J-94110

5.4 Jordán alak
Ha a karakterisztikus egyenletnek többszörös gyöke van, az mátrix
csak kivételesen diagonálizálható, általában azonban legfeljebb Jordán
formára hozható.
J= 0
"6" 0 | J n
(5.28 a)
Itt J,,..,J_ az s,,...,s 0 sajátértékekhez rendé1t, a sajátérték
Í J 1 J
multiplicitásával megegyező rendszámú kvadratikus mátrixok, amelyeknek a
főátlójában a sajátértékek, az attól jobbra eső első mellékátlóban
egyesek állnak, a többi elem zérus.
Ha például s háromszoros sajátérték, a J részmátrix
J
l - 0
s, 1 0
1
s
l
0 0
1
(5.28b)
alakú lehet. Az egyesek száma attól függ, hogy a többszörös
sajátértékhez hány egymástól lineárisan független sajátvektor található.
Ha csupán egyetlen - ez az (5.28)-nak megfelelő normális eset - a
mellékátló valamennyi eleme egyes. Ha ehhez képest a független
sajátvektorok száma eggyé1 nő, az egyesek száma eggyel csökken. Ha
létezik a multiplicitással azonos számú független sajátvektor, a Jordán
mátrix diagonális. Ettől az esettől eltekintve a transzformációs mátrix
megkeresése a korábbiaktól eltérő megfontolásokat igénye1, amelyekre itt
nem térünk ki.
5.5 Példa
Határozzuk meg az alábbi ál lapotegyenlet kanonikus alakját:
-1 0 1
0 -1 1
0 0-2
V —
A
X +
(5.29)
A MATLAB [V, D g]= eig(A) utasításával ill. az (5.15) egyenletekből a
következő eredményt kapjuk:
80