VIII. A Markov- és Csebisev-féle egyenlőtlenség, a nagy számok ...

VIII. A Markov- és Csebisev-féle egyenlőtlenség, a nagy számok törvényei
Kérem figyelembe venni, hogy a feladatok csak minták. A feltüntetett számértékek, és esetlegesen a szövegezés
— a feladat lényegi részétől eltekintve — változhatnak. A // jelek közötti dőlt betűs részekből, illetve a kis római
számokkal jelzett kérdésekből csak az egyik szerepel a tényleges feladatban.
1. Egy bizonyos izzó élettartama átlagosan 4000 óra.
i. Adjunk becslést arra, hogy milyen valószínűséggel /nem éri el/éri el/ az izzó a 6000 órás élettartamot?
ii. Mi a helyzet akkor, ha ismerjük, hogy az élettartam exponenciális eloszlású?
2. A ξ valószínűségi változó várható értéke 5, szórása 12.
i. Mennyi lehet a valószínűsége, hogy a ξ 2 értéke /legalább/legfeljebb/ 196?
ii. Mi a helyzet akkor, ha ξ normális eloszlású?
3. Választunk egy valós számot 10 és 100 között, a választott szám várható értéke 55. Mekkora lehet annak
a valószínűsége, hogy a választott szám 90-nél /kisebb/nagyobb/nem kisebb/nem nagyobb/, ha
i. nem ismerjük, milyen eloszlás szerint választottuk a számot?
ii. egyenletes eloszlás szerint választottuk a számot?
4. Adjunk becslést a Markov-egyenlőtlenség segítségével arra, hogy mekkora lehet annak a valószínűsége,
hogy egy λ paraméterű Poisson eloszlású valószínűségi változó értéke nagyobb mint 4λ?
5. Egy ξ valószínűségi változó várható értéke 40, szórása 3. Mekkora lehet annak a valószínűsége, hogy
i. 35 < ξ < 45,
ii. 33 > ξ vagy 47 < ξ,
iii. ξ 7-nél kevesebbel tér el a várható éréktől,
iv. ξ 5, 5-nél többel tér el a várható értéktől,
v. ξ legalább a várható érték felével eltér a várható
értéktől,
vi. ξ legfeljebb a szórás másfélszeresével tér el a
várható értéktől,
vii. ξ < 48,
viii. ξ > 47,
ix. 33 < ξ < 46,
x. ξ értéke kisebb, mint a várható érték és a szórás
összege?
6. Egy alkatrészgyárban 100 mm-es alkatrészeket gyártanak. A tényleges alkatrészek méretének várható
értéke 100, 1 mm, szórása 0, 5 mm. Az alkatrész selejtes, ha mérete legalább 1 mm-rel eltér a névleges
értéktől (100 mm).
i. Adjunk becslést arra, hány darab selejtes alkatrész lehet egy 10000-es csomagban?
ii. Mivel járunk jobban? Ha a méret várható értékét, vagy ha a szórását csökkentjük 0.05 mm-rel?
7. /Az egyenletes/A normális/ eloszlású ξ valószínűségi változó várható értéke 10, szórása 5. Mekkorát
tévedünk, ha a P (5 < ξ < 15) valószínűséget a Csebisev-egyenlőtlenséggel becsüljük?
8. Egy termék ξ élettartama λ = 0.02 1
nap paraméterű exponenciális eloszlást követ. Mekkorát tévedünk, ha
a P (40 < ξ < 60) valószínűséget Csebisev-egyenlőtlenséggel becsüljük?
9. Egy lista egymillió számot tartalmaz. A számok átlaga 10, négyzeteik átlaga pedig 101.
i. Hány olyan szám van a listában, ami legalább 15?
ii. Mi a válasz, ha a számok eloszlása szimmetrikus az átlagra?
iii. Mi a válasz, ha a számok normális eloszlást követnek?
iv. Mi a válasz, ha a számok egyenletes eloszlást követnek?
1

10. Egy szabályos érmét húszszor feldobunk. Mekkora lehet annak a valószínűsége, hogy a dobott fejek száma
a szórásnál kevesebbel tér el az 1/2-től?
11. Egy szabályos /hat/nyolc/tizenkét/ oldalú „dobókockát” húszszor elgurítunk. Mekkora lehet annak a
valószínűsége, hogy a dobott számok /összege/átlaga/ 0.1-nél többel tér el annak várható értékétől?
12. Négy, független, azonos eloszlású valószínűségi változó várható értéke 8, szórása 4. Mekkora lehet annak
a valószínűsége, hogy a változók átlaga kevesebb, mint 4-el tér el a várható értéktől? Mi a helyzet, ha
tudjuk, hogy /normális/egyenletes/ eloszlásról van szó?
13. Hat független, azonos eloszlású valószínűségi változó várható értéke 4, szórása 2. Mi a valószínűsége
annak, hogy összegük kevesebb, mint 3-mal tér el annak várható értékétől? Mi a helyzet, ha tudjuk, hogy
/egyenletes/normális/ eloszlásról van szó?
14. Adjunk becslést arra, hogy legalább hányszor kell egy /szabályos/nem szabályos/ pénzérmét feldobni
ahhoz, hogy a dobott fejek relatív gyakorisága legalább 0, 9 valószínűséggel 0, 05-nál kevesebbel térjen el
1/2-től!
15. Adjunk becslést arra, hogy legalább hányszor kell egy szabályos dobókockát feldobni ahhoz, hogy annak
a valószínűsége, hogy a dobott számok átlaga legalább 0, 1-del eltér a várható értéktől 0, 05-nél kisebb
legyen!
16. Adjunk becslést arra, hogy legalább hányszor kell egy /szabályos/nem szabályos/ /négy/hat/nyolc/ oldalú
„dobókockát” feldobni ahhoz, hogy a dobott hármasok relatív gyakorisága legalább 0, 9 valószínűséggel
0, 01-nál kevesebbel térjen el a hármas dobásának valószínűségétől!
17. Egy érmét 1000-szel feldobva 452 fejet és 548 írást kapunk. Mi lehet annak a valószínűsége, hogy az érme
szabályos?
18. Egy faüzemben készülő deszkák névleges mérete 2000 mm × 100 mm × 10 mm. A tényleges méret minden
irányban egymástól független, várható értéke a névleges méret. A fűrészgépek 1%-os relatív szórással
dolgoznak. (A relatív szórás a szórás és a várható érték hányada). Mekkora lehet a valószínűsége annak,
hogy
i. 5 deszkát átfedés nélkül egymás után toldva a teljes hossz a 10 métertől 10 cm-nél kevesebbel tér el?
ii. Feltéve, hogy az méretek eloszlása szimmetrikus, 10 deszkát egymásra rakva a magasság nagyobb
lesz, mint 11 cm?
19. Egy esemény relatív gyakoriságát 100 méréssel becsültük. Hány mérést kell még végezni ahhoz, hogy
hasonló megbízhatóság mellett kétszer pontosabb eredményt érjünk el?
20. Egy hat, két nyolc, és három tíz oldalú dobókockát elgurítunk. Legyen ξ a dobott számok /átlaga/összege/.
i. Mekkora lehet annak az esélye, hogy ξ eltérése az átlagától kisebb, mint a szórásának kétszerese?
ii. Hányszor kell a hat dobókockát elgurítani, hogy a kapott ξ értékek átlaga nagyobb, mint 95% eséllyel
kevesebb, mint 0, 01-el térjen el M(ξ)-től?
2