1. feladatsor Feladatok

Megoldás
′′ 0 ′′
1. Ha megvizsgáljuk a számlálót és a nevezőt láthatjuk, hogy ez egy 0
típusú határérték. Mivel a számláló és a nevező is differenciálható függvény
a L’Hospital szabályt fogjuk alkalmazni.
A számláló deriváltja (sin(1 − x)) ′ = − cos(1 − x), a nevező deriváltja
(ln(x2 )) ′ = 1
x2 2x = 2
x . Megvizsgáljuk a deriváltak hányadosának a határértékét
az 1 helyen.
− cos(1 − x)
lim
x−→1 2 =
x
−1
2
Ezért a L’Hospital szabály értelmében az eredeti határérték is ennyi.
2. Tudjuk, hogy f az értelmezési tartományának azokon a részhalmazain
monoton, ahol a deriváltja állandó előjelű. Világos, hogy az értelmezési
tartomány most a Df = (0, ∞) intervallum.
f-et a szorzatfüggvény deriválási szabálya alapján deriválva azt kapjuk,
hogy f ′ (x) = ln x + x 1
x = ln x + 1. Az f ′ (x) = 0, azaz ln x = −1 egyenlet
egyetlen megoldása x = e−1 = 1
e . Könnyű ellenőrizni (hiszen f ′ monoton
növő függvény), hogy f ′ az 1
e -nél nagyobb számokra pozitív, a kisebbekre,
de azért pozitív számokra, negatív értéket vesz fel. Emiatt tehát f a 0, 1
e
intervallumon csökkenő, az 1
e , ∞ intervallumon növő.
3. Az integrandus egy valódi racionális függvény, ezért a parciális törtekre
bontás módszerét fogjuk alkalmazni. A nevező gyöktényezős felbontása
x 2 − x = x(x − 1). Ebből látjuk, hogy a nevezőnek két különböző valós
gyöke van. A nevező gyöktényező felbontásának a szerkezete miatt az
alábbi alakú résztörtekre bontással próbálkozunk:
x + 1
x2 A B
= +
− x x x − 1 ,
ahol A és B egyelőre ismeretlen konstansok. Közös nevezőre hozva
x + 1
x2 A(x − 1) + Bx
= =
− x x(x − 1)
(A + B)x − A
.
x(x − 1)
Az együtthatók összehasonlításából azt kapjuk, hogy A + B = 1 és −A =
1. Ezekből az egyenletekbő A = −1 és B = 2 adódik. Az integrandus
parciális törtekre bontása tehát a következő:
x + 1
x2 −1 2
= +
− x x x − 1 .
Mivel összeget tagonként lehet integrálni
2