J-94110

Található olyan X=V vektor is, amely a leképezés során csak a
hosszúságát változtatja, az irányát megtartja. Ha pl. az Aj és az
és E 2 közötti szögfelezőre szimmetrikusak (5.2b ábra), akkor a
szögfelezőbe eső V vektor nem fordul el, csak s^-szeresére nyúlik.
H = A X = s iX
(5.17)
V az A mátrix (a rendszer) sajátvektora (eigenvector), s^ a sajátértéke
(eigenvalue).
A mátrixoknak a rendszámukkal megegyező számú sajátértékük és normális
esetben ugyanennyi egymástól független sajátvektoruk is van.
Diagonális mátrix sajátvektorai a koordináta vektorok, mert azokat a
leképezés nem forgatja el, sajátértékei pedig a főátló elemei.Ha ugyanis
A =
S
l
0 S
2
akkor AE =s Ej; A E ^ s ^ (5. 18)
Megfordítva, ha a koordinátarendszer transzformálásakor a mátrix
sajátvektorait választjuk űj koordináta vektoroknak, akkor az azokban
felírt A transzformált mátrix diagonálissá válik (főátlóban a
P
sajátértékekkel). A P transzformációs mátrix oszlopaiban ilyenkor a ¥
sajátvektorok állnak.
A transzformációt kanonikus transzformációnak (canonical transformát ion)
nevezik.
A sajátvektorodat és a sajátértékeket az (5.17) egyenletből lehet
meghatározni. Rendezve az egyenletet
(s I-A) V = 0 (5. 19a)
Rendezőkben kiírt formában ez homogén n ismeret lenes egyenletrendszer
(az ismeretlenek a V vektor v„,.. . ,v rendezői), amelynek akkor van a
I n
triviálistól eltérő megoldása, ha teljesül a
det(s.I-A) = N(s.) = 0 (5.19b)
1 i
feltétel. A baloldal nem más, mint az A mátrix N(s) karakterisztikus
po1inomja s=s^ he1yettesítésse1 (3.24 egyenlet).
Ha az egyenlet gyökei egyszeresek, akkor összesen n db sajátérték van,
amelyik mindegyikéhez az (5.Í9a)-ból végtelen sok sajátvektor
határozható meg. Az azonos s-hez tartozó sajátvektorok azonban csak a
hosszukban különböznek, irányuk azonos. így új koordináta tengelyek
céljára normális esetben n különböző irány (lineárisan független
sajátvektor) adható meg.
A transzformációs mátrix vektorrendezői ezek a sajátvektorok.
P-jVj ÍV 2 !. . . Vj (5.20a)
76