J-94110

2. MATEMATIKAI ALAPOK
Lineáris folytonos idejű irányítási rendszer vizsgálatának legfontosabb
matematikai eszköze a lineáris állandó együtthatós differenciálegyenletek
idő és frekvencia tartománybeii kezelése.
2.1 Az n-edrendű állandó együtthatós differenciálegyenlet megoldása
az időtartományban
Egy bemenő jelű (u), egy kimenő jelű (y) 1ineáris rendszer működését az
alábbi n-ed rendű differenciálegyenlet írja le:
(n) (n-1) (m)
y +n .y +. . . + n ny = m u +. . . + m nu = g(t)
n-1 0 m 0 ( 2. n
ahol y^ n
^ az y változó idő szerinti n-edik deriváltja. Itt m^n. A
differenciálegyenleteknek elvileg végtelen sok megoldása közül azt kel 1
kiválasztani, amely eleget tesz az y függvényre vonatkozó
peremfeltételeknek. A peremfe1 tételek rendszerint kezdet i feltételek,
n 1
tehát y(0); y(0);.. .;y^ * formájában adottak.
A (2.1) az un. inhomogén egyenlet, amely g(t)=0 esetén homogén
egyenletté válik.
A differenciálegyenlet általános megoldása a homogén egyenlet általános
megoldásának (y^) és az inhomogén egyenlet egy partikuláris megoldásának
(y i) szuperpozíciójaként ál 1ítható elő.
y
= y + y
h i ' (2.2)
A homogén differenciálegyenlet általános megoldása
S
y u=k 1e l t
S
+k 0e 2 t
+ . . .+k e V (2.3)
J
h l 2 n
ahol k4 ..... k áliandók, s,,.. . , s pedig az n-edfokú karakterisztikus
r ' n 1 n
r &
egyenlet gyökei. Az egyenlet úgy keletkezik, hogy a homogén
differenciálegyenletbe
helyettesítjük.
y deriváltjai helyébe s megfelelő hatványait
s n
n
+n 1s " l
+ . ..+n = 0 (2.4)
n-1 0
Ha többszörös gyökök is előfordulnak, akkor (2.3)-ban a megfelelő
tagokban az exponenciális függvény t hatványaival van szorozva. Például
feltételezve, hogy az 1, 2 és a 3 sorszámú gyök azonos s
^ 2 3 értékű,
akkor
11