J-94110

Minden impulzus egy-egy az u(x)dx területtel arányos súlyfüggvényt
generál, amelyeknek hatása a t pontban szuperponá1ódik. A x pontban
induló részfolyamatban a megindulásától kezdve a t pontig (t-x) idő
telik el, így a hozzárendelt súlyfüggvény értéke w(t-x). Az összes
részfolyamatokat összegezve, amelyek a x=0 és x=t pontok között
indulnak, kapjuk a t pontban az y(t) jelet,
2.1. példa
Oldjuk meg Laplace transzformációval a következő differenciálegyenletet
yíO) = y(0) = 0 kezdeti feltételekkel:
yít) + 6y(t) + 8y(t) = ú(t) + u(t) (2.27a)
A bemenő jel
a. ) u(t) - ő(t) ; b. ) u(t) = 1(t)
Áttérve a Laplace transzforrnáltra
y(s) = w(s) u(s) = — u(s) = — u(s) (2.27b)
s +6s+8 (s+2) (s+4)
A nevező gyökei egyszeresek: s* = -2; s - - 4 .
a. ) Ha a bemenőjel a Dirac impulzus, akkor u.(s) = 1.
A súlyfüggvény a kifejtési tétel (2.23c) szerinti alakjával
-2+1 -2t -4+1 -4t 1 -2t 3 -4t
y(t) = w( t J= — e + -—— e = ~ p- e + p e
-4+6 ~8+6
(2.27c)
Az y jel időbeli változása csak a karakterisztikus egyenlet gyökeitől
(w(s) pólusaitól) függ.
b. ) Egységugrás alakú bemenő jelre u(s)=1/s .
A kimenő jel kétféleképpen számítható, a (2.27b)-bői a kifejtési
tétellel, vagy a konvolúciós integrállal.
A (2.27b) és a (2.23b)-bői
Y ( S ) = "T¥+^flsT47i~ =
4(I+~2T ~ "4" ~iT4~" +
A nevező gyökei s^= -2, s^= -4, s^= 0.
"t (2.28a)
A karakterisztikus egyenlet két sajátértékén kívül y(s) pólusai között
megjelenik az u(s) jel pólusa (s 3=0) is. Visszatranszformálva az
időtartományba
2 t
4 t
y(t) = l + | e~ - | e"
(2.28b)
A konvolúciós integrálhoz a (2.27c) súlyfüggvényt használva ugyanerre az
eredményre jutunk.
19