10 

(5.41) 

Egy-egy tagban a számláló és a nevező összerendelése itt önkényes, ha 

azonban az állapotváltozóknak konkrét fizikai jelentése van, az 

összerendelést a fizikai háttér rögzíti. Az 5.4b ábra szerint 

állapotváltozónak a 1ineáris nevezőjű tagok kimenő jeleit választva a 

hatásvázlatot az 5.6a ábra mutatja. 

85

u(s) 1 

u(s) 

s + 1 

x^ls) 

1 *,(s) 1 

s + 1 6 

1 

s+5 

x 2(s) 3 

10 

1 x 3(s) e 

st10 15 

© 

S+5 s*10 

© 

y(s) u 

5.6 ábra 

10 

_8_ 

15 

X3ÍsJ=y!s) 

-1 

Fi gye lembe véve, hogy pl. az (s+1) tag az s^-1 tényezőn keresztül 

*3_ 

© 

-1 

-5 K 1 

x 3 

-10 — 1 

visszacsatolt integrátor (5.4b ábra), az állapotegyenlet az 

időtartományban: 

- 1 0 0 

2-5 0 

1 1 -10 

X + (5,42a) 

y= | 0 0 1 | X + O.u (5.42b) 

4.) Az (5.35)-öt részlettörtekre bontva, három párhuzamosan kapcsolt 

egypólusú (egytárolós) átviteli függvényhez jutunk, amelynek 

hatásvázlata az 5.6b ábrán látható. Az állapotegyenlet az 

86

időtartományban: 

-1 0 0 

0-5 0 

0 0 -10 

X + 

y= | 1/6 3/10 8/15 | X (5.43a-b) 

így az állapotegyenlet egyik kanonikus alakjához jutottunk. 

Egy másik kanonikus alak hatásvázlata - ezúttal az időtartománybeii 

jelekkel - az 5.6c ábra. Itt a korábban a kimenő oldali átviteli 

tényezők (C mátrix rendezői) a bemeneti oldalra (B mátrix) kerülnek. Ha 

mindegyik ágban a kimenő és bemenő oldali átviteli tényezőket - azok 

szorzatának állandóan tartásával - az előzőktől eltérő módon osztjuk 

meg, újabb kanonikus alakot kapunk. 

5.7 példa 

Gépi átalakítás 

A MATLAB az átviteli függvénybő1 (111. több ki- és bemenet esetén 

függvenyekbő1) a tf2ss (transfer function to state space) utasítással 

határozza meg az állapotegyenlet mátrixait az 5.5b ábrának megfelelő 

irányíthatósági formában. 

5.8 példa 

Határozzuk meg az állapotegyenletet 

részlettörtekre bontásából: 

y(s)* 

u(s) 

(s+1) (s+2) 

S = S 

1 2 = 

~* kétszeres pólus. 

Részlettörtekre bontva 

y(s) = 

1 

(s+1)' s+1 s+2 

az alábbi átviteli függvény 

(5.44a) 

u(s) (5.44b) 

Az egyes részlettörtek kimenő jeleivel mint állapotváltozókkal 

hatásvázlat az időtartományban az 5.7 ábrán látható. 

87

u(s) 

s + 1 

s + 2 

Az állapotegyenletek: 

X = 

-1 1 0 

0 - 1 0 

0 0 - 2 

x 2(s) 

x3(s) 

X+ 

s +1 

5.7 ábra 

y=| 1 -1 1| (5.45a-b) 

A részlettörtékből most nem diagonális, hanem Jordán formájú A mátrix 

adódott. Ez annak a jele, hogy az s^=-1 kétszeres multiplicitású 

sajátértékhez nem lehet két független sajátvektort találni. 

Valóban, ha az (5.44a) átviteli függvényt a MATLAB tf2ss utasításával 

állapotegyenletté alakítjuk, és az eredményre alkalmazzuk az eig 

utasítást, a sajátvektorok V mátrixában két oszlop azonos lesz. 

Ha a rendszernek többszörös sajátértékei vannak, a pé1dában használt 

eljárással a transzformációs mátrix kiszámítása nélkül is előál1ítható 

az állapotegyénietek Jordán alakja. 

5.9 Példa 

Egy folytonos idejű rendszer hatásvázlata az 5.8a ábrán látható 

W ( s ) 

; w ( s ) = 

l -(s+0,5)(s+0,2) 2 -¥^rT 

88 

y(s)

Az irányi tó jel: u. 

u 2ls) 

'id 

1 2d 

w^s) w 2( s) y(s) 

w^s) w 2( s) 

3 di 

B d 2 

© 

W 

© 

A rendszerre zavaró jel is hat: 

~0,5t 

u =e ; 

, , 

u«(s) = 

1 

2 * 2 V 

' s + 0,5 

5.8 ábra 

0,5 •0,2 J 

Határozzuk meg a rendszer folytonos idejű és diszkrét idejű 

állapotmodel1jét, ha mintavételezési lépésköze T g=l, a tartószerv pedig 

zérusrendű. 

a. ) A folytonos idejű állapotmodellt a 1egegyszerűbben az átviteli 

függvényből az 5.5 pontban ismertetett valamelyik olyan 

rekonstrukciós módszerrel kaphatjuk, amelyben az u^ jel közvetlenül 

az egyik állapotváltozó integrátorának bemenetére kerül. Válasszuk 

az 5.6a ábra szerinti eljárást. 

A (s) és w 2(s) függvényeket sorbakapcsolt egypólusú átviteli 

függvények szorzatára bontva az 5.8b ábra szerinti struktúrához 

jutunk, amelyben az u^ bemenőjel az ál lapotváltozó bemenetére 

hat. Az ábra alapján a folytonos idejű állapotegyenletek közvetlenül 

fel írhatók. 

89 

© 

Yd 

s-1 s-1 -0,1 

x 3-y

-0,5 

-0,2 

1 

0 

-0, 1 

0 0 

0 1 

| B 

1 \*z\ 

C = | 0 0 1 | D = | 0 0 | (5.45a-d) 

A rendszer két bemenő jelét az U = |u^ u^ j'vektorba vonhatjuk össze. 

Bonyolultabb kapcsolás esetén, amikor az állapctmodel1t nem lehet 

i lyen egyszerűen meghatározni, a MATLAB connect, blkbuiId 

utasításai vezetnek célhoz. 

) A diszkrét idejű ál lapotmodel1 a 4.42 pont szerinti közelítő ill. 

pontos módszerrel határozható meg. 

1) A 4.11b ábra szerinti közelítő megoldásban feltételezzük, hogy 

mindkét bemenő jel - tehát a teljes U vektor - mintavételező és 

tartószerven keresztül kerül a rendszer bemenetére. 

így a diszkrét idejű páramétermátrixok a folytonos idejű mátrixokból 

a MATLAB c2dm (vagy c2d) utasításával közvetlenül meghatározhatók. 

Két tizedesre kerekítve: 

0,61 0 

0,71 0,82 

0 ;38 0,86 

0 

0 

0,9 

B 

d = 

id: 2d 

0.79 0 j 

0,4 0 \ 

0. 14 0,95 j 

C d= | 0 0 1 |; Dd=j0 0| (5.45e-h) 

Az állapotmodel1 vektoros formában az u és u„ bemenő komponensek 

1 id 

különválasztásával az 5.8 c ábrán látható. Itt VI 0 , az u_ 

mintavételezett időfüggvénye. 

2) A 4. 12 ábrának megfelelő pontos diszkrét idejű mode11 az 5.8c 

ábrábó1 u^ d -0 helyettesítéssel adódó diszkrét idejű és a b ábrábó1 

Uj=0 helyettesítésével eiőálló folytonos idejű modell 

mintavételezett ál lapotváltozóinak a szuperpoziciójábó1 

származtatható. Rendezőkre bontott hatásvázlata az 5.9a ábrán 

látható. 

Mivel esetünkben az u^ jel a folytonos idejű model lben csak az 

állapotváltozóra hat ^ x 

ib~ X 

s a z 

2b~^ 

5.9a ábrán szaggatottan 

bekeretezett tag egyetlen kimenőjele x^ d^, amely az x^-nek a 

mintavételezéséből keletkezik. 

Ezért a kimenőjelre a diszkrét mode11 a b ábra szerinti alakra 

egyszerűsödik, w (z) az u. .(z) bemenő és az y kimenőjel közötti 

d 1 cl oa 

90

u 1d 

impulzusátviteli függvény, y^ pedig: 

y 

db X 

3db 1 

u 2(s) 

s+0,1 ^d (5.45Í) 

ahol a jobboldali d index a zárójelben levő folytonos idejű jel 

mintavételezésére utal. 

1 

0,14 

0,4 

0,73 

H*I s-1 

UU1(J(2) 1(J(2) 

-0,5 

0,61 

Mb 

y db"V S +0,1 id 

w d 

© 

(z) 

1ÖQ 

x 1d 

Mdb 

y*4« 

0,71 

-0,2 

91 

© 

0,82*- 

'2b 

5.9 ábra 

Az 5.8a ábra szerinti közelítő ill. az 5.9a szerinti pontos modellel 

való számítás eltérését mutatja az 5.10a ábra. Mive 1 az u^ bemenő jel 

* mindkét model1ben azonos kimenő jelet hoz létre, a különbség az u^ 

hatásában mutatkozik. Ezért az ábra u =0 esetre vonatkozik, y,. a 

1 dA 

közelítő, y, a pontos mode11 kimenő jele (zérusrendű tartószervvel 

Q.D 

rekonstruálva). 

5.10 ábra 

A számításokat a MATLAB következő szimulációs utasításaival 

végeztük 

y d A=dlsim(A d > B d 2,C d ( D d, u^; stairs (y^) 

y dB=lsim(A, B2, C,D, u 2 > t); stairs (ydg) 

Az eltérés okát az 5.10 b ábra magyarázza. 

A pontos modellben az exponenciálisan csökkenő u 2 jel jut a folytonos 

tag bemenetére, míg a közelítő model1ben a bemenettel sorbakapcsolt 

mintavételezés és zérusrendű tartás miatt az u,^ lépcsős görbe, amely a 

mintavételi intervallumokban belül mindenütt nagyobb, mint a tényleges 

érték, ezért a ténylegesnél nagyobb kimenő jelet hoz létre. Az eltérés 

u 1egmeredekebben változó szakaszán a legnagyobb. 

92

5.6 Irányíthatóság 

Az irányítás lényeges kérdése, hogy a bemenő jel lel (jelekkel) 

valamennyi ál lapotváltozó tetszőlegesen befő1yáso1ható-e. Erre a Kalman 

által bevezetett irányíthatóság ad választ. 

A rendszer állapot irányitható, ha az ál lapotvektora az U irányítóvektor 

(irányító bemeneteken keresztül ható bemenő jel vektor) hatására 

tetszőleges X(t Q) kezdeti állapotbói (t v~t Q) idő alatt a tetszőlegesen 

előírt X(t^) állapotba vihető át. Ha a definíció csak a kimenő jelre 

teljesül, kimeneti irányíthatóságró1 van szó. 

Nem állandó paraméterű 1ineáris i11. nemiineáris rendszerekben különbség 

van az i rány í t hat óság és a teljes irányíthatóság között. (Ha pl. a 

definíció bármilyen t Q-ra teljesül, akkor a rendszer teljesen 

irányítható, ha csak meghatározott t Q-ra, akkor t Q-ban irányítható, 

stb. ). 

A következőkben állandó paraméterű 1ineáris rendszer i rány í t hat óságát 

tárgyaljuk. 

A kezdeti időpontot t Q=0-ra, a kezdeti állapotot X(0)-nak vesszük. 

Lineáris rendszerben az irányíthatóság rendszerhez kötődő fogalom. Ha 

valamilyen kezdeti állapotra teljesül, bármilyen állapotbói ki indulva is 

fennmarad, hiszen pl. az X(0)-ból megfelelő irányító jellel X(t Q)-ba 

vihető az állapotvektor. 

Az i rány í t hat óság kanonikus koord i nát ákban mutatkozik meg a 

legszemléletesebben. 

Vizsgáljunk például egy olyan három állapotváltozós folytonos idejű 

rendszert, amelyre egyetlen u bemenő jel hat, és amelynek s^ s^ 

sajátértékei egyszeresek. 

A kanonikus egyenletek legyenek 

x^s^+û (5.46a) 

X = S 

2 2 X + b 

2 2 U 

(5.46b) 

X = S 

3 3 X 

3 (5.46c) 

y = C 

lV C 

2 X 

2 

+ C 

3 X 

3 (5.46d) 

1. ) Ahhoz hogy egy állapotváltozó irányítható legyen, minimálisan az 

szükséges, hogy a bemenő jel közvetlenül, vagy egy másik 

állapotváltozón keresztül eljusson annak bemenetére, x^-ra ez nem 

teljesül, az kizárólag a kezdeti értékének hatására mozog, a bemenő 

jel ezt a mozgást nem képes befolyásolni. A rendszer ez esetben nem 

állapot irányítható, pontosabban x^ változója nem irányítható. 

93

Mivel kanonikus alakban egy állapotváltozó egyértelműen hozzá van 

rendelve egy pólushoz, úgy is fogalmazhatjuk, hogy az s^ pólus nem 

irányítható. 

2.) Az Xj és x^ változókból álló alrendszerben az 1.) feltétel mindkét 

változóra teljesül. A kettő együttesen akkor állapotirányítható , ha 

ugyanazzal a bemenő jellel bizonyos idő alatt tetszőlegesen előírt 

Xj=kj és x 

2 = 

^2 értékre hozhatók. Stabilis rendszerre ennek egyik 

lehetőségét mutatja az 5.11 ábra egyszerűség kedvéért b^/s^^/s^l 

esetre. A t=0 pontban az x^(0)=x 2(0)=0 ál lapotban lévő rendszerre 

kapcsolt Uj amplitudójú ugrásalaku bemenő jel az állapotváltozókat 

-1/Sj, ill. -l/s^ időállandójú exponenciális görbe mentén mozgatja 

u,b„/s,~u,b 0/s =u,állandósult értékük felé. 

5.11 ábra 

A t=tj pontban a bemenő jelnek u^-re változtatása új állandósult értéket 

jelöl ki. Az állapotváltozók t^-beli értékeikből most efelé haladnak 

ugyancsak exponenciálisan. A t=t 2 pontban elérik az előírt k^ ill. k^ 

értékeket. 

94

A bemenő jel ugrásainak a számát és azok időpontját változtatva a két 

változó bármilyen egymástól független értékre állítható, de csak akkor, 

ha az s^ és s^ sajátértékek különbözők. 

Azonos pólusok (Sj=s 2) esetén az eljárás hatástalan, mert b 1=b 2 esetében 

a két változó mindig azonos, b *b esetében egymással arányos (b /b ) 

i c, 1 2 

görbék mentén változik, így ettől az aránytól eltérő k ^ ^ érték nem 

írható elő. 

A rendszer csak akkor állapotirányíthat6, ha a kanonikus koordináták 

pólusai különbözők. 

Attól, hogy a rendszer nem állapot i rány í t hat ó, kimenő jele még 

irányítható. Esetünkben pl. az (5.46d) szerinti kimenő jel mindaddig 

irányítható, ameddig valamelyik állapotváltozó önmagában irányítható és 

ennek az együtthatója zérustól különböző. 

A kanonikustól eltérő koord i nát ákban az állapotváltozók kölcsönös 

összefüggése miatt az előzőekben megfogalmazott feltételek nem 

ismerhetők fel közvetlenül, ezért általánosabb kritériummal kel1 azokat 

helyettesíteni. 

A Kalman féle kritérium szerint az n dimenziós rendszer akkor 

állapot irányítható, ha az A és B mátrixból felépíthető 

n _ 1 

C. = I B i ÁB | ....... i A B i (5.47) 

o 

írányíthatósági mátrix (controllabi1ity mátrix) rangja (ránk) n, azaz 

oszlopaiból és soraiból kiválasztható egy nxn méretű nem elfájuló mátrix 

(amelynek determinánsa nem zérus). Itt B az a bemeneti mátrix, amelyen 

keresztül az irányító jelek hatnak a rendszerre. 

Az irányíthatóság tehát részint a rendszer pólusaitól és az azokhoz 

rendelhető állapotváltozók kapcsolatától (A mátrix), részint az irányító 

bemenetek kijelölésétől (B mátrix) függ. A nem irányítható 

ál lapotváltozók más pontokra ható irányító jellel (másik B mátrix) 

esetleg ipányíthatóvá tehetők. Ezért az A;B mátrix pár 

i rányí t hatóságáró1 is szokás beszélni, ami azt jelent i, hogy az A 

mátrix-szal szimbolizált rendszer a B mátrix-szal szimbolizált 

bemeneteken keresztül állapot irányítható. 

Az előző megállapításokat értelemszerűen vonatkoztatva az m dimenziós 

kimenő jelre, a kimeneti irányíthatóság feltétele az, hogy a 

n ! 

C =|CBJCABl... ÍCA Bl 

1 1 8 

oy 

hipermátrix rangja m legyen. 

5.7 Megfigyelhetőség 

(5.48) 

Az irányíthatósággá1 rokon fogalom a megfigye1hetőség, amely arra ad 

választ, hogy egy ismeretlen állapotú*rendszer kimenő és bemenő jelének 

bizonyos ideig tartó mérése után rekonstruálható-e a mérés kezdetekor 

fennálló állapot. 

95

A rendszer megfigyelhető, ha a t Q

Az megf i gye1het őség a rendszertől (A mátrix) és a kimenő jelek 

kiválasztásától (C mátrix) függ. Ezért az A, C mátrixpár 

megf igye1hetőségérő1 is szoktak beszélni, ami azt jelenti, hogy az A 

mátrix-szal megadott rendszer a C-vel definiált kimenő jelekkel 

megfigyelhető. 

5.10 példa 

Gépi eljárások. Az irányithatósági és megfigyeihetőségi mátrixokat a 

MATLAB a ctrb ill. obsv utasításokkal képezi az A és B ill. az A és C 

párokbó1. A mátrixok rangja a rank utasítással számítható. 

2 

Az AB; A B stb. képzésekor kedvezőtlen esetben a kis abszolút értékű 

rendezőkből olyan kis értékű szorzatok képződhetnek, amelyeket a gép 

számítási pontatlansága már jelentősen torzíthat. Ez a további 

számításokban - pl. a rank utasítás végrehajtásakor - megbízhatat1anná 

teheti az eredményt. Ezért a MATLAB-nak az irányítási 

megfigyeihetőségi kérdéskörre egyéb - hatékonyabb - utasításai is 

vannak. 

A gram és dgram az un. Gram mátrixokat (gramian) számítják folytonos és 

diszkrét idejű rendszerekre, amelyek ugyancsak a rangjukkal jelzik az 

irányíthatóságot és a me gf i gye1he t ősége t, de numerikusan jobban 

kezelhetők, mint a C_ és az 0, mátrixok. 

5.11 példa 

0 b 

A Kalman féle kritérium igazolása 

B irányító bemenet i mátrixon keresztül ható u(t) irányító jellel 

előállított X(t y) állapotvektor tQ=0 és X(tQ)=X(0)=0 feltételekkel 

t 

Xí t )= J e 

0 

A í t T ) 

Bu(x)dx 

Az exponenciális függvényt Taylor sorával helyettesítve 

(5.52) 

t 

v 

t 

v 

,2 

X(tv) = A°B J u(x)dx + AB J 

2 

(t-x)u(x) + A B J { t ^ u(x)dx +... 

0 0 0 

(5.53) 

Az integrál értékek u(x) kellő kiválasztásával a t pontban tetszőleges 

értékre állíthatók (pl. az 5. 11 ábrán vázolt technikával). 

A Caley-Hamilton tétel szerint minden mátrix kielégíti saját 

karakterisztikus egyenletét, ami azt jelenti, hogy az A n 

és annál 

magasabb kitevőjű tagok kifejezhetők az alacsonyabb hatványokkal. 

Ha ugyanis n^_^,...,n Q a karakterisztikus egyenlet együtthatói, akkor 

A n 

n _ 1 

+n , A +...+n nA°=0 

n-1 u 

97 

(5.54a)

i11. A-val szorozva 

n + 1 

A +n . A n 

+...+nnA=0 (5.54b) 

n-1 0 

A b egyenletbe (5.54a)-ból 

TI 

A* -et helyettesítve végül 

n+1 

A is az 

n 1 

A°, . ..,A hatványokkal fejezhető ki. Az eljárás ismétlésével bármely 

n- nél nagyobb hatványnál is ezt kapjuk. Ennek figyelembe vételévei 

n 

X(t )=k0(t )B+k,(t )AB+...+k ,(t )A ' 1 

B (5.55) 

v 0 v 1 v n-1 v 

k^(t ),...,k , (t ) az u(x)-val beállítható skalárok, amelyek az X(t ) 

n v 

n-1 v 

vektornak a B, AB,. . . , A B oszlopvektorokra mint ferdeszögű koordináta 

tengelyekre eső vetületei. 

Az (5.50)-nél tetszőlegesen előírt n dimenziós X(t ) akkor ál 1ítható 

elő, ha B; AB;...;A n 

*B koordináta vektorok n dimenziós teret határoznak 

meg, tehát egyikük sincs benne a többiek által meghatározott altérben. 

Ennek pedig az a feltétele, hogy ezekből a vektorokból 

felépített 

mint rendezőkből 

n _ 1 

C0=|Bi AB i... ÍA B| 

irányithatósági mátrix rangja n legyen. 

5.8 Rendszerek Kalman féle dekompoziciója 

Egy általános rendszer négyféle alrendszerre bontható, amelyeket az 5 12 

ábra hat ás vázlat ában egy-egy kanonikus állapotváltozó reprezentál. 

1) Irányítható és megfigyelhető állapotváltozók íI1. pólusok. 

Az ábrában az x^ változó olyan, amelynek bemenete a bemenő jellel, 

kimenete a kimenő jel lel ál 1 összefüggésben, b^*0; c, *0. 

2) Irányítható, de nem megfigyelhető állapotváltozók (x^)- 

Ez a bemenő jel lel mozgatható ugyan, mert b o*0, de ez a kimenő jelben 

nem látszik, mert 0^=0. 

3) Megfigyelhető, de nem irányítható ál1apo t y á 11 o z ó k (x_). 

] _ 

——— ^ j 

Mozgása a kimenő jelben megfigyelhető, mert c o*0, de csak a kezdeti 

érték vagy az u irányító jeltől különböző jel mozgathatja, mert b^=0. 

4) Nem Irányítható és nem megfigyelhető ál lapotváltozók (x^,), amelyek 

sem az irányító sem a Kimenő jel lel nincsenek kapcsolatban, mert 

b =0; c =0. 

4 4 

A rendszer karakterisztikus egyenletében valamennyi alrendszer pőiusai 

jelen vannak, míg az átviteli függvény csak a ki és a bemenettel 

egyaránt kapcsolódó irányi tható és megfigyelhető alrendszer, pólusait 

98

tartalmazza. Az 5.5 pontban ismertetett módszerekkei így csak ennek az 

alrendszernek az állapotegyenlete rekonstruálható. 

5.12 példa 

uis) 

XJO) 

x,ÍO) 

x3(0) 

1 x^s) 

s-s.. 

1 x 2l 

s~~s 2 

1 

b =0 

3 s - s 3 

b b4=o 4=o 

x 6!0) 

1 

s - s 4 

5.12 ábra 

X3ÍS) 

x^(s) 

1 

c 

C 3 

c4=0 

Egy folytonos idejű n=3 dimenziójú lineáris rendszer paraméter mátrixai 

-0,5 0,5 

-3 0 

-1 -2 

B= 3 ; C=| 0 0 1|; 

1 I 

Vizsgáljuk a rendszer irányithatóságát és megfigyelhetőségét. 

D=0 

y(s) 

(5.56a-d) 

1.) Az irányíthatóság! mátrixot a C^=ctrb(A,B) utasítással, a rangját a 

rank(C ) utasítással kiszámítva 

~ o 

99

A rendszer nem állapot irányitható. 

rankíC )=2 < 3 

o 

(5.57) 

2.) Teljesen hasonlóan az 0^=obsv(A,C) utasítással meghatározva a 

megf igye1hetőségi mátrixot, majd annak rangját r Q=rank (0^): 

0, 

0 0 

2 -1 

-8 4 

adódik, így a rendszer nem megfigyelhető. 

3. ) A kimeneti irányithatósági mátrix 

r = 2 < 3 

o 

(5.58) 

Q =C-C =1 1 -1 1I 

oy o 1 1 (5.59) 

Ennek rangja r 

= 1 

o y 

rendszer kimenetileg irányítható. 

, ami megegyezik a kimenő jelek számával, 

így a 

E tulajdonságok oka, ami az (5.56 a-d) egyenletekből nem látszik 

közvetlenül, kanonikus transzformációval tehető felismerhetővé. A 

[V, D ] = eig (A) 

utasítással kiszámított V sajátvektor mátrixban minden oszlop különböző, 

így az transzformációs mátrixnak használható. 

P=V= 

0,577 0 -0,442 

0,577 -0,707 -0,894 

0,577 -0,707 0 

P.=P =inv(P)= 

1,73 

1,41 

0 

-0,866 

-0,707 

-1,188 

A transzformált paraméter mátrixokat az 

[A B C D ]=ss2ss (A, B, C, D, P.) 

P P P P 

utasítással lehet meghatározni. 

A =D = 

P s 

B 

1,73 

0 

-2,236 

100 

0,866 

0,707 

1, 188 

(5.60a) 

(5.60b) 

Cy=| 0,5774 -0,707 0| 

(5.70)

Az kanonikus változó (s 2=-3 pólus) a bemenő jellel nem 

befolyásolható (b =0), ezért nem irányítható, míg az x (s =-2 pólus) 

^p3. 2 

hiányzik a kimenő jelből (c 3=0), ezért nem megfigyelhető. Az átviteli 

függvényben így csak az irányítható és megfigyelhető s^-1 pólus 

szerepel. 

Valóban a [Sz, S, k]= ss2zp( A, B, C, D, 1) utasításból a számláló Sz és 

a nevező S zérushelyeire és a k átviteli tényezőre a következőket 

kapjuk: 

Sz= k=l. 

w(s) 

(s+2)(s+3) = 1 

(s+l)(s+2)(s+3) s+1 

5.9 Az általánosított rendszer 

(5.71) 

A rendszer bemenőjelei más rendszerek kimenő jelének tekinthetők, így 

minden jel egy-egy magára hagyott - kezdeti állapotainak hatására mozgó 

rendszer kimenő jeleként is értelmezhető. Mivel a kezdeti ál lapotok a 

Dirac függvényekkel állíthatók elő, ez azt is jelenti, hogy a jelek egy 

alkalmas rendszerrel - a szűrőhálózattal - a Dirac függvenybő1 

s zármaz t at hat ók. (A szűrőhálózat elnevezés a jel frekvencia tartalmára 

utal. A Dirac függvényben valamennyi frekvencia azonos 

amp1i t udósűrűségge1 van jelen így, ebből bármilyen egyéb spektrum a 

felesleges részek kiszűrésével ál1ítható elő). 

A szűrőhálózat a jel modellje, amely a rendszer modellekkel azonos 

formában (átviteli függvény, állapotegyenlet) építhető fel. Állapotváltozói 

a jel állapotváltozói. Minden olyan folytonos idejű jel 

például, amelynek valós együtthatójú rációnál is törtfüggvényű Laplace 

transzformáltjában a számláló alacsonyabb fokú mint a nevező, 1ineáris 

tagokból ál ló Dirac deltával gerjesztett állapotú hálózattal ál 1ítható 

elő. A két legegyszerűbb példa az ugrásfüggvény, amely integrátorral, és 

az exponenciális függvény, amely visszacsatolt integrátorral képezhető. 

Általánosabb esetben a jel Laplace transzformáltját átviteli függvénynek 

tekintve az 5.5 pontban tárgyalt valamelyik eljárással lehet a jel 

ál lapotegyenletét meghatározni, amely az X(0)ő(t) kezdeti értékkel a 

kimeneten a szóbanforgó jelet generálja. 

Diszkrét idejű modellben az állapotváltozók bemeneti pontjaira a kezdeti 

értékek zX(0) alakban hatnak, ezért a diszkrét idejű jel z 

transzformáltját z-vel osztva kapjuk az impulzusátviteli függvényt (vagy 

függvényeket), amelyből a jel állapotmodel1je meghatározható. 

Egy rendszer valamelyik bemenő jelének állapotmodelÍjét is a rendszer 

részének tekintve olyan általánosított vagy bővített rendszerhez jutunk, 

101

amelynek állapotváltozói az eredeti rendszer és a jel állapotváltozóiból 

tevődnek össze. 

Az állapotmodellel helyettesített jel többé nem külső hatás, hanem a 

rendszer állapotváltozóinak része, amelynek hatását az érintett 

formázás állapotváltozók kezdeti értékei generálják. 

Ha az előző eljárás valamennyi bemenő jelre kiterjed, olyan 

általánosított rendszer keletkezik, amelynek a kezdeti értékeket 

szimbolizáló Dirac impulzusokon kívül nincsenek külső bemenő jelei. 

Állapotegyenlete, mivel U=0, homogén egyenlet. Erre való utalásként 

homogenizált rendszernek is szokás nevezni. 

Az általánosított rendszer fogalmából következik, hogy elvileg elegendő 

a Dirac impulzus bemenetű rendszereket analizálni. 

A kezdeti értékek egy folytonosidejű rendszer folytonos idejű és 

diszkrét idejű modelIjében is azonosak. Ezért ezzel a módszerrel könnyen 

tárgyalhatók azok az esetek is, amikor a folytonos idejű rendszer 

mintavételes modelIjében az irányító bemeneten ható jelek a tartószerven 

keresztül, a többi bemenő jel annak kikerülésével jut a rendszerre 

(5.9 példa). 

5.13 Példa 

Az 5.13 ábrán a w^(s) és w^ís) átviteli függvenyű sorbakapcsolt tagokból 

ál ló folytonos idejű rendszerre az irányító bemeneten keresztül ható u^ 

bemenő jelen kívül az irányító bemenetet elkerülő u^ zavaró jel is hat. 

w^s) = 

u 

l 

u 2 

l+2s 

W 2(8) S 

1 

1+s 

= 1 ( t ) u (s) = l/s 

= sin t 

Határozzuk meg: 

a. ) A rendszer állapotegyenletét. 

u 2(s)= 

1+s 

(5.72a-f) 

b. ) Az u 2 jel modelljével kibővített rendszer állapotegyenletét. 

c. ) Az Uj és u 2 jelek modelÍjévei kibővített (homogenizált) rendszer 

állapotegyenletét. 

a. ) A tárolós tagokat visszacsatolt integrátorral helyettesítve (a 

ábra) az állapotegyenlet 

y- |0 1| 

-0,5 

1 

"1 

102 

0,5 

0 

0 0 | 

V 

(5.74a-c)

. } Az u 2 jelet Laplace transzformáltja alapján (5.73 f egyenlet) egy 

Dirac delta bemenetű visszacsatolt kettős integrátorral lehet 

modellezni, ami a b ábra szerint két új ál lapotvál tozóval 

(x 3;) bővíti a rendszer modelljét. Az ábra alapján 

-0,5 0 0 

1 -1 0 

0 0 0 

0 0 1 

y = |0 1 0 0 X 

l X 

2 

X 

3 

X(0)= |0 0 1 0|' (5.75a-c) 

c. ) Az u^ jelet a c ábra szerint egy integrátorral lehet a Dirac 

impulzusból képezni, ami még egy további állapotváltozót 

(x)_.hoz a rendszernek a c ábra szerinti homogenizálmodeljébe 

b 

5.14 Példa 

-0,5 

1 

y =| 0 1 0 0 0 | • 

X(0)= ( 0 0 1 0 1 |* 

0 

0 

0 

0 0 

X 

3 

X 

4 

0,5 

0 

0 

0 

(5.76a-c) 

Határozzuk meg az 5. 13 példa folytonos idejű rendszeréből az irányító 

bemenet mintavételezésével és zérusrendű tartással képzett mintavételes 

rendszer állapotegyenletét. 

A diszkrét idejű állapotegyenlet paraméter mátrixai a folytonos idejű 

paraméter mátrixokból a MATLAB c2dm utasításával képezhetők. 

Mivel a mintavételezés-tartás konverzió csak az jelre érvényesül az 

Ug-re pedig nem, az utasítás nem alkalmazható az 5. 13 példa a 

modelljére.(Ez ugyanis azt jelentené, hogy az u 2 

és tartáson keresztül hat a rendszerre. ) 

103 

jel is mintavételezésen

P2 

1.2s 1.s 

x 

5 

x 3(0)

egyenletek: 

X.(n+1) 

d 

0,905 0 0 0 

0,172 0,819 0,019 0,18 

0 0 0,98 -0,199 

0 0 0,199 0,98 

y (n) = | 0 1 0 0 | X (n) 

X (0) = | 0 0 1 0 [' 

X,(n) + 

d 

0,095 

0,009 

0 

0 

(5.77a-c) 

•u ld(n> 

Itt X^ és az (5.76) egyenletekben szereplő állapotvektor i 11. 

bemenő jel mintavételes alakja. 

105

6. LINEÁRIS TAGOK JELÁTVIVŐ TULAJDONSÁGAIT JELLEMZŐ FÜGGVÉNYEK 

Az irányítási rendszer analízisében és szintézisében az 

ál lapotegyénieteken kívül nagy jelentőségük van azoknak a függvényeknek, 

amelyek az állapotváltozók mellőzésével különböző módon a ki- és a 

bemenő jelek közötti kapcsolatot írják le az idő ill. a frekvencia 

tartományban. 

Az időtartományban egy tagot - differenciál- vagy differenciaegyenletén 

kívül - meghatározott bemenő jelekkel előidézett kimenő jelével is lehet 

jellemezni. 

Különleges jelentősége van a Dirac delta bemenetre adott válasznak, az 

un. sú1yfüggvénynek (w(t)), ame1ynek ismeretében a konvolúciós 

integrállal tetszőleges bemenő jel lel gerjesztett kimenő jel is 

kiszámítható (2.4 pont), másrészt a magára hagyott rendszer 

mozgásjeliemzőit is tisztán mutatja. 

A súlyfüggvény helyett sokszor az egységugrás bemenetre adott választ, a 

v(t) átmeneti függvényt használják. 

6.1 Átviteli függvény 

A frekvencia tartományban az y kimenő és az u bemenő jel Laplace ill. z 

transzformáltjának a hányadosa az átviteli függvény, ill. az 

impulzusátviteli függvény, amely a folytonos idejű w ill. diszkrét 

idejű w súlyfüggvény w(s) ill. w^(z) Laplace ill. z transzformáltja. 

Folytonos idejű n-tárolós tagra az átviteli függvény az s változó valós 

együtthatójú rációnál is törtfüggvénye (3.27a egyenlet). 

y(s) M(s) m s m 

+...+ m 

w(s j = — = 

, . 

u(s) 

, * 

N(s) 

= ——•—— r— — 

n n~i , 

s +n , s +...+ n 

n-1 o 

CB. 1J 

Fizikailag realizálható rendszerre mz n. 

A számlálónak és a nevezőnek valós vagy konjugált komplex gyökei vannak. 

Jelölje a számláló gyökeit - a függvény zérusait - s ,...,s , a 

u o*/ _ — _ — z 1 zm 

nevező gyökeit - a függvény pólusait - s^,...,s^. A (6.1) gyöktényezős 

(faktorizált) formaja: 

(s-s )(s-s )...(s-s ) 

, . zl z2 zm 

w(s) = k — íc 0 s 

(s-s^)(s-s 2)...(s-s^j 

107

m (6.3) 

Sokszor előnyösebb a gyökök negatív reciprokat - az időállandókat 

használni. 

||>0 és |s z^|>0 esetben 

x.=-l/s . és T.=-l/s. (6.4) 

1 Zl 1 1 

jelölésekkel 

(1+ST.)(1+ST_)...(1+ST . 

, x , 1 2 mj 

1 

(1+ST 1)(1+ST_)...(1+ST ) 1 J 

m (- s )•••(- s ) 

k = - ^ = - ^ , 55L (6.6) 

T n o (-Sj) ••• (-s n) 

x\ i11. T\ valós vagy komplex számok. 

Ez az átalakítás az s^=0 zérusok és az s^=0 pólusok gyöktényezőiben nem 

hajtható végre, azokat eredeti alakjukban kel 1 megőrizni. Ha a (6.1)-hez 

hasonlóan a gyöktényezős alakban is csak valós együtthatókat kívánunk 

szerepeltetni, a konjugált komplex gyökpárokat egy másodfokú valós 

együtthatójú tényezővé kel 1 összevonni. 

A 

Legyen pl. s^ kopjugáltja s^ és T\ konjugáltja T\ . 

s^= a+jb, s\ = a-jb, és (6.7) 

(s-s.)(s-s.)=s 2 

-2as+(a 2 

+b 2 

)=s 2 

+2£ u s+w 2 

1 í o o 

i1letve a (6.4) figye1embevéte1éve1 

(6.8) 

A 

p«e p p 

(1+sT. )U+sT. ) = 1 - 1r S 

1 1 

0 

2,2 

a +b 

+ 

2,2 

a +b 

= 1+2? T s+s 17 

o o 

(6.9) 

Itt 

w 2 

= a 2 

+b 2 

; T = — ; - — (6.10) 

O O U) ü) 

o o 

í«> o -t a négyzetes tag saját frekvenciájának (natural frequency), £ -t a 

esi 1lapitási tényezőjének (damping factor) nevezik. A számláló konjugált 

komplex gyöke i t hasonló módon másodrendű tényezőkben összevonva és 

megkülönböztetésül a T q ill. £ jelöléseket használva a (6.5) egyenlet az 

108

alábbi alakba írható: 

d 

2 2 

n (1+ST.)-n (1+2C.T .s+s T ) 

r . 1 i oi oi 

w(s)=— P 

s 

. K . I í = 

T 6 f 

2 2 

n (1+sT.)-n (1+2?.T .s+s^T f ) 

j i 1 i Ol oi 

ahol 

, s (6.11) 

l P P 

= s wp(s) = w.(s) wp(s) 

r + c + d = m és p + e + f = n 

(6.12) 

Itt az összes időállandó és esi 1lapítási tényező valós érték. 

Az s változót műveleti operátornak tekintve w^(s) matematikai műveletet 

szimbolizál, amelyet a tag végez a bemenő jelen. Ezért eszerint 

különböztetjük meg az átviteli függvény ill. tag típusát. i=r-p 

jelöléssel az a és b kitevőktől függően a következő három eset 

lehetséges: 

r > p; v.^ (s)= s 1 

differenciáló tag (6. 13a«) 

r = p (s)=l arányos tag (6.13b) 

r 

integráló tag (6.13c) 

A kimenő jelben ezek a műveletek akkor jelennek meg tisztán, amikor a 

bemenő jel által kiváltott tranziensek már lecsi1 lapodnak. j 

A tranzienseket a w p(s) függvény írja le. Ennek a szétválasztásnak az 

alapján úgy tekinthetjük, hogy egy tag tartós karakterének (w^) az 

érvényre jutását a tárolók feltöltődésével összefüggő hatások 

késleltetik. w p az arányos időkéséses tag átviteli függvénye. 

u I»y 

6.1 ábra 

109

A tárolók feltöltődésén kívül a késleltetésnek egy másik forrása a 

jelhordozó véges terjedési sebessége, amely a ki és a bemenő jel közé 

egy idejű késleltetést - holtidős késleltetést - iktat. 

A ho11idős tag kimenő és bemenő jele közötti összefüggés a 6.1 ábra 

alapján 

y(t) = 

0 , ha t< T, 

n 

u(t-T h) , hat*T h ( 6_ 1 4 ) 

A Laplace transzformáció eltolási szabályával 

-sT -sT 

y(s)= e 

n 

u(s); w(s)=e n 

(6. 15) 

Az átviteli függvény nem rációnál is tört, hanem transzcendens függvény. 

A rációnál is törtfüggvényeknek megfelelő differenciálegyenletek végtelen 

jelterjedési sebességet tételeznek fel (a véges terjedési sebesség 

parciális differenciálegyenletre vezet). Ezért folytonos idejű 

rendszerek állapotegyenletébe a ho11idő csak közelítéssel iktatható be, 

vagy úgy, hogy (6.15)-öt rációnál is törtfüggvénnye1 - tárolós tagokkal - 

helyettesítjük, vagy a ki- ill. a bemenő jel késleltetéseként vesszük 

figyelembe, amelyhez azonban ál lapotváltozó nem rendelhető. 

A hp11 idő minden reál is rendszerben jelen van, hatása azonban csak akkor 

jelentős, ha a rendszerben végbemenő változások ideje a holtidővel 

összemérhető. Villamos jelek véges terjedési sebességéből eredő 

hatásokat csak kivételes esetekben (ultra nagyf rekvenciás jelenségek 

igen nagy távolságú - pl. bolygóközi - jeltovábbítása) kel1 figyelembe 

venni. 

Egyéb anyag- ill. energiaáramlási jelenségek leírásakor a ho11idő nem 

hanyagolható el (szál1ítószalagon, vagy csővezetéken történő 

anyagtovábbítás, hőáramlás, stb.). 

Diszkrét idejű rendszerekben az ál lapotváltozók egy lépésköznyi holt idős 

késleltetést okozó tagokhoz vannak rendelve. Amennyiben a ho11 i dő a 

mintavételezési idő egész számú többszöröse. véges számú 

ál lapotváltozóval leírható, így szervesen bei 1leszthető akár az 

ál lapotegyenletbe, akár az impulzusátviteli függvénybe. 

A holt idős tag impulzusátviteli függvénye a (6.15)-bői 

h 

wJ(z)=z" ; h=T./T =egész (6.16) 

d h s 

6.2 Az átmeneti függvény 

Az i dő t ar t o mányban a tag tranziens tulajdonságai a legt isztábban a 

súlyfüggvényben és az átmeneti függvényben mutatkoznak. (Ez utóbbi a 

bemenő jelnek könnyebb kísérleti reálizálhatósága miatt egyes esetekben 

előnyösebb.) 

Az átmeneti függvény Laplace transzforrnált jábó1 látható, hogy az a 

110

súlyfüggvényből integrálással képezhető. 

v(s)=w(s)u(s)= ; v(t) = J w(t)dt (6. 17) 

s 

o 

t 

v( t) egyes tulajdonságai w(s)-ből inverz t ranszformác i ó nélkül 

közvetlenül is láthatók. 

a. ) Az átmeneti függvény és differenciálhányadosának kezdeti értékei az 

átviteli függvény számlálója és nevezője közötti fokszám különbségtől 

(6.1 egyenlet) függenek. 

A végérték tétellel: 

v(0)= lim s ííî = lim w(s) (6. 18a) 

s=*» s s=*» 

és hasonlóan az r-edik differenciálhányadosra 

( r ) , , . s r 

w(s) .. r ( . 

v (0)= lim s = lim s w(s) f a 1 Q, . 

s=*» s s=*» (6. 18b) 

Ha s minden határon túl növekszik, w(s) számlálójában és nevezőjében a 

legnagyobb hatványok dominálnak. (6.1) jelölésével 

m 

t v m s r 

( r ) _ . m r . . s 

v (0)=lim s = lim 

s=*» n s=*» n-m (6. 18c) 

s s 

Ha w(s) számlálójának és nevezőjének (n-m) fokszámkülönbsége r, a v(t) 

függvény első (r-1) deriváltjának - magát a függvényt, mint 0-ik 

deriváltat is beleértve - a kezdeti értéke zérus. 

Ha a fokszámkülönbség 1, a t=0 pontban v(t) véges meredekséggel indul, 

ha 2, akkor a kezdeti érintő zérus hajlásszögű, ha több, a görbe egyre 

magasabbfokúan simul az időtengelyhez. 

Azonos fokszámnál - ami annak a jele, hogy a bemenő jel közvetlenül hat 

a kimenetre* - v( t )-nek ugrása van a kezdőpontban. 

b. ) Az átmeneti függvény állandósult értéke, feltételezve, hogy a 

(6.1 l-ben) w p összes pólusának negatív valós része van 

v(t=*») = lim î^l = w(s=x>) (6. 19) 

s=x> s 

Ha s=*0, akkor a (6. 1 l-ben) w p összes gyöktényezőjében az s változót 

tartalmazó tag elhanyagolható a konstansok mellett, így 

a 

w(s=x>) = kTw.(s) = k Ts " b 

(6.20) 

Differenciáló tagra v(oo)=0, integrálóra v(oo)=oo , míg az arányos típusúra 

v(oo)=k^,. Ez utóbbit ezért önbeálló tagnak is szokás nevezni, 

111

c. ) A Wp arányos időkéséses tag késleltető hatása a 6.2 ábra szerint 

átmeneti függvényének 1ineáris szabályozási területével (F) - az 

állandósult érték és a tényleges görbe közötti eltérés integráljával - 

jellemezhető. 

6.2 ábra 

Wp-nek (6.11) vagy (6.5) alakjából kiindulva 

F= J [v(oo)-v(t)]dt= j [k ^v(t)]dt 

o o 

(6.21a) 

Áttérve a Laplace transzforrnáltra az integrálás s-sel való osztással, a 

határok pedig a végérték tételekkel képezhetők. 

[Jl - Wp(s) l i 

[ s s J s 

s=£> k T-wp(s) s=*0 

Az s=*» hat árát mene t re a függvény zérust ad, így csak az s-*0 

határátmenetet kell elvégezni. 

Ha Wp számlálóját k TM(s)-sel, nevezőjét pedig N(s)-sel jelöljük 

, . kT(N(s)-M(s)) F= 1 ím 1 

s=x) sN(s) 

s=*» 

(6.21b) 

Mivel N(s) és M(s) (6.5) szerinti gyöktényezőiben az összes konstans tag 

1, azok szorzata is egységnyi, így a különbségképzésnél kiesnek. 

112

n m 

k T( E T.-E T.)S+S r(s) 

F _ lim 1 1 ____ 

= S 

( 6 

-*° s(l +sT)---(l+sT ) 

1 n 

2 

Itt s r(s) az s-ben kvadrátikus és annál magasabb fokú tagokat jelöli. A 

határátmenetet elvégezve 

F=k [X T .- E x .] (6,2id) 

1 1 

1 1 

A T\ ill. komplex értékek is lehetnek, de az összegezéskor - mi vei 

mindig konjugált párjukkal együtt fordulnak elő - a képzetes részeik 

kiesnek. 

Ha a (6.1 l-nek) megfelelő valós együtthatójú modellt használjuk, 

másodfokú tényezőkből az s-ben 1ineáris tagok 2^T Q ill. 2^xQ együtthatói 

kerülnek be a (6.21d) szerinti összegezésbe. 

Az átviteli függvény nevezőjének időállandó i növelik, számiá1 ójának 

időál landói csökkent ik a szabályozási területet. A szabályzási TORAIÉT 

segítségével definiálható az egyenértékű időkésés 11 eVV ckjj 

holtidő, amely annak a k^ amplitudójú ugrás függvé nyne k t=0-!O • ^ ! ^ 

e11o1ási ideje, amelynek a tényleges átmeneti függvénnyé 1 

szabályozási területe van. 

T = — % — = IT-Zx (6.22) 

e k T 

- 2 1 c ) 

>n< • 

Az átmeneti függvénynek az állandósult érték fölé lendülése a 6.2b ábra 

szerint csökkent i a szabályozási területet. Nagy túllendülés 

megbízhatat1anná teszi a késleltetésnek az egyenértékű időkéséssel való 

jellemzését, hiszen a nagyobb túllendülést az időkésés csökkenéseként 

értékeli. Ugyancsak hamis képet ad akkor is, ha az állandósult ál lapot 

periodikus lengésekkel ál 1 be, mert a különböző előjelű területrészek 

kompenzálják egymást. E hátrányok miatt sokszor előnyösebb a négyzetes 

szabályozási terület használata. 

6.3 Impulzusátviteli függvény 

Folytonos idejű rendszer diszkrét idejű modelljében az impulzusátviteli 

függvény a kimenő és a bemenő impulzussorozatok z transzformáltjának Ö 

hányadosa. 

A diszkrét model1 a tartószervet is magába foglalja. 

Egy egytárolós tag átviteli és zérusrendű tartással képzett 

impulzusátviteli függvénye közötti összefüggés (6.1 pé1da): 

113

í 1 

1 1 

w ( s ) = _ _ = - 

w d(z) 

s,T 

1 s 

1 s 

(6.23a) 

(6.23b) 

Többtárolós folytonos idejű tag átviteli függvényét részlettörtekre 

(párhuzamosan kapcsolt egytárolós tagokra) bontva, a diszkrét átviteli 

függvény az egyes tagok (6.23b) szerinti impulzusátviteli függvényeinek 

az összege, amely a (4.29b) szerinti formába írható. A z^ z^ pólusok 

kölcsönösen egyértelmű kapcsolatban ál Inak az átviteli függvény 

Sj,...,s n pólusaival. A zérusok nem feleltethetők meg egymásnak ilyen 

szigorúan, de normál is esetben - amikor a mintavételezés nem jár túlzott 

információ torzítással - néhány közelítő összefüggés megadható. 

Legyen pl. egy holt idős többtárolós tag átviteli függvénye 

-sT (s-s )...(s-s ) 

w(s)= k e 

n 

? — ^ 

(s-s,)...(s-s ) 

1 n 

(6.24a) 

Itt m < n. 

Feltételezve, hogy a T^ holtidő a T g mintavételi időnek egész számú 

többszöröse (h), zérusrendű tartással a tag impulzusátviteli függvénye 

(z-z ,) • • - (z-z , , . ) 

wJ Z)=k H - 1 * 1 : - ^111. ( 6. 24b) 

d d n, . , , 

z (z-z,)•••(z-z ) 

1 n 

ahol zê 

s.T 

1 S 

(6.24c) 

A diszkrét zérusok száma a folytonos átviteli függvény zérusainak m 

számától függetlenül mindig (n-1). Ezek két csoportra oszlanak, m számú 

közülük pozitív valós vagy pozitív valós részű komplex érték, amely az 

átviteli függvény egyes zérusaival a (6.24c)-hez hasonló összefüggésben 

áll: 

z e 

zi 

S 

zi T 

Z 1 S 

s 

A közelítés jósága esetenként változik. 

(6.25a) 

A többi (n-l-m) számú diszkrét zérus, amelynek nincs folytonos 

megfelelője, negatív valós szám. 

z 

zi= -* g ; z _ Z 

z + g 

i zi • i 

ahol g pozitív. 

114 

( 6 2 5 b )

Kimutatható továbbá, hogy ha az átviteli függvény számlálója és nevezője 

közötti fokszám különbség 2-nél több, az egyik g érték, ha 4-nél több, 

akkor két g érték, stb. az egységnél nagyobb. 

Ez az összefüggés ebben a megfogalmazásban csak tájékoztató, pontosabb 

körül írásától most eltekintünk. 

Az eddigiek úgy foglalhatók össze, hogy a folytonos idejű átviteli 

függvénnyé 1 ellentétben a folytonos pólusok és zérusok számának a 

különbsége a diszkrét átviteli függvényben nem a számláló és a nevező 

közötti fokszám különbségében, hanem a diszkrét zérusok minőségében 

tükröződik. 

Az impulzusátviteli függvény nevezőjében a folytonos pólusoktól származó 

n számú diszkrét póluson kívül (z^,...,z ) a holtidőt figye1embevevő h 

számú egyszeres (vagy egy h-szoros) z =0 értékű pólus is jelen van 

(z ). 

A (6.24b)-ben a pólusok és a zérusok valós vagy páronként konjugált 

komplex értékek lehetnek. Ez utóbbiak a (6.7)-(6.9)-hez hasonlóan valós 

együtthatójú másodrendű gyöktényezőkké vonhatók össze. 

Tekintsünk pl. egy konjugált komplex diszkrét póluspárt: 

z. = z. +j z.. z.= z. - j z., (6.26a) 

1 IV ° ik ; 1 IV u 

(z-z.)(z-z.) = z 2 

- 2 z. + z 2 

+ z 2 

í í ív ív ik 

ahol z. és z., az. komplex pólus valós és képzetes része. 

iv ik i r 

^ 

ik 

(6.26b) 

z^ helyett z^-t helyettesítve a konjugált komplex zéruspárok másodfokú 

alakját kapjuk. 

A (6.9) és a (6.24c) figye 1embevéte1éve1 

s.T aT jbT aT 

z. = e 

1 S 

= e S 

e 

S 

= e S 

i 

(cos(bT )+j sin (bT )) 

s s 

Ezzel a (6.26b) másodfokú gyöktényező a folytonos pólus a valós és b 

képzetes részével fejezhető ki: 

aT 2aT 

(z-z.) (z-z.) = z -(2e S 

cos(bTs))z + e 

3 

(6.27a) 

A folytonos másodfokú tényező w q sajátfrekvenciája és £ csillapítási 

tényezője (6.8 és 6. 10 egyenletek) az alábbi helyettesítéssel vezetheti 

be: 

-£u ; b=w /l-£ 2 

o o 

115 

(6.27b)

6.1 példa 

Határozzuk meg egy egytárolós folytonos idejű 

M ( s ) = 1 = -. J!jl| ( 6. 2 8 ) 

1+sTj s-s^ u(s) 

átviteli függvényű tag impulzusátviteli függvényét. 

A megoldás menete az, hogy valami 1yen célszerűen választott u^ 

mintavételezett bemenő jelből ki indulva meghatározzuk az y folytonos 

idejű jelet ill. annak y^ mintavételezett alakját. y^ és u^ 

z transzforrnáltjainak a hányadosa a keresett w^(z) impulzusátviteli 

függvény. 

Válasszuk bemenő jelnek az egységugrás mintavételezéséből kapott 

impulzussorozatot, amelynek z transzformáltja (4.9c egyenlet): 

u íz)= -V- (6.29) 

d z-1 

Az impulzussorozatot a zérusrendű tartószerv u folytonos jel lé 

H 

alakítja (6.3 ábra) amelynek Laplace tr a nszforrnáltja, ha w (s) a 

n 

tartószerv átviteli függvénye (4.1 egyenlet): 

-sT 

u H(s) = w H(s) u d(s) = 3 • L _ = 4- (6.30) 

1 -e 

tehát u„ az időrartományban egységugrás. 

H 

6.3 ábra 

>TÍszhangban van azzal a korábbi (4. 2 pont) megál lapítással, hogy 

: rendű tartószerv a mintavételezett ugrásfüggvénybő1 ismét 

116 

3

ugrásfüggvényt ál 1ít elő. Éppen ezért választottuk bemenő jelnek ezt a 

jelet. Minden más görbealak u -ra lépcsős görbét eredményezett volna, 

amely a további számításokat nehézkessé tenné. 

A tárolós tag kimenő jele a frekvenciatartományban: 

y(s)=w(s) u u(s)= — . * (6.31a) 

H s 1+sIj 

Részlettörtekre bontva és az időtartományba visszatranszformálva 

T -t/T 

, , 1 1 , 1 

y( S) = - -ÜST ; y = 

S 5 

1 (6.31b) 

Az y-ból képzett mintasorozat z transzformáltja (4.lOd egyenlet j 

y l J 

d 

E z Z e l 

ÍM = z 

W j(z) 

_ T 

1 Z 

z-1 -T / T, 

s 1 

z- e 

-T /T, s T 

f , . s 1 . Is 

y (z) l-e l-e 

(6 32) 

d u ,(z) -T /T, s.T „ . 

d s 1 ls ib 33) 

z-e z-e 

ahol s 1=-l/T r 

Az eredmény megegyezik a (6.23b) egyenlettel 

6.2 példa 

A folytonos idejű rendszer átviteli függvénye 

w(s) = 

( 1 + 5s) 

(l+10s)(l+8s)(l+4s)(l+2s) ib 34; 

Határozzuk meg a rendszer diszkrét átviteli t ti^ 'ényet n :,r**i.dú 

tartószervvel T = 1 mintavételi idővel. 

s 

A függvényt zérus-pólus alakra hozva (6.2 egvnruHí a k T. átviteli 

tényező, az zérusok és az S pólusok: 

S =s =-0,2; k =1/128 (6 35j 

-0,1 z z T 

-0,125 

-0,25 

-0,5 

A feladatot a MATLAB-bal oldjuk meg. Először meg kell határozni a wís) 

számláló és nevező polinomjának együttható mátrixait. A számlálóra ez 

117

azonnal látszik. A nevezőt vagy a (6.34) nevezőjében álló tagok 

összeszorzásábó1 (a conv utasítás ismételt alkalmazásával), vagy a 

(6.35)-ből a poly(S) utasítással kapjuk. 

N = poly(S) (6.36a) 

A számláló együttható mátrixa 

M = k T* [1, -0.2] (6.36b) 

A diszkrét átviteli függvényt polinomiális alakban a c2dm utasítással 

számítjuk, majd a tf2zp utasítással zérus-pólus alakra hozzuk. 

[Md,Nd] = c2dm(M,N,Ts); (6.37) 

[Zz,Z,kd] = tf2zp(Md,Nd,Ts) (6.38) 

Az eredmény: 

k^ =0,0011 

d 

z ,=0,8187; z =-3,088; z = -0,2198 

zl ' z2 z3 

z =0,9048; z 0 = 0,8825; z 0 = 0,7788; z =0,6065 , e o n , 

1 2 3 4 (6.39a~cJ 

A z^,...,z^ pólusok megegyeznek a (6.24)-bői számítható értékekkel 

(s^k a (6.35) S vektorából). 

A három zérus közül T. pozitív valós érték, amelyre a (6.25a) most igen 

jó közelítés. A másik két diszkrét zérusnak nincs folytonos megfelelője, 

ezért azok negatív valós számok. Mivel pedig w(s) számlálója és nevezője 

között a fokszám különbség 3, az egyik negatív valós zérus abszolút 

értéke egynél nagyobb. 

6.3 példa 

Határozzuk meg a következő átviteli függvenyű tag impulzusátviteli 

függvényét: 

2 

, > 1+3,6s + 9s , c 

w(s)= — 5 

p- (6. 40) 

(l+5s)(l+2,8s+4s ) 

A számlálóban és a nevezőben is van egy másodfokú gyöktényező, amelyek 

sajátfrekvenciái és csillapításai : 

A számlálóban w = 1/3 ; < = 0,6 (6.41a) 

oz 

A nevezőben * u> =1/2 ; C = 0,7 (6.41b) 

A függvény zérusai és pólusai: 

o 

s zl=-0,2 + j 0,2667; -0,2 - j 0,2667 

s 1 =-0,2; s2= -0,35+j 0,3571; s3= -0,35- j 0,9571 (6.42) 

118

A diszkrét átviteli -függvényt a 6.2 példában tárgyalt módon meghatározva 

zérus-pólus formában: 

Z 

zl 2 = 

7 8 8 5 

°' 

í 0.2156J; 

Z j = 0.8187; z 2 3=0,6602 + 0,2463 j 

k^ = 0,3501 (6.43) 

d 

Ha a zérusokat az s értékekből a (6.25a) közelítő formulával 

z 

számítanánk, az 

s T 

Z 

e 

S 

=0,7898- 0,2157 j 

eredményt kapnánk, ami jól egyezik a pontos z z értékekkel. 

A komplex gyöktényezőket másodfokú gyöktényezőkbe vonva össze 

, > n O K n. 

2 

z -l,5771z + 0,6683 

w,(z)=0,3501 

d 

' (z-0,818)(z 2 

-1,3205z+0,4966) 

(6.44) 

A nevező másodrendű gyöktényezőjére pontosan, a számlálóéra közelítőén 

teljesül a (6.27). 

6.4 Hatásvázlatok átalakítása 

A rendszer hatásvázlata az egyes tagok átviteli fügvvényeinek 

összevonásával, a ki- és a bemenő jelek áthelyezésével a számításokhoz a 

legalkalmasabb formára hozható. Mivel az átalakítási szabályok a 

folytonos és a diszkrét átviteli függvényekre egyaránt érvényesek, a 

következőkben nem teszünk különbséget közöttük. 

Tagcsoportok átviteli függvényei 

Sorosan kapcsolt és átviteli függvényű tagok egyetlen w átvitel i 

függvénnyel helyettesíthetők (6.4a ábra). 

w u-w 

" - y 

- = — ^- = w,w0 (6.45) 

u u 12 

Párhuzamosan kapcsolt tagokra (b ábra): 

w = w 2 (6.46) 

Visszacsato1ásra (c ábra): 

119

A számlálóban az előrevezető ág átviteli függvénye ál 1. A nevezőben a - 

jel a pozitív, a + jel a negatív visszacsatolásra vonatkozik. w q az un. 

felnyitott körnek az átviteli függvénye, amely a tetszés szerinti helyen 

felvágott körben a felnyitási pontok (d ábra a - b) között található 

tagok átviteli függvényeinek az eredője. 

u 

w 1 

* 1 . w 2 

W = W4 w 

1 w 2 

* w- 

Jelek áthelyezése 

© 

© 

y 2 , 

6.4 ábra 

U U

u 1 

u 1 

w 1 

w 0 

w 2 

© 

© 

6.5 ábra 

6.6 ábra 

B.7 ábra 

u 1 

w 1 

w 1 

w, w 2 

u 2 

i y 

r — — — i i _ 

Visszacsatolt körre ható bemenőjel és az általa a kör egy másik 

pontjában előidézett jel közötti kapcsolat a 6.8 ábra alapján 

állapítható meg. Keressük például az u bemenő jel és az y jel közötti 

w 2 

© 

w átviteli függvényt, csak u^ hatását tekintve (u^=0). 

121 

U- 

y

y = W 

2 2 ( 

V y ) = w ( u 

l 2 2" w y ) = w 

l 2 ( 

V w 

l y 

2 W 

3 ) 

y~ w w 

— = , = (6.48) 

u_ I+w.w0w0 1+w^ 

2 12 3 o 

Ennek alapján általános szabály is megadható. Az átviteli függvény 

számlálójában a bemenő és a keresett jel között a hatási rányban 

található átviteli függvények eredője, míg nevezőjében mindig az 

1+ W q kifejezés ál 1. W q a felnyitott kör átviteli függvénye. A + jel a 

negatív, a - jel a pozitív visszacsatolásra érvényes. 

6.8 ábra 

Ha pl. az y^ jelnek az u 1 -tői való függését akarjuk a átvitel i 

függvénnyé1 jellemezni, a szabály alapján: 

w = —t (6.49) 

h 1+w 

o 

Ha u^* 0 esetén keressük y^-t 

y. 

W 

l W 

2 U 

l 

2 1+w 

o 

+ W 

2 U 

2 

6.5 Folytonos idejű tag frekvencia átviteli függvénye 

Ha egy 1ineáris folytonos idejű tag bemenetére állandósult periodikus 

jel hat, amelyet u(jw)exp(jwt) formában í runk le íu(jw) az w-tól függő 

komplex amplitudó), akkor állandósult állapotban a kimenő jel 

(feltéve, hogy van állandósult értéke) is periodikus függvény, amely 

y(jüí)exp(jí*)t) alakú. A két jel közötti összefüggés 

w(Jw)=y(Jw)/u(Jw) (6.50) 

alakban adható meg. w(jw) abszolút értéke az y(ja>) és u(jw) jelek 

aöszo*^ . tekének hányadosa, míg szöge az y és u jelek közötti 

fáziseltolást mutatja. w(jw) a tag folytonos idejű frekvencia átviteli 

vagy röviden folytonos frekvencia függvénye. 

122

Mivel jw=s helyettesítéssel a (6.50) kifejezés megegyezik az átviteli 

függvény definíciójával, formailag w(jw) nem más, mint a folytonos 

idejű tag átviteli függvényének s=jw helyettesítéssel előálló értéke. 

Mivel pedig ez a helyettesítés a Laplace transzforrnáltból a Fourier 

transzforrnál tat ál 1ítja elő - amennyiben az létezik - a frekvencia 

átviteli függvény formailag a súlyfüggvény Fourier transzformáltja. Ezen 

kapcsolat következtében a w(jw) függvény a tag tranziens viselkedését is 

tükrözi. 

Ha a rendszert olyan új hatás éri, amely tranzienseket vált ki, 

kezdetben a nagyfrekvenciás, a későbbiekben a kisf rekvenc iás 

tulajdonságai dominálnak; az s=»jw=x> átmenet éppen az ál landósul t 

viselkedést tárja fel (6.20 egyenlet). Ez a minőségi kapcsolat azonban 

nem o1yan, hogy az idő- és a frekvencia tartomány között pontos 

mennyiségi összerendelést tenne lehetővé. 

6.5.1 Nyquist diagram 

A Nyquist vagy komplex amplitudó - körfrekvencia diagram (Nyquist plot) 

a w(jw) vektor helygörbéjét írja le a komplex sikon, ha az w paraméter 

az -co)=w( jw), az u>

vektorokat kellene azonos diagramban ábrázolni. 

Valójában csak szűkebb kiterjedésű görbeszakaszt lehet megfelelő 

léptékben ábrázolni, így fokozott jelentősége van annak, hogy a görbe 

menetéről nagyságrendi áttekintésünk legyen. Az i rány í t ás t echn i ka i 

gyakorlatban a legtöbb esetben amúgy is csak erre van szükség, a 

részletek legfeljebb szűkebb környezetben érdekesek. 

Rációnál is törtfüggvény ábrázolását megkönnyítik az alábbi 

megfontolások: 

a. ) Ha a számláló w-ban alacsonyabb fokú, mint a nevező, az ÜF=±SO pont 

az origóba kerül. 

b. ) Arányos típusú tagban az o>=0~hoz tartozó w(0) vektor a valós 

tengelyre esik, abszolút értéke a tag átviteli tényezője (6.11 

egyenlet k T). 

c. ) Az w=#co értékeknél a pol inomiál is formában f el írt átvitel i 

függvénynek (6.1 egyenlet) mind a számlálójában, mind a nevezőjében 

a legmagasabb hatványú tag dominál. s=jw helyettesítéssel: 

m (jw) m 

( . * m 

w(jw)= ~~— 

(jw) 

, , 

, . .-(n-m) 

= mîjo)) 

(6.51) 

Mivel jo> fázisszöge H/2, nagy w-ra a w( jw) vektor fázisszöge 

annyiszor - FT/2, amennyi a számláló és a nevező fokszámkülönbsége. 

Ez pozitív egész szám (eset leg zérus), így w=#oo hat árát menet kor w( jw) 

valamelyik koordináta tengely mentén éri el a. w(oo) pontot (általában 

az origót). 

d. ) A (6.11 )-ben (ju>) a teljes u> tartományban valamelyik koordináta 

tengelyen mozog, fázisszöge állandó, a szöget Wp(jw) változtatja. Ha 

Wp-ben az összes időállandó és esi 1lapítási tényező pozitív előjelű, 

a rendszer minimum fázisú. Ekkor miközben D zérustól +oo-ig változik, 

az elsőfokú gyöktényezők fázisszöge O-tól ±TI/2-ig változik. 

Az eredő fázisszög az egyes tényezők fázisszögeinek összege (a 

számlálóban levőket pozitív, a nevezőben levőket negat ív előjel lel 

összegezve). A frekvencia tartományt 0 oo között befutva w(jw) 

vektora w^(jw) vektorához (a ki indulási helyzethez) képest annyiszor 

-TI/2 szöggel fordul el, amennyivel több ekvivalens elsőfokú 

gyöktényező van Wp nevezőjében, mint a számlálójában. Másodfokú 

tényezők két elsőfokúnak számítanak, a többszörös gyökökhöz tartozók 

a multiplicitassál azonos darabszámmal egyenértékűek. 

Nem minimum fázisú rendszerekben azok a gyöktényezők, amelyeknek 

negat ív időállandóik (másodfokú tényezőknek negat ív esi 1lapításai) 

vannak, a többiekhez képest ellenkező i rányú fáziseltolást 

okoznak. Az eredő fázise1fordulást a minimum és a nem minimum fázisú 

gyöktényezők fázisforgatásának az összegezése adja. 

e. ) A w( ja>) vektorok abszolút értékei sokszor a gyakorlati igényeket 

124

kielégítő pontossággal határozhatók meg a frekvencia függvénynek 

egyes frekvencia sávokra vonatkozó aszimptotikus közelítéséből, 

amelyek a Nyquist diagram menetéről is áttekintő képet adnak. Az 

aszimptotikus közelítés lényege az, hogy egy-egy gyöktényezőt vagy 

az o>=0 körül i, vagy az w=oo-re vonatkozó asz imptotájávai 

helyettesítjük. A kettő közötti határnak azt a frekvenciát 

tekintjük, amelyre a két közelítés azonos abszolút értéket 

eredményez. így pl- 

1+jWT = 

Másodfokú tényezőkre 

1 , ha orr < 1 , ill. ü) 

jü)T , ha WT > 1 , ill. ü) 

l+2Ct oJo> + T^(jw) 2 1 , ha ü) < 

2 2 1 

-ü) x , ha ü) > — 

o T 

(6.52a) 

(6.52b) 

(6.53a) 

(6.53b) 

A 6.10 ábra a számlálóban (a. ábra) ill.. a nevezőben ál ló (b. 

ábra) egyetlen elsőfokú gyöktényező helygörbéjét és annak aszimptotikus 

közelítését szemlélteti. A w(jw)=l+jwx helygörbéje a valós tengely + 1 

pontján átmenő, a képzetes tengellyel párhuzamos egyenes, amelynek w 

skálája egyenletes. 

© 

-táp-ej; B I 

© 

6.10 ábra 6.11 ábra 

Az b) < 1/x f rekvenc i ákra az aszimptot ikus közel ítés a valós tengelyre 

eső w(0)= 1 vektor, míg az w > 1/x frekvenciákra a képzetes tengelybe 

125

eső jü)T egyenes (mindkettőt vastag vonal lal jeleztük). A tényleges w( jw) 

vektorok kis és nagy frekvenciákon aszimptotikusan közelednek ezekhez az 

értékekhez. A két helyettesítés közötti határ az wx=l értéken van, ahol 

w( jo>) abszolút értéke V2, fázisszöge 45 . Ennél van a közel ítés 

hibájának a maximuma is. orr egyéb értékein a tényleges és a közel ítő 

értékek a 6.1 táblázat szerint alakulnak. 

ü) X 5 2 1 0,5 0,2 

|w| 5, 1 2,24 1,41 1, 12 1,02 

W -DT 

a 

w = 1 

a 

5 2 1 

1 1 1 

egyenlet szerinti alakban van szükség. Az eljárást a 6.5 példa keretében 

mutatjuk be. 

Holt idős tag frekvencia függvénye 

w( jw) = e ; |w| = 1 ; 1 tartományban - igen erősen módosítja. a)T^= 1 -nél (p = -1 radián, 

azaz -57,3°. 

6.4 példa 

Számítógépes eljárás a Nyquist diagram meghatározására 

A MATLAB-ban a nyquist utasítás kiszámítja a w(ju) frekvencia függvény 

valós és képzetes részét különböző pozit ív w frekvenciákon. Az CJ 

értékéket elő lehet írni, de az utasítás automatikusan is képes 

generálni azokat. 

A paraméterezéstől függően akár az ál lapotegyenlet paraméter 

mátrixaival, akár az átviteli függvény együttható polinomjaival el lehet 

végezni a számításokat. 

Az utasítás a holtidőt nem tudja kezelni. Holt idős tagot csak úgy lehet 

figyelembe venni, hogy a kiszámított valós és képzetes részekből 

meghatározzuk w(jü>) vektorát, módosítjuk a fázisszögét -wT^-val, majd az 

eredményt valós és képzetes alakban adjuk meg. Ehhez a műveletsorhoz 

használhatók az abs; angle; unwrap; real; imag utasítások. 

A frekvencia értékek a 1inspace és a logspace utasításokkal 

generálhatók. £z első 1ineárisan, a második logaritmikusan egyenlő 

iépésközű frekvencia értékeket ad az előírt határok között. 

A diagramot az utasítás vagy automatikusan ábrázolja, vagy a plot 

utasítással kell a valós rész függvényében a képzetes részt és annak 

negat ív ját (negatív o>) is felrajzoltatni . 

6.5 Példa 

Határozzuk meg a 

w(s) = 10 

l+2s 

(l+10s)(l+0,6s+(0,5s) 2 

) (6.55) 

átviteli függvényű tag Nyquist diagramját. 

A görbéről nagyvonalú áttekintést úgy kaphatunk, ha az egyenletben s=jo> 

helyettesítés után w-val 0-tól +oo felé haladva a számláló ill. a nevező 

127

egyes tényezőit az adott frekvenciának megfelelő aszimptotával 

helyettesítjük. A közelítésben akkor következik be változás, amikor a 

körfrekvencia át lépi azt az értéket, ame1yné1 valamelyik tényezőben 

aszimptota váltásra kerül sor. így négy frekvencia tartományt 

különíthetünk el. Ezekben a w( jo>) függvény aszimptotikus közel ítését, 

annak amplitudó és szög értékeit a 6.2 táblázat tartalmazza. 

w( jü>) IvMjw) | 

a 0 - 1/10 10 10 0 

b 1/10 - 1/2 10/10 jo> l/ü) -90 

c 1/2 - 2 20 jcj/10 ju 2 0 

d 2 - o o 2 /(0,5jw) 2 2 

8/CÜ 


â 

-180 

A görbe (6. 12 ábra) o>=0-nál a pozitív valós tengelyre eső w(0) = 10 

értékből indul. u> növekedésekor ehhez képest először a nevező első 

tényezőjének hatása érvényesül, amely a w(jw) vektort a negatív 

fázisszögek irányába fordítja. így a vektor kezdetben nagyjából állandó 

(a szakasz), majd az w=0, 1 frekvencia át lépése után w-val arányosan 

csökkenő amplitúdóval (b szakasz) a negatív képzetes tengely irányába 

fordul (=2~nél a nevező második 

tényezőjében a (0,5j(*>) tag vál ik dominálóvá. Ennek hatására a vektor 

Ü) -tel arányosan csökkenő amplitudóval a negatív valós tengelyhez tart 

(d szakasz) és onnan fut be az origóba. 


128

6.6 példa 

Határozzuk meg a nem minimálfázisú 

W ( S ) 

= rPIÖiT(Í°4s)(U2s) 

átviteli függvény Nyquist diagramjának menetét. 

Í 6 S 6 ) 

' 

s=jü)=0~nál a görbe a negat ív valós tengelyre eső w(0)=-10 vektor 

végpontjából indul. Először a nevező első - nem minimálfázisú tényezője 

vál ik dominálóvá, ami a w(jw) vektort ki indulási helyzetéhez képest 

pozitív szöggel forgatja el, így az kezdetben közel állandó, majd az 

w=0, 1 frekvencián történő aszimptota váltás után w-val csökkenő 

amplitúdóval a negatív képzetes tengelyhez közelít (6. ÍJ ábra a és b 

szakasz). A frekvencia további növekedésekor a nevezd másik két 

tényezője ís aktivizálódik, és mindkettő negatív fáziseltolást okoz. 

Ennek hatására először a görbe a negat ív valós tengelyhez közelít (c. 

szakasz), majd a frekvencia minden határon túli növekedésekor a pozitív 

képzetes tengely irányából fut be az origóba (d.szakasz). 

6.5.2 A frekvencia diagram származtatása konform leképezéssel 

A w(s) komplex változós függvény az s komplex tárgysík vektorait a w 

képsík vektoraiba viszi át. A leképezés során az s sík zárt görbéi (g^) 

a w síkon is zárt görbékbe mennek át (6.14a ábra ). Ha a g 1 görbe maga 

a képzetes tengely (ez zárt görbe, mert a komplex számsíknak csak 

egyet len oo pontja van, függetlenül attól, me 1 y i k irányból közei í t jük), 

akkor a leképezés eredménye a w(ju>) zárt Nyquist diagram (b ábra). 

A leképezés az s sík o1yan pontjaira, amelyekben a w(s) függvény 

szinguláris, nem értelmezhető. Ezért az ilyen pontokon a g^ görbével 

nem szabad keresztülhaladni, hanem reguláris környezetükben meg kel 1 

kerülni azokat. Vizsgáljuk pl, a 

w(s) = l/s (6.57) 

függvény frekvencia diagramját. Mivel a függvénynek az s=0 pontban 

szinguláris helye van, a g 1 görbével az s sík origóját - pl. egy 

tetszőlegesen kis r sugarú körrel - meg kell kerülni. 

Á P és P 2 pontok között tehát a görbe a képzetes tengelytől 

eltérő k körön halad (-90° és +90° közé eső változó a görbén - co-től a 

pontig változik, a w sík origójából ki indulva a pozitív képzetes 

tengelyt futja be a P^ pontig. Amikor az s a (6.58a)-nak megfelelő 

szakaszra kerül, akkor 

129

w(s)= — = _I e-J* = R e-J» 

r 

(6.58b) 

az R sugarú k' körön a negatív szögek irányában éri el a negatív 

képzetes tengelyen fekvő P^ pontot, amely az s sík P^ pontjának a 

leképezése (c ábra). Innen pedig a g^ görbe P^ és + co közötti 

szakaszának képeként a negatív képzetes tengely mentén fut be az 

origóba. A k' körív R sugara r=*0 esetében minden határon túl nő, a 

Pj' és P^' pontok megközel ít ik a w=co pontot. A k' körív azt mutatja, 

hogy a frekvencia diagram a szinguláris w(co) pont környezetében hogyan 

záródik. (Esetünkben úgy, hogy w jobboldali félsíkját foglalja magában.) 

s sík w sík s sik wsík 

6.14 ábra 

A d ábra annyiban különbözik a c-től, hogy itt a g^ görbe ellentétes 

i rányban úgy kerüli meg az s sík origóját, hogy azt a jobboldal i 

félsíkhoz sorolja. Ekkor a w(jw) görbe úgy záródik, hogy a w sík 

130

aloldali félsíkja kerül a görbe belsejébe. 

A konform leképzéssel ilyen módon akkor is eldönthető, hogy a w(jw) 

görbe mit zár körül, amikor arra a 6.5 és 6.6 példákban követett 

gondo1atmenet nem tud válaszolni. 

6.7 példa 

Egy tag átviteli függvénye 

w(s) = 

1 

s 2 

(l+s) 

Határozzuk meg a Nyquist diagramot. 

s sík w sík 

2 

4P, 

6,15 ábra 

(6.59) 

Az s=0 a függvénynek kétszeres szinguláris helye. A konform leképezésből 

ezt a pontot a g 1 görbe segítségével kirekesztve (6.15 ábra) a w(jw) 

képgörbe a P^-P^ pontok közötti körívből és a Pp t=*Pj közötti növekvő ca 

irányába befutott szakasz 

helyettesítéssel a (6.59)-bői 

w(jü)) = 

2 

(jw) "(1+jw) 

•jcj 

leképezéséből. tevődik össze. s=jt*> 

(6.60) 

A P 0 pontnak megfelelő kis pozitív u> értékből kiindulva a>-t növelve a 

w(j(4)) görbéje negatív valós és pozitív képzetes résszel közeledik az 

origóhoz, majd ü>=oo-né 1 a w=0 ponton áthaladva az előző görbeszakasz 

(negatív 0-nak megfelelő) tükörképén éri el a P^' pontot. 

131

A ' és P^' pontok közötti zárószakasz a és P^ közötti r sugarú 

kört leíró (6.58a) egyenletnek a (6.59)-be helyettesítéséből adódik. Ha 

r elegendően kicsi, a nevező második tényezője első közelítésben 

figyelmen kívül hagyható. Ekkor 

W ( S) = e" 2 

^ = R e" 2 

^ 

r 

( 6 6 1 ) 

Miközben az s síkon a ) = w(o>) e 3) függvény abszolút értéke (gain), =arctg OJT (6.65a) 

log w=log 

. 2 2 

1+0) T (6.65b) 

A görbék a 6. 16a ábrán láthatók. Az ampl i tudó görbe az u> < 1/T 

frekvenc i ákon a k i sfrekvenc i ás, a fölött a nagyfrekvenc i ás 

132

aszimptotájávai közelíthető, ami a (6.52) egyenletnek felel meg. 

log w = 0, ha UT < 1; log w = log OJT , ha Ü>T > 1 (6.66a-b) 

Az első vízszintes egyenes (esetünkben az egységnyi erősítés 0 dB-es 

tengelye), a másik olyan egyenes, ame11ye1 egy nagyságrendnyi amplitudó 

növekedés egy nagyságrendnyi frekvencia növeléssel érhető el, tehát 

meredeksége (1). Egy nagyságrendnyi frekvencia tartományt dekádnak 

nevezve az egységnyi meredekség 20 dB/dek formában is megadható. 

A b ábrán a 

6.16 ábra 

w(Jw)= -yr^r- (6.67) 

átviteli függvény Bode diagramja látható. Az a ábrához képest annyi a 

különbség, hogy a nagyfrekvenc i ás aszimptota meredeksége -1 

(-20dB/dek). 

A fázisszög a két esetben 0 és +90° ill. 0 és -90° között változik. Az 

w=l/x ill. o=l/T pontokban értéke +45° ill. -45°. 

Másodfokú gyöktényező nagyfrekvenc i ás aszimptotájának meredeksége a 

133

(6.53b) szerint az elsőrendűnek a kétszerese ((±2) ill. ±40dB/dek). 

Alkalmazástechnikailag sokkal előnyösebb, ha úgy fogjuk fel, hogy az 

amplitúdó diagramot kétszer logaritmikus (loglog), a fázisdiagramot 

egyszer logaritmikus (semilog) papíron ábrázoljuk és a koordináta 

tengelyekre a frekvencia, az amplitudó és a fázisszög tényleges értékeit 

tüntetjük fel. Ha ily módon mellőzzük a logaritmikus ill. a decibelben 

kifejezett értékek használatát, az aszimptotikus diagram kezelése 

fejszámolásra, az ábra maga i1lusztráció szintjére egyszerűsödik. 

Több gyöktényezős amplitudó diagram szerkesztésekor az egyes tényezők 

meglehetősen áttekinthetetlen szuperponálása helyett nagyvonalú 

tájékozódáskor előnyösebb a 6.6 és 6.7 pé1dákban alkalmazott 

aszimptotikus technika. 

6.8 példa 

Számítógépes eljárás a folytonos idejű rendszer Bode diagramjának 

meghatározására 

A MATLAB a bode utasítással számítja ki o> függvényében a w és < 0, 1 frekvenciákon a 

függvény w=10 állandó értékkel helyettesíthető (6.2 táblázat a szakasz). 

A 0,1 és 0,5 közötti frekvenciákon a nevező első tagjának 

nagyfrekvenciás közel ítése dominál, így a w--t egy egységnyi negatív 

meredekségű egyenes ábrázolja. Ez u>=0,S-nél a számláló belépése miatt 

w=2 értékkel vízszintessé, majd LŰ = 2-nél a nevező másodfokú tényezője 

miatt -2 meredekségűvé (-40 dB/dek) válik. 

A pontos diagramot a MATLAB-bal kiszámítva, abban feltüntettük az 

aszimptotikus közelitéseket is. Az eredményt a 6.17 ábra mutatja. 

/z Ű). c vágási frekvencia, aho 1 az ampl itudó egységnyivé vál ik, a d 

szakaszon van. Közelítő értéke a 6.2 táblázat szerinti aszimptotikus 

közelítésből 

134

6.17 ábra 

A fázisszögre az aszimptotikus közelítés nem ad kielégítő eredményt, azt 

legegyszerűbb az egyes tényezőkből kiszámítani. A (6.54) egyenletből 

s=jo> c=j2, 83 helyettesítéssel: 

)= 6 

' 

2 > 8 3 

(0,5-2,83) 2 

-l 

6.5.4 összefüggés az amplitúdó és a fázisdiagram között 

Amint az a 6. 2 táblázatból kitűnt, w(jw) aszimptotikus közelítése mindig 

egy jwT alakú kifejezés egyik hatványa. Az n hatványkitevő pozitív vagy 

negatív egész szám ill. zérus lehet. 

Minimumfázisú rendszerben az aszimptota fázisszöge egyértelműen 

összerendelhető ezzel a hat ványk i t evőve1. ±n-hez ugyanis ±n90° 

aszimptotikus fázisszög tartozik. 

Mivel az aszimptotikus Bode amplitudó diagram meredeksége is ±n, az 

egyes szakaszok meredekségébő1 egyértelműen következik a szakasz 

aszimptotikus fázisszöge is (pl. (-2) meredekségnél -180°, stb.). A 

meredekségváltozást okozó töréspontokban a fázisszög aszimptota is 

ugrik. 

135 

) =

Nem minimumfázisú rendszerben az aszimptot ikus amplitudó és 

fázisdiagram összerendelése eset i. Az amplitudó diagram azonos 

meredekségű szakaszaihoz még ugyanazon diagramon belül is különböző 

aszimptot ikus szögértékek tartozhatnak, sőt az is előfordulhat, hogy egy 

állandó meredekségű szakaszon belül ugrik az aszimptot ikus szög. Ezért 

meg kel 1 különböztetni a töréspontokat - ahol meredekség változás 

következik be - a sarokpontoktó1, ahol a fázisszög aszimptota változik. 

A sarokpont az általánosabb, mert a másikat is magába foglalja. 

A fázisszög általában különbözik az aszimptot ikus értékétől. Az 

eltérésre elvileg az átviteli függvény valamennyi gyöktényezője - ill. 

az azokat az aszimptotikus amplitudó diagramban megjelenítő sarokpont - 

hatással van. 

A 6. 1 táblázat ill. a 6. 18 ábra szerint egyet len egyszeres - ±90° 

fázisszög ugrást okozó - sarokponttól származó A

6.10 példa 

Határozzuk meg az 6.6 pé1dában tárgyalt nem minimálfázisú rendszer 

aszimptotikus amplitudó diagramját, és becsüljük meg ennek alapján az 

o>=0, 2 pontban a fázisszög értékét. 

Az ttKO, 1 frekvenciákon az aszimptot ikus közel ítés w(ju>) ~ -10. Ennek 

amplitudója w=10, fázisszöge -180 . Az o>=0, 1 sarokpontban ezek a nevező 

első tényezőjének aszimptota váltása következtében w=1/ü> és ^=-9Q°-ra 

módosulnak. A nevező második és harmadik tényezőjének aktivizálódását az 

u>=0, 25 ill. ü)=0, 5 f rekvenc iákon kialakuló sarokpontok jelzik, amelyekben 

a fázisszög aszimptoták -180 ill. -270 -ra változnak. Az aszimptotikus 

amp1itudó diagramot a 6. 19 ábra szemlélteti, Az egyes szakaszokon 

feltüntettük a megfelelő aszimptotikus fázisszög értékeket, valamint 

zárójelben a szakasz meredekségét is. 

Az o>=0,2 frekvencián az aszimptotikus fázisszög -90°. Ezt kel 1 a három 

sarokpont hatásával korrigálni. Az o>=0, l-es sarokpontban a szög 

aszimptota +90°-kal (pozitív irány) változott, így ennek hatása az 1:2 

távolságban levő w=0,2 pontban

6.6 Diszkrét idejű tag frekvencia átviteli függvénye 

Diszkrét idejű tag w^Cjw) frekvencia átviteli függvénye a w d(z) 

impulzusátviteli függvényből 

helyettesítéssel származtatható. 

(6.68) 

w^(jű>) az IÚ változónak transzcendens függvénye, ezért a frekvencia 

diagram menetéről gyors áttekintést adó aszimptotikus közelítés 

közvetlenül nem alkalmazható. 

így bár a z transzforrnáltbó1 a tag diszkrét idejű Fourier spektruma zárt 

kifejezésben rendelkezésre ál1, az nem tükrözi eléggé szemléletesen sem 

a frekvencia görbe menetét, sem a folytonos és a diszkrét idejű jelek 

frekvencia spektrumai közötti összefüggést. 

6.6.1 A mintavételezett jel frekvencia spektruma 

Jelölje y(jo>) egy folytonos idejű y jel frekvencia spektrumát 

ábra). A T g időközönkénti mintavételezéssel előál1ított y^ jel 

frekvencia spektruma a 6.11 pé1dában bemutatott eljárással az 

alakban fejezhető ki: 

y d(j

6.11 példa 

A ..-hv^'te 1 

r ! es. jel 

1 

y (j CŰ) 

-2a -Q. o a 2Q 

v ^ L w n c a ? ôekt.~umana^ 

6.20 ábra 

raefhatározása 

A ii. ntavet-^ c-?t s o 5 

< c-.i< a i r v ^ « v-ud;. moouiár ióoc 1 s/ár naztalható, amikor az 

y foly* oros í cs j" jelet egyiegr; 5 t^ru 1 

eti' t szélességű egymást T 

s 

í d c K ö ^ ö T k e i m' -'c v ő * mpu" vuso- i u. ^' \" - inpuLai^ ôrozautal szorozzuk 

iB, 21 a-b ábra). 

a~ y jeiê'^ e L a,b v 

a f/z^r < n i a c~C nont bar. vU" ' jg^áss. *.s lehet. 

h srorzás -d' >üpyt ol„ar „mpu3 z: ^ sorozni, a i n e i v - x i az nT^ pillanatban 

az 

s 

ereié' '

teljesen az u^ mintavételes sorozattal, hanem 

y 

Md = yI=y y(0) őCt); ~ Í (6.70a) 

i1 letve 

y 

d = 

\ y ( 0 ) ő ( t ) + y 1 

(6.70b) 

Helyettesítsük I-ben is az impulzusokat Dirac függvényekké1 és képezzük 

az így előálló T periódusidejű periodikus függvény Fourier sorát. 

oo * jnOt 

1= £ c e 

u 

n 

n=-oo 

6.21 ábra 

ahol fi az ismétlődési (mintavételezési) körfrekvencia 

0=2n/T . 

140

A komplex amplitudó minden n-re: 

T /2 

-jnfit 

V=T 

S 

í ^ d t = í n T 

S 

s -T /2 

s 

Az integrálási tartományban ugyanis I-nek egyetlen Dirac impulzusa van, 

amely a t=0 pontot kivéve mindenütt zérus, ott viszont egységnyi 

területű. Az integrandus második tagja pedig ugyanitt exp(0)=l. 

Ezzel a (6.70b)-ből 

f n l 

00 

jnQt 

yd= ^ ő (t) + E e (6.71) 

s n=-« 

Jelöljük y(jw)-val a folytonos idejű frekvencia spektrumot (6.20a ábra) 

és képezzük a (6.71) egyenlet Fourier integrálját (y^(jw)). 

jwt 

y d(Jw) = J y d e dt 

A műveletet tagonként végezzük. 

-oo 

j ygl 8lt) e 

J u t 

d t = y t o i ( 6 . 7 2 a ) 

1 f ±jnfi jwt 1 f j(w±nfi)t 

-y- J y e u 

e° dt = -=- J y e dt = 

S -oo S -oo 

= -~- y(jcj±jnfi) (6.72b) 

s 

y( jo>± jnfi) az y( jw) folytonos jelű frekvencia spektrum ±nfi-val való 

eltolásával jön létre. 

A mintavételezett jel frekvencia spektruma az egyes tagok összege, amely 

megegyezik a (6.69) egyenlettel. 

6.6.2 A visszaállított jel spektruma 

Je1vi sszaál1í táskor a mintavételezett jel y^(jw) spektrumából 

igyekszünk valamilyen szűrési eljárással kiválasztani a folytonos idejű 

jel y(jw) spektrumát. A 6.20c ábra tanúsága szerint ez általában nem 

oldható meg tökéletesen, mert az y(jw)-val arányos főeloszlásból 

141

származó összetevő - amelynek különválasztása lenne az ideális megoldás 

a járulékos 

görbe). 

eloszlásokból származó részekkel együtt jelentkezik 

(y H 

Egyes frekvenciatartományok kiszűrése az ábrán egy ideál is szűrővel a 

főeloszlást is csonkítja. A megmaradó spektrum még y(0)=0 esetén is 

különbözik y(jw)-tól, mivel abban az oldalsávok hatása is jelen van. A 

frekvenciatarto mányban így tükröződik az időtartományban triviális 

jelenség, hogy a mintavételezett jel információtartalmából általában nem 

lehet a mintavételi pontok közötti jelenségekre következtetni. A feladat 

közelítő megoldására használt szűrő - a tartószerv - frekvencia 

karakter i szt i kajának az o>=0 és 0/2 között i sávban nagyjából alakhű 

átvitelt és T^-szeres erősítést, nagyobb frekvenciákon viszont erőteljes 

szűrést kel 1 biztosítania. 

A szűrési karakterisztika pontos alakja attól függ, hogy a 

visszaál1ított jel y (jo>) spektruma milyen módon közelíti y(jw)-t. A 

Jrl 

különböző rendszámú tartószervek ebben különböznek egymástól. 

A magasabbrendű tartószervek a nagyobb frekvenciákat erőteljesen 

elnyomják, ezért a visszaál1ított jel nem követ i y( t) hirtelen 

változásait. 

A zérusrendű tartószerv a nagyobb frekvenciákat mérséke1tebben szűri, de 

nagyobb torzítást ad a kisebb frekvenciájú összetevőkben is. 

Minél kisebbek y(jw) függvényében a nagyfrekvenciás összetevők és minél 

nagyobb 0, annál kevésbé fedik át egymást a fő és a járulékos 

eloszlások, és y(0)=0 esetén az o> < 0/2 tartományban annál inkább 

helytál ló az 

y d(jw) ~ i y(j«) (6.73) 

s 

közelítés. Ha y(jw) spektruma csak a közé eső véges tartományra 

terjedne (6.22a ábra), elegendően nagy 0 esetén az oldalsávok teljesen 

elkülönülnének és nem befolyásolnák a fősáv eloszlását, amely így 

arányos lenne y( jw)-val. Ekkor mód nyí Ina y( j 2c^) s tehát még a 

hat ár f re kve nc i ás összetevőből is periódusonként kettőnél több mintát 

kel 1 venni (b ábra). 

2. ) A visszaál1ítást olyan ideál is aluláteresztő szűrő végzi, amely az 

w< u). sávot T -szeres erősítéssel torzítatlanul viszi át, az 0/2 

h s 

felett i tartományt pedig tökéletesen szűri (c ábra). Ekkor az 

142

y^Cjo>)-ból kivágott spektrum (y(0)=0) éppen y(ju>)-val egyezne. 

A Shannon tételek a valóságban elő nem ál1ítható elméleti határeset 

megfogalmazásai. Egyrészt hartárfrekvenciája csak állandósult véges 

számú harmonikus tagból ál ló jelnek van. Egyoldalas (valamikor 

bekapcsolt) jel frekvencia spektruma sohasem korlátozódik a véges 

frekvencia tartományra. Másrészt az ideál is aluláteresztő szűrő 

karakterisztika is csak megközelíthető. Ezért a mintavételezett jel 

teljes hűséggel nem rekonstruá1ható, az elszenvedett információveszteség 

annál kisebb, minél jelentéktelenebb része esik az y(ju>) spektrumnak 

az o) > 0/2 tartományba. 

6.22 ábra 

143

6.6.3 Diszkrét frekvencia átviteli függvény 

A 6.6.2 pont eredményeiből a diszkrét frekvencia átviteli függvényre az 

alábbi következtetések vonhatók le. 

1. ) A w^(_ja>]_ frekvencia átviteli függvény egy mintavételezett jel - a 

diszkrét súlyfüggvény - frekvencia spektruma, ezért a frekvencia 

tartomány fi "szélességű sávjaiban periodikusan ismét lődik. A 

frekvencia diagramot elegendő a -ÍI/T s 

n/T fősávban 

s 

meghatározni. 

2. ) A diszkrét súlyfüggvény a tag diszkrét idejű model1 jenek válasza 

egyetlen egységnyi területű Dirac függvényből ál ló bemenő 

impulzussorozatra. Ha a tag folytonos idejű, diszkrét idejű modellje 

a tartószervet is magában foglalja. 

3. ) Példaképpen egy folytonos idejű 

© 

w(s) 

1 

1+sT 

átviteli függvenyű tag w folytonos idejű és diszkrét idejű 

súlyfüggvényeit a 6.23 ábrán hasonlítjuk össze. Dirac delta 

bemenetre a folytonos idejű model1 (a ábra) kimenő jele - a 

folytonos idejű súlyfüggvény w(0)=l/T 1 kezdeti értékből induló, 

1 

időállandóval exponenc iáii san lecsengő görbe. Ennek 

mintavételezése exponenciálisan csökkenő területű impulzusok 

sorozata lenne. 

w 

6.23 ábra 

y*w H 

y d-" w d 

A K zérusrendű tartószervvel kiegészített diszkrét idejű model1ben 

(b ábra) a tartószerv a bemenő Dirac impulzust egy T g szélességű 

144

egységnyi amplitúdójú négyszög impulzussá alakítja, amelynek 

hatására a tag kimenetén w folytonos idejű jel jön létre. Ez O-ból 

indul (w H(0)=0), a t=Tg időpontig az l-exp(-T^/Ts) értékig 

növekszik, majd a bemenő jel megszűntével időállandójú 

exponenciális görbe szerint esillapodik. 

mintavételezett alakja a w^=w^ diszkrét idejű súlyfüggvény. 

ami nem azonos a folytonos idejű súlyfüggvény mintavételezett 

formájával (Pl. w,(0)=0; w.íOM/T, ). 

* d d 1 

4.) A 3. -ból következik, hogy a folytonos idejű tag w^( jo>) diszkrét 

frekvencia átviteli függvénye. ha a fősávon belül az oldalsávok 

hatása e1hanyago1ható, nem a tag w(jw) folytonos frekvencia átviteli 

függvényével, hanem a w (joO • w( jcj) függvénnyé 1 arányos, ahol w TT( ju>) 

rí rí 

a tartószerv frekvencia átviteli függvénye. 

6.6.4 A diszkrét frekvencia átviteli függvény kisfrekvenciás 

helyettesítése 

Ha feltételezzük, hogy a diszkrét spektrumban az oldalsávok hatása a 

fősávban elhanyagolható - ami helyesen kiválasztott mintavételezési 

lépésköznél csaknem mindig megtehető - a diszkrét frekvencia átviteli 

függvény az |o>|)~w f (jo>) (6.74) 

folytonos átviteli függvénnyel helyettesíthető, amelynek könnyen 

áttekinthető a frekvencia menete, mert alkalmazhatók rá az aszimptotikus 

közelítések. 

Ha ismerjük annak a folytonos idejű tagnak a w(s) átviteli függvényét, 

amelyből a w d(z) impulzusátviteli függvény származtatható, akkor a 

6.6.3/4 ppnt szerint a helyettesítő függvény a w^(s)w(s) 

kisfrekvenciás közelítése. Figyelembevéve a (4.1) és a (6.73) 

egyenleteket s=jo> rövidítéssel 

-sT 

, . 1 l-e ( . 

W d( S) = ^ W(B) 

(6.75a) 

Az exponenciális függvényt Taylor sorának első három tagjával 

helyettesítve. 

1-U-sT +s 2 

T 2 

/2) sT -sT /2 

wd(s)= ~ w(s)= (1- ^ ) w(s) ~ e 

S 

w(s) 

s 

(6.75b) 

A kisfrekvenciás tartományban a diszkrét idejű modell a folytonos idejű 

modelltől egy T^/2 holt idejű holtidős^ taggal különbözik. 

145

Ha w{s) nem ismert, vagy w^Cz) nem egy folytonos idejű tag diszkrét 

modelljéből, hanem diszkrét műveletből - pl. a szabályozási 

algoritmusból - származik, a w^(z) (6,24b) szerinti alakjában a 

gyöktényezőket egyenként lehet kisfrekvenciás közelítésükkel 

helyettesíteni. A (6.75b) kapcsán kézenfekvő az a feltételezés, hogy a 

helyettesítés egy folytonos gyöktényezőből, egy ho11idő jellegű 

időeltolásból (fáziseltolásból) valamint egy olyan arányossági 

tényezőből ál 1, amely u=Ö (z=l) frekvencián az eredeti és a közelítő 

formulát azonossá teszi. Pontosabban úgy fogalmazhatunk, hogy w^(z) 

egy-egy gyöktényezőjét az s=0 pont körüli Taylor sorával helyettesítjük. 

A Taylor sor a helyettesítés pontosságától függő számú s változós 

gyöktényező szorzataként is előállítható. A legnagyobb időállandójú 

tényezőt kiemelve a többit egyetlen holtidő jellegű fáziseltolásba 

vonjuk össze (a holtidő itt általános értelemben pozitív vagy negatív 

irányú időeltolást is jelenthet). 

Legyen w^(z) valamelyik pólusa vagy zérusa q, a megfelelő gyöktényező 

frekvencia átviteli függvénye s=jw ill. z=exp(jwT^) rövidítéssel 

sT 

w^(z) = z-q = e - q (6.76) 

A w (s) kisfrekvenciás közelítés az s=0 pont környezetében meg kel 1 

q 

hogy egyezzék a z=l helyettesítéssel (vagy határátmenettel) kapott 

értékkel. Ennek megfelelően q-tól függően a következő eseteket kell 

megkülönböztetni: 

1. ) q valós szám. 

sT 

w q(s)< = (l-q)(l+sT )e 

(6.77a) 

T T 

T = - — — ; T, = S 

In q 1+ /q 

0 

(6.77b-c) 

Ha q olyan diszkrét pólus, amely egy folytonos pólusból a (6.24c) 

egyenlettel származtatható,. a (6.77b) formula a folytonos pólus 

időállandóját adja vissza, hiszen ekkor: 

s.T T 

í s _ s 1 _ 

q = e ; T = - = - — = T. 

q s. i 

i n q 1 

(6.78a-b) 

így a kisfrekvenciás tartományban a mintavételezés hatása - a 

(6.75b)-vei egyezően - egy járulékos fáziseltolásban mutatkozik, 

amelyből a vizsgált tényezőre jutó hányadot a T^ járulékos 

időeltolás reprezentálja. 

2.) cél. 

146

Az 1.) határesete 

Z ) 

V 

= Z 

~ X 

(6.79a) 

Az s=0-nál felvett értéket a (6.76)-ból határátmenettel képezve 

sT 

w (s) = sT e ; T =T /2 (6.79b) 

q s a s 

3. ) q negatív szám: q=-g, ahol g pozitív. 

w ( z) = z+g (6.80a) 

dq 

s T 

d 

T 

s 

w (s) = (l +g) e ; T d= — ^ Q g (6.80b-c) 

1+g 

I1yenkor q~nak nincs folytonos megfelelője, a tényezőt tiszta 

fáziseltolás helyettesíti. 

4. ) q komplex szám. 

Ekkor q-nak és konjugáltjának (q) gyöktényezői mindig együtt 

fordulnak elő, így másodfokú gyöktényezővé vonhatók össze. 

q = q 2 + Jq2 - e S 

W 

dq 

aT jbT 

e S 

( z ) = ( z 

~ q ) (z q} = z 2 

"~ ~ 2 ( 

z + + 

í 1 

= z 2 

- 2 z e S 

w (s) = (l-2q, + q 

2 

% = 

aT 2 a T 

cos bT + e S 

s 

+ q 2 

) (1+2CT s+s 2 

sT 

( 6 8 1 ) 

(6.82) 

T 2 

) e , . 

q i l 2 o o tb.öJJ 

. Inq c 

a+jb = — ? 

s / a +b 

O 2 . 2 

a +b 

2T 

2 . 2 

147 

•7, 

/ 2 ~ 2 

v a +b 

21 (6.84a-e) 

aT

A közelítések hibája az u> < 1/T s tartományban bT g < 2 esetében 

amplitudóban még a másodrendű gyöktényezőben is 10%-on belül van 

(elsőrendű gyöktényezőben általában ennél kedvezőbb), míg a szögben a 

legkedvezőtlenebb wT* s= 1-nél ~ 2°-3°. 

A T d~re közölt formulák empirikusak. 

Ha az impulzusátvitefi függvény összes gyöktényezőjét az ismertetett 

közelítő formulákkal helyettesítjük, végül is a diszkrét frekvencia 

átviteli függvény az u> < 1/T g frekvenciákon 

~ J w T 

h 

w d(J») ~ w(» e ( 6 8 5 ) 

alakú kifejezéssel helyettesíthető, ahol w(jw) egy folytonos frekvencia 

átviteli függvény időállandós alakja, pedig az eredő holtidő, amely 

az eredeti holtidőből és az egyes tényezők járulékos időeltolásaiból 

(T ,) tevődik össze. 

d 

Ha w^(z) egy w(s) átviteli függvényű folytonos idejű rendszer diszkrét 

idejű modellje, akkor a (6.85) egyenletben w(jo>) s=jo> helyettesítéssel 

azonos w(s)-sel, maga az egyenlet pedig esetleges kisebb eltérésektől 

eltekintve megegyezik a (6.75b)-vei. 

6.12 példa 

Számítógépes eljárás a diszkrét idejű rendszer frekvencia diagramjainak 

a meghatározására. 

A MATLAB a dnyquist és a dbode utasításokat használja erre a célra, 

amelyek akár az állapot mátrixokból, akár az átviteli függvényekből 

végre tudják hajtani a feladatot. A frekvencia értékeket önmaguk is 

képesek, generálni. 

6.13 példa 

Egy folytonos idejű rendszer átviteli függvénye: 

w(s) = 

l+2s 

(1+ 10s)(l+6s+(5s) 2 

)(l+0,5s) (6.86) 

A folytonos idejű rendszer diszkrét átviteli függvénye T = 1 

mintavételezési idővel: 

r \ n n o i o (z-0,6065)(z+0,1581)(z+2, 5 6 9 1 ) 

W , l Z J — U, UUI od 

' (z-0,9048)(z 2 

-l,7512Z+0,7866)(z-0,1353) 

1 4 8 

(6.87)

A függvény zérusai és pólusai 

0,6065 

- 0,1581 

- 2,5691 

0, 9048 

0,8756+j 0,1413 

0,8756-j 0,1414 

0,1315 

(6.88a-b) 

A kisfrekvenciás helyettesítés gyöktényezőit egyenként meghatározva -az 

első és a negyedik pólusra a (6.77b) egyenletet, a második és harmadik 

pólusra a (6.84a-c) egyenleteket alkalmazva - visszakapjuk a (6.86) 

nevezőjét, hiszen a folytonos és a diszkrét pólusok között kölcsönösen 

egyértelmű kapcsolat van. 

A számlálóban csak az első zérusnak van folytonos megfelelője, amelynek 

az időállandója a (6.77b)-bői ől T^= 2. A másik mási két diszkrét zérusnak nincs 

folytonos megfelelője, 

helyettesítik. 

A járulékos időkésések a számlálóban 

egyenletekből: 

T. =0,5416; 

dzl 

gyöktényezőiket tiszta időkéséses tagok 

T 

= 0 

dz2 ' 8 8 ; T. =0,6608. 

dz3 

a (6.77c) ill. a (6.80c) 

A nevezőben a (6.77c) ill. a (6.84e) egyenletekből T dl=0,5083; 

Td2=l,02; 

T d3=0,6608. Összességében a nevező járulékos időeltolásai a nagyobbak, 

az eredő időeltolás holt idős késleltetés, ame1ynek holtideje: 

Y T , = 0,5023 

u 

dz 

Az egyes tényezők átviteli tényezőit a (6.87)-bői z=l helyettesítéssel 

kapjuk. Ezek eredője: 

k f = wd(z=l) 1 

A kisfrekvenciás helyettesítés: 

w d(s) 

l+2s 

(1+1Os)(1+6s+25s )(l+0,5s) 

-0,5023s 

ami megegyezik a más úton kapott (6.75b)-vel. 

6.14 példa 

(6.89) 

Határozzuk meg az alábbi diszkrét átviteli függvény kisfrekvenciás 

helyettesítését T =1 mintavételezési idővel. 

W 

( ^ n (z+0,121)(z+2,125) 

( z ) = 0 

d * 1 4 

z(z-l)(z-0,0821) 

149 

(6.90)

A számláló gyöktényezőinek helyettesítése a (8.80) egyenletek alapján: 

(z+0,121) ~ 1,121 e 

0,9073s 

(z+2,125) ~ 3,125 e 0,3070s 

A nevező gyöktényezőinek helyettesítése a (6.77) ill. a (6.79) 

egyenletek alapján: 

s/2 

(z-1) -se 

(z-0,0821) ~ 0,9179 (1+0,4s) e 

0,697s 

A közelítő folytonos átviteli függvény: 

S J 

V 

í i - 0,5343 -0,9827s 

s(l+0,4s) 6 

(6.91) 

A pontos, a közelítő és az aszimptot ikus közelítő (w ) Bode d i agram a 

a 

6.24a ábrán, a pontos és a közelítő fázisdiagramok a 6.24b ábrán 

láthatók. Az ampl itudó közel ítés az o> < 1 tartományban 10%-os hibán 

belül van, a fázisszög közelítés még w=2-nél is igen jó. 

6.7 Tipikus folytonos idejű lineáris tagok jelátviteli tulajdonságai 

A folytonos idejű átviteli függvény néhány egyszerű alaptag 

kombinációjából épül fel. A következőkben ezeknek a tulajdonságait 

tekintjük át. 

0,01 

© © 

6.24 ábra 

150

6.7.1 Ideális alaptagok 

A (6.11) egyenlet szerint az átviteli függvény két részből tehető össze, 

az u=0 körüli kisfrekvenciás tulajdonságokat szimbolizáló \^ (s)-ből 

és a rendszer tehetetlenségéből származó w p(s)-ből, amely a 

kisfrekvenciás tulajdonságokat bizonyos frekvencia tartományban 

módosítja. Az időtartományban (s) azokban a műveletekben mutatkozik, 

amelyeket a tag a kisfrekvenciás összetevőkből álló (kvázistacionárius) 

bemenő jelen végez. 

Wp(s)=konst. esetén előálló ideál is alaptagokban ez a művelet valamennyi 

bemenő frekvenciára azonos, a frekvencia karakterisztika a teljes 

frekvencia tartományban (s)-sel arányos, a pontos és az aszimptotikus 

Bode diagram megegyezik. Fizikailag bizonyos szempontból idealizált 

rendszereket jel lemeznek. 

NÉV P i D 

Hatás 

vázlatok 

w (s) 

u ^ 

kp 

k P 

y u p.. p.. 

1/sTj y u ^ 

1 /sTj 

w 

kkp

(s) -tői függően a három jellegzetes alaptípus - amelyből a többi is 

felépül - az arányos (P), az integráló (I) és a differenciáló (D) tag. 

A tagok idő és frekvencia jellemzőit a 6. 25 ábra foglalja össze. 

Az ideál is arányos tag súlyfüggvénye a Dirac impulzus, átmeneti 

függvénye az ugrásfüggvény. Nyquist diagramja egyet len pontból ál 1, Bode 

diagramja az o> tengel lyel párhuzamos egyenes,

ami az időtartományban az u bemenő és az y kimenő jel között az 

Ty + y = u (6.93) 

elsőrendű differenciálegyenlettel írható le. 

6.26 ábra 

Súlyfüggvértye és átmeneti függvénye a 6.26 ábrán látható, Nyquist 

diagramja egységnyi átmérőjű kör, amely átmegy az origón. Bode 

diagramjának aszimptotái szerint az o> < l/T tartományban arányos, az 

o> > l/T tartományban I taggal közelíthető. Mivel az időtartományban a 

tranziensek kezdetén a nagyfrekvenc i ás, hosszú idő múlva pedig a 

kisfrekvenciás tulajdonságok érvényesülnek, a közelítés itt azt jelenti, 

hogy ha egyensúlyi állapotban (mozgásban) a bemenő jel eltér egyensúlyi 

értékétől, az ezáltal generált kimenő jelben először a bemenő 

jelváltozás integrálja, majd hosszabb idő múlva az arányos értéke 

jelenik meg. Az időhatár közöttük egyszerű módon nem adható meg. Egyik 

mértéke lehet az egyenértékű időkésés (6.22 egyenlet), amelynek értéke 

T. 

A kéttárolós arányos tag átviteli függvénye: 

w(s)= - — (6.94a) 

2 

1+2 £T 0s +s 

T 2 

0 

153

amely az időtartományban a 

TQ y + 2£T 0y + y = u 

differenciálegyenletnek felel meg. 

6.27 ábra 

(6.94b) 

Az ü> < 1/TQ tartományban w(ju>) ~ 1 , az u> > 1/T Q tartományban 

w( jo>) ~ -1/OI 2 

TQ, így a Bode diagram két aszimptotája egy (0) és egy (-2) 

meredekségű (kétszeresen integráló) egyenes, amelyek az o> 0=l/T 0 

sarokfrekvenciánál metszik egymást (6.27a ábra). A megfelelő 

szögaszimptoták 0° ill. -180° (6.27b ábra). Az w Q körüli frekvencia 

sávban a függvény viselkedése £-től függ. 

a.) g>l esetben (aperiodikusan csillapított tag) a függvénynek két valós 

pólusa van. 

154

s 

i2 88 - ? wcr > o / ^ s 2 = " ± j w P p 

A súlyfüggvény ill. az átmeneti függvény (6.28 a-b ábrák): 

(6.95) 

A tag két sorba kapcsolt ill. időállandójú egytárolós tagra 

bontható, így a Bode amplitúdó diagramban (6.27 ábra £=2 görbe) a két 

szélső aszimptota közé w^l/T^ és LÖ^=1/T^ sarokfrekvenciával még egy 

(-1) meredekségű aszimptota is húzható. Logaritmikus léptékben c*^ és 

o> 2 szimmetrikusan helyezkednek el ü)Q-hoz képest, mert V WjW^ = ü>q. 

Ezen közbenső tartományban a függvény egyszeresen integráló taggal 

helyettesíthető. így az átmeneti függvény vízszintes érintőjű parabola 

szakasszal indul, amely egyenesbe megy át, majd fokozatosan túl lendülés 

nélkül éri el az állandósult értéket (6. 28b ábra £=2 görbe). 

b. ) 0 0t) sin w t (6 97) 

expí-^Wgt) 

v( t ) = 1- ———- sin (w t+

2.) Az átmeneti és a súlyfüggvény (6.28a,b ábra) periodikus 

összetevőjének u>^ lengési körfrekvenciája. 

W P = K % 

0,5- 

6.28 ábra 

A w( ju)p) vektor ampl itudója és

w 

c = ü o / 2 ( 1 2 ? 2 ) - 

w 

c=l ; V - - arc tg 

2?/2(l-2? 2 

4£ 2 

- 1 

(6.103a) 

(6.103b-c) 

Ha akkor w és w frekvencia Ü> -hoz tartanak, miközben a 

p r 0 

rezonancia amplitúdó egyre nő, a fázisgörbe pedig u> 0 környékén egyre 

meredekebbé válik. 

i lm \ 

05 10 Re 

6.29 ábra 

0 0,2 0,4 0,5 0.8 1 

6.30 ábra 

Lengő tag esetén £ hatása az aszimptotikus Bode diagramban nem 

mutatkozik.- £ csökkenése frekvencia kiemeléshez vezet az u> rezonancia 

^ r 

pont körül. Ez az időtartományban az átmeneti függvény túllendülésében 

mutatkozik. A túl lendülés és a £ csillapítási tényező kapcsolata a 6.30 

ábrábó1 olvasható le. 

= exp (-H£/ /1-€ 2 

) (6.103d) 

c. ) g=0 határesetben a súlyfüggvény és az átmeneti függvény ÍI> Q 

körfrekvenciájú állandósult lengést tartalmaz, a frekvencia diagram 

rezonancia amplitúdója w^-nál végtelenné válik, a fázisdiagram 

ugyanott 0 és -II között ugrásszerűen változik, 

d.) g

8.15 példa 

A 6.31 ábra két sorbakapcsolt egytárolós tag k átviteli tényezőjű 

arányos tagon keresztül való visszacsatolását mutatja. 

1 + 9 S 1 + S 

© 

6.31 ábra 

s 1 

k*0 T" ... 

-9 ' 7 

9 / 

k 9 

\ 2 9 

Vizsgáljuk meg, hogyan változik a tag jel lege, ha a k tényezőt O-ból 

ki indulva fokozatosan növeljük. 

A tag átviteli függvénye a (6.47) szerint: 

1 

w(s) = (l+9s)(l+s0 

1 + l+k+10s+9s 

(l+9s)(l+s) 

1 1 

„ , , 10 

1+k 1+ ^ — j - s+ 

1+k 

Az eredő kéttárólós tag, amelynek jellemző paraméterei: 

V 

3 10 

vT+¥~ "6 /~í+l? 

1+k 

2 2 

S 

(6.104a) 

lm 

(6.104b-c) 

Ha k=k k=16/9, akkor £=1. Itt a (6.104) nevezőjének kettős gyöke van 

(s = -5/9). Ha k < k , akkor £ > 1, a nevezőnek két valós, ha 

k >k^, akkor két konjugált komplex gyöke van (£; < 1). 

A gyökök helyét a k függvényében ábrázolva a gyökhelygörbét (root 

locus) kapjuk (b ábra). k~0-nál a két valós gyök s^= -1 ill. s^=-l/Q. 

158 

Re

k növelésekor a negat ív valós tengelyen a két gyök közeledik egymáshoz, 

k^-nál egybeesnek, majd k további növelésekor a képzetes tengellyel 

párhuzamos egyenes mentén egymástól távolodnak. A gyökhelygörbe 

kiszámítására szolgál a MATLAB-ban az rlocus utasítás. 

6. 7.3 A visszacsatolt tag 

A jelátvivő tulajdonságok befő1yáso1ásának egyik 1eghatékonyább eszköze 

a visszacsatolás, ame1ynek a szabályozástechnikában különleges 

jelentőséget kölcsönöz, hogy a teljes szabályozási kör is a 

visszacsatolás elvén épül fel. 

Ha a visszacsatoló ágban vMs) ideál is arányos tag (6.32a ábra), akkor 

merev, ha frekvenciafüggő, akkor rugalmas visszacsatolásról van szó. 

*h 

w Y 

(s) 

© 

w v ( s ) 

© 

(s) 

y 

1 

1 + w 0 (S) 

© 

w 1 

ís) 

w 0ls) w 0(sj 

0(sj 

6.32 ábra 

y 

1 2 

0 

y tls) y2(s) 

© 

A következőkben - külön utalás nélkül - negatív visszacsatolással 

foglalkozunk. 

A negatívan visszacsatolt tag átviteli függvénye a (6.47) szerint: 

t y W.(S) W.(S) W (s) 

l 

W l s 

u(s) 1+w^s) w y ( s ) 

v(s) l+wQ(s) wy(s) i+wQ(s) 

- w(s) = - = — L _ = 

159 

(6.105)

alakba írható, ahol 

w Q(s)=w (s) wv(s) (6.106) 

a felnyitott kör átviteli függvénye. A (6.105) alapján a visszacsatolás 

többféle egyenértékű kapcsolással helyettesíthető. A 6.32b ábra a 

visszacsatolt taggal sorosan kapcsolt helyettesítő taggal, míg a c ábra 

a w^(s) reciprokának és merev visszacsatolásának eredőjére vezeti 

vissza a rugalmas visszacsatolást. 

w Q(s) jelentését a d ábra világítja meg. A visszacsatolt hurkot 

tetszőleges helyen felvágva az 1 és 2 pont között a w Q(s) átviteli 

függvény mérhető, azaz az 1 ponton belépő y^(s) jel hatására 

y 2(s)=±wQ(s)y1(s) a 2 ponton a kimenőjel. wQ-ban a különbségképző tagok 

jelfordításai nincsenek benne, azokat az előjelben vesszük figyelembe 

(esetünkben negatív előjel). 

A visszacsatolt tag frekvencia átviteli függvényének meghatározását 

megkönnyíti a (6.105) kifejezés aszimptotikus közelítése. s=jo> 

rövidítéssel: 

1 

/ w v(s) 

w('s) ~ ^ 

ha |w Q(s)|> 1 . (6.107a) 

w^s) , ha |w 0(s) j< 1 . (6. 107b) 

Az aszimptoták közötti elválasztó pontban 

w (s)= |w„(s) • w (s)I = 1 (6.107c) 

o 

1 

1 V 1 

Az aszimptotikus közelítés fizikai tartalmának szemléltetésére 

tételezzük fel, hogy valamelyik frekvencián |w Q(s)| = |wQ(jw)| nagyon 

nagy. Ekkor véges u és y g jelek (6. 32a ábra) mellett y^(s)-y^(s)/ w^(s) 

ezekhez képest nagyságrendekké1 kisebb, ezért e1hanyago1hat ó. 

Ekkor azonban 

y (s) ~ u(s); y(s)=y (sX/w (s) ~ u(s)/w (s) (6.108a) 

e * 'e v v 

Az átviteli tulajdonságokat az előrevezető ágtól függetlenül kizárólag a 

visszacsatoló ág frekvencia karakterisztikaja szabja meg. Figyelemre 

méltó, hogy az előrevezető ágról még a 1inearitást sem tételeztük fel. 

Ezzel szemben ha |(s)| nagyon kicsi. akkor az y^(s) hatására létrejövő 

y e(s)=y^(s)wQ(s) 

is kicsi, így ez hanyagolható el. 

160

y h(s) ~ u(s); y(s)=w1 (s) yh(s) ~ w^s) u(s) (6.108b) 

Ekkor az előrevezető ág határozza meg a jelátviteli tulajdonságokat, a 

visszacsatolásnak másodrendű hatása van. 

6.33 ábra 

A 6.33 ábrán mereven visszacsatolt (w^ (s)=l) rendszer (a ábra) 

161

felnyitott körének aszimptotikus Bode diagramja (c ábra) az u> c vágási 

frekvencián metszi a WQ=1 tengelyt. A zárt rendszer w Bode diagramjára e 

ponttól balra a (6.107a), jobbra a (6.107b) aszimptota érvényes (a c 

ábrán w). Ebből több fontos következtetés vonható le. 

a. ) Merev visszacsatoláskor a zárt kör átviteli függvényének 

számlálója megegyezik a felnyitott körével, így zérusaik is 

azonosak. Ugyanis Mg(s)-sel ill. Ng(s)-sel jelölve w^(s) számlálóját 

és nevezőjét 

M Q(s) w0(s) MQ(s) M0(s) 

w (s) = —-—— ; w(s) = — = — — — — = -——— 

N (s) 1+w (s) N 0(s)+M0(s) N(s) 

(6.109a-b) 

Ha M q ( s) valamelyik zérusának sarokfrekvenciája az UKQ}^ tartományba 

esik (O>=1/T) , az w(s) aszimptotikus diagramjában töréspontot 

kel lene hogy előidézzen. A (6.108a) közelítés szerint azonban ezen a 

szakaszon észrevehető töréspont nincs, ami csak úgy lehetséges, hogy 

w(s) egyik pólusa az említett zérus közelében van, és nagyrészt 

semlegesíti annak hatását azáltal, hogy ellentétes irányú törést 

okoz. (Ha a szóbanforgó zérus és pólus pontosan megegyeznének, 

gyöktényezőikke1 egyszerűsíteni lehetne.) 

b. ) A visszacsatolt tagnak az a sarokfrekvenciája, amely szignifikánsan 

különbözik a nyitott kor zérusainak ill. pólusainak 

sarokfrekvenci ái tó1. 0 -közelében van. Stabi1itási okokból (7 

c 

fejezet) a vágási frekvencia w^-nak csak (-1) vagy (-2) meredekségű 

szakaszára eshet, így környezetében az aszimptotikus közelítés a 

6.34a vagy a 6.34b ábra szerint alakulhat. Az a eset egytárólós, a 

b eset kéttarolós lengő tagra utal T=l /u) ill. T = l/w 

- 

0 

c o c 

időállandókkal. Mivel azonban a (6.107) éppen az aszimptota váltás 

környezetében a legkevésbé pontos, az időállandókra (pólusokra) a 

fent i becslés mennyiségileg bizonytalan és további analízist 

igényel. Azt azonban jelzi, hogy a zárt kör átviteli függvénye ebben 

a frekvencia, tartományban egy vagy két pó1us (domináns pólus vagy 

póluspár) első ill. másodfokú gyöktényezőjével helyettesíthető, 

amelynek sarokfrekvenc i ája 0 ^ közelében van. A helyettesítő tag 

jellegére (egy vagy kéttarolós) és a sarokfrekvenc i a tényleges 

értékére a 6.33. ábra szerinti aszimptotikus diagramból csak az 0 ^ 

körüli fázisszög ismeretében lehet pontosabban következtetni. Ha pl. 

a 6.34a ábra szerint a zárt kör aszimptotikus diagramjának w -nél 

levő töréspontjától a kisebb ill. a nagyobb frekvenciákra eső 

töréspontok kellően távol vannak (1:5-1:10 arányban nagyobb ill. 

kisebb frekvenciákon), a domináns pólus (pólusok) sarokfrekvenciája 

ÍÚ közvetlen közelében van, a domináns tag jellegét pedig az co -n 

162

átmenő aszimptota meredeksége mutatja. Ha azonban az pontot 

kővető (-1) meredekségű aszimptota rövid, és Wj-nél (-2) 

meredekségűre vált, a szögviszonyok torzulása következtében a két 

közeli 'töréspont által reprezentált elsőfokú gyöktényezők másodfokú 

lengő taggá olvadhatnak össze, amelynek a c ábra szerint w-nál van 

kétszeres sarokpontja. 

© © © 

6.34 ábra 

Hasonló hatása lehet az 1/w^ nagyságrendű holtidőnek is, amely 

azamplitudó diagramban nem is mutatkozik, de a fázisszöget úgy 

megváltoztathatja, hogy a (-1) meredekségű aszimptota ellenére az 

környékén a zárt kör másodfokú lengő tagként viselkedik. 

c. ) Az O)»Ü)C szakaszon a zárt rendszer diagramjának sarokpontjai jó 

közelítéssel megegyeznek a felnyitott kör diagramjának 

sarokpontjaival, ami arra utal, hogy a töréspontoknak megfelelő 

zérusok és pólusok mindkét rendszerben közel azonosak. 

A visszacsatolás néhány jellegzetes alkalmazása: 

Nemiineáris erősítő karakterisztika 1inearizálása. 

A 6.35a ábra szerint a k átviteli tényezőjű tagot k^ átviteli tényezőjű 

tagon keresztül visszacsatolva kk »1 feltétellel 

& v 

v ÜÍ-F- - - 4 - í 6 - 

V V 

átviteli tényezőjű taghoz jutunk, amelyben k ugyan sokkal kisebb, mint 

e 

a visszacsatolás nélküli k, de csak a visszacsatoló tagtól függ. Főleg 

erősítőkben alkalmazott megoldás, amelynek célja a kapcsolás 

1inearizálása és külső zavaroktól (pl. tápfeszültség változás) való 

függetlenitése. Az aktív (elektronikus, pneumatikus, stb.) erősítők 

önmagukban nem készíthetők kieiágítően lineárisra (k függ a bemenő 

jeltől), a visszacsatolásban azonban nagypontosságú passzív elemekkel 

(pl. ellenállás) jelfüggetlen k átviteli tényező alakítható ki, amely a 

163 

n o )

(6.110) értelmében a visszacsatolt tagot 1inearizálja. A b ábra az elvet 

egy nagy fészültségerősítésű elektronikus erősítőre alkalmazza. A nagy 

erősítés miatt (több nagyságrend) az kimenő feszültség előál1ítására 

az erősítő bemenő kapcsán igen kis feszültségre van szükség. Ezt a 

kimenő feszültség ,ellenál1ásláncon leosztott részéhez hozzáadva 

kapjuk az bemenő feszültséget. azonban mellett e1hanyago1ható, 

így az erősítő karakterisztikajátó1 függetlenül fennál1 az 

V u 

i 

R 

2 

+ u 

R 

2 

k~ r^r 2 

u 

k m 

R + R 

l 2 

- V ^ r - U 

b 

( 6 U 1 ) 

arányosság. Az erősítő szerepe az, hogy az adott U^-hez a hozzá képest 

jelentéktelen -gye1 kikényszerítse a megfelelő U^-t. 

Ideál is arányos tag frekvenciafüggő negat ív visszacsatolása 

Ha az arányos tag átviteli tényezője elegendően nagy, a (6.107a) alapján 

az eredő átviteli függvény viszonylag széles frekvencia sávban a 

visszacsatoló tag frekvencia karak teriszti káj ának reciprokával 

helyettesíthető. így különböző típusú (P,I, stb. ) tagok ál 1íthatók elő. 

A 6.36 ábra egy nagy feszültségerősítésű erősítő kondenzátoros 

v i sszacsato1ását mutatja. Az előző esethez hasonlóan feltételezhető, 

hogy Uj-O, és az erősítőbe befolyó áram is elhanyagolható a többi 

áramhoz képest. A ki és a bemenő fészültség Laplace transzforrnáltja 

között az 

összefüggés ál1 fenn, ami egy integrátor átviteli függvénye. 

6.35 ábra 

164

Arányos egytárolós tag merev negatív visszacsatolása r.; : 

csökkentése céljából. 

A 6.37 ábra kapcsolására 

w(s) = 

k 

1+sT 

kk1+- 

v 

T+sT 

1+kk V 

1+ 

1+kk 

1+sT, 

(6.113) 

i andó 

Az eredő egy egytárolós tag, amelynek k^ átviteli tényezője és 

időállandója kk^>l esetén kisebb az eredeti értékénél. 

Pozitív visszacsatolás 

1 + sT 


A 6.37 ábrában a negatív visszacsatolás helyett pozitív visszacsatolást 

alkalmazva az előzővel ellentétes hatás érhető el. 

w(s) 

k/(l+sT) 

1-kfk vTT+sTT l-kk v+sT 

Amint arról a nevező első tagjával való osztással könnyű meggyőződni, az 

eredő egytárolós tag időállandója és átviteli tényezője az eredetihez 

képest megnő. 

kk^=l esetben az eredmény integráló tag. (Villamos erősítő gépekben így 

ál1ítják elő az integráló kapcsolást. ) kk^>l esetén a tag labilissá 

válik. 

6.16 Példa 

Legyen a 6.33 ábra szerinti felnyitott körben 

T=25; 1^=5; T 2=0,1; T 3=0,02; k=5/x (6.113) 

165

A körerős it és megadott értékénél x változtatásakor az Ü>=1/X sarokpontban 

az aszimptotikus diagram amplitudója mindig W q=5 marad. 

A felnyitott kör vágási frekvenciájának aszimptotikus és - zárójelben - 

a pontos értéke 

o) = 1 (0,9473) (6.114) 

A zárt kör (6.109b) egyenlet szerinti átviteli függvényéből kiszámítva a 

pólusokat (a MATLAB roots vagy damp utasítása) és összehasonlítva azokat 

a 6.33 aszimptotikus diagramjából (w) az a-c pontokban részletezett 

módon becsülhető közelítő értékekkel, a következő eredményre jutunk (a 

pólusok pontos értéke zárójelben): 

s ~ -l/T = -0,04 (-0,043) 

s 0 ~ -ü) = -1 (-1,35) 

2 c 

S 

1 / T 

3 ~ ~ 2 = 

* 1 0 

(-8,58) 

s 4 ~ -1/T3= -50 (-50,24) 

Ha a felnyitott kör átviteli függvényében x=25/3-ra változik (k=0,6), a 

zárt kör pólusainak közelítő és pontos értékei: 

s, ~ -0,12 (-0,112) 

s, 

'2 

s, 

'3 

s 

4 

-1 (-1,26) 

10 (,-8,57) 

-50 

(-50,24) 

166

7. LINEÁRIS SZABÁLYOZÁS STABILITÁSA 

7.1 A stabilitás fogalma 

A stabilitás (stabi1ity) a rendszernek az a tulajdonsága, hogy 

egyensúlyi állapotából (egyensúlyi mozgásából) kimozdítva újra 

egyensúlyba képes kerülni. 

Általános esetben a stabi1itás a bemenő jeltől és a munkaponttól is 

függ, így i nkább a rendszer egy állapotának, semmint az egész 

rendszernek a jellemzője. Ezért a körülmények pontosabb 

körű1hat áro1ására számos stabi1itási definíció létezik. A két 

legfontosabb: 

a. ) A magára hagyott rendszer stabi1itása. Eszerint a rendszer 

stabi1 is, ha nyugalmi állapotából kimozdítva majd magára hagyva az 

eredeti állapotába visszatér. Ha az eredeti állapotától eltávolodik, 

akkor iabi1 is. Határesetben nem tér ugyan vissza a nyugalmi állapotba, 

de nem is távolodik el attól, hanem annak a kitérítés mértékétől függő 

környezetében marad (pl. a ki indulási állapot körül korlátos amplitudójú 

esi 1lapítatlan lengéseket végez. ) 

b. ) A gerjesztett rendszer stabi1itása. Stabi1 is a rendszer, ha 

korlátos bemenő jelre korlátos kimenő jel lel válaszol. 

Lineáris rendszerben a stabi1itás a rendszer tulajdonsága. Ha az a 

feltétel teljesül, autómat ikusan kielégül a b is. így csupán egyet len 

stabiiitási fogalom létezik, amely valami 1yen egyszerű bemenő jelre 

adott válaszfüggvénybő1 egyértelműen megítélhető. 

A rendszer súlyfüggvénye az a, az átmeneti függvénye a b definíció 

szerintí vizsgálatokra alkalmas. 

A stabiIitás feltételei az időtartomány helyett sok esetben előnyösebben 

tisztázhatók a frekvencia tartományban az átviteli függvény 

segítségével. 

Az a definíció szerinti vizsgálat egyszerűsíthető a határeset 

minősítésével. Az általánosan használt Ljapunov féle definíció ezt is 

stabi1isnak tekinti. Eszerint a nyugalmi állapotából kitérített, majd 

magára hagyott rendszer akkor stabil is, ha található olyan - zérustól 

különböző - mértékű kitérítés, ahonnan a rendszer a nyugalmi állapotnak 

tetszőlegesen előírható kis környezetébe tér vissza. Ha ilyen nincs, a 

rendszer labi1 is. 

Azt az esetet, amikor a rendszer a ki indulási helyzetébe (nem pedig 

annak csupán a környezetébe) tér vissza, aszimptotikus stabi1itásnak 

nevezik. 

A b definíció csak az aszimptot ikusan stabi1 is rendszerre teljesül. Ha 

187

ugyanis pl. a Íjapunovi értelemben stabil is rendszer a kiindulási pont 

körül esi 1lapítatlan lengéseket végez, akkor ezen lengés frekvenciájávai 

azonos frekvenciájú korlátos bemenő jel minden határon túl növekvő 

amplitudójú kimenő jelet gerjeszt (rezonancia). 

A határeset minősítése elvi jelentőségű, a technikai értelemben stabi1 is 

1ineáris szabályozási rendszer csak aszimptot ikusan stabi1 is lehet. 

7.2 A folytonos idejű zárt rendszer aszimptotikus stabilitása 

A magára hagyott zárt szabályozási rendszer akkor aszimptotikusan 

stabi1 is, ha a tranziens mozgását leíró időfüggvény csillapodó 

összetevőkből ál1. 

A tranziens időfüggvény olyan exponenciális összetevők kombinációja, 

amelyek kitevői a rendszer karakterisztikus egyenletének a gyökei (a 

rendszer pólusai, 2.3 egyenlet, 3.6 pont). 

Megfigyelhető és irányítható rendszerben ezek megegyeznek a zárt 

rendszer átviteli függvényének pólusaival. 

Az aszimptotikus stabi1itásnak az a feltétele, hogy a zárt rendszer 

pólusai negat ív valós részűek legyenek, mert ezek eredményeznek időben 

csökkenő tranzienseket. A feltétel úgy is fogalmazható, hogy a zárt 

szabályozási kör akkor aszimptotikusan stabi1 is, ha valamennyi pólusa a 

baloldali félsíkra esik. 

(Ha bármelyik pólus a jobboldali félsíkra esik, a rendszer labi1 is. Ha a 

baloldali félsíkra eső pólusokon kívül a képzetes tengelyre eső pólusok 

is vannak és ezek egyszeresek, a rendszer nem aszimptot ikusan, hanem 

1japunovi értelemben stabi1 is, míg ha többszörösek, a rendszer labi1 is. 

Amint azonban említettük, gyakorlatilag a zárt rendszernek csak az 

aszimptotikus stabi1itása elfogadható, ezért ezekkel az esetekkel a 

továbbiakban nem foglalkozunk.) 

Megfigyelhető és irányítható szabályozási rendszerben a rendszer 

karakterisztikus polinomja a zárt kör átviteli függvényének a nevezője 

(6.109 egyenlet), így a pólusok meghatározására szolgáló 

karakt er i s z t i kus egyenlet 

1 + w (s) = 0 (7.1) 

o 

alakú, ahol w (s) a felnyitott kör átviteli függvénye. 

7.3 A zárt kör stabilitásának megítélése a nyitott kör átviteli 

függvényéből 

A zárt kör stabi1itásának a karakteriszt ikus egyenlet megoldásával 

történő közvet len meghatározása tervezéskor nem prakt ikuse1járás, mivel 

kezdetben sem a zárt, sem a nyitott kör átviteli függvénye még nem 

ismeretes, és éppen a követe1ményeknek - közöttük a stabi1itásnak - 

megfelelően kell azokat kialakítani. Másrészt ezen az úton nehéz arra 

következtetni, hogy milyen módon kel1 stabi1izálni egy labi1isnak 

mutatkozó rendszert. 

168

Ezért hasznosabbak az olyan közvetett eljárások, amelyek a felnyitott 

kör egyes jellemzői alapján következtetnek a zárt rendszer 

stabi1itására. Amikor ez a kérdés a szabályozáselmélet központi kérdése 

volt, számos ilyen eljárás született. Ma már csak a Nyquist ill. a Bode 

kritériumnak van gyakor1ati jelentősége, mert ame1lett hogy egyszerű és 

áttekinthető, segíti a méretezési koncepció kialakítását és a zárt kör 

minőségi tulajdonságainak nagyvonalú becslését is. 

A Nyquist kritérium a felnyitott kör W q( jo>) frekvencia görbéjének 

menetéből következtet a zárt kör stabi1itására. Két változata van: 

a. ) Egyszerűsített Nyquist kritérium 

Ha a felnyitott kör W Q(S) átviteli függvényének nincsenek a jobboldali 

félsíkon pólusai, a zárt rendszer akkor aszimptotikusan stabi1 is. ha a 

jcj) teljes Nyquist diagramja (az -OKÍWÔO frekvencia tartományban) nem 

veszi körül a -1+jO pontot. 

b. ) Az általános Nyquist kritérium 

Ha a felnyitott kör átviteli függvényének jobboldali pólusai is vannak 

(a felnyitott kör labilis), a zárt kör még aszimptotikusan stabi1 is 

lehet, ha W q(jw) teljes Nyquist diagramja az óramutató járásával 

ellentétes i rányban annyiszor fogja körül a -1+jO pontot, ahány 

jobboldali pólusa van w (s)-nek. 

7.1 ábra 

A 7.la ábra az egyszerűsített kritérium szerint aszimptotikusan 

stabilis, a b ábra labilis rendszert jelez.

Ha a W q(jw) görbe átmegy a -1+jO ponton, akkor a zárt rendszernek egy 

vagy több pólusa a képzetes tengelyre esik. 

7.2 ábra 

Ha a felnyitott körnek a képzetes tengelyre eső pólusai vannak, azok 

akár a jobboldali, akár a baloldali félsíkra esőnek tekinthetők. A zárt 

rendszer stabilitásának a megítéléséhez ilyenkor a feltételezésnek 

megfelelő Nyquist kritériumot kell használni. 

170

A legegyszerűbb 

w (s)= -J— ; w (jw) = -io 

s o ^ Jü> 

esetet a 6. 14 ábrán már bemutattuk. A W Q-nak az s=0 pontban a képzetes 

tengelyre eső pólusa van. Ha ezt a Nyquist diagram szerkesztésekor a 

baloldali fél síkhoz soroljuk azáltal, hogy a c ábra szerint kerüljük 

meg r=>0 sugarú körívvel, akkor a vM jo) teljes Nyquist görbe a 

jobboldali félsíkon keresztül záródik R=*» sugarú körívvel, így a -1+jO 

pontot nem veszi körül, a zárt rendszer aszimptotikusan stabi1 is. 

Ez az eredmény akkor sem változik, ha az s=0 pólust (szinguláris pontot) 

a d ábra szerint úgy kerüljük ki, hogy az a jobboldal i félsíkra kerül. 

Ekkor w (jw) görbéje a baloldali félsíkon keresztül záródik és az 

óramutató járásával ellentétesen egyszer körülveszi a -1+jO pontot, de 

mivel ekkor az általános Nyquist kritériumot kel 1 alkalmazni (W q(s)-nek 

jobboldali pólusa van), éppen ez a zárt rendszer aszimptotikus 

stabilitásának a feltétele. 

A frekvencia diagram legkönnyebben kezelhető formája a Bode diagram, 

ezen azonban közvetlenül nem érzékelhető a -1+jO pont "körbefogása". 

Ezért a Nyquist kritériumot célszerű olyan formában kifejezni, hogy az a 

Bode diagramból is el lenőrizhető legyen. 

A 7.2a ábra szerint, abban az esetben, ha w^(jo>) görbéjének fő ága 

(oô)=s+oo) csak egyetlen pontban lép be az egységsugarú kör belsejébe, az 

egyszerűsített Nyquist kritérium akkor teljesül, ha ez a belépési pont 0 

és -180° közé eső negatív

A 7.3a ábrán W q(jw) egy belépési és az azt követő ki lépési pont között 

éri el a ^=-180° ill.

A stabilitási tartalékot az erősítési tartalék (amplitudó többlet; gain 

margin) és a fázistartalék (phase margin) méri. Az előbbi azt mutatja, 

hányszorosára lehet megnövelni a felnyitott kör erősítését ahhoz, hogy a 

vágási frekvencia a ^ c=-180 -os fázisszögnél legyen. A fázistartalék a 

fázistöbblettel azonos. 

7.1 példa 

A stabi1itási tartalék számítógépes meghatározása 

A MATLAB-ban a stabi1itási tartalék meghatározására szolgál a margin 

utasítás. Ez a Bode diagram amplitudó és fázisszög adataiból megadja az 

erősítési tartalékot és azt a frekvenciát, ame1yné1 a fázisszög -180°, 

valamint a c vágási frekvenciát. 

Közvetve a stabi1itás megítélését segíti a damp utasítás is, amely a 

zárt rendszer átviteli függvényének nevezőjéből kiszámítja a zárt kör 

pólusának sarokfrekvenc iáit és azok esi 1lapítási tényezőit. Ez utóbbiak 

közül a domináns póluspár esi 1lapítása utal a stabi1itási tartalékra. 

7.2 példa 

A felnyitott kör átviteli függvénye 

w (s) = 

w (s) pólusai 

W 

0,25 

s(l+s)(l+0,2s)(l+0,ls) 

(7.3) 

s 3= -5 ; s4=-10 (7.4) 


173 

lm 

Re

Ha az s=0 pontot az ismert módon a baloldali félsíkhoz csatoljuk, 

W q(s)-nek nincs jobboldali pólusa, így a stabilitást az egyszerűsített 

Nyquist ill. a Bode kritériummal vizsgálhatjuk. 

1.) Becslés az aszimptotikus Bode diagram alapján 

W q( jo>) 7.4 ábrán látható aszimptotikus Bode diagramjának vágás i 

frekvenciája és a fázisszöge: 

ü) =0,25 

c 

(7.5a) 

^c=-90°-arctg0,25-arctgO,05-arctgO,025=-108,4°; (7.5b) 

A fázistöbblet: 

c=71,6° > 0 

A zárt rendszer stabi1 is. 

2. ) A pontos Bode diagramot és a stabi1itási tartalékot a MATLAB-bal 

meghatározva a pontos értékek: 

ü> =0,2425 ;

W 

o 

( s ) = 

-5 

Megállapítandó, stabi1is-e a zárt rendszer. 

(7.9) 

A felnyitott kör egyik pólusa a jobboldali félsíkra esik, ezért a zárt 

kör stabi1itását az általános Nyquist kritériummal kell vizsgálni. 

W q( jü>) Nyquist görbéje a 7.5 ábra szerint a -5 pontból indul. w 

növelésekor W q(jw) vektora a nevező első gyöktényezőjének hatására 

negatív szöggel a pozitív képzetes tengely irányába fordul, a második 

tényező hatására ismét a negat ív valós tengelyhez közelít, végül a 

harmadik tényező miatt a pozitív képzetes tengely irányábó1 fut be az 

origóba. A görbe egyszer körülveszi ugyan a -1+jO pontot, de nem az 

óramutató járásával ellentétes irányban, ezért a zárt kör nem stabi1 is. 

7.4. példa 

S sík 

(l+10s)(l-2s)(l+0,5s) 


-sT 


w (s)= k — — (7. 10) 

Határozzuk meg a vágási frekvenciának és a hozzátartozó k erősítésnek 

azt az értékét, ame1yné1 a fázistöbblet 

a. ) ? t=60°=II/3 ; {

a.) A (7.10) fázisszöge radiánban 

Ebből 

w cTh=2n/3-n/2=n/6=0,52; (7.11) 

u =0,52/T u 

c h 

A W q amplitudó ezen a frekvencián 

V-ö^27TT= 1 : k=0,52/T h (7.12) 

h 

b. ) k. esetében labilis. A zárt kör 

ö 

kr 

Bode diagramjának (6.107) szerinti aszimptotikus közelítése (w a) 

mindhárom esetben látszólag azonosan u)^ sarokfrekvenciájú egytárolós 

tagra utal. Mivel azonban w^-nél a holt idős tag fáziseltolása erősen 

érvényesül, a közelítés nem jogosít ilyen feltételezésre. Az ábrán a 

kritikus körerősítéshez tartozó Bode diagram látható. W q a felnyitott 

kör, w a zárt kör átviteli függvényének amplitudója. =0-ból kiindulva a képzetes tengely mentén jo>=2n/T s-be kerül, a z 

síkon az óramutató járásával el lentétesen befutja a z=exp( jo>T s) 

egységsugarú kört (7.6 ábra). Minden további 2TT/T s szélességű szakasz 

egy további körülfordulást eredményez. Az s sík képzetes tengelytől 

balra eső félsíkjának képe a z síkon az egység körtől "balra" eső 

térrész, azaz a kör belseje, míg a jobboldali s félsík képpontjai a z 

177

síknak az -egységkörön (unit circle) kívül vannak. így a diszkrét idejű 

zárt szabályozási kör akkor aszimptotikusan stabilis, ha pólusai az 

egységsugarú kör belsejébe esnek. Ljapunovi értelemben stabilis, ha vagy 

aszimptotikusan stabilis, vagy olyan egyszeres pólusai is vannak, 

amelyek az egységsugarú körre esnek, minden egyéb esetben labilis. 

A diszkrét idejű zárt kör stabi1itása is megítélhető a felnyitott körre 

vonatkozó Nyquist ill. Bode kritériummal. A frekvencia függvények 

megszerkesztése bonyolultabb, mint a folytonos idejű rendszerekben. 

Ekkor a közvet len számítógépes programok mellett tervezési becslésre jól 

használhatók a diszkrét átviteli függvények folytonos idejű 

kisfrekvenciás helyettesítései is (6.6.4 pont). 

7.5 példa 

Egy visszacsatolt rendszer felnyitott köre egy zérusrendű H 

tartószervvel kiegészített egytárolós arányos tag mintavételezésével 

keletkezik (7.7 ábra). 

Határozzuk meg a k körerősítésnek azt a kritikus értékét, ame1yné1 a 

zárt kör a stabilitás határára kerül. A mintavételezési lépésköz T g=l. 

A folytonos idejű tag átviteli függvénye 

w 

o 

í s ) = 

k 

= K 

T+ST^ 

1 / T 

i 

_ s 

i i 

SÍTTÍY = K sr --T- 

A diszkrét átviteli függvény zérusrendű tartással a (6.23b) egyenlet 

szerint 

-s.T 

( 7 

- 1 5 ) 

. _ 1 s - s 

w .(z) = k — =— = k — (7. 16a) 

od ~s,T - s, 

z-e 1 s z-e 1 

w ,(jü>)= k — — (7. 16b) 

od -s, 

+ju> 1 

e -e 

A kritikus körerősítésné 1 a vágási körfrekvencián W q^(jw) fázisszöge -II. 

Ez akkor álIhat elő, ha a (7.16b) nevezője negatív valós szám, tehát ha 

Ü> =11. Ekkor a 

c 

|w Q d(jw)| = w Q d = 1 feltételből 

l-e" S 

l 

kr (. -s., 

-íl+e 1) 

"kr- 3 

- 2 

l-e 

T,=10 

1 

esetén pl. k. =20,02. 

r 

kr 

Ekkor a zárt kör impulzusátviteli függvénye: 

178 

^ 

( 7 1 ? )

w d(z) 

-0, 1 

20,02(l-e 

z-e -0, 1 +20,02(l-E 

A függvény pólusa a nevező gyöke 

z =21E -0, 1 - 20,02- 1 

(7.18) 

A zárt rendszer a stabilitás határán van, mert egyetlen pólusa az 

egységsugarú körre esik. 

Figyelemre méltó, hogy a mintavételes rendszerben a visszacsatolt 

egytárolós tag labilis is lehet, holott folytonos idejű rendszerben az 

ilyen alakzat mindig stabilis. A különbséget a nyitott körben a 

mintavételezéssel 

okozza. 

és a tartással előidézett kb. T /2 

s 

járulékos ho11idő 

A zárt kör strukturálisan stabi1 is, ha a minimálfázisú felnyitott kör 

páramé t ere i nek (erősítés, időállandók) bárrne 1 y pozit í v értékénél 

stabi1 is. Folytonos idejű rendszerben az egy- és a kéttárolós arányos 

tagok merev negatív visszacsatolása mindig ilyen, mert a felnyitott kör 

fázistöbblete sohasem lehet negat ív. 

Feltételesen stabi1 is a rendszer, ha bizonyos paraméter értékeknél 

stabi1 is, másoknál labi1 is. Pl. a 7.4 pé1dában k^k. esetében a zárt 

^ kr 

kör stabi1 is, ellenkező esetben labi1 is 

Egyes paramétereknek a rendszer stabi1i tására gyakorolt hatásait jól 

szemléltet i a gyöknelygörbe íroot locus), amelyet a zárt rendszer 

pólusai írnak le a komplex számsíkon, miközben a felnyitott kör bizonyos 

paraméterei változnak 

Meghatározására számítógépes programok vannak„ (A MATLAB-ban pl. az 

rlocus utasítás, amely a felnyitott kör erősítésének hatását számítja.) 

A visszacsatolásnak destabilizáló és stabilizáló hatása is lehet. 

Önmagukban stabilis tagok a visszacsatolás révén labilis rendszerré 

válhatnak, im^ más esetben az önmagukban labilis tagok megfelelő 

visszacsat o1ással stabi1í zálhatók. 

A mere*- VJ sszacsatolás destabi 14 

zá 1 

^ hatását c -Telnyitott kör je 1 

átvivő 

tagjainál; időêsese okgzls. L:. 1 

tg., iszt i jdc - no • t de esetébe 

nemiéi tettet Ö c /. 9e zi.rar v r , ~ r^naszerr** az egysegry 

r r 

ampl i tud '*,/ -c^ tudja a kimenő 

179

időben kellő irányban változtatni, másrészt az, hogy a hibajel ugrása 

azonnal teljes egészében az időkéséses tag bemenetére kerül és azt 

állandóan rángatja. A jelenség elkerülhető lenne, ha a hibajel hatása 

csak fokozatosan érvényesülne. 

7.10 ábra 

180 

A 7. 10 ábra önmagában labi1 is 

rendszer stabi1izálását mutatja. Az M 

motorral hajtott kocsiban 

csapágyazott inga (F) függőleges 

helyzetében labi1 is egyensúlyban van, 

mert ha onnan kimozdul, önmagától oda 

visszatérni nem tud. Ha azonban az 

inga

8. A SZABÁLYOZÁSI KÖR KÖVETÉSI ÉS ZAVARELHÁRÍTÁSI JELLEMZŐI 

8.1 A szabályozási hiba 

A szabályozási kör a 8.1 ábra model1je szerint a w^(s) átviteli 

függvényű szabályozott szakaszból és a w^(s) átviteli függvényű 

szabályozóból ál 1. A szabályozás célja egyrészt az u^ís) alapjel 

követése (követő szabályozás), másrészt az y^ís) zavarójel hatásának a 

kiküszöbölése (értéktartó szabályozás). Bár a két feladat együttesen is 

jelentkezhet, 1ineáris rendszerben az alapjel és a zavaró jelek 

elkülönítve tárgyalhatók, mert hatásaik szuperponálhatók. 

UQ(S) y h(s) 

(s) 

w r (s) (s) 

8.1 ábra 

Ideál is esetben az y(s) kimenő jel a zavaró jelektől függetlenül mindig 

megegyeznék az alapjel lel. Valóságos rendszerben ez az állapot csak 

bizonyos hibával közelíthető meg. A 8.1 ábra modelIjében a hibát az 

y^(s) jel szfmbolizálja. A 6.5 pont ill. a (6.48) egyenlet szerint az 

u 

a 

alapjel hatására létrejövő y, , 

nK 

követési hiba ill. a szakasz 

kimenetére helyezett y^ zavaró jel által keltett y^z hiba: 

y 

( s ) = 

hk 

Ha az y z l 

y 

( s ) 

hz 

u (s) y z(s) 

TTwTsT 

; y 

( s ) = 

hz 

" 1+w (s) 

o o 

zavaró jel a szakasz bemenetén hat, akkor 

w (s) y (s) 

= - 1 + w (s) 

o 

181 

( 8 1 ) 

( 8 

- 2 ) 

y(s)

ahol w (s) = w (s) w (s) 

o p r 

A zavaró jel hibája 

u (s) = - y (s) ill. u (s) = - y ,(s)w (s) 

a z a zl p 

(8.3) 

(8.4) 

helyettesítéssel követési hibává alakítható, ezért elegendő a követési 

hibát vizsgálni. 

8.2 ábra 

A 8.2 ábra egy zárt szabályozási kör y szabályozott jellemzőjének 

időfüggvényét mutatja ugrásalakú (a ábra) és időben lineárisan növekvő 

(b ábra) u alapjel lel való gerjesztéskor 

a 

A rendszer tranziensek (3.6 pont) lecsengése után előálló 

kvázistacionárius állapotban az y kimenő jel igyekszik a bemenő jellel 

azonos módon változni. Az a esetben - mivel a bemenő jel állandó - 

stacionárius értékre áll be, amely állandó értékkel tér el az 

alapjeltől. A b esetben időben lineárisan változik, de az alapjelet 

csak egyre növekvő eltéréssel képes követni. 

Az ideális kimenő jel mindkét esetben azonos az alapjellel. Az ideális 

és a valóságos kimenő jel különbsége a követési hiba, ame1y ugyancsak 

két szakaszra bontható. 

Dinamikus hiba íh,) az ideális kimenő 

• Q 

állapotban. 

Kyazístacionáríus hiba (h_) az * J.ef,_ ' ^~ 

rendszer tranziensek lecsengése UÍ B , I 

182 

jeltől való eltérés tranzien: 

íi.oíáit 

e s z (-' ~- 

ttarerí éke

(h ) a stacionárius vagy statikus hiba. (Az a esetben a 

s ~~ 

kvázistacionárius és a stacionárius hiba megegyezik.) 

A rendszer tranziensek lefolyása a szabályozási kör paramétereitől függ. 

A rendszer dinamikáját minőségileg jellemzi az un. beállási vagy 

szabályozási idő (t ), amely alatt a tranziensek annyira esi 1 lapodnak, 

hogy a kimenő jel A hibasávon belül megközelíti a kvázistacionárius 

értékét, továbbá a kvázistacionárius ál lapot beállásának a jel lege. Ez 

utóbbi lehet aperiodikus (8.3 ábra b görbe) vagy lengő (a és c görbék). 

A lengő jel leget a h^. túl lendülés jelzi, amely a hibajelnek a kezdeti 

hibával ellentétes irányú maximál is eltérése a kvázistacionárius 

értékétől. 

8. 3 ábra 8.4 ábra 

8.2 Dinamikus jellemzők a frekvencia tartományban 

Az előzőekben a rendszer dinamikának a nagyvonalú jellemzésére 

bevezetett mutatók összefüggésbe hozhatók a felnyitott kör frekvencia 

függvényével. 

Az idő és a frekvencia tartomány mutatóinak az összerendelése azonban 

nem olyan, hogy abból egyértelmű mennyiségi kapcsolat lenne levezethető. 

Az összefüggések tájékoztató jellegűek, ame1yek bizonyos struktúrákra 

általában mennyiségi becslésekre is alkalmasak, de érvényességi körük 

korlátos. 

A szabályozási idő a felnyitott kör u)^ vágási frekvenciájávai fordítva 

arányos. A kvázistacionárius érték 5%-os megközelítését véve alapul a 

szokásos esetekben 

183

A 6.7.4 pont szerint ugyanis a zárt szabályozási kör egyik pólusának 

vagy póluspárjának a sarokfrekvenciája - amely általában a leglassúbb 

tranziens összetevőjének esi 1lapodását megszabja - az frekvencia 

környékén van. Ennek a tranziens összetevőnek a szempontjából a zárt kör 

egytárolós arányos taggal (T=1/u^ időállandó), vagy kéttárolós lengő 

taggal (1/T Q= o>c saját frekvencia) helyettesíthető. Egytárolós tag 

tranziense az 1/CJ időál landó háromszorosával azonos idő alatt, míg 

c 

kéttárolós lengő tag lengése ~? W 

Q ki tevőjű exponenciális időfüggvény 

szerint 3/£a> idő alatt éri el az 5%-os korlátot. Mivel £

8.1 Példa 

1. ) A felnyitott kör átviteli függvénye 

w 

o 

( s ) = 

k 

i 

SUT^) 

A zárt rendszer átviteli függvénye 

( 8 

- 6 ) 

w(4)= 

k 

l 

— - 

1 

— — (8.7) 

s • s + k^ 1 + s/k^ + s /k^ 

Ez olyan kéttarolós lengő tag, amelynek paraméterei 

T = — - — ; £ = -— (8.8) 

o 

k 

1 2V k ] 

A felnyitott kör vágási frekvenciáját és a fázistöbbletét a MATLAB 

utasítással (margin) különböző fc^ értékekhez kiszámítva a 6.30 ábrát is 

figyelembe véve kiszámítható a fázistartalék (^ ^), a esi 1lapítási 

tényező éfi a túllendülés közötti összefüggés (8.4 ábra). 

2. ) Ismételjük meg az előző számításokat, ha a nyitott kör átviteli 

függvénye 

V s ) ' (1+lOsWi+s)- (8 

- 9) 

A zárt kör átviteli függvénye 

k 

2 1 

w(s)= T~nr~ - - — (8.10) 

1 K 

2 , 11 2 10 

* 1 + S 

^ 

+ S 

^ 2 

T » / J2i € = - J L - nzs 

o / l+k 2 

q 

2(l+k 2)/ 10 

A felnyitott kör vágási frekvenciáját és fázistöbbletét az 1./ alatti 

módon meghatározva, erre az esetre is megszerkeszthető a csillapítási 

tényező és a fázistöbblet közötti összefüggés. 

Az eredményeket a 8.4 ábra foglalja össze, amely megadja adott 

esi llapítási tényezőkhöz a

8.3 Statikus hiba elhárítása, a szabályozási kör típusszáma 

A hibajel a felnyitott kör átviteli függvényétől és a bemenő jeltől 

függ. 

Legyen az alapjel az időnek hatványfüggvénye. 

u = U • l(t) ; u = U-t ; u = U • t 2 

/2 , stb. 

a A a A a A 

Ennek Laplace transzformáltja 

U 

A 

u (s) = — — ; ahol n = 1, 2, 3, stb. (8.12) 

a n 


w (s) = - 4 - w D(s) (8. 13) 

o í P 

s 

alakba írható, ahol w p(s) olyan többtárolós arányos tag, amelyre 

s = O-nál w p(0) = 1. 

i a kör típusszáma. 

A hibajel a (8.1) egyenlet szerint 

i U 

y ( S) = --^ * . _JL (8.14a) 

h í . , x n 

s + k Wp(s) s 

A t=*» esetén fel lépő statikus hiba (h) a végérték tételekkel: 

i + l-n 

h g= y (t«*a) = lim s yh(s) = lim ^-v (8. 14b) 

S=#0 S=X5 s + k 

Az ebből kiszámított, a különböző i és n-re vonatkozó h statikus hiba 

értéket a 8.1. táblázat tartalmazza. 

186

u (s) 

a i=0 i=l i=2 

U7s 

A 

U A/s 2 

A 

U A/s 3 

A 

U 

A 

1+ k 

00 

0 0 

U 

A 

k 

09 00 

8.1. táblázat 

A 0 típusú kör az ugrásaiakú alapjelet állandósult állapotban (1.sor) az 

alapjel amplitúdójától 1ineárisan függő állandó hibával képes átvinni 

(statikus karakt er i s z t i ka). Ezzel szemben az i=l és i=2 típusú rendszer 

az ugrásalakú alapjelet statikus hiba nélkül követi, i1yenkor a zárt 

rendszer állandósult karakterisztikája astatikus. 

Ahol a táblázatban a hiba oo, ott a bemenő jel által kivál tott 

kvázistacionárius mozgás nem tudja a bemenő jelet követni. Pl. a 0 

t ípusú rendszerben a sebességugrás alakú alapjel kváz i s t ac i onár i us 

ál lapotban létrehoz ugyan egy az időben 1ineárisan változó y kimenő 

jelet, ennek meredeksége azonban kisebb, mint u^ meredeksége, így a 

kettő y = u - y különbsége minden határon túl növekszik (8.5 ábra). 

n a s 

A táblázat tanúsága szerint a különböző típusszámú körök akkor képesek a 

bemenő jelet állandó hibával követni, ha n= i +1, ennél kisebb n kitevőnél 

a statikus hiba zérussá, nagyobb kitevőnél végtelenné válik. 

0 

U 

A 

k 

8. 5 ábra 8.6 ábra 

A jelenség egyszerű fizikai magyarázatát mutatja a 8.6 ábra 0 típusú 

rendszerre. Állandósult állapotban a felnyitott kör átviteli függvénye k 

erősítési tényezővel helyettesíthető. A zárt kör állandó y kimenő 

jelének létrehozásához zérustól különböző y^ hibajelre van szükség, 

ezért a zárt kör az állandó u alapjelet sem képes hiba nélkül átvinni. 

187

Ha a felnyitott körben egy nem visszacsatolt integrátor is van, az az 

állandósult ál lapot beállása után a kimenő jelet y^=0 értéknél is 

fenntartja, ezért a zárt kör az állandó alapjelet hiba nélkül viszi át, 

de nem képes a sebességugrással ugyanezt megtenni, mert időben változó 

kimenő jelet az integrátor is csak zérustól különböző y^-val tud 

generálni. 

A Sör típusszáma a felnyitott kör kisfrekvenciás (s=0 körüli) 

karakterisztikáját jellemzi. így a vizsgálat azt mutatja, hogy a 

kvázistacionárius hiba a frekvencia diagram kisfrekvenciás szakaszától 

függ. 

A táblázatban foglalt törvényszerűség még általánosabban úgy foglalható 

össze, hogy a kvázistacionárius (stacionárius) hiba akkor tűnik el> ha a 

bemenőjel pólusa a W Q(S) átviteli függvényének is pólusa. (Pl. az U^/s 

ugrásalakú alapjelet az 1 típusú rendszer tudja követni hiba nélkül, 

amelynek W Q(S) átviteli függvényében az egyik pólus s=0-nál van). Ebből 

azonban az is következik, hogy a kör a kvázistacionárius hibát csak 

adott típusú bemenő jelre küszöböl i ki. Az 1 t ípusú kör pl. egy 

exponenciálisan csökkenő bemenő jelet nem tud kvázistacionárius hiba 

nélkül követni (a statikus hiba zérus ugyan, mert hosszú idő múlva a 

bemenő jel is eltűnik, de addig mindig lesz követési hiba). A hiba annál 

kisebb, minél lassabban csökken a bemenő jel, tehát minél jobban 

hasonlít az ugrásalakú jelhez. Az általános törvényszerűséget a 8.2. 

példa mutatja be. 

8.2 Példa 

Az u a(s) bemenő jel és a w^ts) átviteli függvény az s változó rációnál is 

törtfüggvénye. 

M (s) M (s) 

w (s) = -ÜV-T 

o N (s) 

o 

; 

a 

u (s) = - K i r , 

a N (s) 

a 

(8. 15) 

Itt M(s) ill. N(s) a számláló és a nevező polinomjait (gyöktényezőit) 

jelzik. 

A hibajel 

y 

h 

( s ) 

1 

M ( s ) 

a 

1+ M (s)/N (s) N (s) 

N (s) M (s) N (s) M (s) 

o a o a 

M (s) + N (s) FTTsT " N(s) N (s) 

o o a a 

(8.16) 

N(s) a zárt szabályozási kör átviteli függvényének a nevezője. y^(s) 

pólusai a zárt rendszer pólusaiból (N(s) polinom) és a bemenő jel 

188

pólusaiból (N a(s) polinom) tevődnek össze. Az i dő t ar t ományban a hibajel 

a rendszer pólusaiból származó tranziens komponenseken kívül a bemenő 

jel pólusaitól származó valamennyi kvázistacionárius hiba komponenst is 

tartalmazza, így a kimenőjel a bemenő jelet a tranziensek eltűnése után 

is hibával követi. A kvázistacionárius hiba összetevő csak olyan bemenő 

jel komponensre tűnik el, amelynek pólusa az N^:s) polinomban is 

előfordul ( a W q függénynek is a pólusa), mert ekkor a (8.16) egyenletet 

az N (s) és N (s) polinomok azonos gyöktényezőivel egyszerűsíteni lehet. 

189

9. A SZABÁLYOZÁSI KÖR SZINTÉZISE 

A rendszertechnikai méretezésnek - a szintézisnek - a célja az adott 

követelményeknek megfelelő szabályozási kör kialakítása. Magában 

foglalja a szabályozási struktúra és a paraméterek alkalmas 

kiválasztását. A tényleges létesítmény tervezésének ezen kívül számos 

nem kevésbé fontos eleme van (eszközök, környezeti hatások, 

üzembiztonság, gazdasági és technológiai kérdések, stb.). A 

következőkben csak a rendszertechnikai vonatkozásokra térünk ki. 

9.1 Méretezési eljárások 

A 1egá11 a1ánosabban megfogalmazott szintézis fe1adat az y^ zavaró 

hatásoknak kitett irányított folyamat olyan u beavatkozó jelének a 

meghatározása, ame11ye1 a rendszer valamilyen minőségi kritérium szerint 

optimálisan hozható a kívánt állapotba. Eközben a beavatkozó jel a 

technikai vagy gazdasági korlátok között marad. 

Az u jel valós idejű (real time) kel 1 hogy legyen, azaz egy adott 

időpontban az addig rendelkezésre álló mérési i nformác i ókbó1 kel1 

képezni. 

A zárt szabályozási körben a szabályozási folyamat saját maga generálja 

a beavatkozó jelet, ezért a fe1adat a szabályozó struktúrájának és 

páramétereinek megkeresésére redukálódik. 

A tervezés metodikája többféle lehet: 

a. ) Automatizált tervezési eljárás, amely az előírások megadása után 

önműködően meghatározza a kívánt rendszert. 

b. ) Interaktív eljárás, amikor részeredmények alapján tervezői döntés 

kel1 a további lépésekhez (beleértve az esetleges követelmény 

módosítást is.) 

Az a esetben a követelményeket olyan egzakt matematikai formában kel 1 

megfogalmazni, hogy egyértelműen definiálják a megoldást. A 

követelményrendszer két különböző elven épülhet fel. Az egyik a kívánt 

mutatókat közvetlenül írja elő. Ilyen például a zárt kör pólusainak az 

előírása (pole piacement, pole assignment). 

A másik nem az elérendő mutatókat, hanem olyan kritériumokat ír elő, 

amelyek a különböző számításba jöhető megoldásokat a "ráfordításokkal" 

szembeállítva értékelik, és ennek alapján kiválasztható az optimális 

megoldás. Ezen az elven épül fel az optimális irányítás (optimál 

control). 

A b esetben a követelmények vagy nem eléggé egzaktak, vagy nem eléggé 

megalapozottak ahhoz, hogy egyetlen kizárólagos megoldást lehessen célul 

191

kitűzni. így a tervező valami 1yen felvett minőségi követelményből 

ki indulva próbálgatással igyekszik a rendszer konkrét adottságaihoz 

i1leszthető reál is megoldást találni. Ez a tervezés klasszikus módja 

(trial and error), amelyben a tervezői intuíciónak is fontos szerepe 

van. 

Az egzakt előírásokkal mindig fennál1 annak a veszélye, hogy formailag 

helyes, de lényegét tekintve irreális megoldásokat eredményez (pl. 

labi1 is pólusú szabályozót). 

Valójában ugyanis csak az írható elő, ami teljesíthető, így reál is 

követelmények megadásához tulajdonképpen már ismerni kellene a 

megoldást. Az interaktív módszer ezt az ellentmondást igyekszik 

feloldani. A következőkben ezzel foglalkozunk, mert a rendszer 

működésmódjának megismerésére ez a legalkalmasabb. 

A tervezés technikáját i1letően a feladatok megoldhatók az idő és a 

frekvencia tartományban. Az autómatizált eljárások - mivel a számítógép 

a differenciálegyenleteket nem frekvencia transzformációval oldja meg - 

főleg i dő t art ománybe1i technikákkal dolgoznak, míg az interaktív 

eljárásokban előnyösek a frekvencia módszerek. Az idő és a frekvencia 

tartomány között i kapcsolat a két tartomány mutatóinak egzakt 

megfeleltetését nem teszi lehetővé, mert a kölcsönös kapcsolat 

modellfüggő (8.2 pont). 

9.2 Egykimenetű folytonos idejű szabályozási kör méretezése az 

átviteli függvény alapján 

Minden rendszertechnikai méretezés igyekszik az ideál is szabályozási kör 

tulajdonságait megközelíteni. Ezek: 

a.) A rendszer stabi1 is 

b. ) A kvázistacionárius hiba zérus 

c. ) Az alapjel ill. a zavarójel változásakor a tranziens folyamatok 

időtartama zérushoz tart. 

Valóságos rendszerekben a kváz i s t ac i o nár i us hiba általában nem 

tüntethető el, de a felnyitott kör kisfrekvenciás karakterisztikajának 

megfelelő kialakításával meghatározott típusú bemenő jelekre 

megszüntethető vagy erősen korlátozható. Ezért mérlegelni kel 1, hogy 

mi 1yen típusú bemenő jel (zavaró jel) éri leggyakrabban a rendszert, és 

annak megfelelően kell a felnyitott kör frekvencia menetét kialakítani a 

kisfrekvenciás tartományban. 

A tranziens folyamatok végtelenül gyors lefolyását az irányított szakasz 

időállandói (tehetetlenségét reprezentáló pólusai) és esetleges 

holtideje megakadályozzák. A holtidő hatása semmilyen módon sem 

küszöbölhető ki, a tehetetlenségből származó késleltetés azonban a 

bemenő jel átmeneti megnövelésével elvileg tetszőleges mértékben 

csökkenthető. Ennek azonban technikai és gazdasági korlátai vannak, mert 

a beavatkozó szerv és maga a fo1yamat is csak meghatározott amplitudójú 

beavatkozó jelet képes elviselni. Ennek túllépésekor a szerkezetek 

tönkremehetnek, vagy telítődnek (ami a beavatkozást automatikusan 

korlátozza). A túl vezérlésnek a technikailag megengedhető határon belül 

192

is ára van, mert a beavatkozó szerv dimenziói a beavatkozó jel 

amplitudójától (energiájától, teljesítményétől, stb.) függenek. 

A tervezéskor a gyorsításból származó előnyök és hátrányok 

mérlegelésével kel 1 megállapítani a beavatkozó jel tolerálható tranziens 

csúcsértékét. 

Ha a tranziensek nem korlátozhatók végtelen rövid időre, megjelenik a 

dinamikus vagy tranziens hiba, amelynek lecsengési ideje a felnyitott 

kör vágási körfrekvenciájávai fordítottan arányos (8.5 egyenlet). így a 

vágás i frekvencia helyét a rendszer ésszerűen megvalósítható 

szabályozási gyorsasága szabja meg. 

A stabi1itási tartalék ill. a kvázistacionárius állapotba való átmenet 

jel lege (lengő, vagy aszimptotikus) és ezen belül az esetleges 

túl lendülés mértéke a fázistöbblettől függ. Durván kb. 60°-os 

fázistöbbletnél várhatók a legkedvezőbb viszonyok, ezért ki indulásként 

ezt lehet előírni. 

A fázistöbblet döntően a felnyitott kör frekvencia diagramjának az a> c 

vágási körfrekvencia körüli alakulásától függ. így a tervezéskor ezt 

kell megfelelő módon kialakítani. 

A szabályozott szakasz frekvencia átviteli tulajdonságait 

természetszerűen nem a szabályozási szempontok határozzák meg. A 

felnyitott kör frekvencia diagramjának a kívánt kialakítása a 

szabályozóra marad, amely ezt a feladatot jelformálással oldja meg. 

Ennek alapformája a 9.la ábra szerinti struktúra, amelyben a szabályozó 

egy alkalmas frekvencia átvitel i tulajdonságokkal rendelkező vMs) 

átviteli függvényű kompenzáló szervet tartalmaz. Ez az irányított 

folyamattal sorba kapcsolva a felnyitott kör átviteli függvényét a 

kívánt alakra hozza (soros kompenzáció). 

yh u y " c 

9.1 ábra 

A struktúra működésének a mechanizmusa az, hogy a w^(s) átviteli 

függvény a fo1yamat (w (s) átviteli függvény) egyes zérusainak és 

P 

pólusainak a hatását részben vagy egészében semlegesíti (erre utal a 

kompenzáció elnevezés) és helyettük új zérusokat ill. pólusokat hoz be a 

felnyitott körbe (a folyamat zérusait és pólusait mintegy "áthelyezi" 

más frekvencia tartományba). Ugyanez a hatás más struktúrával is 

elérhető. 

193 

w, r1 

®

A 9.1b ábrán pl. a jelformáláshoz a w , (s) soros elemen kívül a 

rl 

szabályozott szakasz valamilyen mérhető belső jeléről w (s) frekvencia 

függő elemen keresztül vett visszacsatolása is hozzájárul. Ezáltal a fő 

hurkon belül még egy belső visszacsatolt hurok keletkezik. Az 

elrendezést visszacsatolásos kompenzációnak nevezik, ami arra utal, hogy 

a szabályozó hatás valami lyen vMs) soros kompenzációval egyenértékű. 

Egyéb szempontból - pl. zavarra vagy a nemiinearitásókra való 

érzékenység - azonban a 9. la és b megoldások jelentősen 

különbözhetnek egymástól. Ugyanez vonatkozik egyéb lehetséges 

struktúrákra is. 

A soros kompenzáció - tényleges megvalósításától függetlenül - a 

kimenetről visszacsatolt kör szabályozásának egyik alapvető model1je. 

Az időtartományban a w^(s) átviteli függvény olyan analóg műveletekkel 

megvalósított algoritmus, amely az y^ híbajéiból előál1ítja a beavatkozó 

jelet. Me ghat ározása különböző idő vagy frekvencia tartománybeii 

interpretációk alapján történhet, így számos méretezési eljárás 

ismeretes. Ezek közül az egyik az, amikor w^(s) pólusait és zérusait a 

szakasz frekvencia átviteli függvényében a minőségi követelmények miatt 

szükségessé váló pólus (zérus) áthelyezésből közvet lenül vezetjük le. Az 

eljárás az átviteli függvényeken ill. a frekvencia diagramokon alapul. 

9.3 Kompenzációs szabályozó 

A kompenzációs szabályozóval elérhető hatásokat és a szabályozó 

algoritmus meghatározását egy konkrét számpélda kapcsán mutatjuk be. 

Az irányítandó fo1yamat áviteli függvénye: 

, ^ = 

i 

1 _ 

i 

1_ = 

M (s) 

p 

S J 

p ~ (1+sT )(l+sT )(l+sT ) ~ ri + !0s)(l+sTU+0,2s) " N (s) 

1 2 3 p 

(9. 1) 

Az aszimptot ikus Bode diagram a 9.2 ábrán látható (w ). 

A szabályozót ugrás alakú alapjel követésére méretezzük, u (s)=l/s. 

a 

A tranziensek periodikusan esi 1lapítottak lehetnek, de a túl lendül és 

maradjon 10%-on belül. Ez a domináns póluspár £=0,6-0,7 esi 1lapításánál 

ill. a fázistöbbletnek (a kör struktúrájától függően) 60 -80 közötti 

értékénél várható.. 

A fe1adat a működési sebességre és a statikus hibára vonatkozó további 

előírásoktól függően különböző kompenzációs algoritmusokkal 

teljesíthető. 

9,3.1 P kompenzáció 

A zárt rendszer stabi1itása ill. a kel lő fázistartalék miatt a 

felnyitott kör vágás i körfrekvenc i ája az aszimptot ikus diagram (-1) 

meredekségű szakaszán lehet. Ilyen meredekségű hosszú szakasz az o> =0, 1 

194

és LÚ = 1 sarokfrekvenciák között w görbéjében megtalálható. Ezért ha a 

d P 

szabályozási időre vagy a statikus hibára vonatkozó előírások nem 

kívánják a frekvencia diagram alakjának a módosítását, a legegyszerűbb 

megoldásban a szabályozó (kompenzáló szerv) arányos tag (proporcionális 

tag = P tag). Ennek k^ erősítési tényezőjét a ke11ő fázistöbblet 

biztosítása korlátozza. Figyelembevéve a sarokpontoknak az aszimptotikus 

szög értékre gyakorolt hatását (6.5.4 pont ill. 6.18 ábra) és korrekció 

forrásnak első közel ítésben csak az o> sarokpontot tekintve, attól 1:2 

arányban kisebb frekvenciánál a kel lő fázistartalék még biztosíthatónak 

látszik. 

• -9,2 ábra 

Tehát olyan k erősítésből indulhatunk ki, amely a felnyitott kör 

r 

aszimptotikus diagramjának vágási frekvenciáját kb. ~ 0,5 értékre 

állítja. Ehhez w görbéjét a függőleges tengely irányában az eredeti 

P 

helyzetéhez képest 1:5 arányban kell megemelni (9.2 ábra W Q) . 

w (s) = 5 (S.2) 

r 

A felnyitott kör átviteli függvénye: 

M 

wo(s)= wr (s) w is)= XJTm-T(T+sHl^ 

( s ) 

= - r T^ y 

o 

(9.3a) 

5 

A pontos vágási frekvencia ill. fázistöbblet (zárójelben az 

aszimptotikus diagram szerinti értékek): 

195 

o

CJ = 0,44; (0,5);

Az irányító .jel 

U ( S ) = 

w r(s) ua(s) vMs) ua(s) N Q(S) 

1+w (s) w (s) = 

1+w (s) 

r p o 

Behelyettesítve 

= k 

r"N(s) U ( s ) 

a 

(9.7a) 

( , (l+10s)(l+s)(l+0,2s) 1 

(l+10s)(l+s)(l+0,2s)+5 ' s (9.7b) 

U l S J b 

A irányító jel időfüggvényét a 9.4 ábra u p görbéje szemlélteti. A 

kezdeti értéket a (9.7b)-bői a t=0-ra vonatkozó határérték tétellel 

kiszámítva 

u(0) = 5 (9.7c) 

Ugyanerre az eredményre vezet, ha abból indulunk ki, hogy a szakasz 

időkésése miatt a t=0 pont környezetében az y kimenő ill. az y 

el lenőrző jel még közel zérus, így 

y,(s) ~ u (s) ill. u(s) ~ w (s)u (s) (9.8) 

h a r a 

Ebből 

u(0)= lim s w (s) • u (s) = w (s-*») = 5 

s-*oo r a r 

Az irányító jel a tranziens folyamat jelentős részében meghaladja az 

u(oo)=5/6 ál lamdósult értékét. A beavatkozó jelnek a túllendülését - a 

dinamikus túlvezérlést - vagy a maximális és az állandósult érték 

arányával (u^.) vagy - amennyiben az ál landósult érték zérus - a 

maximális értékkel (u ) lehet magadni. Ebben az esetben a maximális 

max 

érték a t=0 pi1lanatban - az alapjel bekapcso1ásakor - lép fel, ezért a 

túlvezérlési" arány: 

u =-^j = 6 [600%] (9.9) 

t U(oo) 

A dinamikus túlvezérlés a tranziens fo1yamat alatt fokozatosan szűnik 

meg. 

A dinamikus túlvezérlés a rendszer gyorsításának az eszköze. A 

gyorsítás mechanizmusát egy egytárolós arányos tag példáján a 9.5 ábra 

i1lusztrálja. A T időállandójú tagra u^ egységugrás bemenő jelet adva az 

y^ kimenő jel T időállandójú exponenciális görbe mentén éri el 

állandósult értékét (a ábra). A bemenő jelet a kezdő pi1lanatban 

kétszeresére növelve, majd fokozatosan egységnyire csökkentve (u^), az 

y^ kimenő jel a kezdeti pillanatban olyan meredekséggel indul, mint a 

kétszeres bemenő jelnek megfelelő kétszeres állandósult értékű T 

197

9.4 ábra 

Az elv általános érvényű. Egy rendszer tehetetlenségét csak 

túlvezérléssel lehet rövidebb idő alatt leküzdeni. Az irányított 

folyamat beállási idejének a csökkentését (a felnyitott kör vágási 

frekvenc i ájának a növelését) túlvezérléssel lehet elérni, amelyet 

azonban az állandósult kimenő jel változatlan értéke miatt fokozatosan 

meg kel1 szüntetni. 

A szabályozási körben a túlvezérlést és annak kellő ütemű visszavételét 

a negat í v visszacsatolás és a helyesen kiválasztott szabályozó 

algoritmus automatikusan valósítja meg. 

A 6.2 pont szerint egy rendszer tehetetlenségének egyik jellemzője 

kimenő jelének a 1ineáris szabályozási területe. Ennek alapján a 9.5a 

ábra gyorsítási folyamata úgy interpretálható, hogy az u^ jelnek az 

Uj-hez viszonyított - az ábrán vonalkázással jelölt - szabályozási 

területe negatív (gyorsító terület), amely levonódik az u^ által keltett 

y^ jel pozitív (időkéséses) szabályozási területéből és így jön létre a 

kevésbé időkéséses (kisebb pozitív szabályozási területű) y^ jel. A 9.5b 

ábra a (9.7b)-nek megfelelő irányító jel gyorsító területét mutatja. 

198

9.3.2 PI Kompenzáció 

A zárt szabályozási kör statikus hibája a nyitott kör erősítésének 

növelésével csökkenthető. Ha egy adott erősítésnél a felnyitott kör a 

gyakorlatilag még elfogadható stabi1itás határára kerül, további 

erősítésnövelés csak úgy lehetséges, ha annak hatása a kisfrekvenciás 

tartományra korlátozódik, de a stabi1itást és a beállási dinamikát 

meghatározó frekvenciatartományban (a vágási frekvencia környékén) már 

nem mutatkozik. 

9.5 ábra 

A felnyitott kör frekvenciaátvitel i függvényében (9.2 ábra) az o)^ 

töréspontot a szakadozott vonal mentén az u) frekvenciára áthelyezve, a 

(-1) meredekségű szakasz a kisfrekvenciák felé úgy hosszabbítható meg, 

hogy az aszimptotikus diagram vágási körfrekvenciája változatlan marad, 

a fázitöbbletet pedig csak a távolabbra került töréspont korrekciós 

hatásának változása módosítja. Ekkor a körerősítés k -ről k -ra 

r ra 

növelhető. Szélső esetben a töréspontot w, =0-ra helyezve a w ^ T görbe 

la orl 

a teljes kisfrekvenciás szakaszon integráló jellegűvé (1. típusúvá) 

válik, ami az ugrásfüggveny alakú bemenetre a statikus hibát zérusra 

redukálja. A nyitott kör átalakításának ez a formája az arányos - 

integráló kompenzáció (PI kompenzáció), amely a kör eredeti típusszámát 

eggyel növeli, másrészt a frekvencia diagramot eredeti helyzetéhez 

képest a P kompenzációhoz hasonlóan a függőleges tengely i rányába 

önmagával párhuzamosan eltolja. 

199

A kompenzáló algoritmus, amely az 1/T^-nél levő valóságos vagy 

képzelt sarokpontot w=0-ra helyezi 

1+sT 1+sT 

w (s)= k o T = k —=-i (9.10) 

r r s i j r sl j 

Esetünkben az - l/T^ = 1/10 f rekvenc iánál levő sarokpontot úgy 

áthelyezve, hogy a P kompenzációval beállított vágási frekvencia és 

dinamika kölelítőleg változatlan maradjon, 

, . c 1+lOs n _ 1+lOs f , 

w (s)= 5 —R~PR— = 0,5 (9.11) 

r lOs s 


0,5 M (s) 

w (s) = — T - T - — w . _ _ v = —RR-7—r (9. 12a) 

o s(1+s)(1+0,2s) N (s) 

o 

A vágási frekvencia és a fázistöbblet a pontos és az aszimptotikus 

diagram (zárójelben) alapján : 

w c= 0,4540 (0,5); ^=60,39° (57,72) (9. 12b-c) 


W ( S ) = 

0,5 M Q(S) 

s (l+s)(l+0,2s)+0,5 = 

N(s) 

( 9 1 3 ) 

' 

A domináns póluspár sarokfrekvenciája és esi 1lapítási tényezője 

w = 0,7 ; C = 0,63. (9.14) 

o ^ 

A zárt kör harmadik pólusának sarokf rekvenc i á ja a>=5, 11 . 

A zárt kör átmeneti függvényét a 9.3 ábra Pl görbéje mutatja. A rendszer 

statikus állapotban az alapjelet hiba nélkül viszi át, a dinamikus 

túllendülés h t=0,077 , ami a statikus érték 7,7%-a. 

A (9.10) szerinti szabályozó átviteli függvény egy arányos és egy 

integráló tag párhuzamos kapcsolásával is előál1ítható (innen 

származik a Pl elnevezés). 

w (s)= k (1+ l/sT T)= 5 (1+ ^R-) (9.15) 

r r I lOs 

k^ az arányos csatorna erősítése, Tj az u. n. integrálási idő, amelynek 

elteltével - ugrás alakú bemenetnél - az integráló csatorna kimenete 

egyenlővé válik az arányos csatorna kimenetével. a frekvencia 

tartományban az aszimptotikus Bode diagram alapján értelmezhető (9.6a 

200

abra) Az 1/Tj-nél kisebb frekvenciákon a tag integráló, az azoknál 

nagyobb frekvenciákon arányos jellegű. 

Az irányító jel t=0 környéki értékének számításakor ismét a (9. 10)-bői 

induIhatunk ki. Az első pi1lanatban a szabályozó arányos csatornája a 

teljes bemenő jelet átviszi, az integráló csatorna kimenete zérusról 

indul. így 

u(0) = k u (0) = 5 

r a 

ami azonos a P kompenzációval kapott értékkel. Mivel azonban most u 

ál landósult értéke - a s tat ikus hiba eltűnése miatt - u(oo) = l , ezért a 

kezdeti pontban a túlvezérlés 

u(0) 

U(oo) 

[500%] (9.16) 

A későbbiekben ha az integráló csatorna kimenő jele gyorsabban nő, mint 

ahogyan az arányos csatorna kimenő jele csökken, az eredő u(0)-nál 

nagyobb is lehet (9.4a ábra), így a túlvezérlés maximuma nem a t=0 

pontban lép fel. Az eltérés rendszerint nem számottevő, ezért a 

továbbiakban sokszor az egyszerűség kedvéért a (9.16) alapján számított 

értéket tekintjük túlvezérlési aránynak. 

y h(s) 

100 

- 

v 1 

+ s T i I u(s) 

10 J_ 100 u 

T, 

® 

u(s) 1.ST1 u(s) 

9.6 ábra 

201 

1.sT Q

Az CJ=1/T töréspontot az cj-nál kisebb w =1/T frekvenciára (T > T. ) 

l a a a 1 

áthelyező 

1+sT 

wr(s)= k (9.17) 

a 

algoritmus a 9.6b ábra aszimptotikus Bode diagramjának tanúsága szerint 

közelítőleg olyan Pl tágnak tekinthető, amelynek integrálási ideje T^ - 

T., mert az Ü»1/T\ tartományban arányos (k =KT./T erősítéssel), az alatt 

l 1 r l a 

integráló jellegű. A közelítés abban mutatkozik, hogy az integráló 

szakasz nem terjed ki a teljes kisfrekvenciás tartományra, U < U 

a 

frekvenciákon a tag k-ra növekedett erősítéssel ismét arányossá válik. 

Összefoglalva: Az egyszeres Pl t ípusú kompenzáló tag egy egyszeres 

töréspontot kisebb frekvenciákra képes áthelyezni. 

9.3.3 PD kompenzáció 

A szabályozás az eddigieken túlmenően gyorsítható, ha s i kerül a vágási 

körfrekvenciát úgy növelni, hogy a fázistöbblet nagyjából változatlan 

marad és ezáltal a kör megőrzi a gyakorlat i stabi1i tását. 

Az irányított folyamat Bode diagramjában az Ü)=1/T^=\ körfrekvencián 

levő töréspontot nagyobb frekvenciára - pl. (j^^l/T^^lO-re - helyezve a 

(-1) meredekségű szakasz az ^=2-re kerüljön, a 

módosított Bode diagramot függőleges i rányban önmagával párhuzamosan 

1:20 arányban kel1 eltolni (9.7 ábra vastagon kihúzott görbéje). Ezt az 

eltolást és a pólusáthelyezést megvalósító arányos-differenciá1ó (PD) 

kompenzáló tag átviteli függvénye: 

V 

S ) 

= k 

1 + s T 

2 Us 

r -ÜÍTT- = 2 0 2a 

TÍÖ7TI 


W ( s ) = = 

o 

20 

( 9 1 8 ) 

(l + 10s)(l+0,2s)(l+0,ls) (9.19) 

A vágási frekvencia és a fázistöbblet pontos és (zárójelben) az 

202

aszimptoták szerinti értéke 

w c= 1 ,84 (2);

értékével. 

S 

*" 

A túlvezérlési arány 

T 

2 

u(0) = lim s u(s) = k = 20-10=200 (9.21a) 

r r 

2a 

A beál1ási idő a P kompenzációhoz képest kb 1:4 arányban csökken, ennek 

az ára azonban az irányítójel kezdeti ugrásának 1:40 arányú növekedése. 

A nagy túlvezérlés egyrészt azért alakul ki, mert az irányi tójel 

gyorsító területének a beállási idő rövidítése miatt önmagában is 

növekednie kel 1, másrészt a növelt terület rövidebb idő alatt kel 1 

képződjék. 

A (9.21a) egyenletből látszik, hogy a túlvezérlés két komponens 

szorzatából ál 1. Az egyik a pó1usáthe1yezési arány (T /T ), a másik az 

2 2a 

arányos erősítés, ame11ye1 a módosított töréspontú Bode di agramot 

önmagával párhuzamosan eltoltuk. 

A (9.18) algor i tmussal az 0)^ = 1 /T^-nél levő töréspont el vi leg w^ôo-re is 

el tolható (T =0). Ekkor az algoritmus egy arányos és egy differenciáló 

2a 

tag párhuzamos kapcsolásával is előál1í tható (innen származik az 

elnevezés). 

w (s)=k (1+sT) (9.22) 

r r D 

k^ az arányos csatorna erősítése, pedig a differenciálási idő. A 9.8a 

ábra szerint a tag az w

9.8 ábra 

Az aszimptotikus Bode d i agramban (9.8b ábra) az arányos és a 

differenciáló szakasz között i határ u) = \/T^ f rekvenc ián van. A 

differenciáló hatás azonban nem terjed ki az egész nagyfrekvenc i ás 

tartományra. ÜM/T^ f rekvenc iákon a tag arányos jel legűvé vál ik. 

A tag v átmeneti függvényében a kezdeti ugrás időállandójú 

exponenciális görbe szerint csökken az állandósult értékre. 

v(t) = k [l+( - 1) e ^ a 

] (9.24) 

r 

2a 

A időállandót a kompenzálandó töréspont határozza meg, T^ a bizonyos 

határok között szabadon választható. A fázistöbblet szempontjából 

előnyös, ha a kompenzált pólus minél távolabbra kerül ( T / T 

n a g y 

2 2a ^» 

a beavatkozó jel kezdeti csúcsa T -val fordítottan arányos. Márpedig 

ugrásszerű bemenő jelekre a gyorsító hatás csak akkor érvényesül, ha ezt 

a csúcsot a soron következő tagok átviszik. Ha a kompenzáló szervet 

követő valamelyik erősítő a szabályozóban vagy a beavatkozó szervben 

kisebb jelszinten telítődik, akkor nem képes a szakaszra átvinni a kellő 

túlvezérlést, így a gyorsító hatás részben vagy egészében elmarad. 

205 

d e

Annak érdekében, hogy a telítétlen üzemállapot ne korlátozódjék 

túlságosan kis bemenő jelekre, a túlvezérlést lehetőleg korlátozni kel 1. 

Egyszeres PD tagban a T /T arányt 1: 10 - nél nagyobbra csak ritkán 

választják. Többszörös PD kompenzációt pedig - mivel az egyes pólusok 

áthelyezéséből származó túlvezérlések összeszorzódnak - folytonos idejű 

rendszerekben csak igen kivételes esetben alkalmaznak. 

Összefoglalva: A PD tag a Bode diagram egyik egyszeres töréspontját 

nagyobb frekvenciára helyezi át, de ezzel az áthelyezési aránnyal azonos 

túlvezérlést okoz. 

9. 3.4 PID kompenzáció 

A stacionárius hiba csökkentése és a rendszer gyorsítása együttesen 

megoldható a PID (arányos - integráló - differenciáló) kompenzációval, 

amely a PI és PD kompenzáció kombinációja. Az univerzális szabályozók 

rendszerint ilyen jelformálással készülnek széles határok között 

ál 1ítható arányos erősítéssel, integrálási és differenciálási időkkel. 

A vizsgált esetben az irányított folyamat w (jw) frekvencia függvényében 

a 9.3.2 és 9.3.3 pontokban tárgyalt módosításokat együttesen végrehajtja 

a PI és é PD tag soros kapcsolásával képzett alábbi w (s) átvitel i 

függvény: 

, , , 

1 + S T 

1 

1 + S T 

2 Q n l + 10s 1+s r q 

w (s) = k = -r-—= = 20 —px ~TTn—TTT (9.25) 

r r sT, l+sT 0 lOs 1+0,ls 

1 2a 

A felnyitott kör =2,96; C=0,6109 

o ^ 

A zárt kör átmeneti függvényét a 9.3 ábra PID görbéje mutatja. 

206

A túllendülés 

h t 

= 0,084 

ami az y(oo)=l állandósult érték 8,4%-a. 

Az irányitó.jel a stacionárius értékekben mutatkozó kis különbségtől 

(u(oo) = l) eltekintve megegyezik a PD kompenzáció megfelelő jelével. A 

kezdeti értéke u(0)=200, a dinamikus túlvezérlés u t=200. 

A (9.25) átviteli függvény egy arányos, egy integráló és egy 

reálizálhatóan differenciáló tag párhuzamos kapcsolásával is 

előállítható (9.9a ábra). 

r*- 1 

sTp 

1.sT 2 o 

© 

w (s)= k (1+ 

r sTT sT 

1+sT, 

2a 

w 

100- 

10- 

9.9 ábra 

(l+sT^d+s^) 

)= k 

r s T l (UsT 2 a) 

T I » T D > > T 2 o 

k r~k 

JL^JL J 1_ JL 00 

© 

T 1 ~ T l T 2~ T D T 2a 

Amikor az integrálási és a differenciálási frekvencia tartomány 

távol esik egymástól (9.9b ábra) 

T V 2 » T 

i U 

2a - T 

I » T 

D » T 

2a 

akkor 

T ~ T 

L 

l 

A 

l 

T ~ T : 

l 

B 2 ' 

(9.27a) 

Ha a két frekvenciasáv közel van, a paraméterek közötti összefüggések 

módosulnak. T =T_ » T 0 határesetben 

1 2 2a 

T =2T • 

I *V 

k= 2k (9.27b) 

207

9.3.5 Különböző jelformálású szabályozók összehasonlítása 

A P, PI, PD jelformálás fizikai oldalát vizsgálva tételezzük fel, hogy 

akár az alapjel, akár a zavarójel ugrásszerű változása miatt megváltozik 

a kompenzáló szerv bemenetét alkotó y^ hibajel (9.1 ábra). 

A szabályozó olyan u irányító jel lel válaszol, amely igyekszik 

eltüntetni a hibát, és az első időszakban általában nagyobb, mint a 

stacionáriusán szükséges érték. Éppen ez az átmenet i túlvezérlés 

biztosítja a gyors működést. 

A P szabályozó a hibával arányos teljes túlvezérlést a hiba fellépésének 

pi1lanatában beveti. Ha pl. a felnyitott kör arányos típusú k Q=10 

körerősítéssel, akkor a szabályozott jellemzőben keletkező 10%-os hiba a 

P szabályozóban akkora irányítójelet vált ki, amekkora stacionárius 

ál lapotban 100%-os hiba eltüntetésére lenne elegendő. A túlvezérlést 

maga a beavatkozás következtében csökkenő hiba veszi vissza. Ha a 

szabályozott szakasz tulajdonságai miatt a beavatkozás eredménye 

túlságosan késleltetve jelenik meg, a túlvezérlés pedig túlságosan nagy, 

az arányos visszavétel annyira elkésik, hogy a szabályozott jellemzőben 

erős túl lendülés vagy lengés ál Ihat elő. Ezért ilyen struktúrában a 

felnyitott kör erősítése az adatoktól függő k^ r értéket nem haladhat 

meg. Ez határt szab a statikus pontosságnak és a működési sebességnek. 

Ezt a határt kétféle módon lehet át lépni: 

a.) A túlvezérlés lépcsőzésével, 

b. ) A túlvezérlés visszavételének a gyorsításával. 

A PI szabályozó az első elv szerint a hiba megje1enésének a pi1lanatában 

az arányos csatornáján keresztül a krit ikusnak megfelelő beavatkozó 

jel lel válaszol, amelyet a hibajel integrálása útján olyan lassan 

igyekszik növelni, hogy közben az első beavatkozás eredményeként a hiba 

jórészt megszűnik és a túlvezérlés sokkal előbb mérséklődik, semmint a 

kezdeti hibának megfelelő végértéke kialakulhatott volna. A hiba 

elhárítás zömmel így k^ r körerősítéssel történik, ezért a szabályozás 

gyorsasága kb. megegyezik azzal, amit egy ilyen körerősítésű P 

szabályozással lehetne elérni. Az integráló hatást is magában foglaló 

teljes körerősítés már csak a stat ikus ál lapot közelében jut érvényre, 

amikor már nem a gyorsaságot, hanem a stacionárius hibát képes 

befolyásolni. 

A PD szabályozó - minthogy kimenő jele nemcsak a hibajellel, hanem 

annak differenciálhányadosával is arányos - gyorsan növekvő hibákra az 

arányos értéket meghaladó túlvezérléssel reagál, de ezt már a hiba 

változási sebességének csökkenésekor ill. megfordulásakor nagyrészt 

visszaveszi anélkül s hogy magának a hibának a csökkenését megvárná. 

A PID szabályozó azáltal egyes í t i a két elvet, hogy a beavatkozást 

nemcsak a hibától, hanem annak integráljától és differenciálhányadosátó1 

is függővé teszi. 

208

9.3.6 Holtidős szakasz kompenzálása 

Az ideál is holt idős taggal helyettesíthető szakasz szabályozása a 

holt idős tag két a1apt u1aj donsága miatt tér el az inercia 

rendszerekétől. 

a. ) Frekvencia átviteli függvényének amplitúdója frekvenciafüggetlen, 

b. ) Túlvezérléssel nem gyorsítható, mert a holtidőt okozó véges 

jelterjedési sebesség nem függ a bemenő jel amplitudójától. 

Az a isiiatt arányos szabályozással már egységnyi körerősítésnél a 

stabi1itás határhelyzetébe kerül (Nyquist diagramja átmegy a - 1 

ponton). A megfelelő stat ikus pontossághoz szükséges kisfrekvenciás 

kiemelés csak Pl vagy I kompénzációva1 érhető el. 

b-ből következik, hogy D kompenzációval maga a holt idős tag nem 

befolyásolható, legfeljebb a hozzá csatlakozó tárolós tagok. 

Legyen a felnyitott kör átviteli függvénye 

-sT 

w (s)= e w, (s) (9.28a) 

o 1 

ahol Wj(s) rációnál is törtfüggvény. 


r \ 

-sT, 

h 

w, (s) 

1 

-sTu w(s) = e — 

1 + e 

h , v 

Wj(s) 

(9.28b) 

A felnyitott körben előforduló ho11idő amellett, hogy soros tagként a 

zárt kör átviteli függvényében - így kimenő jelében is - megjelenik, a 

zárt rendszer átviteli függvényének 1+W q(s) nevezőjét transzcendens 

függvénnyé teszi. Folytonos idejű MATLAB utasítások a holt idős átviteli 

függvényeket nem tudják kezelni, így a zárt kör pólusát meghatározó, 

vagy a szimulációs feladatok csak úgy oldhatók meg, ha a holtidős tagot 

tárolós tagokkal helyettesítjük. 

A fázistöbblet alapján történő méretezéshez ilyen helyettesítés nem 

szükséges, mert a holt idős tag a felnyitott kör Bode amplitúdó 

diagramját egyáltalán nem, fázisdiagramját pedig egyszerűen kalkulálható 

módon módosítja. A méretezett rendszer ellenőrzéséhez azonban már 

szükséges a helyettesítés. 

Ha a ho11idő a felnyitott kör többi időál1andójához képest kicsi, a 

kompenzáló algoritmus ill. a vágási frekvencia kiválasztásakor nincs 

lényeges szerepe. Úgy tekinthető, mint a kisebb '' időállandós tagok 

egyike, amelyek a 6.7.4 pont szerint a zárt kör átviteli függvényében is 

megjelennek. (Sokszor az ilyen ho11idő nem is valóságos, hanem éppen úgy 

kerül a rendszerbe, hogy egyszerűség kedvéért több kis időállandós tagot 

egyetlen holt idős taggal helyettesítünk. ) 

209

A holtidő akkor jut meghatározó szerephez, ha összemérhető a rendszer 

nagyobb időállandóival. Ilyenkor az w =1/T, "holtidős sarokfrekvencia", 

amely e1mozdíthatatlan, korlátozza a felnyitott kör vágás i 

frekvenciáját. így ez a 7.4 példa szerint 60°-os fázistöbblet 

betartásával akkor sem növelhető fölé, ha a kör a holt idős tagon 

kívül csupán egyetlen integráló vagy nagy időállandós egytárolós tagból 

ál 1. 11yenkor a zárt kör működését nemcsak az elkerülhetet len no11 idő, 

hanem a kis vágás i frekvencia miatt hosszúra nyúló beál1ási idő is 

lassítja. 

u Q(s) y hls) 

y m1 (s) 

W 5 ' 

u Q(si y h(s) 

w r(s] 

w 

í s ) 

pm 

w rís! 

-4 

uís) 

U IS) 

® 

s T 

e" h Wpís) 

y(s) 

e-sT h m, "pm Is) 41 

2 T 

Wpís) 2Í S 

® 

9.10 ábra 

e" s T h 

Ez utóbbi tényezőnek a kiküszöbölésére alkalmas a Smith prediktor 

(9. 10 ábra). Ebben az u irányító jel nemcsak a 

w (s)=exp (-sT,) w (s) 

o 

r 

h p 

átviteli függvényű szakaszra, hanem annak exp(-sT. ) w (s) átviteli 

hm pm 

függvényű teljes és a holtidő nélküli w^Cs) modelljeire is hat. 

A w^(s) algoritmust úgy kel 1 meghatározni, hogy az a holt idő néküli 

modellel az 1 jelű körben a kívánt dinamikát és túlvezérlést érje el. Az 

így előál1ított irányító jel kerül azután a szakaszra, amelyen ha a w 

pm 

mode11 pontos, az y^ jelhez képest T^-val késleltetett kimenő jelet 

produkál. Az elrendezés azzal egyenértékű, mintha a holtidőt sikerült 

volna különválasztani és a zárt szabályozási körömi kívülre helyezni (b 

ábra). 

210

Ha a modell pontos, a holt idős szakasz y kimenő jele és annak y 

m 

modellje azonos, különbségük zérus, így a 2 jelű korrekciós kör 

nyitottnak tekinthető. 

Ha bármilyen okból (hibás modell, zavarójelek) a két jel eltérő, y 

különbségük a bemenetre visszacsatolva az eltérést korrigálni igyekszik. 

9.3.7 Labilis folyamatok szabályozása 

A szabályozott szakasz és a szabályozó átviteli függvényeinek pólusaihoz 

az állapottérben állapotváltozók kötődnek, amelyek együttesen a 

felnyitott kor állapotváltozóit alkotják. Ezek a rendszerből nem 

tüntethetők el. Amikor tehát a kompenzálás a szakasz vagy a szabályozó 

átviteli függvényének valamelyik pólusát kiküszöböli, valójában a 

rendszer megfelelő változóját a kimenő vagy a bemenő oldalról 

hozzáférhetetlenné, tehát nem megf i gye 1 he t ő vé vagy nem irány í t hat óvá 

teszi. Attól azonban, hogy egyes változók nincsenek jelen az átviteli 

függvényben, a rendszernek részei maradnak, és a felnyitott körnek a 

bemenő és a kimenő jelétől különböző belső jelekkel érzékelhetők és 

hozzáférhetők, 

A rendszer stabilitásához nemcsak az átviteli függvény pólusai, hanem a 

nem megfigyelhető és a nem irányítható pólusok is a baloldali fél síkon 

ke11, hogy legyenek. 

Irányi tható és megfigyelhető Iabi1is pólusokat tartalmazó jznkaszK, L 

megfelelő szabályozó algoritmussal stabilis zárt szabályozási k^>r 

építhető fel, mert a labi1 is változó begerjedésekor a begerjede^t gat 

visszacsatoló jel alakul ki a zárt körben, ame 1 y kedvező ^£>*:tbt'p 

megfékezi a folyamatot. Nem szabad azonban a 1 ab i 1 i s pólusokat nvm 

megfigyelhetővé vagy nem irányithatóvá tenni, tehát nem Lenét azokat .\ 

szabályozó zérusaival közvetlenül kompenzálni. A felnyitott kör átviteli 

függvényéből eltüntetett változókra ugyanis nem hat a visszacsatolási 

mechanizmus (mert vagy a szabályozott jellemzőben nincsenek jelen, vagy 

a visszacsatolt jel lel hozzáférhetetlenek), így ha labilisak, 

begerjedésüket semmi sem akadályozza, 

A 1.abi 1 is szakasz szabá 1 yoző jának tervezését a 9. 2 példa i 1. lusztrál ja. 

9.1. Példa 

a. ) Határozzuk meg a követési hibát, ha a 9.3 pontban tárgyalt Pí 

kompenzációs szabályozási kör alapjele sebességugrás alakú, 

U (s)=1/s . 

a 

b. ) Hogyan kell megváltoztatni a kompenzáló algoritmust ahhoz, hogy a 

sebességugrás alapjelet stacionárius hiba nélkül kövesse a rendszer? 

a. ) A (9.12a) egyenlet szerint Pl kompenzációval a felnyitott kör 1 

típusú, k=0,S körerősítéssei, amelynek aszimptotikus Bode diagramját 

a 9.2 ill, a 9.1 la ábrák Pl görbéje mutatja. A 8.1 táblázat szerint 

az ilyen kör a sebességugrást u^/k=l/0,5=2 állandósult hibával képes 

követni. 

211

A hibajel frekvencia függvénye 

u (s) 0,5s(l+s)(l+0,2s) 1 

y (s)= —- = . — (9.29) 

1+w (s) s(l+s)(l+0,2s)+0,5 s 

A MATLAB-bal kiszámított időfüggvényt a 9.11b ábra y görbe *e 

ábrázolja. 

9.11 ábra 

b. ) A stacionárius követési hiba eltüntetése érdekében a szabályozási 

kör kisfrekvenciás szakaszát 2-es típusúvá (-2 meredekségűvé) kel1 

tenni, ugyanakkor a vágás i frekvencia stabi1itási és dinamikai 

okokból továbbra is (-1) meredekségű szakaszon kel 1 maradjon. A 

szakasz (9.1) átviteli függvényének átalakításakor a vágás i 

frekvencia - mivel a működés i sebességet most nem akarjuk 

változtatni - a 9.3.2 pont szerinti értéken tartható. A 

kisfrekvenciás tartományt azonban kétszeresen integrálóvá kel1 

tenni. Ez pl. úgy történhet, hogy először a 9.3.2 ponttal egyezően a 

szabályozott szakasz aszimptotikus Bode diagramjának (9.2 ábra) 

a>=0, 1 töréspontját egy PI taggal w=0-ra helyezzük, azután az így 

keletkező (-1) meredekségű egyenes egyik pontjában (w^-nél) egy 

újabb PI taggal új töréspontot létesítünk, ame1yné1 kisebb 

frekvencián a diagram meredeksége (-2)-re módosul. Ez - a PI 

212

kompenzációhoz képest új töréspont a fázistöbbletet is csökkenti 

(6.5.4 pont). A hatás korlátozása érdekében w^-t a vágási 

frekvenciától kellő távolságra kell elhelyezni. Válasszuk az 1: 10 

távolságban levő o> b=0,05 értéket (ez a 9.12b egyenlethez képest a 

fázistöbbletet 0,1 radiánnal csökkenti). 

A szabályozási algoritmus 

i+lOs l+20s 

w (s)= k • (9.30) 

r r 

lOs 20s 

A két soros PI tag PII kompenzációt eredményez. 


k (l+20s) 0,025 (l+20s) 

w (s) = = (9.31a) 

° 200s 2 

(l+s)(l+0,2s) s 2 

(l+s)(l+0,2s) 

k^ értékét úgy határoztuk meg, hogy az w c=0 pontban az aszimptotikus 

közelítéssel számolt amplitudó W q=1 legyen. Az aszimptotikus diagramot a 

9. 11a ábra PII görbéje mutatja. 

A vágás i frekvencia és a fázistöbblet (zárójelben az aszimptotikus 

értékek) 

tó =0,456 (0,5) ; c tartományban a>=0, 05 sarokf rekvenc i á jú zérusa 

van. (A 6.7.4 pont szerint ennek környezetében van a zárt kör egyik 

pólusa.) Ez T=17,9 időállandójú lassan esi 1lapodó összetevőt hoz a zárt 

kör jeleibe. Jelenléte jól felismerhető a követési hiba 9.11b ábrájának 

y 

ö r b é é b e n is 

h2 8 J - 

A jelenség a következőképpen interpretálható: 

A Pl és PII kompenzáció tranziensei a vágási frekvencia reciprokának a 

nagyságrendjébe eső időtartományban csaknem azonosak, mivel a közepes és 

a nagyfrekvenciákon a Bode diagramok is azonosak. A PII kompenzáció 

követési hibája is olyan, mintha a PI kompenzáció állandósult hibájához 

tartana, mivel a második PI tag hatása a nagyobb integrálási ideje miatt 

alig érvényesül. Amikor azonban mégis érzékelhetővé válik, a csaknem 

állandósuló hibát az említett időállandóval szünteti meg. 

213

A hiba elhárításának ez az elhúzódó szakasza a második Pl tag 

integrálási idejének csökkentésével rövidíthető. A 9.11b ábra 

görbéje arra az esetre vonatkozik, amikor a (-2) meredekségű szakasz 

0^=0,1 -nél végződik. A zárt kör legkisebb sarokfrekvenc i ája ekkor 

u>=O t 127-re kerül, azaz a második Pl tag hatása T=7,8 időál landóval 

érvényesül. Ez esetünkben gyorsabban eltünteti a stacionárius követési 

hibát, de a fázistöbbletet 47 -ra csökkenti, ami más típusú feladatnál 

(bemenő jelnél) hátrányos lehet. 

-H 2 példa 

4-^ ..iî 1 is szabályozott szakasz átvitel i függvénye 

r > = 0,5 = -1 

p b 

' (s-0, l)(s+l)(s+5) (l-10s)Tl+s)(l+0,2s) ( Q . 

Tervezzünk olyan szabályozót, amely a zárt kört stabi1izálja, az 

ugrásalakú bemenő jelet stacionárius hiba nélkül követ i, és a 

túlvezérlési arány nem haladja meg az u^-50 értéket. 

Mivel az egyenlőre P kompenzálással - k erősítéssel - képzett nyitott 

kör egyik pólusa a jobboIdali félsíkra esik, a zárt koi s,ab^ i1tásának 

eldöntésére az általános Nyquist kritériumot kel- h^p^á] ni , A 

felnyitott kör minőségileg helyes Nyquist diagramját a 8,6 példa 

mintájára meghatározva a 9.12a ábrához jutunk. A zart kör akkor 

stabilis, ha a -1 pont az a hurokba esik. Ennek a fe ; étele, hogy az 

egységsugarú kör és a Nyquist görbe vastagon kihúzat? f-> ágának c 

metszéspontjában (a vágási frekvencián) a fázistöbble* o.îsi'- legyen. 

9.12 ábra 

214

A vágási frekvencia helyét a függvény aszimptotikus Bode diagramjának 

(9.12b ábra) segítségével lehet megállapítani. Ez esetben az 

aszimptotákon a meredekség helyett az aszimptotikus szögeket jelöltük. 

Pozitív fázistöbblet (-180°-nál nagyobb fázisszög) az CJ=0, 1 és u>~\ 

sarokpontok közötti szakaszon (a -90 -os aszimptotán) lehetséges. Mi ve 1 

mindkét sarokpont az aszimptotikus szöget a szakaszon belül negatív 

irányba korrigálja, a legkedvezőbb szög a szakasz közepén várható. 

w=0,3-nál pl. a fázisszög kb. -130°. Kedvezőbb fázistartalék és nagyobb 

o> c elérése céljából a jobboldal i sarokpontot még PD kompenzációval 

o>=5-re áthelyezzük. Ekkor a vágás co=l-re tehető, mert ott a 

fázistartalék c=l pontba kerüljön (az ábra W q görbéje). Ez a 

PD kompenzáció 1:5 arányú pó1usáthe 1yezéséve1 együtt ugrásalakú bemenő 

jelre ^=10-5=50 dinamikus túl vezérléshez vezet, ami még éppen 

megfelelő. Mivel az u>=0, 1-nél levő sarokpont labi 1 is pólustól származik, 

közvet len kompenzációval nem tüntethető el. Ezért az integráló jel leget 

kialakító PI algoritmust az (l-10s) gyöktényező helyett az azonos 

sarokpontú (l+10s)-sel képezzük. A teljes PID kompenzáló tag átviteli 

függvénye 

w 

, , 

(s)=10 

l+10s 1+s 

r J 

lOs 1+0,2s (9.33) 


w 

, , 

(s) 

1+lOs 

° 

2 

s(l-10s)(l +0,2s) 

í 9 

- 3 4 a ) 

Kis frekvenciákon az aszimptotikus Bode diagram (-1) meredekségű egyént 

(9.12b ábra W q), amelynek aszimptotikus szöge a negatív átviteli ténye, 

miatt -270°. Az CJ=0s 1 pontban mind a számlálóban mind a nevezőben a H> 

tag vál ik dominánssá. Mivel mindkettő abszolút értéke azonos, ez xwokoz 

meredekség változást, de az aszimptotikus szöget +180 -kai növeli 

Ezért az ct>=0, 1 pont megszűnik mint töréspont, de megmarad rr • s 

~ 

sarokpont, ahol az aszimptotikus szög -270°-ról -90 -ra változik. 

A felnyitott kör vágási frekvenciája és fázistartaléka (zárőjelb i a? 

aszimptot ikus értékek): 

w c=0,9638 (1) ^=56,25° (56) (9 34b) 

Az ugrásalakú alapjel által gerjesztett kimenőjelet a 9. 13 ábra y 

görbéje mutatja. A (9.34a) egyenlet zérusa miatt a zárt kör egyik 

pólusának sarokf rekvenc i á ja o>=0, 128. Ennek T=7, 8 időállandója mutatkozik 

az y jel elhúzódó beállásában. 

215

Az irányító jel 

u(s) = 

w (s) 

r 

1+ w (s) 

o 

u (s) 

9. 13 ábra 

(9.34c) 

Az u görbe is a 9. 13 ábrában látható 1:50 arányú ampl i tudó 

zsugorítással. 

A példa kapcsán meg kell jegyezni, hogy W q fázisszöge az o>

számú zérusa csak előjelben különbözik n számú pólusától. s^. . . s^-nel 

jelölve a pólusok abszolút értékét 

w(s) = 

(s-s,)...(s-s ) 

1 n 

(s+s,)...(s+s ) 

1 n 

(9.36) 

A függvény abszolút értéke bármilyen s=ja>-nál egységnyi, így a valódi 

holt idős átviteli függvényhez hasonlóan csak a fázisszöge változik. A 

9. 14a ábrán a T = 1 

holt idejű tag tényleges i

Mivel a T=0,1 időállandó a T h=l holtidőhöz viszonyítva kicsi, a vágási 

frekvenciát az előírt fázistöbblet betartásával az aszimptotikus 

diagramon az 1/T^=1 holtidős sarokfrekvenc i át ó1 1:2 távolságra az 

w cj =0,5 pontba tehetjük (7.4 példa). Mivel ez az eredeti vágási pont is, 

az aszimptotikus diagramot nem kell elmozdítani. A frekvencia menet 

korrigálására sincs szükség, mert a vágási frekvenciát korlátozó ho11idő 

nem kompenzálható, a stacionárius hibát megszüntető 1 típusú 

kisfrekvenciás karakterisztikát pedig (9.37) már önmagában előál1ítja. 

így a szabályozó P típusú. 

w (s)=l; w (s)=w (s) (9.38) 

r o p 

a> cl=0,5; ? t=58,5°. (9.39) 

A zárt kör átviteli függvényében a holt idős tagot a 8-adfokú Pade 

közelítéssel helyettesítve a zárt kör átmeneti függvényére a 9. 15b ábra 

1 jelű görbéje adódik. Ennek beállási ideje az elkerülhetetlen holt idős 

késésnél jóval hosszabb. 

9.15 ábra 

Ha a fo1yamat modelÍjét pontosan ismerjük ((s)=w^(s)), a 9. 10 ábra 

szerinti Smith prediktor kapcsolásban a 2 jelű korrekciós körnek nincs 

szerepe. Az 1 jelű - holt időmentes - körben a vágás i frekvencia - ismét 

csak P kompenzációt használva - kb. a> c2=7-re növelhető. 

w (s)=14 

r 

A számításokat ismét a 8-adfokú Pade közelítéssel végezve az ugrás alakú 

bemenet által keltett kimenő jelet a 9.15b ábra 2 jelű görbéje 

ábrázolja. Ennek a beállási ideje jóval rövidebb (sőt az ca=10 sarokpont 

PD kompenzációval való eltolásával még tovább rövidíhető). 

218

9.4 Diszkrét idejű kompenzáció 

A mintavételes szabályozási kör struktúrája a 9.16 ábrán látható. A 

w r d(z) a diszkrét idejű szabályozó algoritmust leíró impulzusátviteli 

függvény, w^Cz) pedig a folytonos idejű szabályozott szakasz diszkrét 

idejű átviteli függvénye (impulzusátviteli függvénye, 6. 3 pont), amely 

a H tartószervet is magában foglalja (b ábra). 

u 

adíz y L 

hd ( z ) 

U Qd ^ *hd . 

w rd i z S 

u d(z) 

w . (z) 

pd 

y d 

© n 

u Ü 

d J H 

w rd H W P 

® 

9.16 ábra 

W pd 

A w Az) diszkrét kompenzáló algoritmus is a 9.3 pontban tárgyalt 

rd 

elvekre épül, a mintavételezésből adódó értelemszerű eltérésekkel. 

A folytonos szakasz pólusainak hatása nemcsak a diszkrét átviteli 

függvény pólusaiban, hanem a negatív valós zérusaiban is mutatkozik. 

Ezért a folytonos pólus áthelyezésének a diszkrét megfelelője a pólus és 

a negatív valós zérusok együttes áthelyezése lenne. Az említett zérusok 

egyik része az egységsugarú körön kívül helyezkedik el, ezért labilis 

pólusú szabályozó algoritmussal kel lene kompenzálni, ami nem lehetséges. 

De még az egységkörön belül fekvő negatív valós zérusok kompenzálása sem 

kívánatos, mert a w^ d(z) átviteli függvény, illetőleg az ^(z) irányító 

jel nevezőjében (z+g) típusú faktorokhoz vezet. Emiatt az irányító 

jelben 

k , 

U 

gd " "~z^T (9.40) 

219

alakú komponens is megjelenik, amelynek időfüggvénye alternáló előjelű 

esi 1lapodó impulzussorozat (9.17a ábra}. Ezt a tartószerv a 

szakadozottan jelölt fi/2 körfrekvenciájú négyszöghulIámmá alakítja (fi a 

mintavételezési körfrekvencia). Kedvezőtlen esetben hatására a kimenő 

jelben olyan oszci1láció alakulhat ki, amely a mintavételi pontokban 

csak mérsékelten vagy egyáltalán nem érzékelhető, de a folytonos idejű 

kimenő jelben a mintavételi pontok között meg nem engedhető lengést 

jelenthet (intersampling oscillation). Magának az irányító jelnek az 

erős oszci1lációja sem előnyös, mert a beavatkozó szervet rángatja. 

Ezért a diszkrét mode11 alapján történő méretezéskor azt is vizsgálni 

kel1, hogy a zárt kör folytonos idejű kimenő jelében nincs-e számottevő 

lengés a mintavételi pontok között. Ilyen lengés elvileg akkor alakulhat 

ki, ha a zárt körben az irányító jel diszkrét átviteli függvényének 

negat ív valós pólusai is vannak. Veszélyes mértékűvé azonban csak akkor 

válik, ha a negatív valós pólusok az egységhez közeli értékűek. (Az 

egységnél sokkal kisebb negat í v valós pólusok oszci1lációja gyorsan 

esi 1lapodik). A veszélyes lengés forrásai általában a kompenzációs 

algoritmus nevezőjében előforduló (z+g) típusú tagok, ezért a 

mintavételi pontok közötti oszcilláció gyakorlatilag úgy kerülhető el, 

hogy egyáltalán nem használunk ilyen típusú tagot a kompénzációban. 

® 9.17 ábra 

220

Ekkor a pólusáthelyezés a diszkrét rendszerben is a diszkrét pólusok 

áthelyezésére korlátozódik, amely a negatív valós zérusok egyidejű 

áthelyezésének elhagyása miatt a folytonos pólusok áthelyezéséhez 

viszonyítva járulékos hatásokat is eredményez. (Valójában a kompenzációs 

algoritmusnak az említett korlátozása ilyen mértékben nem szükséges, 

bizonyos határokon belül (z+g) típusú tagok is megengedhetők). 

9.4.1 Összefüggés a diszkrét idejű és a folytonos idejű kompenzáció 

között 

A T g lépésközzel mintavételezett szabályozási körben az w > T 

l s 

Ekkor azonban 

-T /T 

e S 

e S a z e 

s é n e z 

gy g 

közelálló érték. 

~ 1-T /T, ; T ~ T /2 ; T , -T /2 ~ 0 (9.43) 

s 1 dl s dl s 

Ezekkel 

1+sT 

w Js)=k —T=r±- (9.44) 

rd r sT^ 

A diszkrét Pl kompenzáló algoritmus ugyanolyan hatású, mint a 

folytonos idejű Pl algoritmus. A Bode diagram 1/Tj frekvencián levő 

sarokpontjának áthelyezésén kívül más változást nem okoz a 

felnyitott körben. 

221

. ) A diszkrét ide.iű PD algoritmus a folytonos idejű folyamat 

diszkrét átviteli függvényének z 2 pólusát egy nagyobb sarokfrekvenciájú 

z^ a pólusra cseréli. 

z-z- s 2 

. . . 2 . z-e 

w , íz) = k — — — = k 

r d r 

z-z 0 

r ~V 

2a z-e 

Ideális esetben z, = 0. Ekkor 

2a 

z-z 2 

W 

( z ) 

rd 

T 

2a (9.45a) 

" V~~z~~ (9.45b) 

Ennek kisfrekvenciás közelítése 

w.(.)-k (l-z ?)(1+ST J.'^'V ( 9 4 6 ) 

rd r 2 2 

A (9.45b) diszkrét átviteli függvényének az egységugrásra adott 

válasza, mivel a bemenő diszkrét egységugrás z transzformáltja 

z/(z-l) 

Z-Z Z-Z r 1-Z "\ 

u ,(z)=k • = k ^ = k 1+ % (9.47) 

rd r z z-1 r z-1 r[ z-1 J 

Az átmeneti függvény értéke a t=0 ill. a t=» pontokban a határérték 

tételekkel: 

v ít=0) = u JQ)- lim u . (z) = k (9.48a) 

rd rd rd r 

z-*» 

u .(«) = lim (z-1) u .(z) - k (l-z Q) - k l-e 

rd rd r 2 r! 

z-» 1 

A tag által létrehozott túlvezérlési arány: 

U 

rd 

( 0 3 1 

(9.48b) 

U , = - V-T = ~r~-7T~ (9.49) 

rt u (oo). -T /T 

rd , s 2 

l-e 

T * 3T 0 esetén: 

s 2 

l-e S 

-T /T T 

^ ~ — s 

- ; és T. 0 ~ T /2 (9.50) 

T 2 d2 s 

Ezzel a (9.46) és (9.49) egyenletekből 

222

u rt 

T -sT /2 

s s 

(l+sT2) e 

(9.51) 

A diszkrét PD kompenzáció hatása a vizsgált frekvencia tartományban 

olyan, mintha egy folytonos idejű kompenzáló tag a fo1yamat 

időállandóját T g/2 holtidőre cserélné és közben T^/^ (ill. pontosabban 

a 9.49 szerinti) túlvezérlési arányt okozna. Más szóval minden egyszeres 

diszkrét PD tag a felnyitott körben a folytonos átviteli függvény egyik 

pólusát T^/2 holtidőre cseréli olyan túlvezérléssel, mintha a pólus 

sarokfrekvenciáját w = 1/T^-re helyezné át. 

A kedvező túlvezérlési arányt a (9.47) időfüggvénye világítja meg, amely 

a t=0 pontban fellépő k^ területű Dirac impulzusból és az azt követő 

t=T g pontban kezdődő állandó területű [k^(l-z2)] Dirac impulzusok 

sorozatából ál 1. A Dirac impulzusokat a szabályozót követő zérusrendű 

tartószerv a 9.17b ábra szerinti U görbévé alakítja, így a folyamat a 

kezdeti túlvezérlést T g ideig kapja. Ez nagyobb gyorsító területhez 

vezet (vonalkázva), mint ami a (9. 18) szerinti folytonos PD 

algoritmussal azonos túlvezérléssel a T 2 a< Têsetre adódna (c ábra). 

Másképpen fogalmazva T < T esetben azonos gyorsító területet a 

2a s 

folytonos idejű algoritmus csak nagyobb túlvezérléssel képes 

előál1ítani, mert a túlvezérlést visszavevő mechanizmusa kedvezőt 1énebb, 

mint a diszkrét idejű algoritmusé. A mintavételezett szabályozásnak ez 

az előnye akkor jelentős, ha a mintavételezési idő a kompenzálandó 

időállandó nagyságrendjébe esik. 

A kedvezőbb túlvezérlés miatt a diszkrét szabályozásban többszörös PD 

kompenzáció is megengedhető. 

9.4.2 Diszkrét idejű kompenzáció tervezése 

A tervezés történhet az idő vagy a frekvencia tartományban. Az 

interaktív próbálgatásos eljárásra az utóbbi az alkalmasabb. 

A szabályozási algoritmus magáilapításához az irányított folyamat 

folytonos idejű átviteli függvényének ((s)) és a mintavételezési 

időnek az ismeretét tételezzük fel. Ezekből meghatározható a folyamat 

w (z) diszkrét átviteli függvénye. Ezt kel 1 közelítéssel vagy 

pa 

transzformációkkal egy egyenértékű folytonos idejű frekvencia diagrammal 

ábrázolható formára hozni, mert pl. a folytonos idejű aszimptotikus Bode 

diagram alapján könnyen kijelölhetők a vágási frekvencia elhelyezése és 

223

a minőségi előírások betartása érdekében szükségessé váló 

frekvenciamenet módosítások, valamint az azokat megvalósító kompenzáló 

tagok algoritmusai (9.3 pont). Ez utóbbiakat kell azután valamilyen 

módon diszkrét idejű algoritmussá konvertálni. 

A vázolt eljárásra többféle módszert dolgoztak ki. Egyik részük úgy jut 

a diszkrét frekvencia átviteli függvényt helyettesítő folytonos 

frekvencia függvényhez, hogy a z=exp(sT g) változót s-nek rációnál is 

függvényéve1 közelíti. Legismertebb változatuk az 

1+sT /2 

s s 

he1ye11es í t ésse1 operáló bilineáris transzformáció. (Tust in 

transzformáció. ) Ezzel a diszkrét átviteli függvényt olyan egyenértékű 

folytonos átviteli függvénnyé transzforrnáljuk, amelynek frekvencia 

menete a frekvenciatartomány kisfrekvenciás részében közelítőleg 

megegyezik a diszkrét idejű átviteli függvény frekvencia menetével, és 

közvetlenül alkalmazhatók rá a folytonos idejű rendszerek stabi1itás 

vizsgálati és kompenzációs módszerei. 

Sokkal egyszerűbben jutunk célhoz a diszkrét frekvencia átviteli 

függvénynek a 6.6.4 pontban tárgyalt u)< 1 /T frekvencia tartományra 

érvényes kisfrekvenciás közelítésével. A (6.76b) szerint a szakasz 

diszkrét frekvencia átviteli függvénye a folytonos idejű frekvencia 

átviteli függvényével és egy holt idős taggal helyettesíthető. s=jw 

rövidítéssel 

-sT /2 

w fs)=w (s)e S 

pd p 

(9.53) 

Mivel a ho11 i dő csak a fázisszöget befolyásolja, a diszkrét és a 

folytonos idejű aszimptotikus amplitudó diagramok megegyeznek (9.18 ábra 

W 

pd^' A 

töréspontok a folytonos idejű függvény pólusainak ill. 

zérusainak a sarokfrekvenciá^, amelyek a diszkrét átviteli függvény 

pólusait és zérusait is jellemzik, ezért az áthelyezésükhöz szükséges 

algoritmusok mind a folytonos idejű, mind a diszkrét idejű rendszerben 

mindenféle transzformációs eljárás nélkül közvetlenül fel írhatók. 

A kompenzálással létrejövő folytonos idejű ill, diszkrét idejű amplitudó 

diagramok is azonosak (9.18 ábra w^), csupán a fáziseltolásuk 

különbözik egymástól egy járulékos holtidővel kifejezhető módon (9.4.1 

pont). 

-sT 

w _(s) = w (s)e n 

od o 

(9.54) 

A T, holtidő a szakasz mintavételezése miatt fellépő (9.53 egyenlet) és 

n 

a diszkrét PD kompénzációbó1 (9.46 egyenlet) származó komponensekbő1 

tevődik össze. Hatását a diszkrét idejű rendszer vágási frekvenciájának 

elhelyezésekor a holt idős rendszernél szokásos módon kel 1 figyelembe 

224

venni. így a szakasz folytonos idejű átviteli függvényének alapján az 

interaktív tervezés kiinduló pontjául szolgáló diszkrét idejű 

szabályozási algoritmus igen egyszerűen becsülhető. Ezután az 

időtartománybeli ellenőrzéshez ill. további interaktív lépések 

részletszámításaihoz gépi módszerek használhatók. 

Meg kell jegyezni, hogy a diszkrét PD kompenzáció járulékos holtideje 

(z-Zj)/(z+g) típusú kompenzáló taggal (g pozitív valós) csökkenthető, g 

azonban nem léphet túl bizonyos értéket, mert ellenkező esetben az 

irányitójel oszcillációját váltja ki. Áz optimalizáló eljárások többek 

között ezt a lehetőséget is kihasználják a kedvezőbb dinamika elérése 

céljából. Jelen keretek között ezzel a kérdéssel tovább nem 

foglalkozunk. Az elmondottakat részleteiben a 9.5 példa i1lusztrálja. 

9.5 Példa 

Egy folyamat folytonos idejű átviteli függvénye 

, , 2_ 

p (l+8s)(l+4s)(l+2s) (9.55) 

Legyen a mintavételezési lépésköz T g=l . 

Tervezzünk olyan diszkrét idejű szabályozást, amelyben 

a fázistöbblet ? t~60°; 

a zárt kör működési sebessége az elérhető legnagyobb (a beállási 

ideje a legkisebb); 

a zárt kör az ugrásalakú alapjelet stacionárius hiba nélkül követi; 

a kimenő jelben nem keletkezik oszcilláció. 

A folyamat diszkrét átviteli függvénye 

r ^ 0,0021 (z+3,01)(z+0,215) ( . 

W 

pd (z-0", 8825) (z-0, 7788) (z-0, 6066) ^ J 

Mivel w (s) nevezője és számlálója között a fokszámkülönbség 3, a w (z) 

p pd 

függvénynek két negatív valós zérusa van, amalyek közül az egyik az 

egységkörön kívül fekszik. 

A kisfrekvenciás közelítés a (9.53) szerint 

5 s 

w (s)=w (s)e °' 

pd p 

Az aszimptotikus Bode amplitúdó diagramot a 9.18 ábra Wp^Wp görbéje 

mutatja. A vágás1 frekvencia növelése érdekében a (-1) meredekségű 

szakaszt a nagyobb frekvenciák irányában meg kell hosszabbítani, ezért 

az td=0,25 ill. ü>=0,5 frekvenciákon levő sarokpontokat (z 2=0,7788 ill. 

225

z^=0,6065 pólusokat) kétszeres diszkrét PD kompenzációval meg kell 

szüntetni (szakadozott vonal). A diszkrét PD algoritmusok a kiküszöbölt 

sarokpontokat két egyenként maximálisan T /2=0 s 5 holtidejű tagra 

s 

cserélik. A stacionárius követési hiba eltüntetése érdekében az 

w=l/8-nál levő sarokpontot (a zÔ, 8825 diszkrét pólust) diszkrét PI 

kompenzációval to=0-ra kel 1 eltolni (szaggatottan). Ez a művelet 

járulékos időkésést nem okoz, így a módosított diagram (w^) egy (-1) 

meredekségű integráló tag, amelyhez a mintavételezésből és a kétszeres 

PD kompénzác i óbó1 származó kb. T^~l,5 ho11 i dő járul. Ezen a vágás i 

frekvencia - a 60°-os fázistöbblet betartásával - kb. 1/2T -0,33 értékű 

n 

lehet. Valójában a PD kompenzációk nem pontosan ^ g/2 járulékos 

holtidőket hoznak a rendszerbe, így a> c sem ekkora, de a pontosabb 

becslésnek nincs értelme, mert a durvább közelítés is elegendő a 

ki induláshoz. A tényleges vágás i frekvenciát a tényleges frekvencia 

diagramból tudjuk meghatározni. A módosításokat végrehajtó diszkrét 

kompenzáló algoritmus 

W 

i Z J 

rd 

í 1=1, z-0,8825 z-0,7788 z-0,6066 

rd z~T " z z (9.57) 

A felnyitott kör impulzusátviteli függvénye 

k r d 0,0021 (z+3,01)(z+0,215) 

w ,(z)=w ,(z)w ,(z)od 

1 

1 J 

^' rd pd" 3 

* 

" , 2 

(z-1)z 

(9.58) 

Ha ennek pontos frekvencia diagramját az w^=0,33 pont körül k^^=l 

értékkel néhány pontban kiszámítjuk - pl. a MATLAB dbode utasításával - 

akkor könnyen megkereshető az a pont, amelyben a fázisszög -120 -hoz a 

legközelebb van. Esetünkben Ü>=0, 2 és Ü)=Q, 5 között logaritmikusan 

egyenletes lépésközzel 20 pontban kiszámítva a (9.58) diszkrét Bode 

diagramját k^=l értékkel és ennek amplitúdóját w^^-mel jelölve, azt 

kapjuk, hogy az előírt fázistöbbletet a leginkább megközelítő pontban 

u) =0,3744;

önmagával párhuzamosan kb. 1:3 arányban eltolt * w módosított 

aszimptotikus diagrammal, amit a kiindulási becsléshez használtunk. 

W 

10 

10 ü 

10" 

r2 

10" 

10* 

9.18 ábra 

Az egységugrás alakú alapjel által keltett folytonos idejű (y) és a 

mintavételezett (y d) kimenő jelek a 9.19 ábrán láthatók. Az utóbbit 

ábrázoló vastagon kihúzott vektorok hossza az általuk szimbolizált Dirac 

impulzusok területével arányos. 

9.19 ábra 

á zárt kör impulzusátviteli függvénye: 

227

w d(z) = 

37.25(z+3.01)(z+0.215) 

(z-l)z 2 

+ 0.078(z+3.01)(z+0.241) 

a diszkrét irányítójel transzformáltja: 

1+w Az) u 

( z ) 

ad 

37,25 (z-0.8825) (z-0,7788) (z-0.6066) 

(z-1)z 2+0,0782(z+3,01)(z+0,245) 

Az időfüggvény értékei a t=0 és a t=» pontokban: 

u d(0)=37,25; 

A dinamikus túlvezérlési arány: 

(9.61) 

(9.62) 

u. 

t U.(CD) 

a 

= 37,25 

A diszkrét irányító jelből a tartószerv által előállított u^ lépcsős 

görbét a 9.19 ábra u görbéje szemlélteti. 

ri 

A túlvezérlési arány az alábbi részekből tevődik össze: 

a. ), A z = 0,7788 diszkrét pólus elmozdításából (9.49 egyenlet) 

u rt2 =1/(1- 0,7788) = 4,5 

b. ) a z 3= 0,6066 diszkrét pólus elmozdításából 

u = 1/ (l-0,6066)=2,54. 

rt3 

c. ) a módosított diagram önmagával párhuzamos elmozdításából, amely az 

eredetileg az ÜF=0.125-nél lévő vágást w= 0,3744-re helyezi. 

u- . =0,3744/0, 125 =3. 

rtl 

A komponensek szorzatából: 

u = 4,5-2,54-3 = 34,29. (9.63) 

rt 

Az uj.=37,44 pontos értéktől való eltérés a k i sf rekvenc i ás közelítés 

hibájából származik. 

9.6 Példa 

A diszkrét PD algoritmus járulékos időkésésének a csökkentése 

Egy folyamat folytonos idejű átviteli függvénye 

228 

z 

z-1

f 1 1 

V s(l+5s) 

A mintavételezési idő T =1 

s 

A diszkrét átviteli függvény 

(9.64a) 

w (z)=0 0937 z 

9 3 5 5 

+°> 

pd 

U 

' üyJ 

'(z-l)(z-0,8187) (9.64b) 

Vizsgáljuk meg a szabályozási kör tulajdonságait, ha a PD szabályozóban 

a következő algoritmusokat használjuk: 

2. '-°1 3 8 7 

' • 6.62 '- 0 

rd rd2 z+0,6 ' z+0,6 

8 1 8 7 

' 

3.) w íz)=k^ 2 ~g'g*gU 10,67 2 

8 1 8 7 

- ° ' 

rcT rd3 z+0,9355 ' z+0,9355 (9.65a-c) 

Az algoritmusok mindhárom esetben eltávolítják a felnyitott kör 

frekvencia diagramjából az u = 1/5-nél levő töréspontot (a z=0,8187 

diszkrét pólust), de különböző járulékos holtidőt hoznak be helyette. A 

k^^ tényezők mindhárom esetben kb. azonosra (kb. 60 ) állítják a 

felnyitott kör fázistöbbletét. 

Az X szerinti mego1dás felel meg a 9.4.1 pontban részletesen tárgyalt 

esetnek. A PD algoritmus -T g/2 = -0,5 értékkel növe1i a 

mintavételezésből származó -0,5 járulékos időkésést, így a felnyitott 

kör a kisfrekvenciás tartományban egy folytonos integráló taggal és 1^=1 

holtidővel helyettesíthető. 

A vágási frekvencia és a fázistöbblet 

w cl=0,49; ? u=62,4 

Az irányító jel 

, , W 

rd 

w 

( z ) = 

ud üírrrzí 

( Z ) 

od 

impulzusátviteli függvényének pólusai 

Z 

3 7 ± 

3 2 

ul-2 ' °. J°- 

A pólusok között nincs negatív valós pólus. 

229 

(9.66) 

(9.67) 

(9.68)

A zárt körben az ugrásalakú alapjellel előidézett irányító jelet ( a 

tartószerv utáni lépcsős formában) a 9.20a ábra u^ görbéje ábrázolja. A 

görbében nincs 0/2 frekvenciájú oszcilláció, így a zárt kör y folytonos 

kimenő jelében (9.20b ábra) sincs a mintavételi pontok közötti lengés. 

9.20 ábra 

A 2. ) szerinti algoritmus számlálójának járulékos időeltolása továbbra 

is 0,5 , de a nevezőé a (6.80c) egyenlet szerint 0,634. így a PD 

algoritmus csak 0,134 járulékos holtidőt hoz a felnyitott körbe, 

amelynek impulzusátviteli függvénye most egy folytonos integráló taggal 

és T -0,634 holtidővel helyettesíthető a kisfrekvenciás tartományban. A 

h 

kisebb holtidő miatt a vágási frekvencia megnövelhető. 

u ==0,765; ^ 9=63° (9.69) 

c2 t

(9.20a ábra u^) az első három mintavételi intervallumban az oszcilláció 

jól látszik, és ennek hatása a folytonos kimenőjelnek (y^) a mintavételi 

pontok közötti enyhe hullámosságában is megmutatkozik (y az y, 0 

H2 d2 

diszkrét kimenő jel egy képzeletbeli tartószerv utáni lépcsős görbéje). 

A megnövelt vágási frekvencia miatt az y^-hez viszonyítva az y^ jelnek 

mind a felfutása, mind a beállása kb. 50%-kal gyorsabb, de ennek a 

kezdeti szakaszban az irányító jel 2-2,5 szeres növekedése az ára. 

A 3. ) algoritmus nevezőjének, amely éppen a szakasz zérusát kompenzálja 

kb. akkora a járulékos időeltolása, mint a nevezőé. Ekkor a PD 

kompenzáció nem növeli meg a felnyitott kör járulékos holtidejét, amely 

így I =0,5. Ezért a vágási frekvencia tovább növelhető: 

u c 3=l,04; ? t 3=60 (9.71) 

Az irányító jel impulzusátvitelí függvényének a pólusai 

z =0; z =-0,9355 (9.72) 

ul u2 

A negatív pólus lassú esi 1lapodású 0/2 frekvenciájú lengést okoz az u 

H3 

irányító jelben. Ennek hatására az y^ folytonos idejű kimenő jel a 

mintavételi pontok között lassan esi 1lapodva nagy amplitúdóval leng. A 

lengés a mintavételezett y jelben nem érzékelhető, mivel az egyet len 

mintavételi periódus alatt beál1 az állandósult értékére. 

A példa mutatta, hogy negat í v valós pó1usú algoritmus csökkenti a 

diszkrét PD kompenzáció járulékos időkésését, de az irányító jelben ill. 

a szakasz folytonos idejű kimenő jelében ü/2 frekvenciájú lengéseket 

okozhat. Ilyen lengés akkor lép fel, ha az irányító jel átviteli 

függvényének negatív valós pólusa van, és akkor válik veszélyessé, ha 

ennek a pólusnak az abszolút értéke az egységhez közel van. (Ekkor 

ugyanis a lengések esi 1lapodása lassú.) 

9.7 Példa 

Gépi eljárás diszkrét idejű szabályozás folytonos idejű kimenő jelének 

kiszámítására 

A szabályozási kör diszkrét idejű kimenő jele nem tükrözi a mintavételi 

pontok között a folytonos idejű kimenő jel viselkedését. Mivel az 

irányított folyamat általában folytonos idejű, a diszkrét idejű modell 

alapján történő méretezéskor kritikus esetben a folytonos idejű kimenő 

jelet is vizsgálni kel1. Ehhez az u^ diszkrét irányító jelből a 

tartószerv által előál1ított u u lépcsős függvényt tekintjük a w (s) 

H p 

átviteli függvényű szakasz bemenő jelének, és a folytonos idejű 

rendszerre vonatkozó analitikus vagy gépi eljárással számítjuk ki az y_ 

231

folytonos idejű kimenő jelet. Gépi számításkor a számítási lépésközt egy 

mintavételi intervallum kellő sűrűségű - pl. r részre való - felosztása 

adja. Mivel a gépi eljárások a folytonos idejű műveleteket digitálisan 

szimulálják, előfordulhat, hogy a szimuláció torzításai miatt a 

kiszámított y jel a mintavételi pontokban sem egyezik meg az y^ diszkrét 

idejű jellel. (A MATLAB használatakor is ez következik be, mert az Isim 

utasítás a bemenő jel ugrásait korrigálja, így nem pontosan az u 

rí 

lépcsős függvény által keltett kimenő jelet határozza meg. ) Az eltérés 

kiküszöbölése érdekében célszerűbb a kimenő jelet diszkrét idejű 

eljárással olyan mintavételezett jelként kiszámítani, amelyet az időbe 1: 

aláoszt ásnak megfelelő T /r lépésközzel mintavételezett u^ jel h;z 

létre a szakasz ugyanilyen mintavételi időre vonatkozó impulzusátvite 1: 

függvényén. (A 9.6 példa y görbéit pl. a T = 

1 mintavételi intervallum 

részre való osztásával T s/10=0, 1 lépésközű diszkrét függvénykér.: 

határoztuk meg az u görbe t=0, 1; 0,2 stb. időpontbei i értékeivel és a. 

H 

dlsim utasítással. így minden mintavételi intervallumon be1ü1 =. 

folytonos idejű görbe 10 pontját kaptuk.) 

9.8 Példa 

Egy szabályozási kör w (s) átviteli függvényű folytonos idejl 

szakaszból, (z) impulzusátviteli függvényű diszkrét szabályozóból eE 

H zérusrendű tartószervből ál 1. A mintavételezési idő T =1. A szakasz 

s 

bemenetére y^ folytonos idejű zavaró jel hat (9.21a ábra). Határozz 

meg a szabályozási kör diszkrét modelÍjét. 

f ) = 1 = 0, 1 

S J 

p 1+lOs s+0,1 

-0,2t ( }_ 1 

y 6 ; y l S } 

z z 

A szakasz diszkrét átviteli függvénye 

0 9 5 2 

r °> 

s+0,2 (9.73a-c) 

W 

pd z-0,9048 (9.74) 

A kör diszkrét idejű hatásvázlata a szabályozó és a szakasz 

impulzusátvitel i függvényeinek soros kapcsolásából épül fel. Ebber 

azohban az y^ jel bemeneti pontja nem jelenik meg, ezért az 5 r 

pé1dában követett eljárással a jelet mintavételezett formában a szakasz 

kimenetére kel 1 áthelyezni, amely a diszkrét hat ás váz1at ban is 

megtalálható. 

232

y z(s) 

9.21 ábra 

A kimenetre áthelyezett folytonos idejű jelet (y ) gépi eljárással vagy 

analitikuran határozhatjuk meg. Az utóbbi módszert követve 

( s ) = y 

za 

( s ) w 

z 

y 

'za " z p 

Az időfüggvény 

-0,lt -0,2t 

y =e -e 

°za 

0, 1 

( s ) = 

p Ti+örrTtiíö^T = ^ÖTÍ " ^ 2 

(9.75) 

(9.76) 

A mintavételezett jel z transzformáltja kerül a szakasz diszkrét 

modelljének a kimenetére (b ábra). A (4.lOd) egyenlet 

figyelembevételével: 

y 

zad 

( 2 ) = 2 { y 

za 

> = E y 

z 

( s ) W 

p 

( s ) ] 

d = 

0,0861 

(z-0,9048)(z-0,8187) 

-T^9ÖM " z-0?8187 = 

(9.77) 

y , képzésekor a folytonos idejű y jel és w átviteli függvény 

zad z 

egymásrahat ásábó1 (konvolúciós szorzatából) keletkező jelet kell 

mintavételezni. 

233

9.4.3 A mintavételezési idő kiválasztása 

Diszkrét szabályozás mintavételezési idejének kiválasztásakor különböző 

szempontokat kell mérlegelni. Minél nagyobb az l/T mintavételezési 

sarokfrekvencia a szabályozási kör vágási frekvenciájához képest, annál 

kevésbé különbözik a folytonos idejű és a mintavételezéses szabályozó. 

Ha pl. U) 

CJ S - 1/25, akkor a szabályozási körben a mintavételezés és a 

mintavételezéses PD kompenzáció által keltett járulékos ho11 i dő a 

fázistöbbletet legfeljebb 1-2 f okkal befő1yáso1hat ja, ezért a 

kompenzációs algoritmus kiválasztására gyakorlat ilag nincs hatással. 

Ebben az esetben irányítási szempontból nincs értelme diszkrét idejű 

rendszerről beszélni. A mintavételezés csupán a folytonos idejű 

algoritmusok egyik realizálási technikájának tekintendő. A 

mintavételezési időt azonban bizonyos határon túl ekkor sem érdemes 

csökkenteni, mert a rövid idő alatt a szabályozási kör jelei olyan 

keveset változnak, hogy két mintavételi pont között i különbség kel lő 

pontosságú visszaadása nagy felbontású A/D ill. D/A átalakítókat, 

mérőeszközöket és beavatkozó szerveket kíván, amelyek drágítják a 

hardvert, de nincs észrevehető irányítástechnikai hatásuk. 

A mintavételes szabályozás sajátosságai akkor jelentkeznek, ha a 

mintavételezési sarokfrekvenc i a és a vágás i frekvencia azonos 

nagyságrendűek ^ Ü) 

CJ S + 0,1- 10). Ekkor a mintavételezési idő nagyjából 

megszabja az elérhető működési sebességet. A gyakorlatilag elfogadható 

szabályozási algoritmusok a járulékos ho11 i dő módosításán keresztül 

másodrendűen képesek azt befolyásolni (9.6 - 9.7 pé1dák). 

A diszkrét PD kompenzációs algoritmus egyes esetekben ugráshoz közelálló 

alakú bemenő jelekre azonos gyorsítás mellett kisebb jelet ad, mint a 

folytonos idejű. Ez azonban csak akkor használható ki, ha az minél 

jobban megközelíti az l/T értékét. 

234

10. A SZABÁLYOZÁS ZAVARELHÁRÍTÓ KÉPESSÉGÉNEK NÖVELÉSE 

10.1 Zavarkompenzác i ó 

A közvetlenül mérhető zavaró jelek k i küszöbö1ésében segíti az 

automatikus szabályozást, ha a mért értékek alapján már azelőtt 

intézkedni lehet a zavar elhárítására, mielőtt a hatás a szabályozott 

jellemzőben mutatkozik (1.4 pont). A 10. 1 ábrán az irányított szakasz 

átviteli függvénye a sorbakapcsolt w (s) és w (s) részre bontható. 

u a< s > yh(s); 

r' 

s 

w r(s) J 

uls) 

10.1 ábra 

w z ' s ' 

w p r(s) 

y 2(s) 

w p 2ís) 

A szakaszt érő legfőbb zavaró hatást az y^ jel testesíti meg, amely a 

w ^ bemenetén hat. Ha mérhető, a mért értékek alapján egy alkalmasan 

választott w z átviteli tagon keresztül már azelőtt befolyásolni lehet a 

szabályozó P csatornáját, mielőtt a zavar az y kimenő jelben ill. az y^ 

hibajelben jelentkezik. Ezzel az irányító jel úgy vezérelhető, hogy az 

y z hatását a visszacsatolástól függetlenül kompenzálja. (A szabályozó I 

csatornája nem vonható be a zavarkompenzációba, mert a kimenő jele nem 

tudna állandósult értékre beállni.} A beavatkozáshoz szükséges 

átviteli karakterisztika a fo1yamat működéséről rendelkezésre ál ló 

előzetes ismeretek alapján becsülhető. A szabályozási körre az esetleges 

hibás becslésből származó hibák kiküszöbölése marad. 

235 

y(s)

10.2 Kaszkád szabályozás 

A 10.2 ábra az alárendelt vagy kaszkád szabályozás hatásvázlatát 

mutatja. A szabályozott szakaszt a hatásláncba illeszkedő y^ jel (s) 

és (s) átviteli függvényű részekre bontja. Ha y fe mérhető, a fő 

szabályozási körön belül az y -ről vett negatív visszacsatolással egy 

belső hurok - az alárendelt szabályozási kör - alakítható ki, amelynek 

önál ló szabályozója (Szb) van. A külső hurok - a fő kör -Szk 

szabályozója a belső hurok alapjelét ál1ítja (u ), a tényleges 

ab 

beavatkozás a belső hurokban valósul meg az u jellel. 

10.2 ábra 

A kaszkád szabályozás célkitűzése a szabályozott jellemzőnek minél 

tökéletesebb függetlenítése a zavaró jelektől. Ez akkor érhető el, ha 

sikerül olyan mérhető y^ jelet találni, amelyben a szabályozott szakasz 

legfontosabb zavaró jellemzőjenek (y^) a hatása korábban mutatkozik, 

mint a szakasz kimenő jelében (y). A zavarszűrésnek ez a módja igen 

hatásos, ha a belső kör eredő domináns időállandója kisebb vagy 

nagyságrendben azonos w -ével. A belső hurok szabályozója - minthogy a 

gyorsasága fontosabb mint a pontossága - P vagy PD jellegű. A statikus 

pontosságot biztosító általában PI jellegű fő szabályozó lassúbb 

működésével időt hagy a belső hurok tranzienseinek lecsengéséhez. 

Tulajdonképpen az Szk olyan lassan változtatja a belső hurok alapjelét, 

amit az praktikusan azonnal követni tud. 

A kaszkád szabályozás a zavarszűrésen kívül az egész szabályozás 

dinamikáját is érinti, mert a belső hurok eredő átviteli függvényében a 

domináns időállandók kisebbek w , időállandóinál, ami a fő kör 

Pl 

stabilizálását segíti. Az elvet a 10.3 ábra mutatja. A szakasz 

egytárolós tagokra bontott átviteli függvényeinek arányos szabályozókkal 

egymásba skatulyázott visszacsatolása a k^, k^ stb. átviteli tényezők 

alkalmas kiválasztásával gyorsítja a rendszert. A fő kör dinamikáját 

tekintve az ilyen visszacsatolás többszörös PD kompénzációnak felel meg, 

236 

y 2

magára a fő szabályozóra csak a statikus hiba elhárítása marad. Bár a 

valóságban egynél több kaszkád fokozatra ritkán nyílik lehetőség, az elv 

igen jelentős, mert az optimál is irányítási struktúrák egyikéhez vezet. 

Szk - * * r 

10.3 ábra 

1 

1+sT-j 1+sTj 

Kaszkád szabályozással az y^ jellemző korlátozása is egyszerűen 

megoldható. Ehhez az Szk szabályozó kimenő jelét kel 1 korlátozni, mivel 

helyes méretezés esetén a belső hurok e1hanyago1hat ó késéssel ezt 

követ i. A 10.2 ábrán a korlátozást a szakadozottan jelölt telítődő 

karakterisztikájú tag jelképezi. 

Vi1lamos motorok pozíció ill. fordulatszám szabályozásában sokszor 

használják az alárendelt áramszabályozást, amely a motor áramára épített 

kaszkádfokozat. Ennek fő oka éppen az egyszerű áramkorlátozás. Egyébként 

maga a motor mint szabályozott szakasz nem a legalkalmasabb a kaszkád 

szabályozásra. 

10.4 ábra 

237

A 10.4 ábra a kaszkád szabályozás példájaképpen egy terem hőmérséklet 

szabályozását mutatja. A szabályozott jellemző a T terem ű hőmérséklete, 

amelyet gőzzel fűtött hőcserélőn (H) átf úvott levegővel ál 1ítanak a 

kívánt értékre. A módosított jellemző a hőcserélőn átáramló 

gőzmennyiség, amelyet a B szelep mint beavatkozó szerv ál 1ít. Az egyik 

legfontosabb zavaró jel a gőz nyomása, mert adott szelep állásban ettől 

függ a H hőcserélőbe érkező gőzmennyiség ill. a hoteljesítmény. A 

kaszkád fokozathoz kisegítő szabályozott jellemzőnek a hőcserélőből 

ki lépő levegő hőmérséklete használható, mert abban a fűtőteljesítmény 

változása korábban mutatkozik, mint a terem hőmérsékletében. 

10.1 Példa 

© 

1,9 

© 

1.9 

w r (s) 

(1 + 5s) (1 +2s ) 

s ( 1+Q,2s) 

w r k!s) w f b(s) 

1*5s 

u(s) 

1 0 u(s) 

w p 1(s) 

1 

(1+ 2s)(1 + 0,1s) 

(1+2s)(1+0.1s) 

w, ob 3 

10.5 ábra 

238 

y 2(s)=1/s 

yb(s) 

Wp (s) 

w p2Ís) 

1*5s 

y z(s)=1/s 

w p 2ís] 

V5s 

y Is) 

yís)

Egy szabályozott szakasz a mérhető y fa jellel két részre bontható (10.5a 

ábra). Az egyes részek átviteli függvényei: 

W 

l S i 

pl 

, , 1 = 1_ 

(l+2s)(l+0,Is) 

; W 

p2 l+5s (10.1) 

A w kimenetére egységugrás alakú zavarójel (y^) hat. Vizsgáljuk meg, 

milyen y kimenő jelet okoz a zavarójel, ha a szabályozást azonos 

működési sebesség és azonos ugrás alakú alapjelnél azonos túlvezérlés 

mellett 

1. ) soros PID kompenzációval, (a ábra), 

2. ) y^-re mint kisegítő jellemzőre telepített kaszkád szabályozóval 

(c ábra) működtetjük. 

1. ) A soros kompenzáló algoritmust a szokásos módon az w=l/5-nél lévő 

töréspontot a>=0-ra áthelyező PI és az w=l/2-nél levő töréspontot 

1:10 arányban a nagyobb frekvenciák felé eltoló PD tagból 

felépítve (b ábra) annak átviteli függvénye: 

, , l,9(l+5s)(l+2s) 

w (s)=- 

V ' s(l+0,2s) (10.2) 


W 

0 

l S J 

s(l+0,2s)(l+0,ls) (10.3) 

A vágási frekvencia és a fázistöbblet 

ü) =1,76 ;

w u(s)=10 (10.6) 

rb 

A belső hurokban a felnyitott kör átviteli függvénye: 

W 

l S i 

ob 

(l+2s)(l+0,ls) (10.7) 

A belső hurok eredő átviteli függvénye: 

b v 

, , W 

( s ) 

ob 

10 

1+w _ (s) 10+(l+2s)(l+0, ls) (10.8) 

ob 

A külső hurok Pl szabályozójának átviteli függvénye: 

r \ 1 Q 

1 + 5 S 

W 

( s ) = 1 

rk ' 9 

"^- (10.9) 

A külső felnyitott kör átviteli függvénye: 

19 

W . (s)=W . ( S ) W,( S ) W (s)= r,. n.r*^ uixn 17TT ~ 

ok rk b p2 s[10+(l+2s)(1+0,ls) ] 

= 

1,73 

s(l+0,19s+0,135 2 

s 2 

) (10.10) 

A felnyitott kör egy integrátorból és egy olyan kéttárolós lengő tagból 

ál 1, amelyben T Q=0,135, a esi 1lapítási tényező pedig 0,71. A (10.3) 

egyenlettel összevetve a különbség mindössze annyi, hogy a (10.10)-ben 

a két kis időállandós tag helyett olyan kéttárolós lengő tag van, 

amelynek 1/TQ=7,4 sarokfrekvenciája a (10.3) két sarokfrekvenciája (w=10 

és w=5) közé esik. A vágási frekvencia és a fázistöbblet mindkét esetben 

kb. azonos. 

Az y_^ jel hatására létrejövő kimenő jel a (10.7) és (10. 10) 

figye1embevételéve1 

y ( s ) = 

w (s) 1 

1+w As) ' 1+w ísT y 

ok ob . 

z 

( s ) = 

s(l+2s)(l+0, ls) 1 ( 1 Q n ) 

(1+5s)[19+s(10+(1+2s))(1+0,ls)] s 

A kimenő jel görbéjét az _1_ és a 2 esetre a 10.6 ábra mutatja. A 

kaszkád elrendezés a zavarójelnek a kimenőjelben megjelenő hatását 

lényegesen csökkenti. 

240

w r b(s) 

10 

10.6 ábra 

w p 1(s) 

u(s) 1 

(1^2s)(1*0.1s) 

w rk(s) w p 2(s 

1,9 

10.7 ábra 

y z (s)=1/s 

yb' s ' 

Az irányító jel kiszámításához a hatásvázlatot a 10.7 ábra szerinti 

alakba rajzolva 

u(s)=- [l+w rk(s) w p 2(s)] w r b(s) y b(s)= 

[l+w rk(s) w p 2(s)] w r b(s) 

1 + W 

( s ) W 

( s H l + W 

( s ) w 

( S ) ) 

rb pl rk p2 

(s+1.9)(l+2s)(l+0, ls) 1 

s(l+2s)(l+0,ls)+10(s+l,9) ' s 

Az irányító jelek időfüggvényeit a 10.6b ábra mutatja. 

241 

0 

(10.12)

11. STATIKUS NEMLINEARITÁSOK HATÁSA 

A szabályozási rendszer 1ineáris modellje a legtöbb esetben elméleti 

absztrakció, ame11ye1 bizonyos egyszerűsítésekkel és bizonyos határok 

között a tényleges működés többé-kevésbé elfogadható módon közelíthető. 

A valóságban egyes jelek között részben vagy egészben nemiineáris 

összefüggések ál Inak fenn, így a rendszer nemiineáris. 

Nemiineáris rendszerre általánosan néhány fizikai, kémiai, stb. alapelv 

(pl. energia és anyagmegmaradás elve) mondható ki. Részletesebb 

következtetések bizonyos alapon - pl. a nemiinearitás jel lege szerint - 

szelektált csoportokra vonat koz t at hat ó k. Konkrét eredményekhez 

nemiineáris differenciálegyenletek analitikus vagy numerikus megoldásain 

keresztül vezet az út. 

A megoldás egyedi jel lege miatt egyes paraméterek hatása rendkívül 

nehezen értékelhető, A 1ineáris közelítésnek a matemat ikai 

egyszerűs í tésen túlmenően éppen az a jelentősége, hogy nagyobb 

áttekintést biztosít. 

E fejezetben a 1inearizálás néhány egyszerűbb, a gyakorlatban 

leggyakrabban használt módszerét tárgyaljuk. Autonóm (időben nem változó 

paraméterű) rendszert feltételezve a nemiineáris tagok legegyszerűbb, 

igen sokszor előforduló csoportjában a nemiineari tás a kimenő és a 

bemenő jel állandósult értéke között i stat ikus jelleggörbében 

mutatkozik. A tag i1yenkor a 11.1 ábra szeri nt gondolatban egy 

nemiineáris stat ikus összefüggést reprezentáló N(u) részre és egy a 

tranziens viselkedést leíró w 1ineáris részre bontható. N(u) úgy fogható 

fel, mint olyan arányos tag, amelynek átviteli tényezője az u bemenő 

jeltől függ. 

Lineáris helyettesítésének két szokásos módszere a" munkaponti 

1inearizálás (1inearizálás az i dő t ar t o mányban) és a leíró függvény 

(harmonikus vagy frekvencia tartománybeli 1inearizálás). 

11.1 ábra 

243

11.1 Munkaponti 1inearizálás 

Ha az y=y(u) nemiineáris statikus függvény (11.2 ábra) az u^, y^ 

koordinátájú munkapontban differenci álható, akkor e pont környezetében a 

görbét érintőjével, illetve a függvényt Taylor sorának 1ineáris részével 

helyettesítve 

y-y r " du 

( u 

• " u 

o ) 

(11.1) 

1ineáris összefüggés ál 1 fenn, amely a munkaponttól való Ay=y-y Q és 

Au=u-u Q eltéréseket tekintve változóknak 1i neár i s arányos taggal 

szimbolizálható: 

Ay=k(u Q) • Au (11.2) 

Az k átviteli tényező - a görbe munkaponti differenciálhányadosa - a 

munkaponti koordinátáktól függ. Az ilyen tagot tartalmazó rendszerben e 

munkapontfüggés a visszacsatolásokon keresztül egyéb paraméterekre is 

kiterjed. 


A (11.2) 1ineáris közelítés (a. kisjelű helyettesítés) feltétele az, hogy 

a vizsgált folyamatban az y, i1letve az u jelek maximál is értékei a 

munkapont környezetének olyan szűk sávjában maradjanak, amelyen az 

érintővel való helyettesítés még megengedhető. A folyamat nemlineáris 

jellege abban mutatkozik, hogy más munkapontra áttérve megváltoznak a 

rendszer * paraméterei. Ezt a kompenzáció méretezésekor figyelembe kel 1 

venni. 

Nem alkalmazható a módszer szakadásos vagy többértékű jelleggörbére (pl. 

a 11.3 ábra relékarakterisztikájára). 

244

A munkaponti linearizálás több bemenő változótól való függés esetére is 

általánosítható. 

A jelleggörbe megfelelője ilyenkor többváltozós felület (hiperfelület), 

amelynek munkapont i 1inearizálása a többváltozós érintő síkkal való 

helyettesítést jelenti. Pl. y=y(Uj,u^) két bemenő változó esetére 

Ay = — Au 1 + ^ Au 2 =.k l Au 1 +k 2Au 2 

(11.3) 

A kj, k 2 átviteli tényezők - a munkaponti parciális differenciál 

hányadosok- a munkaponti koordináták függvényei. 

11.2 A leíró függvény 

Nemiineáris tag kimenőjelében u> körfrekvenciájú harmonikus bemenőjel 

hatására az o> körfrekvenciájú alapharmonikuson kívül fe1harmonikusok is 

megjelennek. Ha ezek a szabályozási kör frekvenciafüggő elemein (11.1 

ábra w) jobban csillapodnak mint a alapharmonikus, jelenlétüktől első 

közelítésben el lehet tekinteni és a nemiineáris tag kimenő jelét annak 

a1apharmon i kusáva1 lehet közelíteni. (Feltételezzük, hogy a 

nemiinearitás szimmetrikus, ezért w=0 frekvenciájú összetevő nincs.) 

Ekkor az azonos frekvenciájú ki és bemenő jel közötti összefüggés egy 

frekvencia átviteli függvénnyé1 - a leíró függvénnyel - jellemezhető, 

amelynek abszolút értéke az amplitúdók hányadosa, a fázisszöge a ki- és 

a bemenő jel közötti fáziseltolás. 

Legyen a 11. 1 b ábra szerinti bemenő jel u> körfrekvenciájú szinuszos 

rezgés, amely a váltakozó áramok elméletében szokásos módon egy komplex 

vektor képzetes részeként fejezhető ki. 

u=U sin út = Im(Ue Ja>t 

) (11.4) 

Az y kimenő jel y^ alapharmonikusa 

J 

J ü > t 

y^Y sin(wt+*) = Im(Y 1e e )=Im(Y 1e ) (11.5) 

Yj az a1apharmonikus komplex amplitúdója. 

Az Yj és U komplex amplitúdók hányadosa az L leíró függvény. 

L E 

W 

Y 

J L 

2 U (11.6) 

Ezzel a kimenőjel a1apharmon i kusának időfüggvénye az alábbi módon 

fejezhető ki: 

J ü > t 

y 1 = Im

Az N statikus nemiinearitáson az Usinwt bemenő jel által keltett kimenő 

jelet y=N{U sinwt}-vel jelölve, ennek Fourier sorában az a1apharmonikus 

amplitudóját a (11.7)-tel összevetve 

sinwt} sinwt á{ü)t) 

sinwt} coswtd(o)t) (11.8a-b) 

A fenti gondolatmenet^ elvileg bármilyen nemiinearitásra alkalmazható. 

Általános esetben az L(U,w) leíró függvény mind a bemenő szinuszos jel 

amp1itudójának, mind az w frekvenciájának a függvénye. 

Stat ikus 

függ. 

nemiinearitás esetében L(u) csak a bemenő jel amplitudójától 

Ha a nemiineáris karakterisztika egyértékű, akkor L fáziseltolása zérus, 

(L2=0, LÛU)). 

A leíró függvénnyel való harmonikus 1inearizálás akkor is használható, 

ha a munkapont i 1inearizálás nem vezet célhoz (pl. nagy amplitudó 

változások, többértékű és/vagy szakadásos nemiineáris karakterisztika, 

stb.). Fő alkalmazási területe annak vizsgálata, hogy a stat ikus 

nemiinearitás a szabályozási körben nem teszi-e a rendszert labi1issá, 

ill. nem okoz-e tartósan fennmaradó kváz i s t ac i onár i us lengést a kör 

jeleiben. 

Néhány gyakrabban előforduló tipikus egyértékű nemiinearitás leíró 

függvényeit a 11.1 pé1da foglalja össze. 

11.1 példa 

y y y 

11.4 ábra 

246 

u

A 11.4 ábrán feltüntetett tipikus egyértékű statikus nemlineáris 

karakterisztikák leíró függvényeinek nincs fáziseltolása { 1 (11.9a-b) 

(11.10) 

2k , IT 1 

L = ==— [ ^- - arc sin — 

ÍI 

1 

- — 

/ , A S2 

/ l-(—) 

, 

] , ha u > 1 

k 

2 u u v v 

u ' J 

r r r 

r 

(11.lla-b) 

d.) Háromállású ideál is relé érzéketlenségi sávval (d ábra) 

L=0 , ha Use 

L= ~ g ^-(e/U) 2 

e.) Előfeszíté ra 

L = 

+ k 

ff íT 

, ha U > e (11.12) 

(11.13) 

Tipikus többértékű statikus nemiinearitások leíró függvényei: 

247

0,7 

0,6 

0,5 

0,4 

0,3 

0,2 

0,1 

0 

-60 

-80 

1 1,25 1,5 1,75 U/h 

© 

11.5 ábra 

f.) Hiszterézls - kotyogás (11.5 ábra) 

1 h 

x = _ = • 

u U 

r 

jelölésekkel 

L = L ^ j ^ = Le 

L 

1 

0,1 

0,6 

0,4 

0,2 

0 

L=0 , ha u s= -1, ill. x £ 1 

r 

u > 1 ill. x < 1 esetben: 

r 

Ii y 

-20 

-40 

oV^-60 

\4 =tg

g.) Hiszterézises kétállású relé (11.6 ábra) 

L=0, ha U 

L = n~ Ü~ 

11.3 Határciklus 

ha U > h (11.15a-b) 

A stat ikus nemiinearitások valamilyen formában csaknem valamennyi 

szabályozási körben előfordulnak. Fizikai szerkezetek pl. véges 

jelamplitudó (teljesítmény) átvitelére készülnek, így bizonyos 

jelszinten felül természetes vagy mesterségesen előidézett nemiineáris 

korlátozó tulajdonságaik vannak. De ugyanígy az érzéketlenség, a 

hiszterézis és az előfeszítés is természetes velejárói a fizikai 

folyamatoknak (súrlódás, kotyogás, küszöbfeszültség, mágneses 

karakterisztikák), amelyek kis jeleknél teszik jelentősen nemiineárissá 

a rendszert. Ezért általában minden 1ineárisnak tekintett szabályozási 

körnek is van olyan jelamplitudó tartománya, ahol a nemiinearitás 

dominál, ez a dinamikus tulajdonságokat (elsősorban a stabi1itást) 

jelentősen módosíthatja. 

A nemiinearitás hatására például a visszacsatolt rendszerben olyan 

önfenntartó állandósult lengés - határciklus - alakulhat ki, amelynek 

amplitudója a nemiineáris karakterisztikátó1 függ, de a bemenő jeltől 

ill. a kezdeti feltételektől független, így a lineáris elmélettel nem 

írható le. A leíró függvényt éppen arra dolgozták ki, hogy a 1ineáris 

stabi1itásvizsgálat i módszereket a határciklus kimutatására is 

alkalmassá tegye. 

L 

1,2 

1 

0,8 

0,6 

0,4 

0,2 

1 

y y< 

0 h 

i L u 

11.6 ábra 

20 

40 

-60 

- -80 -i 

5 U_ 

h 

24S 

w t 

UfJ 

-n N • L (U) ww0(jw) 0(jw) 

11.7 ábra 

L(U (tco)

Tételezzük fel, hogy a 11.7 ábra szerinti visszacsatolt szabályozási 

körben az y^ jel valamilyen okból U amplitudóval megközelítőén 

szinuszosan leng (a fe1harmonikusokat e1hanyago1juk). 

A körben levő statikus nemiinearitást az L (u) leíró függvény - az U 

amplitudótól függő, de frekvencia független körerősítés - míg a 1ineáris 

jelátvivő tagokat a w^(jw) frekvenc i afüggő (amplitudó független) 

átviteli függvény jellemzi . 

A felnyitott kör eredő w^(U, Ü>) frekvencia függvénye az u> frekvenciától 

és az U amplitudótól is függ. 

w L(U, w) = L (U) w (jo) (11.16) 

A felnyitott kör Nyquist diagramját i1yenkor egyet len görbe helyett 

U-ban paraméterezett görbesereg ábrázolja. 

Feltételezve, hogy a zárt rendszer stabi1itása az egyszerűsített Nyquist 

kritériummal vizsgálható, ha egy adott U-hoz tartozó görbe (U=U ) nem 

fogja körül a -1 pontot, akkor ezzel az amplitudóval a lengés tartósan 

nem maradhat fenn. A zárt rendszer ugyanis aszimptotikusan stabi1 is, 

amelyben önfenntartó lengések nem alakulhatnak ki. Ha az U tartomány 

egyetlen görbéje sem fogja körül a -1 pontot, akkor a rendszer 

globálisan stabilis, azaz semmilyen lengés sem maradhat fenn. 

Ellenkező esetben, ha bárme1y amplitudóhoz tartozó görbe (U=U^) 

körülfogja a -1 pontot, a rendszer globálisan labi1 is. Ekkor az 

öngerjedés miatt egyetlen amplitudó sem képes állandosulni. 

Közbenső esetben a görbesereg egy része stabi1 is, másik része labi1 is, 

míg a harmadik része (U=U tI) valami 1 yen (*>.. frekvencián átmegy a -1+jO 

H n 

ponton. Ekkor a rendszernek határciklusa van, amely magában foglalja azt 

a lehetőséget is, hogy az y^ jelben - a fe1hármonikusokat e1hanyago1va - 

U amplitúdójú, w.. körfrekvenciájú tartósan fennmaradó harmonikus lengés 

ti H 

alakuljon ki. 

Attól függően, hogy ez a lehetőség realizálódik vagy sem, a határciklus 

lehet fennmaradó, un. stabi1 is vagy konvergens, i1letőleg felbomló, un. 

labi1 is vagy divergens. 

Ha az U„ amplitudót gondolatban AU -val megnövelve w görbéje a 

H H L 

határhelyzetből a stabilitás i rányába (i1letve AU-val való csökkenéskor 

n 

a labi1itás felé) mozdul, a határciklus fennmarad, mert ha bármilyen 

okból ez a növekedés a lengés közben ténylegesen bekövetkeznék, akkor a 

rendszer aszimptotikusan stabi1issá válása miatt a lengés esi 1lapodni 

kezd, ami az eredeti állapothoz való visszatérést jelenti. 

Ellenkező esetben, ha az amplitudó növekedésekor a rendszer labi1issa 

válik, a határciklus felbomlik, mert a labi1 is rendszer öngerjedése 

további amplitudó növekedést generál. 

:5t-

A határciklus akkor jön létre, ha kielégíthető a 

w L(U rü>) = L(U)« wQ( ju>) = -1 (11. 17a) 

illetve a 

w (jw) = - ^ — (11. 17b) 

U 

L(u) 

összefüggés, azaz a w Q(jw) frekvencia átviteli függvény görbéje metszi a 

leíró függvény negatív reciprokának (-1/L(U)) görbéjét. A metszéspont 

w„ és U„ paramétereivel jöhet létre fennmaradó határciklus. 

n ri 

Ha a két görbe nem metszi egymást, a (11.17)-nek nincs megoldása, a 

határciklusra jellemző állapot nem jöhet létre. I1yenkor a rendszer a 

két görbe kölcsönös helyzetétől függően vagy globálisan stabilis vagy 

globálisan labi1 is. 

11.8 ábra 

Ha pl. WQ( ja>) önmagában (L=l esetben) stabi 1 is rendszert jel lemez és 

minimálfázisú, u növekedésének irányában befutva a görbét a balkéz 

felé eső tartományban futó -1/L(U) görbe (11.8a ábra) a globális 

stabi1itás, míg a jobbkéz felé eső tartományban elhelyezkedő -l/L görbe 

(b ábra) a globális labilitás jele. 

Ha a két görbe metszi egymást, és a metszéspontban U növelésekor a -l/L 

görbe a labi1 is tartományából a stabilis tartományába lép át, 

konvergens, ellenkező esetben divergens határciklus képződik, amint az a 

11.7 ábrával kapcsolatos megfonto1ásainkbó1 közvetlenül következik. A 

11.8 c ábrán a görbéknek két metszéspontja is van. H^ divergens, H^ 

konvergens határciklusra utal. (Állandósult lengés az w u_ és U? 

paraméterekkel keletkezik. * 

?51

A hajtárciklus lehetősége a Bode _diagram alapján is becsülhető. Ez 

különösen akkor egyszerű, ha az L leíró függvény valós. I1yenkor L 

lehetséges értékeit körerősítésének tekintve megállapítható, hogy annak 

változása a vágási frekvenciát képes-e (és milyen irányból) a stabi1itás 

határhelyzetébe hozni. 

Tisztán 1ineáris rendszerben az állandósult lengés gyakorlatilag 

instabi1lá teszi a szabályozási kört, mert a kezdeti feltételtől függő 

amplitudója igen nagy is lehet. Ezzel szemben a nemiineáris rendszer 

konvergens határciklusa nem okvetlenül megengedhetétlen, mert ha a külső 

körülményektől független amplitudója az előírt stat ikus hibahatáron 

belül van, nem zavarja a kör működését. 

11.2 Példa 

A 11.9a ábra egy visszacsatolt szervomotor hatásvázlatát mutatja. A 

motorból és a szabályozóból álló felnyitott kör átviteli függvénye: 

w o ( s ) = sTT+sT (11.18) 

A körben telítődő elem van, amelyet a w Q(s) elé helyezett statikus 

nemiineáris karakterisztika, ill. annak L leíró függvénye (11.9a 

egyenlet) jellemez. A telítetlen szakaszon a leíró függvény (a 

karakterisztika meredeksége) L=k=1. 

11.9 ábra 

Ezzel a b ábra szerinti aszimptotikus Bode diagramon a vágási frekvencia 

w =1, a fázistöbblet y =45°. CA tényleges értékek ^=0,79 és ^=51,7°. ) 

Ha a körben U>1 amplitudójú lengés alakulna ki, L

11.3 Példa 

Vizsgáljuk meg, létrejöhet-e határciklus, ha az előző példában tárgyalt 

szabályozási körben a telítődés helyett hiszterézises statikus 

nemi ineari tás van, amelynek a karakterisztika meredeksége k=4. A WQ(JÜ>) 

és a -1/L(U) görbék a 11.10 ábrán láthatók. A két görbe metszésponti 

paraméterei: 

ü> H=l,21; 

UH/h=l,65 

-Re -0,4 -02 

Stabil i! 

tartómé 

^1,95 

f 0(ja>) 

U /h=1,65 

Labilis! 

tartomány 

. iL = 1s35 

h 

.-1/LIU) 

11.10 ábra 

A hiszterézis ekkor határciklust okoz, amely konvergens, mert a -1/L(u) 

görbe U növelésekor a w Q-tól jobbkézre eső labilis tartományból a 

* 

0 

-0,1 

-0,2 

-0,3 

-0,4 

-0,5 

-0,6 

stabilis tartomány felé haladva metszi a w Q(ja>) görbét. 

k kisebb értékeinél (pl. k=3) a két görbének nincs metszéspontja, ekkor 

a rendszer globálisan stabilis. 

11.4 A szabályozási kör működése a telítési tartományban 

A szabályozási kör - amelyben mindig vannak telítődő elemek - csak 

bizonyos hibajel tartományban, az arányossági tartományban működik 

lineárisan. Nagyobb hibajeléknél valamelyik elem telítődik, és 

mindazideig, amíg nem kerül vissza az arányossági tartományba, a bemenő 

jeltől csak kevésbé - ideálisan egyáltalán nem - függő állandó jelet ad. 

A telítési vagy relé tartományban a lineáris modellre épülő 

megfontolások érvényüket vesztik. 

Megszűnik a rendszer gyorsítását célzó P és PD kompenzáció működése, 

mert annak fizikai alapja a túlvezérlés. így. a telítés korlátozza a 

rendszer gyorsítását. 

253

A reléüzem tartománya a szabályozó és beavatkozó szervek mértezésétől és 

a szabályozási kör rendszertechnikai felépítésétől függ. Egy olyan 

arányos típusú szabályozási körben pl. , amelyben a körerősítés 50, a 

névleges alapjel 2%-át kitevő hibajelre a szabályozó olyan beavatkozó 

jellel válaszol, amely állandósult állapotban a szabályozott jellemző 

névleges értékének fenntartására elegendő. 

Nyilvánvaló, hogy a beavatkozó szerv ésszerű túlméretezése esetén is 

néhány százalékos hibajelre az telítődik. Ha a zavaró jelek ezt a néhány 

százalékot túllépik, beál1 a reléüzem. 

A leggyakrabban várható zavarójelek számbavételével kell eldönteni, hogy 

a rendszert milyen mértékű gyorsításra célszerű méretezni. A P és a 

PD kompenzáció túlvezérlése ugyanis - az elemek adott teljesítménye 

esetén - az arányossági tartományt szűkíti. A lassúbb 

integrálszabályozásban viszonylag ritka a reléüzem. 

A telítődő beavatkozó szerv a telítődés után nem tud túlvezérlést 

létesíteni. "Felnyitja" a kört és a saját állandó kimenő jelét adja a 

folyamatra, igy annak tranzienseit nem az arányossági tartományban 

érvényesülő kompenzáló jelformálás, hanem ennek a bemenő jelnek az 

értéke szabja meg. 

1111 ábra 

254

Sok esetben, amikor a nagy zavaró jel gyors elhárítása a reléüzemben 

létfontosságú (pl. kooperációs hálózatokat tápláló szinkron generátorok 

gerjesztés szabályozása), a szabályozás minőségi jellemzésére un. 

nagyjelű mutatókat is előírnak, amelyek a nyílt láncú működésre 

vonatkoznak. Ilyen például a beavatkozó szerv telítési határa és az az 

idő, amely alatt előírt bemenő jelnél a telítődés bekövetkezik. 

Ha a 11.11 ábra szerinti elrendezésben ideál is arányos tagnak képzelt 

beavatkozó szerv - pl. az alapjel bekapcso1ásakor - telítődik, az u jel 

m 

korlátos volta miatt a szabályozási kör y kimenő jele hosszabb idő alatt 

közelíti meg az alapjelet, mint az arányos működési tartományban, így az 

y^ hibajel is hosszabb ideig fennmarad. Ha a Pl szabályozó integráló 

csatornája eközben működik, annak kimenő jele a hosszú működési idő 

miatt jelentősen megnő. Ez egyrészt megnehezíti a telítődés megszűnését, 

másrészt az arányos tartományba való visszatérés után jelentős idő kel 1 

a leépüléséhez, ami a szabályozási hiba dinamikáját rontja. Ezért a 

telítési tartományban célszerű az integráló csatornát bénítani. Ez 

különösen gyors hajtásszabályozásokban fontos, ahol a telítési küszöbhöz 

képest nagy túlvezérlésekre kell számítani. 

11.4 Példa 

A 11.11 ábrán látható szabályozási kör az egytárolós szakaszból, Pl 

szabályozóból és a kettő között egységnyi átviteli tényezőjű arányos 

taggal jelképezett beavatkozó szervből ál 1. Ez utóbbi u=2 bemenő jelnél 

telítődik. 

. , 1 + lOs ir. 1 

w (s ) = - 10+ - 

r s s 

szabályozási algoritmust párhuzamosan kapcsolt P és I csatorna ál1itja 

elő. Az egységugrás alakú alapjel bekapcso1ásakor az arányos csatorna 

Up=u=10 kimenőjelének hatására a beavatkozó szerv telítődik, és a 

szakaszra mindaddig u =2 bemenő jelet ad, ameddig a lassan mérséklődő 

m 

hibajel az u jelet a telítési határértékre (u=2) csökkenti. 

Ha az integráló csatorna működik, ez a folyamat a t=8 időpontig tart. 

Eközben az integráló csatorna kimenő jele UJJ=3 értékre nő, így a 

telítés megszűnésekor az y^ hibajel már negatív kel1, hogy legyen, ami 

az y kimenő jelben már kb. 10% túllendüléshez vezet. Mivel azonban az 

integrátor kimenő jele a telítődés megszűntével is csak lassan csökken, 

a kimenő jel túllendülése egy ideig még tovább növekszik. Az ábrán a 

szabályozási kör ill. az integrátor kimenő jelének az időfüggvényeit az 

y 1 ill. az UJJ görbék ábrázolják. 

Ha a telítődés pillanatában az integr ló tag megszűnik működni (y 2 ill. 

Uj 2 görbék), a telítési üzemmód csak t=5.1 pontig tart. Megszűnésekor a 

hibajel pozitív, a szakasz kimenő jele a végértéknek csak 80%-át éri 

el. így az arányos tartományban túllendülés nélkül áll be az állandósult 

állapot 

255

Ha a szabályozó berendezés analóg elven működik, az integrátor bénítását 

a jeltartományok összehango1ásával lehet elérni (A PI szabályozó 

maximál is jelszintje megegyezik a beavatkozó szerv telítési küszöbével). 

Digitális szabályozású körben a szabályozó szünetelteti az integráló 

algoritmus működését, amíg az u irányító jel a telítési tartományban 

van. 

11.5 Állásos szabályozás 

Statikus nemiineáris karakterisztikájú elemeknek 1ineáris időkéséses 

elemekkel való kombinációjával különböző szabályozó szervek (PD jellegű 

kapcsolóüzemű erősítő, oszci1lator, stb.), ill. egyszerű szabályozási 

kör - az un. állásos szabályozás - építhető fel. A különböző kapcsolások 

általában a 11.12 ábra modelljére vezethetők vissza, amely egy 

nemiineáris tagnak (N) 1ineáris időkéséses tagon való negatív 

visszacsatolása. Egyszerűség kedvéért feltételezzük, hogy N-nek 

kétállású egyoldalas (0 és U q közötti) relé karakterisztikája van 2h 

hiszterézis sávval. A visszacsato1ásban az időkéséses tagokat egyetlen T 

időállandós tag helyettesíti . 

A relé kimenetén csak két u érték jelenhet meg (0 és U q) , így az y 

jelnek is csak 0 és y Q=ku Q stat ikus egyensúlyi értékei lehetnek. 

Ha az u^ alapjel 

h 

a o 

határokon belül van, akkor a relé bemenő jelének (a hibajelnek) a 

statikus értékei 

y h= ua-y i {+h 

ha y=y c 

ha y=0 

lennének, ezekkel azonban a karakterisztika szerint statikus egyensúly 

nem ál Ihat be. így állandósult állapotban konvergens határciklus 

keletkezik, amelyben az u és y jelek középértékük körül periodikusan 

lengenek. Lengés közben y olyan T időállandós exponenciális görbe mentén 

változik, amely vagy y (b görbe), vagy zérus (k görbe) végértékhez 

tart. 

A stacionárius állapotnak az a jele, hogy egy teljes lengési periódus 

elteltével a jelek a, ki indulási értékükre állnak vissza. Tételezzük fel, 

hogy ez az állapot az u alapjelnél már bekövetkezett, és kövessük 

ai 

nyomon y változását attól a pi1lanattól kezdve, amikor az a relé u=0 

kimenő jelénél y=0 felé haladva az u-h határra ér (1 pont). Ekkor y^ a 

növekedési irányában éri el a h értéket, ame 1 yné 1 a relé kimenő jele 

u^-ra ugrik. Ennek hatására y változási iránya megfordul és a b görbe 

mentén az y Q végérték felé közeledik. A 2 pontban azonban y^=-h-nál a 

256

elé kimenő jele ugrásszerűen u=0-ra vált, az y jel a k ki kapcsolási 

görbe szerint csökkenni kezd és a 3 pontban éri el a ki indulási értékét, 

amikor új ciklus kezdődik, 

i 

Az y szabályozott jellemző a 2h hiszterézis sávon belül periodikusan 

ingadozik az alapjel körül. 

A relé kimenő jele a periódus egyik részében (T, bekapcsolási idő) u=u , 

b o 

a másik részében (a kikapcsolási időben) u=0. A ki- és bekapcsolási 

idők, valamint a teljes T periódusidő is a T időállandón kívül az 

alapjeltől is függ. Ha az alapjel elegendően messze van a (11. 19)-beli 

határaitól és a 2h sáv elegendően keskeny, akkor az y jelnek az 1-2 ill. 

a 2-3 pontok között i görbeszakaszai az u^ alapjel lel alkotott 

metszésponti érintőikkel helyettesíthetők. Ekkor, mivel az exponenciális 

görbének bárme1y pontjában húzott érintője a végértékeket T idő alatt 

éri el: 

T, - 1 ; T = T ; 1/1 = 

b y - u k u k b u 

ô a a a 

T =T,+T. =1,(1+1. /TJ= -Q— 

p b k b k b y - u 

^ 'o a 

y 

• — 

u 

a 

• T (11.20a-d) 

u =y /2 esetén a ki- és a bekapcsolási idők azonosak, a teljes 

periódusidő pedig minimál is. 

T=T= — T; T = ^ T (11.21) 

b k y o p y Q 

Ha u a ettől azonos mértékben akár a nagyobb, akár a kisebb értékek 

irányában tér e*i, T azonosan növekszik (T az u (y -u ) szorzattól 

p p a o a 

függ), és pedig egymással ellentétesen változnak. Nagyobb 

alapjelnél a bekapcsolási idő nő, a kikapcsolási idő csökken, míg kisebb 

alapjelnél ennek a fordítottja következik be. 

A relé kimenő jelének időbeli u középértéke az alapjellel arányos. 

T u u 

5 = - H u = — u = * (11.22) 

T o y a k 

P o 

A rendszer állandósult üzemben kapcsolóüzemű (szakaszos üzemű) 

impulzusszélesség modulációjú erősítőként működik, ame1yben az u kimenő 

jel át 1ágértéke az u & bemenő jel lel arányos. A kapcsolási frekvencia is 

függ a bemenőjel tői. 

257

258

Az új állandósult állapotba tranziens folyamatqn keresztül jut a 

rendszer. Ha pl. az alapjel akkor változik u -ről u -re, miközben az y 

al a

használnak, mert annak kapocsfeszültsége és a tengely szögelfordulása 

között a tranziensektől eltekintve integráló kapcsolat van. A szakaszos 

működésű erősítő és a szervomotor ilyen kombinációját gyakran használják 

szelepet mozgató Pl szabályozónak. 

Az integrátor zérus bemenő jelnél is képes kimenő jelet fenntartani, 

ezért az erősítőnek u=0 nyugalmi állapota is lehet, ami csökkenti az u 

jelben a kapcsolások számát. Ezt a kétállású relékarakteriszt ikának 

olyan háromáilású karakteriszt ikával való helyettesítésével lehet 

elérni, amelynek érzéketlenségi sávja is van (11.14 ábra). 

y 

-e 

1 

u 

1 + sí 

11.14 ábra 

"2h A 

A nyugalmi ál lapot akkor jöhet létre, ha az y^ hibajel ebbe a sávba 

esik. 

A nemiineáris karakterisztika és a visszacsatoló tag megfelelő 

kiválasztásával a 11.12 kapcsolás más célokra is használható. 

Szimmetrikus kétállású relé karakterisztikával és integráló 

visszacsatolással pl. oszci1lator kapcsolás jön létre. A kimenő jel 

frekvenciája csak a hiszterézis és az integrálási paraméterektől, a 

lengési amplitudó az u jelben a relé telítési értékétől, az y jelben a 

hiszterézis sáv szélességétől függ. 

11.6 Korlátozás 

A korlátozó kapcsolásoknak az a feladata, hogy me gakadá1yo z zák az 

irányított folyamat valamelyik jellemzőjenek adott értéken túl i 

növekedését. Hajtásszabályozásokban például igen gyakran a villamos 

motor áramát kel 1 a biztonságos üzem határain belül tartani 

(áramkorlátozás). 

A korlátozást a szabályozási körbe épített nemiinearitás valósítja meg. 

Egyik megoldása pl. a kaszkád szabályozásban a főszabályozó kimenő 

jelének korlátozása telitődő karakterisztikájú taggal. 

260

Más megoldásban (11.15 ábra) a fő hurok valamelyik y fe jelétől és a külső 

zavaró jeltől (y z) függő y R jelet az SZ 2 szabályozóval felszerelt 

korlátozó kör igyekszik a megengedett határon belül tartani. A w , , w 

Pl p2 

és w átviteli függvények az u és y, valamint az u és y^ jelek közötti 

összefüggéseket szimbolizálják. 

11.15 ábra 

Az y^ jelet egy statikus érzéketlenségi karakterisztikájú N 2 

nemiineáris 

tag érzékeli, amely csak akkor ad kimenő jelet, ha az y^ bemenő jel a 

±y^ e határt átlépi. Ha ez bekövetkezik, N 2 megszólalása aktivizálja a 

korlátozó kört, amely úgy működik, mintha y^ e (ill. -y^) lenne az 

alapjele. Az SZ 2 szabályozó igyekszik y^-t ehhez közelíteni még azon az 

áron is, ha a fő szabályozási körben ezzel y-t eltérit i az alapjel lel 

megadott értékétől (a két szabályozási körnek közös az u beavatkozó 

jele). Az SZj szabályozó y változása el len hat, ezért a két szabályozó 

együttes működésekor a korlátozó hatást csak úgy lehet érvényre 

juttatni, ha a korlátozó kör a fő körnél sokkal erőte1jesebben hat u-ra. 

Ezt pusztán a körerősítésekke1 stabi1itási okokból általában nem lehet 

elérni, ezért az SZ 2 megszólalása után SZ^ működését bénítani kel 1. Ezt 

a célt szolgálja pl. az SZ^ kimenő jelét ±U q határok közé szorító 

telítődő elem. SZ 2 működésekor - bármekkora y^ hibát okoz is az a 

főkörben - SZ^ legfeljebb ±U q jellel képes ellenszegülni az y kimenő 

jel változásának (ugyanez az y^ jel korlátozásával is elérhető). 

Ha akár a főköri tranziens, akár külső zavaró jelek miatt y^ a

megengedhető érték fölé nő, SZ^ megszóia. os -i küszöbérték közelében 

tartja y^-t függetlenül attól, hogy ezzel y-ban jelentős hibát okoz 

Ami kor a korlátozást kiváltó ok megszűnik, SZ^ automatikusan átveszi az 

irányítást. A valóságban SZ^ és SZ^ nem teljes szabályozók, csupán olyan 

előfokozatok, amelyeknek közös teljesítményfokozata van 

2tV-

12. oldal (2.9) egyenlet 

28. oldal (3.8b) egyenlet 

50. oldai (4.7a) egyenletben 

76. oldal (5.17) egyenlet 

87. oldal utolsó sor 

88. oldal (5.45 a) egyenlet 

102. oldal 4.-5. sor 

103. oldal e.) pont 

108. oídai (6.5) nevezőjében 

109. oldal (ő.li)eísőtag 

109. oldal (6.12) 

112. oldal (6.21a)-ban 

165 .oldal 10 sor 

189. oldal alulról 3. sor 

Hibajegyzék 

dS : P2 2*2 

dt g2 m 

2 g 2 m 

1 ln z 

H = AV = s,V 

A hatásvázlat az 5.7 ábrán Járható. 

~1 1 

X - 

0 -1 

0 Ö 

X 

2 §2 m 

2 S2 m 

2 

Az érintett állapotváltozók kezdeti értékei generálják 

további állapotváltozót (x5) hoz a rendszernek a c 

ábra szerinti homogenizált modelljébe. 

0~sT n) 

w(s) - —kx - 

r+c+2d - rn 

J [k T - v(t)]dt 

W(S) : 

N 0(s) 

I + sT 

l Í- sT 

p+e+2f- n

J-94110

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?