TS Transpor Polutan - istiarto

Transpor Polutan 

Persamaan Konveksi – Difusi 

Penyelesaian Analitik 

Referensi 

Graf and Altinakar, 1998, Fluvial Hydraulics: Chapter 8, pp. 517-609, J. 

Wiley and Sons, Ltd., Sussex, England.

Teknik Sungai Transpor Polutan 4-2


• More stories on Harbin’s Songhua River 

pollution 

• http://www.gov.cn/english/2005- 

11/25/content_108891.htm 



• Mekanisme penyebaran polutan di sungai 

• Difusi 

• Konveksi 



Difusi 

• Dalam bhs. matematis, difusi dituliskan sbb. 

q 

q 

f 

k 

f 

c f 

k 

c 

f 

x 

i 

q 

f 

k 

grad 

c 

f 

difusi gradien 

• k = konstanta = koefisien difusi = difusiviti 

• k merupakan parameter karakteristik fluida 

(polutan) 

• k bergantung pada temperatur dan tekanan 


Difusi 

• Sifat proses difusi 

• Tidak dapat kembali (irreversible) 

• Mengakibatkan kehilangan/peredaman energi 

• Contoh difusi 

• Difusi massa 

• Difusi panas 

• Difusi momentum (ist: ingat Pers. Navier- 

Stokes?) 


Difusi 

• Difusi massa Fick’s law 

q 

m, 

i 

 

Teknik Sungai Transpor Polutan 4-9 

m 

c 

x 

• Difusi panas Fourier’s law 

q 

h 

i 

T 

 

, i 

ah 

Cp 

Cp 

konstan 

x 

• Difusi momentum Newton’s law 

q 

mt 

i 

Vi 

, ij 

ij 

 

konstan 

x 

j

Konveksi-Difusi 

• Bahasan: hanya transpor massa 

• Apabila air sungai bergerak (mengalir) maka terjadi proses 

konveksi 

• Penyebaran polutan, dengan demikian, didorong oleh 

• beda konsentrasi (gradien) difusi 

• aliran konveksi 

c 

t 

V 

grad 

c div 

c = konsentrasi (lokal) 

 

grad m 

c 



• Jika ditulis dalam koordinat Cartesius, maka 

c 

t 

uc 

 

x 

vc 

 

y 

wc 

 

z 

untuk m = konstan 

 

m 

2 

c 

 

2 

x 

2 

c 

2 

y 

2 

c 

 

 

2 

z 

 

• Jika air sungai tak mengalir, kecepatan nol, terjadi 

difusi saja, tanpa konveksi 

c 

t 

 

m 

2 

c 

 

2 

x 

2 

c 

 

2 

y 

2 

c 

 

 

2 

z 

 


Konveksi-Difusi (Turbulen) 

• Aliran di sungai aliran turbulen 

c 

 

c 

c 

u 

 

u 

u 

v 

 

v 

v 

w 

 

w 

 

w 

• Konveksi-difusi dalam aliran turbulen 

c 

t 

V 

grad 

c 

 

div 

 

 

 

m 

 

t 

 

grad 

c 

umumnya t >> m 


Konveksi-Difusi (Turbulen) 

• Ditulis dalam koordinat Cartesius 

c 

t 

 

uc 

x 

 

vc 

y 

 

wc 

z 

 

 

x 

 

 

 

tx 

c 

x 

 

 

 

 

y 

 

 

 

ty 

c 

y 

 

 

 

 

z 

 

 

 

tz 

c 

z 

 

 

 



Persamaan Difusi 

• Persamaan difusi 1D (tanpa konveksi, V = 0), ditulis dalam 

sistem koordinat Cartesius 

c 

t 

 

m 

2 

c 

2 

x 

• karena tidak ada aliran, V = 0, maka t = 0 

• yang terjadi adalah difusi murni 

• dengan syarat batas dan syarat awal berikut 

c 

, t 0 cx, 0 M x 

1 

• dimana M 1 adalah massa per satuan luas [kg/m 2 ] yang 

dimasukkan secara sekaligus dan tiba-tiba (instantaneous source) 

• M 0 = M 1 S 

M 0 adalah massa total yang dimasukkan secara tiba-tiba dan di 

suatu titik, sedang S adalah luas permukaan 




• (x) adalah fungsi delta Dirac dimana nilainya sama 

dengan nol kecuali di x = 0 

 

 

 

x 

d x 1 

• Ingat, massa total M 0 harus tetap sama sepanjang waktu 

yang ditinjau 

 

 

 

c 

 

x, td 

x cx,0 d x M1 x d x M1 

 

 

 

 

 




• Penyelesaiannya adalah sbb. 

c 

M 1 

x, 

t exp 

 

4 

t 

4m 

t 

m 

 

• Penyelesaian tsb menunjukkan difusi suatu massa, M 0 

• yang dimasukkan secara tiba-tiba di satu titik 

• menyebar menurut distribusi Gauss Normal dan 

simetris ke arah sumbu x 

x 

2 

• konsentrasi maksimum, di x = 0, berkurang seirama 

dengan waktu 

 





• Penyelesaian tsb dapat pula ditulis sbb. 

c 

M 

1 

x, 

t exp 

 

 

2 

x 

2 2x 

 

 

x 

• Untuk suatu distribusi normal, varian distribusi adalah: 

2 

x 

t 

 

2 

m 

t 

• 95% luas daerah di bawah kurva distribusi normal 

W 

21,96x 

x 

4 

2 

 




• Koefisien difusi dapat dihitung dengan 

 

m 

 

1 

2 

d 

dt 

2 

x 

 

1 

2 

 

2 

x 

t 

2 

 

t 

2 

 

t 

1 

2 

x 

 

t 

 

1 

• Persamaan di atas dapat dipakai untuk menetapkan koefisien difusi 

dengan pengukuran deviasi standar di suatu titik x pada dua waktu 

yang berbeda t 1 dan t 2 




• Penyelesaian persamaan difusi 2D 

c 

 

x, 

y, 

t 

 

 

 

 

 

M 

x 

exp 

 

2 

 

x 

2 

 

 

 

 

M 

y 

exp 

2 

 

 

 

2 

2 

x 

2x 

 

y 

2 

y 

y 

2 

 

 

 

 

• Untuk medium homogen, x = y = 

c 

 

x, 

y, 

t 

 

 

 

2 

 

 

exp 

 

 

2 2 

M t 

2 

t 

2 

m 

 

2 

2 

2 

x y 

2 

 

 

 

M 2 

M 0 

L 




• Penyelesaian persamaan difusi 3D 

c 

 

x, 

y, 

z, 

t 

 

M 

 

exp 

 

2 

3 

 

2 

 

3 

2 

2 

 

r 

 

r 

2 

 

x 

2 

 

y 

2 

 

z 

2 

M3 

M 0 




• Difusi di suatu medium yang dibatasi dinding 

c 

 

x, 

t 

 

 

 

exp 

 

 

 

exp 

 

 

 

2 L 

2 

2 

M1 

x 

p 

 

2 

2 

x 

2 

2x 

2x 

x 

 

2 

 

 

 

 

 

• Konsentrasi di dinding 

c 

p 

 

exp 

 

 

2 

2 M L 

2 

p 

 

2 

x 

2 2x 

 

 

 

 





• Apabila massa M 0 dimasukkan secara terus-menerus 

(kontinu) di x = 0 

2 

c 

c 

 

2 

t 

m x 

• dengan syarat batas dan syarat awal berikut 

c 

c 

c 

x 

0, 

t 0 c0 

x , t 0 0 

x 0, 

t 0 0 




• Penyelesaian persamaan tersebut adalah sbb. 

c 

 

 

x, t c0 

 

erfc 

 

x 

4 

m 

t 

 

 

 

• complementary error function 

erfc 

2 

 

 

 

 

e 

 

2 

d 

• dapat menggunakan fungsi yang tersedia di MS Excel 

• =ERFC(…) 




dalam Regime Turbulen 

c 

t 

uc 

 

x 

vc 

 

y 

wc 

 

z 

 

 

x 

 

 

 

c 

x 

 

 

 

 

y 

 

 

 

c 

y 

 

 

 

• Koefisien difusi merupakan besaran tensorial 

• koefisien difusi longitudinal 

• koefisien difusi transversal 

• koefisien difusi vertikal 

 

, , 

t 

 

tx 

ty 

tz 

 

tx 

ty 

 

z 

 

 

 

tz 

c 

z 

 

 

 




• Koefisien difusi vertikal 

 

tz 

u 

 

z 

h 

 

h 

z 

• Koefisien difusi vertikal 

rata-rata kedalaman 

tz 0, 067 

• Difusi vertikal mencapai seluruh kedalaman 

setelah difusi mencapai jarak L z tertentu atau 

setelah waktu t z tertentu, dimana 

L 

z 

 

z 

U 

h 

 

2 

tz 

t 

z 

 

kecepatan ratarata 

kedalaman 

z 

h 

 

2 

tz 


 

hu 

 

 

kecepatan geser 

kedalaman aliran 

= 0,1 jika polutan dimasukkan di 

tengah kedalaman aliran 


dasar sungai



• Koefisien difusi transversal 

• di flume • di sungai 

ty 0, 15 

 

hu 

 

 

ty 0, 6 

 

hu 

 

 

• Difusi vertikal mencapai seluruh lebar 

sungai, B, setelah difusi mencapai jarak L y 

tertentu atau setelah waktu t y tertentu, dimana 

kecepatan geser 

kedalaman aliran 

L 

y 

 

y 

U 

B 

 

2 

ty 

t 

y 

 

kecepatan ratarata 

kedalaman 

y 

B 

 

2 

ty 


tengah (separuh lebar) sungai 


tepi sungai 




• Koefisien difusi longitudinal 

tx 0, 23 

 

hu 

 

 

• Difusi longitudinal karena turbulensi umumnya tidak 

begitu diperhatikan mengingat pengaruh dispersi 

(koefisien dispersi, K x ) lebih dominan 

• Dispersi terjadi karena adanya variasi besaran kecepatan 

(distribusi kecepatan) beda kecepatan antara kecepatan 

rata-rata dan kecepatan di suatu titik 

U 

U 

U 


far-field zone 

of mixing 

mid-field zone 

of mixing 

near-field zone 

of mixing 


Difusi Transversal 

• Persamaan konveksi-difusi dalam aliran turbulen, dimana 

V(u,0,0) = U 

c 

t 

U 

• Apabila: 

c 

x 

 

tx 

2 

c 

 

2 

x 

ty 

2 

c 

2 

y 

2 

c 

2 

z 


 

• sumber polutan kontinu dan transpor polutan dianggap permanen 

• difusi longitudinal diabaikan 

• difusi vertikal telah tercapai 

maka: 

U 

C 

x 

 

2 

C 

2 

y 

ty 

tz 

C = konsentrasi rata-rata kedalaman 

(depth intergrated average)

Difusi Transversal 

• Penyelesaian apabila sungai sangat lebar adalah: 

C 

u 

G 

0 

x, 

y 

exp 

h 4 

xU 4ty 

x 

ty 

 

• Penyelesaian apabila lebar B membatasi: 

C 

 

y 

2 

U 

 

G0 M0 

t 

x, 

y C 

u 

x, 

y y0 Cu 

x, 

2nB 

y y0 

 

N 

n1 

lokasi asal polutan 

[kg/s] 

debit polutan, merata di 

seluruh kedalaman h 



Dispersi 

C 

t 

U 

C 

x 

 

 

x 

 

 

 

C 

x 

 

 

K 

 

 

tx 

x 

 

tx 

 

K 

 

x 

K 

x 

Aliran permanen dan seragam, K x = konstanta 

C 

t 

C 

U 

K 

x 

2 

C 

2 

x 

x 

Berlaku setelah difusi vertikal dan transversal tercapai 

setelah 

t 

y 

 

y 

U 

B 

 

2 

ty 

atau setelah 

L 

y 

 

y 

B 

 

2 

ty 


Koefisien Dispersi 

• Saluran segi empat sangat lebar, R h = h 

 

K x 

6 hu 

• Sungai 

2 2 

B U 

K x 

0,011 

hu 

 

 

• Saluran, sungai dimana terdapat distribusi kecepatan ke 

arah vertikal maupun ke arah transversal 

140 K 500 

x 


Dispersi Longitudinal 

• Persamaan dispersi longitudinal 

C 

t 

C 

U 

K 

x 

2 

C 

2 

x 

x 

• yang berlaku dalam kondisi: 

• konsentrasi polutan merata di seluruh tampang 

• di far-field zone of mixing 

L 

y 

 

y 

B 

 

2 

ty 



• Polutan M 0 dimasukkan secara merata di suatu tampang 

dan secara tiba-tiba 

C 

 

x, 

t 

 

 

M 1 

x U t 

exp 

 

4 

K t 4 K 

x 

t 

x 

 

 

2 

 

 

 

M 

1 

M0 

S 

[kg/m 2 ] 

C 

max 

t 

 

 

M 

1 

4 

K 

x 

t 

1 

 

M 

4 

K 

1 

x 

x 

U 

sumber polutan merata di 

seluruh tampang 

konsentrasi maximum (bergerak 

dengan kec. U, dan berkurang 

seiring waktu t) 



c 


dan selama waktu tertentu T 

• dapat dilihat spt satu seri polutan yang dimasukkan secara 

berurutan, masing-masing dalam waktu yang sangat kecil 

C 

i 

 

x, 

t 

 

 

m i 

M 0 

 

T 

x, 

t C 

x, 

t 

 

S 

 

m 

4 

K 

1 

i 

x 

 

t 

 


i 

 

 

exp 

 

 

x U 

4 K 

x 

 

 

t i 

t 

n 

n 

 

i 

i 

 

exp 

i1 S 4 

K 

x i1 

t 

i 

4 

m 

 

 

 

i 

 

2 

 

 

x U 

K 

x 

 

 

t i 

t 

i 

 

 

2



dan terus-menerus (kontinu) serta konstan 

C 

 

C0 

x, t 

 

2 

U x 

 

 

x U t 

 

x U t 

exp 

 

erfc erfc 

 

K 

x 4 K 

x 

t 4 K 

x 

t 

 

 

 

C konstanta 

0 

pada saat t 

erfc(+) = 0 

erfc() = 2 

C 

C 

0 

C 

C 

0 

1 

U exp 

 

K 

jika U(x) positif 


x 

x 

 

 

 

jika U(x) negatif



The End

TS Transpor Polutan - istiarto

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template?