Bagian A (Pdf) - Yohanes Surya.com

v pθv p cos θBAα1.9. Sebuah perahu hendak menyebrangi suatu sungaidengan kecepatan 2 kali kecepatan aliran sungai.Tentukan pada sudut berapa perahu itu harus diarahkanagar pengaruh arus dapat dikurangi sebanyak mungkin!v aJawab: Anggap kecepatan arus v adan kecepatan perahuv p= 2v a.Dari gambar terlihat bahwa pengaruh arus akan seminimummungkin jika perahu dapat bergerak dari A ke B tegak lurus arus.Agar ini dapat terjadi, maka v pcos θ harus sama dengan v a.v pcos θ = v a∆y(x 1 ,y 1 )∆x60 o(x 2 ,y 2 )cos θ = v vapθ = 60 o= 1 2Jadi perahu harus diarahkan pada sudut α = 180 o − 60 o = 120 oterhadap arah arus.1.10. Dua batu dilemparkan dari suatu titik. Batu pertama dilemparkanvertikal sedangkan batu kedua dengan sudut elevasi 60 o . Kecepatan mulamulakedua batu 25 m/s. Hitung jarak kedua batu itu setelah 1,7 detik!Jawab: Anggap posisi kedua batu setelah 1,7 detik adalah (x 1,y 1)dan (x 2,y 2).Dari gambar diperoleh bahwa:∆x = x 2− x 1∆y = y 2− y 1Jarak kedua titik dapat dicari dengan rumus Phytagoras:2 2s = ∆x+ ∆yBesar x 1, y 1, x 2dan y 2diperoleh dari rumus berikut:x 1= 0x 2= v 0cos 60 o ty 1= v 0t − 1 2 gt2y 2= v 0sin 60 o t − 1 2 gt2Dengan memasukkan data yang diketahui kita peroleh s = 22 m.1.11. Dua peluru bergerak dalam suatu medan gravitasi. Percepatan gravitasig arah vertikal ke bawah. Kedua peluru ditembakkan dengan arahmendatar saling berlawanan dari satu titik pada ketinggian tertentu.Kecepatan masing-masing peluru v 0A= 3 m/s dan v 0B= 4 m/s. Hitungjarak kedua peluru ketika kedua vektor kecepatannya saling tegak lurus!6Mekanika I

4-6 detik: a = -1 m/s 2 (dipercepat)6-7 detik: a = +2 m/s 2 (diperlambat)7-8 detik: a = 0"Tambah lamaTambah asyiikbelajar fisika euuiiy...."a101 4S0 2 4 8t0 1 5tAθAUntuk menggambar S(t) kita harus perhatikan lengkung kurva(tergantung dari tanda percepatannya).1.15. Sebuah titik melintasi setengah lingkaran berjari-jari 2 m selama 10detik dengan laju konstan. Hitung besar kecepatan rata-rata titik ini.Berapa laju titik ini? Berapa besar percepatan rata-rata titik ini?BJawab: Mula-mula titik berada di A dan posisi akhirnya di B.Perpindahan titik adalah 2R (jarak yang ditempuh titik adalah πR).Jadi kecepatan rata-rata titik adalah:(v ) = 2R = 2 ⋅ 2 = 0,4 m/st 10Kecepatan rata-rata ini arahnya mendatar. (Mengapa?)Laju titik ini:v = πR = 2 π = 0,63 m/st 10Percepatan rata-rata adalah perubahan kecepatan dibagi waktu.Mula-mula kecepatan arah ke atas (titik A) dan setelah itu arah kebawah (titik B), nilai perubahan kecepatan adalah 2v. Jadi nilaipercepatan rata-ratanya 2v t = 0,126 m/s2 .1.16. Sebuah benda dilontarkan dari permukaan bumi dengan sudut elevasiθ dan dengan kecepatan awal v 0. Abaikan hambatan udara, hitung:a) waktu agar benda sampai ke permukaan bumi lagi!b) tinggi maksimum dan jangkauan mendatar! Pada sudut berapakedua besaran ini sama besar?c) y(x)!d) jari-jari kelengkungan kurva di titik awal dan titik puncak!BJawab:a) Anggap waktu dari A ke B adalah t 1.y B= y A+ v 0ysin θ t 1− 1 2 g t 12R = v 0xt 1Mekanika I 9

Masukkan nilai y A= 0 dan y B= 0, kita akan peroleh:t 1= 2 v0sinθgb) Jangkauan AB dihitung dengan:x AB= v 0xt 1= 2 v0 2= v 0 2 sin 2θgsinθcosθgWaktu untuk mencapai tinggi maksimum adalah:Tinggi maksimum:y maks= v 0yt 2– 1 2 g t 22( )= v sin θ2g0 2 2( )t 2= 1 2 t 1 = v 0 sinθgTinggi maksimum akan sama dengan jangkauan AB pada tan θ = 4(gunakan y maks= x AB).c) x = v 0xt atau tx= . Substitusi nilai t ini pada rumus( v cosθ )0y = v 0yt – 1 2 gt2 , untuk memperoleh,y = x tan θ −gx22vcos θ0 2 2v 0F (sentripetal)θθd) Jari-jari kelengkungan di titik awal dapat dihitung dengan rumusa = v 2 /R 1F s= mg cos θatauR 1=vg cosθ0 2Jari-jari kurva di titik tertinggi:mgv xataux 2mg = mv2RR 2= vcos θg0 2 210Mekanika I

1.17. Viskositas η suatu gas tergantung pada massa, diameter efektif dankecepatan rata-rata molekul. Gunakan analisa dimensi untukmenentukan rumus η sebagai fungsi variabel-variabel ini!Jawab: Anggap bahwa: η = km α d β v γdimana k, α, β, dan γ merupakan konstanta tanpa dimensi, m massaberdimensi M, d diameter berdimensi L dan v kecepatan rata-ratamolekul berdimensi LT -1 .Karena dimensi viskositas adalah ML -1 T -1 maka:ML -1 T -1 = M α L β (LT -1 ) γDengan menyamakan pangkat pada tiap dimensi, kita peroleh:Sehingga kita akan peroleh:α = 1; β = -2; γ = 1η = k ( mv) d 21.18. Gunakan metode dimensi untuk memperoleh rumus gaya angkat pesawatper satuan panjang rentangan sayap pesawat. Pesawat bergerak dengankecepatan v melalui udara dengan kerapatan ρ. Nyatakan rumusnyadalam l,v dan ρ (l adalah lebar sayap)!Jawab: Anggap gaya per satuan panjang rentangan adalah F.F = kl α v β ρ γKarena dimensi gaya MLT -2 , maka dimensi gaya persatuan panjangadalah: MT –2 . Jadi:MT -2 = L α (LT -1 ) β (ML -3 ) γDengan menyamakan pangkat pada tiap besaran, kita peroleh:γ = 1β = 2α + β − 3γ = 0 atau α = 1Sehingga rumus gaya angkat per satuan panjang adalah:F = klv 2 ρ1.19. Tentukan rumus kecepatan bunyi jika kecepatan ini tergantung padatekanan P dan massa jenis udara ρ!Jawab: Gunakan metode seperti soal 1.18. Silahkan buktikan bahwa :v = k⎛ P ⎞⎜⎝ ρ ⎠2⎟1"Berlatihlah..Suksesmenantimu...."Mekanika I 11

1.20. Perioda suatu bandul tergantung pada panjang tali dan percepatangravitasi. Tentukan rumus perioda bandul ini!Jawab: Silahkan buktikan bahwa :T = kl 1⎛ ⎞ 2⎜⎝ g⎟⎠(l = panjang tali; g = percepatan gravitasi)1.21. Sebuah mobil dipercepat dari keadaan diam dengan percepatan α.Setelah itu mobil diperlambat dengan perlambatan β hingga berhenti.Total waktu yang dibutuhkan adalah t detik. Berapa jarak yang ditempuhmobil ini?Jawab: Anggap waktu selama mobil dipercepat hingga mencapaikecepatan v adalah t 1dan selama diperlambat t 2.Pertama buktikan bahwat 1= v α ; t 2= v βdant = t 1+ t 2Misalkan jarak yang ditempuh selama dipercepat s 1dan selamadiperlambat s 2. Silahkan buktikan bahwa,s 1= v 2 2α ; s 2 = v2 2βdans = s 1+ s 2Dari persamaan-persamaan ini kita peroleh:s = 1 αβ2 t2( α + β )1.22. Sebuah batu dijatuhkan dari ketinggian h. Setelah t detik batu keduadijatuhkan kebawah dengan kecepatan u. Apa kondisi agar kedua batumencapai tanah bersama-sama?⎛ 2 h ⎞Jawab: Batu pertama akan mencapai tanah setelah waktu: t 1= ⎜⎝ g⎟ .⎠Waktu yang diperlukan agar batu kedua bersamaan jatuh ke tanah :t 2= t 1– tGunakan rumus h = ut 2+ 1 2 g t 2 2 kita akan peroleh:h = gt282⎛ 2u− gt ⎞⎜⎝ u − gt⎟⎠Jadi kondisi agar dua batu tiba bersama-sama adalah:8h(u − gt) 2 = gt 2 (2u − gt) 21 212Mekanika I

1.23. Dua benda sedang bergerak dengan kecepatan v 1dan v 2. Ketika merekasaling berhadapan jarak mereka bertambah dekat 4 meter tiap detik.Ketika mereka bergerak searah jarak mereka bertambah dekat 4 metertiap 10 detik. Hitung v 1dan v 2!Jawab:v 1+ v 2= 4v 1– v 2= 0,4Dari sini kita peroleh: v 1= 2,2 m/s dan v 2= 1,8 m/s.1.24. Ketika hari hujan, air hujan turun vertikal dengan kecepatan 30 m/s.Kemudian angin bertiup dengan kecepatan 10 m/s dari timur ke barat.Ke arah mana seseorang harus mengarahkan payungnya agar tidakkehujanan?Jawab: Payung harus diarahkan sesuai dengan arah jatuh air. Silahkanbuktikan.tan θ = 1 3θ = sudut air hujan dengan vertikal.1.25. Dua kapal laut terpisah pada jarak 20 km pada garis selatan utara.Kapal yang lebih utara bergerak ke Barat dengan kecepatan 30 km/jam.Kapal lain bergerak ke Utara dengan kecepatan 30 km/jam. Berapajarak terdekat kedua kapal itu? Berapa lama waktu yang diperlukanuntuk mencapai jarak terdekat ini?Jawab:v aAAGambar kiri adalah keadaan sebenarnya. Sedangkan gambar kanankita anggap B diam dan A bergerak relatif terhadap B. Dapat kitabuktikan bahwa ∠CAB = 45 o sehingga jarak terdekat adalah jarakCBC yaitu 10 2 m.v bBBKecepatan relatif A terhadap B adalah 302 km/jam (silahkanbuktikan) sehingga waktu yang diperlukan adalah t = s v = 20 menit(silahkan buktikan!).1.26. Sebuah kereta bergerak dengan kecepatan konstan 60 km/jam. Mula-mulaia bergerak ke timur selama 40 menit kemudian pada arah 45 o selama20 menit dan akhirnya ke barat selama 50 menit. Berapa kecepatanrata-rata kereta ini?Kecepatan rata-rata = perpindahan waktu .Perpindahan arah x:s x= 40 + 102 – 50 kmMekanika I 13

Perpindahan arah y:S y= 102 km2 2x yS = S + St= 40 + 20 + 50 = 110 menitDari sini kita peroleh v ≈ 8 km/jam.1.27. Sebuah senapan diarahkan pada sudut 45 o terhadap horizontal kesebuah mobil yang sedang bergerak dengan kecepatan 72 km/jammenjauhinya. Saat itu mobil berjarak 500 m. Hitung jarak mobil darisenapan ketika peluru mengenai mobil itu! Hitung juga kecepatan peluru!g = 9,8 m/s 2 .Jawab:Mula-mula mobil berada di B.ABC2Jarak AC = v gWaktu dari A ke C: t =(silahkan buktikan!).Karena AC = AB + BC, maka:2vg= 500 + 20 2vg2g vDari sini kita akan peroleh v = 85,6 m/s dan AC = 747 m.1.28. Dua peluru dengan jangkauan R membutuhkan waktu t 1dan t 2untukmencapai ketinggian semula. Buktikan bahwa t 1t 2= 2R/g!Jawab:R = v cos θt atau cos θ = R vtR(t = 2v sinθ ) atau sin θ =gtg2vGunakan rumus cos 2 θ + sin 2 θ = 1, kita akan peroleh;g 2 t 4 − 4v 2 t 2 + 4R 2 = 0selesaikan persamaan ini untuk memperoleh t 1dan t 2. Setelah itudapat ditunjukkan dengan mudah bahwa t 1t 2= 2R g .1.29. Dari suatu titik pada ketinggian h peluru diarahkan dengan kecepatanu dengan sudut elevasi a. Peluru lain B diarahkan dari tempat yangsama dengan kecepatan u tetapi arahnya ke bawah berlawanan dengan A.Buktikan bahwa jarak kedua peluru ketika mengenai tanah adalah:14Mekanika I

UαUP QB O C A2 2R = 2 u cosαu sin α + 2 ghgJawab:Untuk menyelesaikan soal ini anda bisa gunakan berbagai cara.Gunakan kreativitas anda untuk menyelesaikan soal menarik ini.Salah satu cara adalah Anda menghitung dulu jarak PQ kemudianjarak CA dan BO.Dari sini kita akan dapatkan hasil yang diminta (silahkan coba, initidak sukar kok...!).1.30. Hitung percepatan yang timbul pada sistem dalam gambar! Anggapkatrol licin. Hitung tegangan tali antara benda 1 dan benda 2! Koefisiengesekan antara permukaan benda adalah µ.Jawab:m 0g − T 1= m 0aT 1ama0 gm 2 m 1m 0T 1− T 2− µm 1g = m 1aT 2 T 1afT 2− µm 2g = m 2aT 212αKetiga persamaan di atas dapat diselesaikan untuk mendapatkan:a = m 0 g − µ ( m 1 + m 2 ) gm + m + m0 1 2(T 2= 1 + µ ) m0m2gm + m + m0 1 21.31. Dua balok 1 dan 2 diletakkan pada bidang miring dengan sudut miring α.Massa balok masing-masing m 1dan m 2. Koefisien gesekan antarabidang miring dan balok masing-masing µ 1dan µ 2. Hitung gaya kontakdan sudut minimum bidang miring dimana balok mulai bergerak!fMekanika I 15

FfJawab:a) Koefisien gesek balok 1 harus lebih besar atau sama dengan balok2 (mengapa?).m 1g sin α + F − µ 1m 1g cos α = m 1am 1 g sin αfm 2g sin α − F − µ 2m 2g cos α = m 2am 2 g sin αFDari kedua persamaan diatas kita peroleh:(F = µ 1 − µ 2 ) m1m2gm + m1 2cosαb) Sudut minimum bidang miring adalah sudut terkecil dimana sistemakan bergerak. Dari gambar berikut, kita peroleh:m 1g sin α + m 2g sin α − µ 1m 1g cos α − µ 2m 2g cos α = (m 1+m 2)•a = 0Dari persamaan diatas kita peroleh:tan α = µ m + µ mm + m1 1 2 21 2T21.32. Pada sistem di bawah ini tentukan perbandingan m 2/m 1ketika:a) benda m 2mulai bergerak ke bawahb) benda m 2mulai bergerak ke atasc) benda m 2diamAbaikan massa katrol dan tali. Koefisien gesekan antara dua permukaanm dan sudut bidang miring α.m 1 m 2f1Jawab:a) Pada saat benda m 2bergerak ke bawah, makagesekan pada m 1kebawah (arah gaya gesek selaluberlawanan arah gerak).T − µm 1g cos α − m 1g sin α > 0Selesaikan kedua persamaan di atas kita peroleh:Tmm21m 2g − T > 0> µ cos α + sin α16Mekanika I

21b) Pada kasus ini gaya gesek pada m 1mengarah ke atas.-T − µm 1g cos α + m 1g sin α > 0µm 1 g cos αT − m 2g > 0Selesaikan kedua persamaan di atas kita peroleh:m2< -µ cos α + sin αm1c) Untuk kasus ini kita gabungkan kasus 1 dan kasus 2, hasilnya adalah:m1sinα − µ cosα ≤ ≤ sin α + µ cosαm2T1.33. Pada soal sebelumnya anggap m 1= 1,5 m 2. Hitung percepatan sistem!Koefisien gesekan 0,1 dan α = 30 o .Tm 2 g − T = m 2 aJawab: Dengan data-data yang diberikan, kita harus cek dulu apakahbenda m 2bergerak ke bawah atau ke atas.Silahkan Anda buktikan bahwa m 2bergerak ke bawah (kasus a padasoal sebelumnya).T − µm 1g cos α − m 1g sin α = m 1am 2g − T = m 2 a1Selesaikan kedua persamaan diatas, kita akan peroleh:( )a = m 2 − m 1 sinα − µ m 1 cosαgm + m1 2Dengan memasukkan nilai-nilai yang diberikan, kita peroleh bahwa a ≈ 0,05g.1.34. Benda 1 bermassa m 1diletakkan diatas benda 2 yang bermassa m 2.Benda 2 ditarik oleh gaya F = bt (gaya ini semakin lama semakinbesar dengan berjalannya waktu t). Hitung percepatan masing-masingbenda sebagai fungsi waktu jika koefisien gesekan antara kedua bendaadalah µ! Gambarkan hasil yang diperoleh ini! Lantai licin.2Jawab: Mula-mula (ketika t kecil), gaya F kecilsehingga kedua benda akan bergerak bersamaan.Ketika t > t 0gaya F sudah sangat besar sehinggapercepatan benda 2 akan lebih besar dari benda 1.1 dan 2bergerakbersama2 bergeraklebih cepat0 t 0Mekanika I 17

• t < t 0(a 1= a 2= a)F = (m 1+ m 2)aa =mF+ m1 2=• t > t a(a 1 ≠ a 2)bt − µm 2g = m 2a 2µm 2g = m 1 a 1btm + m1 21 f2a 1= µm 2 gm1a 2= bt − µ m 2 gmGrafik percepatan sebagai fungsi waktu:af20 t 0a 2a 1tαTβ1.35. Suatu benda bermassa m terletak di bidang miring dengan sudut miring α.Benda ini ditarik oleh benang dengan tegangan T yang membentuksudut β dengan permukaan bidang miring. Hitung β agar tegangan Tminimum!Jawab: Tegangan T minimum ketika benda diam.Persamaan gerak:Arah tegak lurus bidang miring:N = mg cos α − T sin βArah sejajar bidang miring:ataumg sin α = T cos β − µNT =mg ( sinα + µ cos α )cos β + µ sin β18Mekanika I

Anggap µ = tan θ. Sehingga persamaan di atas boleh ditulis:T =mg ( sin α + µ cosα ) cosθcos ( β − θ )T akan minimum jika cos (β − θ) = 1 atau β = θ. Sesuai dengananggapan kita µ = tan θ = tan β.Masukkan nilai tangen ini pada persamaan T, kita akan peroleh;T =mg ( sin α + µ cosα)1 + µ21.36. Suatu balok dan motor listrik terletak padabidang datar kasar (koefisien gesekan µ). Seutastali diikat pada balok dan dililitkan pada porosmotor listrik. Mula-mula jarak antara balok danmotor listrik adalah L. Ketika motor dihidupkan, balok mulai bergerakdengan percepatan konstan a. Kapan kedua benda akan bertabrakan(m balok= 2m motor)?T − µm 1 g = m 1 aJawab: a 1= aPercepatan relatif kedua balok adalah:fTTfT − µm 2 g = m 2 aa r= a 1+ a 2Boleh dibayangkan bahwa kedua benda salingmendekat dengan percepatan a r. Waktu yangdiperlukan untuk kedua benda bertemu dihitungdengan rumus: S = 1 2 a r t2 .Karena m 1= 2m 2maka:t =2Sa r=2Lµ g + 3a1.37. Sebuah katrol tergantung pada langit-langit suatu lift.Pada katrol itu terdapat beban m 1dan m 2. Jika liftbergerak naik dengan percepatan a odan abaikan massakatrol dan tali, hitung percepatan m 1relatif terhadaptanah dan relatif terhadap lantai lift!TJawab:12T − m 1g = m 1a 1m 1 gMekanika I 19

Tm 2g − T = m 2a 2m 2 gPerhatikan bahwa a 1dan a 2diukur dalam kerangka inersial (dalamhal ini adalah tanah).Jika percepatan benda 1 dan 2 relatif terhadap katrol adalah a danpercepatan lift adalah a 0maka,a 1= a + a 0a 2= a – a 0Dari kedua persamaan ini kita peroleh:a =( m − m ) ( g + a )2 1 0m+ m1 2Percepatan m 1relatif terhadap tanah diperoleh denganmensubstitusikan a pada persamaan berikut:a 1= a + a 0a1=( ) +m − m g 2m a2 1 1 0m+ m1 21.38. Tentukan percepatan benda 2 pada susunanberikut! Anggap massa benda 2 adalah η kalimassa benda 1 dan sudut bidang miring samadengan α. Abaikan massa katrol dan tali, sertagesekan.Jawab:α12T 1m 1 g sin αT 2T 1− m 1g sin α = m 1a 1m 2 gm 2g − T 2= m 2a 2Karena katrol tidak bermassa maka, T 1= 2T 2.Ketika benda 1 bergerak L benda 2 telah bergerak 2L, jadi: a 2= 2a 1.Dengan menggunakan m2 m1 kita akan peroleh:= η dan selesaikan persamaan diatasa 2= 2 ( 2 η − sin α ) g4η+ 120Mekanika I