Gaya Geser Dan Momen Lentur

[Defleksi Balok Elastis: Metode Luas Momen]
V. DEFLEKSI BALOK ELASTIS:
METODE-LUAS MOMEN
Defleksi balok diperoleh dengan memanfaatkan sifat diagram luas momen
lentur. Cara ini cocok untuk lendutan dan putaran sudut pada suatu titik sudut saja,
karena kita dapat memperoleh besaran-besaran tersebut tanpa terlebih dahulu
mencari persamaan selengkapnya dari garis lentur. Metode luas momen
diperkenalkan oleh Saint – Venant dan dikembangkan oleh Mohr dan Greene.
Gambar 5.1. Prinsip Metoda Momen Area
65

[Defleksi Balok Elastis: Metode Luas Momen]
5.1. Teori Momen Luas Pertama
Sudut antara tangen A dan tangen B sama dengan luasan diagram M
antara kedua titik dibagi EI.
A Mdx
B
EI
Keterangan:
= sudut kemiringan
M = momen lentur dengan jarak x dari titik B
E = modulus elastisitasbalok
I = momen-area kedua
Teori ini dipergunakan untuk:
‣ Menghitung lendutan
‣ Menghubungkan putaran sudut antara titik-titik yang dipilih sepanjang
sumbu balok
5.2. Teori Momen Luas Kedua
Jarak vertikal B pada kurva defleksi dan tangen A sama dengan momen dikali
jarak (centroid area) dibagi EI.
A
B
Mxdx
EI
= defleksi
Teori momen luasan kedua berguna untuk mendapatkan lendutan, karena
memberikan posisi dari suatu titik pada balok terhadap garis singgung disuatu titik
lainnya.
5.3. Defleksi Balok Kantilever
Defleksi vertical dari sebarang titik pada balok kantilever dapat dihitung
dengan menggunakan prinsip luas momen kedua, seperti digambarkan pada gambar
berikut ini. Apabila dijelaskan dan diperlihatkan secara khusus maka semua balok
kantilever dianggap mendatar pada titik jepitan. Garis singgung ke kurva elastik
66

[Defleksi Balok Elastis: Metode Luas Momen]
pada titik jepitan juga mendatar sehingga menyederhanakan penyelesaian tipe soal
ini.
Gambar 5.2. Defleksi Balok Kantilever dengan Diagram Luas Momen
67

[Defleksi Balok Elastis: Metode Luas Momen]
Contoh-Contoh Soal Dan Pembahasannya
1. Tentukan defleksi yang terjadi pada balok dan sudut kemiringannya ().
Jawab:
a) EI = (L/2)(-PL)(2L/3) = -PL 3 /3 = -PL 3 /3EI
b) EI = (L/2)(-PL) = -PL 2 /2EI
2. Tentukan defleksi yang terjadi pada balok.
Jawab:
2
4
1 wL
3L
wL
EI L
3
2
4 8
4
wL
8EI
3. Tentukan defleksi maksimum yang terjadi pada balok.
68

[Defleksi Balok Elastis: Metode Luas Momen]
Jawab:
1 L PL 2 L 1 L 2a
PL
2 L 2
EI
Pa a
a
2
2
2
3 2 2 2 2
3 2
2 3
PL a Pa
8 6
3
3
PL 3a
4a
24EI
L L
3
4. Tentukan defleksi pada titik tengah balok.
Jawab:
1 L
w L
EI
2 2
8
4
w0L
120EI
2 L 1 L
w0
L
3 2 4 2 24
4
5 2
2
2
0
L
5. Tentukan defleksi pusat yang disebabkan oleh gaya P.
69

[Defleksi Balok Elastis: Metode Luas Momen]
Jawab:
L
4
PL
8EI
3 1 L
L
8 2 4
PL
8EI
3
L
2 L
7PL
4 3 4
384EI
6. Tentukan putaran sudut dan lendutan pada ujung bebas B dari sebuah balok
kantilever AB dengan beban terpusat P.
Jawab:
Luas diagram:
A
1
ba
1
2
L
1
PL
EI
2
PL
2EI
2
PL
b
a
A1
2EI
Garis singgung pada kurva lendutan di A adalah horizontal ( a = 0)
Maka,
2
PL
b
2EI
Lendutan b pada ujung bebas dapat diperoleh dari teori luas momen
kedua.Momen pertama dari luas diagram M/EI terhadap titik B adalah:
Q
2
2L
PL 2L
A1
3 2EI
3
1
Dari teori luas momen kedua
b
Q1
atau
3
PL
3EI
3
PL
b
3EI
7. Tentukan putaran sudut dan lendutan pada ujung bebas B dari sebuah balok
kantilever AB dengan beban merata q pada setengah panjang bagian kanan.
70

[Defleksi Balok Elastis: Metode Luas Momen]
Jawab:
Diagram momen lentur berbentuk kelengkungan parabolik dari B ke C dan garis
lurus dari C ke A. Diagram M/EI mempunyai bentuk sama, karena EI konstan.
Diagram dibagi menjadi 3 bagian dengan luas A 1 , A 2, A 3.
2
1 L qL
A
3 2
8EI
A
1
2
L qL
2
8EI
2
3
qL
16EI
3
qL
48EI
A
2
3
1 L qL qL
2 2
4EI
16EI
3
Putaran sudut b = - luas diagram M/EI
7qL
b
A
A A
3
1
2
3
48EI
Lendutan b = - momen pertama diagram M/EI terhadap B
b
( A x A
x A
) 3
1 1 2 2 3
x
x1; x2;
x3)
:
jarak dari b ke titik berat dari masing-masing luas.
71

[Defleksi Balok Elastis: Metode Luas Momen]
Jadi
b
3
qL 3L
48EI
8
3
qL 3L
16EI
4
3
4
qL 5L
41qL
16EI
6 384EI
8. Tentukan putaran sudut dan lendutan pada ujung bebas B dari sebuah balok
kantilever AB dengan beban merata q yang bekerja pada sebagian panjangnya.
Jawab:
Luas diagram M/EI: A
1
3
a
Dari teori luas momen pertama:
A
b
1
qa
2
2
1
EI
1
3
qa
6EI
3
qa
b
6EI
Titik berat diagram berjarak 3a/4 dari titik akhir pembebanan, atau
sejauh b + 3a/4 dari B.
Jadi momen pertama adalah:
Q
1
Karena b = L – a
3
a qa a qa
A b
b L a
EI
3
3 3
1
4
4 6
4 24EI
3
qa
24EI
Lendutan di ujung adalah Q
4L
a
b
1
72

[Defleksi Balok Elastis: Metode Luas Momen]
9. Sebuah balok yang panjangnya 5 m diletakkan di atas dua tumpuan seperti
pada gambar. Beban terpusat sebesar 50 kN bekerja pad ajarak 1 m dari titik A
dan beban sebesar 5 kN dikenakan pada ujung balok. Balok tersebut terbuat
dari baja dengan elastisitas 200 GPa dan momen inersia 15 x 10 6 mm 4 . Hitung
lendutan pada ujung beban D.
Jawab:
R
A
3R
3R
R
A
A
B
55kN
100
10
0
90 R
R B
25kN
A
30kN
3
90
2
A1
135m
2
2100
A2
100m
2
210
2
A3
10m
2
EI
EI
EI
EI
2
2
2
AA'
A1
3
3 A2
1
3
2 36.7
2
D'
D''
3
(36.7) 24.5
2
D''
D A3
3
2 13.3
3
DD''
EID
EI D'
D''
EI D''
D 24.5 13.3
11.2kNm
3
11.2
10
3
D
3.7 10
m 3. 7mm
9
6
20010
1510
73

[Defleksi Balok Elastis: Metode Luas Momen]
10. Sebuah logam berpenampang segiempat mempunyai modulus elastisitas E =
100 GN/m 2 dikenai pembebanan dan momen seperti pada gambar. Tentukan
defleksi di tengah balok.
Jawab:
F
y
M
0 R
A
A
0 R
R
4RB 100 RB
25kN
R A
40 25 15kN
B
B
10
4 40kN
4 10
4
2 20
2 m
20
kNm
2 m
80
kNm
60
kNm
20
kNm
I
1 3 1
4
10 5
4
12bh
12
121000
1000cm
m
Defleksi di tengah balok:
EI
2
0
Mxdx
EI
30
2
6010
EI
3
2 1
3
2
20
2 2
3
3
6010
9
10010
10
3
5
4
80 20 60kNm
0.06m
6cm
3
74

[Defleksi Balok Elastis: Metode Luas Momen]
Latihan Soal
1. Tentukan defleksi pada titik tengah balok dengan metoda Luas Momen.
2. Balok yang diperlihatkan pada Gambar di bawah ini terbuat dari penampang
baja berukuran 20 × 30 mm. Hitunglah sudut θ AB antara garis singgung ke
kurva elastik balok ini pada titik A dan B (ujung kiri dan pusat).
3. Suatu balok pipa baja standar dengan diameter 70 mm dan E = 300 GN/m 2 .
Dengan menggunakan metode Luas Momen, hitunglah defleksi maksimum di
ujung kanan.
75

[Defleksi Balok Elastis: Metode Luas Momen]
4. Balok kantilever berikut ini terbuat dari papan kayu kasar berukuran 50 × 400
mm diletakkan mendatar dan dijepit kaku di B. Hitunglah defleksi maksimum δ
di A apabila E = 200 GN/m 2 dan I = 4.2 × 10 6 mm 4 . Gunakan Metode Luas
Momen Kedua.
5. Apabila balok pada soal nomor 2 dibebani secara simetris. Hitunglah :
a) Defleksi maksimum δ di tengah balok
b) Lendutan di titik acak D, 1 m dari ujung kiri
Jika Anda tanam jagung, Anda akan
panen jagung. Jika Anda menanam
waktu, Anda akan panen waktu.
(Doug Wead)
76