KREATIVITAS MATEMATIKA - Universitas Pendidikan Indonesia

KREATIVITAS MATEMATIKA DALAM MENDORONG BERFIKIR
MATEMATIKA TINGKAT TINGGI
A. Pendahuluan
Disusun oleh : Elah Nurlaelah
Jurusan Pendidikan Matematika – FPMIPA
Universitas Pendidikan Indonesia
Kreativitas memegang peranan penting dalam rangkaian berfikir
matematika tingkat tinggi. Kreativitas berkontribusi pada tingkat pertama dalam
pengembangan teori matematika, sehingga memungkinkan konjekture disajikan
sebagai pengalaman individual seseorang pada suatu konsep matematika.
Kreativitas juga merupakan suatu bagian dalam merumuskan bentuk akhir
matematika dalam membentuk suatu sistem deduktif dengan aksioma yang
didefinisikan secara jelas dan pembuktian yang disusun secara formal.
Disamping itu kreativitas merupakan suatu faktor yang penting dalam penelitian
matematika.
Saat ini terdapat beberapa hal dari luar yang mempengaruhi teori
matematika, seperti kegiatan manusia, proses yang beraneka ragam,dan lain-lain
yang akan bertindak dan membangun matematika baru. Hal seperti itu sering
dipandang sebagai sesuatu fenomena yang misterius. Kebanyakan para ahli
matematika tidak tertarik dalam menganalisis prosedur pemikirannya dan tidak
menjelaskan bagaimana mereka bekerja dan membangun teorinya. Hanya sedikit
(Seperti Poincara, Hadamard) yang secara eksplisit menjelaskan ide-ide yang
berkaitan dengan kreativitas matematika. Referensi yang baik ( paling tidak untuk
para matematikawan) berkaitan dengan hal ini dari Hadamard (1945) yang
selanjutnya diikuti oleh Muir (1988).
Makalah ini tidak bertujuan untuk memberikan penjelasan yang terperinci
tentang kebenaran dari kreativitas matematika dan bagaimana kreativitas itu
bekerja. Melainkan ingin melihat lebih jelas tentang macam-macam aktivitas
matematika sebagai suatu prosedur heuristik dalam menyajikan contoh-contoh
dari kreativitas matematika. Selanjutnya akan diuraikan pula beberapa
karakteristik dari kreativitas dan kerangka definisi sementara mengenai
kreativitas.
B. Langkah-Langkah untuk Mengembangkan Kreativitas Matematika.

Kreativitas matematika tidak akan muncul dalam situasi yang pakum.
Kreativitas membutuhkan suatu konteks dimana individu dipersiapkan yang
didasarkan kepada pengalaman-pengalaman sebelumnya yang signifikan untuk
menghadapi keadaan yang baru. Persiapan seperti itu muncul melalui aktivitas
sehingga terbentuk lingkungan yang tepat untuk tumbuhnya sifat kreatif. Konteks
tentang kreativitas dibentuk melalui langkah-langkah persiapan sehingga prosedur
matematika diinteriorize melalui action selanjutnya kreativitas tersebut disusun
menjadi object-object berfikir matematika.
Berikut adalah langkah-langkah terbentuknya kreativitas dalam diri seseorang;
Langkah 0 : Langkah Pesiapan Teknik
Aktivitas Matematika yang mendasar didahului oleh langkah persiapan
yang terdiri dari beberapa teknik dan aplikasi praktis dari aturan –aturan dan
prosedur matematika, dimana inidividu tidak memiliki suatu kesadaran tentang
fondasi kematematikaannya. Suatu contoh dari prosedur praktis adalah aturan
yang digunakan oleh Mesopotania dan Mesir Kuno untuk menghasilkan sudut
siku-siku: mereka menggunakan tali dan membaginya menjadi tiga bagian yang
mempunyai panjang 3, 4, dan 5, selanjutnya mereka membentuk permukaan
segitiga, akhirnya mereka memperoleh sudut siku-siku diantara sisi-sisi dengan
panjang 3 dan 4. Langkah persiapan ini telah menjadi bagian dari teori modern
dalam pembelajaran matematika, sebagai contoh “ toolobject” dari Douady (1986)
yang pertama kali mengajukan ide tentang suatu alat aktivitas problem- solving,
untuk dijadikan alat untuk membangun pengalaman struktur kognitif individu
sebelum direfleksikan menjadi suatu object dalam dirinya sendiri.
Langkah 1 : Aktivitas Algoritmik
Pada aktivitas algoritmik prosedur digunakan untuk menghasilkan operasi-
operasi matematik, menghitung, memanipulasi, dan menyelesaikan. Aktivitas
Algoritmik sangat berkaitan dengan penampilan teknik-teknik matematik. Contoh
dari teknik-teknik ini adalah: Penggunaan algoritma, bekerja dengan rumus,
memfaktorkan suatu polinomial, menghitung suatu integral, aktivitas perhitungan
dengan menggunakan program komputer seperti metode numerik untuk
menyelesaikan persamaan diferensial. Karakteristik dari aktivitas ini
membutuhkan sesuatu yang benar-benar eksplisit. Setiap langkah harus
diperhatikan, paling tidak secara mutlak, jika tidak maka kesalahan yang serius
akan muncul dan secara total akan menghasilkan hasil yang tidak valid. Sebagai

contoh dalam algoritma komputer, tidak diperbolehkan terdapat langkah yang
trivial dilupakan. Karena akibatnya akan terdapat regenerasi dari langkah yang
salah dalam algoritma. Aktivitas algoritmik merupakan suatu bagian yang dapat
diterima dalam matematika lanjut sebab aktivitas ini dapat dilihat sebagai bagian
dari keseluruhan teori, dibentuk berkaitan dengan prinsip-prinsip pada aktivitas
yang lebih tinggi. Aktivitas algoritmik adalah bagian yang penting dalam
pembelajaran matematika sebab proses seperti itu harus diinteriorize untuk
menjadi hal yang rutin sebelum konsep-konsep tersebut dapat direfleksikan
sebagai suatu mental object yang manipulatif dalam urutan teori yang lebih tinggi.
Sebagai suatu alat object dialetic, aktivitas algoritmik menjadi lebih dikenal dalam
action sebelum dia menjadi fokus dalam aktivitas reflektif.
Langkah 2 : Aktivitas Kreatif ( Secara Konsep, konstruktif ).
Aktivitas kreatif merupakan kreatifitas matematika yang biasanya muncul
dan bertidak sebagai motivasi dalam pengembangan teori matematika. Suatu
keputusan yang tidak algoritmik yang diambil berkaitan dengan suatu keadaan
yang mendua pada struktur konsep yang mendasarinya. Keputusan yang diambil
mungkin memuat hal-hal yang luas dan memuat berbagai pilihan, seperti suatu
pilihan dari suatu konsep tertentu untuk didefinisikan ( sebagai contoh, dalam
pilihan Hausdorff tentang pengertian dari himpunan buka, yang pembuktiannya
menjadi bagian yang sangat penting dalam matematika utama ) atau keputusan
untuk menyatakan atau membuktikan suatu teorema. Terdapat dua langkah kreatif
yang berbeda; Memilih hipotesis yang tepat sedemikian sehingga kesimpulan
akhir menjadi bernilai untuk teori yang lebih luas, dan deduksi nyata dari suatu
hipotesis untuk menyajikan bukti suatu teorema. Kreativitas adalah suatu
aktivitas yang rumit untuk memunculkan bagaimana kreativitas matematika
berikutnya muncul.
Kreativitas matematika harus diaktifkan, bagian yang paling aktif dari
kegiatan kreativitas adalah tingkat intuisi mengenai regenerasi dan renovasi.
Davis & Hersh menyarankan bahwa kreativitas matematika muncul melalui
pesan dari coarse ( secara intuitif ) menuju ke fine ( secara formal ).
Apa yang menjadi bagian yang penting dari individu adalah suatu keadaan
dimana kesiapan mental untuk aktivitas mental untuk menghubungkan konsep-
konsep yang tidak berhubungan dengan sebelumnya. Aktivitas mental ini akan
muncul setelah priode waktu yang lama supaya menghasilkan aktivitas yang lebih

kuat sehingga memuat keadaan dengan kesadaran lebih tinggi tentang suatu
konsep dan semua unsur pokok.
Kreativitas tingkat tinggi memungkinkan tersusunnya struktur mental yang
lebih kompleks yang dapat dimunculkan.
C. Struktur Teori Matematika
Sangat penting untuk menyajikan pandangan yang menyeluruh tentang
struktur matematika sebagai suatu konstruksi mental sebelum berkonsentrasi pada
proses kreatif untuk mewujudkannya. Teori formal matematika adalah suatu
kerangka kerja yang terdiri dari definisi suatu konsep dan relasinya dengan
konsep-konsep tertentu, selanjutnya menjadi suatu bentuk tertentu; relasiI tersebut
diperluas dengan implementasi yang sangat ketat ( aturan deduktif). Kepentingan
ini diperlukan untuk menentukan ( mendefinisikan ) suatu konsep dengan cara
yang tepat. Konsep- konsep itu dapat difikirkan sebagai suatu titik pada suatu
jaringan dan relasinya disajikan dengan anak panah yang menghubungkan titik-
titik tersebut. Selanjutnya jaringan itu memiliki ciri-ciri khusus, yaitu;
hubungannya terurut berdasarkan logika dasar sehingga menjadi urutan yang
lebih kompleks. Kreatifitas matematika memuat semua visi untuk menyusun
bagian – bagian yang dibangun oleh konjektur dan argumen, juga untuk
memperbaiki struktur matematika deduktif.
Realisasi kegiatan kreativitas paling tidak untuk mewujudkan satu dari
tujuan –tujuan berikut;
a. Untuk menghasilkan suatu konsep baru yang bermanfaat, arti bermanfaat
dalam konteks ini adalah menguntungkan untuk perkembangan teori
selanjutnya secara nyata.
b. Untuk menemukan hubungan yang belum tertulis antara dua hal, dengan
memanfaatkan urutan yang ada.
c. Untuk mengkonstruksi dan mengorganisasikan bagian dari teori seperti
logikanya, dan urutan deduktifnya sehingga menjadi lebih jelas.
Spesifikasi keberhasilan untuk menyusun aksioma-aksioma dari teori yang
belum teraksioma sebelumnya dapat dipandang sebagai suatu contoh kreatrivitas
matematika yang dapat direalisasikan.
D. Definisi Sementara tentang Kreativitas Matematika

Contoh-contoh kreativitas dalam matematika adalah: keahlian untuk
merumuskan definisi yang menggunakan konsep dari objek-objek yang terdefinisi
dalam teori –teori bagiannya; merumuskan ide dasar yang berasal dari konteks
fisik yang merupakan dasar persoalan matematika. Kreativitas matematika secara
esensial adalah suatu keahlian untuk menghasilkan objek-objek matematika,
bersama-sama dengan penemuan lain yang terpisah. Kadang-kadang Aktivitas
diperhatikan sebagai sesuatu yang berbeda, dan bahkan bertentangan dengan
algoritmik objek-objek matematika.
Definisi sementara kreativitas matematika adalah;
“ Kreativitas matematika adalah keahlian untuk menyelesaikan persoalan
atau untuk mengembangkan struktur berfikir, menyusun logika deduktif dan
mencocokan konsep yang dibangun untuk digabung menjadi bagian yang penting
dalam matematika”.
E. Isi dari Kreativitas Matematika
Prosedur kerja kreativitas matematika dapat dihubungkan dengan langkah
– langkah yang telah didiskusikan pada bagian C. Secara esensial langkah –
langkah itu merupakan rangsangan untuk menyetir kreativitas para
matematikawan dan mengoperasikan secara umum dalam urutan sebagai berikut;
1. Studi, menghasilkan sesuatu yang berkaitan dengan materi.
2. Intuisi kedalaman struktur suatu materi.
3. Imaginasi dan inspirasi.
4. Hasil, kerangka dalam struktur deduktif.
Urutan yang diuraikan di atas merupakan usaha yang diharapkan menjadi
kebiasaan untuk memunculkan kreativitas matematika yang potensial. Intuisi
merupakan hasil aksi suatu struktur konsep dari data yang tersedia. Intuisi dapat
diasah dan dipoles menjadi suatu alat yang berguna. Struktur mental yang
diperbaiki, akan menghasilkan intuisi yang baik. Dengan refleksi yang dalam dari
suatu subjek maka intuisi akan menghasilkan imajinasi dan inspirasi yang
diinginkan, pertama kali intuisi muncul mungkin bentuknya tidak sempurna, tapi
akan terasah dengan refleksi menuju pada urutan deduksi formal.
F. Motivasi untuk Kreativitas Matematika

Kekuatan kreativitas matematika didasarkan pada interkasi antara elemen-
elemen yang tertulis dibawah ini; ( Walaupun urutannya masih belum diyakini
benar )
Pemahaman (understanding): kemampuan untuk meregenerasi langkah-
langkah kreativitas matematika daripada yang ditulis oleh penulis asli
suatu teorema, suatu bagian dari teori … kreativitas matematika adalah
dasar, dan bersama-sama dengannya, pendalaman secara simultan tentang
pemahaman dan wawasan dari suatu konsep.
Intuisi (Intuitioni): susunan image konsep yang cukup dekat dengan
konsep formalnya sehingga memungkinkan konjektur menjadi masuk
akal. Intuisi memungkinkan matematikawan menampilkan suatu
pemilihan yang baik. Faktor-faktor lain yang berkaitan, dan berelasi
dengan intuisi yang bertindak sebagai pendorong dalam proses kreasi
matematika adalah imaginasi, fantasi matematika dan keingintahuan.
Wawasan (Insight) : sebagai pendorong untuk membentuk suatu rumusan
pengetahuan yang baru. Wawasan meliputi pemusatan kembali tentang
ketertarikan dan reorentasi apa yang penting, dan selanjutnya
membayangkan hal yang penting di masa yang akan datang.
Generalisasi (Generalization): kemampuan mengenaralisasi dihubungkan
dengan wawasan sebab hal ini sangat tergantung pada kemampuan untuk
melihat sesuatu ke depan tentang apa yang dipentingkan pada masa yang
akan datang. Generalisasi adalah suatu bentuk kretivitas mental, tapi dalam
bentuk yang lemah: teori generalisasi kadang-kadang sulit, kadang-
kadang langsung, kadang-kadang hanya sebagai suatu ilusi: Suatu grup
berhingga mempunyai representasi sebagai suatu grup permutasi,
generalisasi dari teori grup permutasi dari Galois dan Jordan dalam teori
grup berhingga adalah hanya dalam bentuk merumuskan kembali,
walaupun perumusannya tidak diragukan lebih baik dari yang terdahulu.
Dapat dilihat bahwa keempat isi di atas paralel dengan empat topik yang
telah diuraikan pada bagian terdahulu. Dengan pemahaman (understanding), tidak
diartikan hanya sebagai pemahaman intrumental yang memuat suatu proses,
tetapi pemahaman relasional, dalam pandangan Skemp (1976), pemahaman
meliputi relasi dengan konsep-konsep dalam konteks yang mereka ketahui.

Kreativitas menuntut suatu perluasan konteks dengan cara yang belum disusun
sebelumnya. Itulah sebabnya memungkinkan individu untuk menciptakan ide
yang baru dan digabungkan bersama-sama dengan ide yang lama dalam format
yang baru.
Selanjutnya sebagai suatu generalisasi pengetahuan sebelumnya, atau
merupakan perluasan dari skema yang ada dalam memperluas konteks. Tall. D
(1991) mengemukakan terdapat dua macam generalisasi, yaitu; generalisasi
ekspansif yang memperluas pemakaian teori tanpa merubah struktur kognitif
yang ada, dan generalisasi rekonstruksi yang menyediakan struktur pengetahuan
untuk direorganisasi. Yang pertama mungkin relatif lebih mudah, meskipun dalam
pemunculan pertama kalinya, sedangkan yang kedua memuat transisi kognitif
dengan kesulitan yang besar dengan menyediakan kualitas karakter secara
khusus supaya berhasil dalam menghadapi kesulitan
F. Karakteristik-Karakteristik Kreativitas Matematika
Dalam membangun cabang yang lebih besar tentang kreativitas matematik,
muncul karakteristik-karakteristik tertentu mengenai kreativitas matematika,
sebagai berikut;
Relasional ( dalam pengertian Skemp ). Relasional muncul melalui
interaksi; relasional muncul sebagai suatu rantai antara dua atau lebih
konsep, sedemikian sehingga ide baru yang muncul digabungkan dengan
aspek-aspek yang berbeda sehingga membentuk konsep tertentu menjadi
satu kesatuan. Interaksi ide-ide dalam fikiran seorang ahli matematika
mungkin yang terpenting untuk mendorong kreativitas maematika. Ide-ide
dan konsep-konsep matematik muncul sebagai usaha untuk membangun
blok-blok yang dikombinasikannya untuk membangun beberapa
konfigurasi yang baru. Jika konfigurasi itu bermakna, maka konfigurasi itu
menjadi suatu teori. Sebagaimana telah dijelaskan oleh Poincare.
Pandangan yang mendalam terhadap proses ini menimbulkan pertanyaan:
“Apakah kreativitas matematika bertindak seperti mutasi dalam biologi ?”
Suatu mutasi dalam matematika muncul ketika rantai ide distruktur ulang,
mungkin dalam satu tempat. Tidak semua restruktur tersebut berguna, sehingga

ada beberapa yang bertahan dan yang lainnya dieliminasi. Sebagai contoh untuk
hal ini adalah teori kubus, kurva dengan derajat tiga yang dibangun sebagai suatu
generalisasi dari teori konik, teori ini dikembangkan pada abad ke sembilan belas,
tapi masih sering diajarkan sampai sekarang.
Selanjutnya dapat dilihat bahwa kreaivitas matematika adalah;
Selektif: Istilah ini analog dengan istilah biologi, istilah ini muncul sebagai
perjuangan untuk hidup diantara konsep-konsep matematika, berdasarkan
seleksi alam dan ketahanan untuk hidup. Sebagai contoh, beberapa teori
tentang integral muncul pada akhir abad ke sembilan belas dan pada awal
abad ke dua puluh generalisasi dari integral Riemann masuk dalam
kompetisi dengan yang lainnya dan akhirnya integral Lebesgue bertahan
untuk mendominasi matematika analisis. (Van Dale & Monna, 1972).
Keselektifan memunculkan suatu kriteria yang berkaitan;
Kecocokan: Kecocokan merupakan kriteria kualitas untuk menilai definisi
dan teorema dalam membentuk aksioma-aksioma dalam matematika.
Estimasi terkenal dari Stanislas Ulam yang menghasilkan 200.000 teorem
setiap tahun menjelaskan bahwa saringan sangat diperlukan.
Kenyataannya, saringan itu memang ada, sebagai contoh, pada awalnya
tidak terdapat penilaian untuk menghasilkan jurnal-jurnal yang baik, tapi
secara spontan dan secara tidak sadar berkitan dengan waktu perjuangan
untuk perbaikan dannkesesuaian ide matematika terdapat suatu seleksi.
Kreativitas matematika menjadi cara baru dalam mengatasi
kekomplekan kaitan antara konsep-konsep matematika yang rumit. Ini dilakukan
dengan mengenkapsulate struktur baru menjadi objek tunggal yang lebih mudah
untuk dimanipulasi secara mental. Akibatnya;
Ringkasan: Kreativitas matematika termasuk keahlian untuk memilih
kata – kata dan simbol yang tepat untuk merepresentasikan konsep-konsep
matematika. Kepentingan dari representasi simbolik dalam matematika
tidak diestimasi berlebihan. Simbol yang tepat memungkinkan untuk
meringkaskan beberapa aspek dalam satu konsep yang tunggal yang akan
digunakan setiap saat sebagai simbol yang muncul dalam suatu teks.
Dalam keadaan ini penggunaan simbol bebas „ dalam ruang ingatan “ yang

ada untuk digunakan selanjutnya, sampai konsep-konsep yang tidak
diketahui dan tidak jelas.
G. Hasil-Hasil dari Kreativitas Matematika
Setelah proses kreativitas matematika, terdapat beberapa kualitas dimana
ide baru muncul berkaitan dengan diterima dan dipertahankannya ide-ide tersebut
dalam komunitas matematika ayang lebih besar. McLane (1986) menyarankan
sejumlah kriteria yang dimunculkan sedemikian sehingga suatu ide dapat disebut
“ matematika yang baik”, maka haruslah:
Illuminating (Memberikan Penjelasan): Bentuk ini merupakan
karakteristik yang perlu pada kreativitas matematika. Matematika yang
baik harus menjadi penolong dalam pemahaman. Suatu hal yang tidak
jelas tidak akan menjadikan kreatif, atau kretivitas akan digunakan pada
arah yang tidak tepat, sebagai contoh urutan dalam teknik perhitungan
yang panjang. Untuk alasan yang sama dikatakan bahwa kretivitas
matematika berada pada langkah pertama (aktivitas logika ) sangat lemah.
Deep (kedalaman): Kreativitas matematika diharapkan membuka relasi-
relasi yang tersembunyi. Hasil yang mendalam tidak cukup sulit untuk
dibuktikan, tapi harus luas secara relevansi dan aplikasi.
Responsive or fruitful (Bermakna): Produk yang berhasil dari kreativitas
didasarkan pada hasil akhir dalam merespon kebutuhan saat itu. Jika
produk tersebut bertahan lama, maka akan menjadi dasar dalam
pengembangan di masa yang akan datang, dengan demikian hasil tersebut
akan menjadi bagian yang penting dalam kehidupan matematika.
Original (keaslian). Kadang-kadang terdapat suatu hal yang tidak
diharapkan dalam hasil, sesuatu hal yang baru di lapangan tetapi hanya
merupakan penyusunan kembali dari hasil yang telah diketahui, akan
menjadi keraguan yang sangat kuat berkaitan dengan pencapaian.aspek
kreatif.
H. Kekeliruan dalam Kreativitas Matematika
Karakteristik utama dari kreativitas matematika yang membedakannya dari
karakteristik umum dalam teori matematika adalah kadang-kadang timbul
kekeliruan. Hal ini mungkin termuat dalam baru dapat dibuktikan secara jelas,

atau mungkin memuat suatu kesalahan. Tidak ada jaminan bahwa teorema yang
disusun adalah benar, atau teorema tersebut telah dibuktikan secara benar. Contoh
yang sangat terkenal adalah bukti pertama dari teorema Empatt Warna, bukti
terkenal postulat kelima Euclid dan bukti terakhir dari Poincare yang terlihat
masuk akal untuk beberapa bulan yang akhirnya cacatnya ditemukan.
I. Konsekuensi dalam Pengajaran Berfikir Matematika Tingkat Tinggi
Para siswa berpendapat bahwa matematika adalah sesuatu yang logis,
tertentu, akurat, dapat dibuktikan, dan dapat dipertanggungjawabkan
penjelasannya. Tetapi kreativitas matematika tidak memenuhi satupun penjelasan
– penjelasan itu. Kreativitas matematika menawarkan perbedaan antara praktek
kerja penelitian para matematikawan dengan kerja seni para matematikawan
yang dipilih untuk generasi selanjutnya.
Terdapat beberapa syarat yang menghalangi pelaksanaan secara
keseluruhan kreativitas matematika, dimana tersebut sangat bagus untuk
dilaksanakan, khususnya yang berkaitan dengan pemahaman konteks matematika
yang sulit yang diberikan untuk pengembangan kreatif dalam memperluas materi
yang telah diketahui. Oleh karena itu kita jangan mengharapkan siswa untuk
menemukan kembali apa yang telah diperoleh berabad-abad yang lalu dan
menggabungkannnya dengan aktivitas matematika sebagai hal yang harus dicapai
oleh siswa sebagai tujuan akhir. Akan tetapi jika kita tidak mendorong mereka
untuk berpartisipasi dalam menurunkan ide matematika sebagai sesuatu yang
tidak rutin untuk dihasilkan. Kita tidak memulai untuk menunjukkan cara-cara
yang benar pada mereka tentang berfikir matematika tingkat tinggi.
Daftar Pustaka
Ervynck, G. (1991). Mathematical Creativity. in Tall, D. ( 199), Advanced
Mathematical Thinking. Pp. 42 – 53. Dordrecht, The Netherlands: Kluwer.