Bagian C - Yohanes Surya.com

Jawab: Pada tumbukan tidak elastik, setelah tumbukan kedua bendaakan bergerak dengan kecepatan sama.atau,(m 1+ m 2)v = m 1v 1 + m 2 v 2v = m v mm v +1 1 2 2+ m1 2Dengan memasukkan nilainya, kita peroleh:v = 1,0 i + 2,0 j − 4,0k Besar kecepatannya: v = 4,6 m/s1.88. Tentukan perubahan energi kinetik dari suatu sistem yang terdiri dari duabenda masing-masing bermassa m 1dan m 2yang bertumbukan secara tidaklenting sama sekali, bila kecepatan awal benda-benda ini adalah v 1dan v 2!Jawab: Pada tumbukan tidak elastik, kecepatan sesudah tumbukandari kedua benda sama besar.Hukum kekekalan momentum:Energi kinetik awal sistemEnergi kinetik akhir sistemPerubahan energi kinetik(m 1+ m 2)v = m 1v 1+ m 2v 2E k= 1 2 m 1v 12+ 1 2 m 2v 22E k’ = 1 2 (m 1 + m 2 )v2∆E k= E k’ − E kDengan menyelesaikan persamaan di atas, kita peroleh:∆E k= -m m ( v − v )2 ( m + m )1 2 1 2 21 2A1.89. Suatu partikel A bermassa m 1menumbuk secara lenting sempurna partikelB yang diam dan bermassa m 2. Hitung berapa bagian energi kinetik partikelA yang hilang, bila:(a) partikel A menyimpang tegak lurus dari gerakan semula!(b) tumbukannya adalah tumbukan sentral!θBJawab:(a) Anggap u adalah kecepatan partikel A sebelum tumbukan. Anggapv Adan v Badalah kecepatan A dan B setelah tumbukan.Momentum arah sumbu x:Momentum arah sumbu y:m 1u + 0 = 0 + m 2v Bcos θMekanika I 49

0 = m 1v A− m 2v Bsin θKekekalan energi kinetik (tumbukan elastik):1 2 m 1u 2 = 1 2 m 1v A2+ 1 2 m 2v B2Dari ketiga persamaan di atas kita akan peroleh:vA(u) 2 = m 2 − m 1m1 + m2Energi yang hilang dari partikel A:∆Ε k= 1 2 m 1 u2 − 1 2 m 1v A2Dan bagian energi kinetik yang hilang dari partikel A adalah:∆E∆ =k=E mk2 1m+ m1 2(b) Pada tumbukan sentral, partikel A dan B akan bergerak padaarah sumbu x.Kekekalan momentum:m 1u = m 1v A+ m 2v BKekekalan energi kinetik:1 2 m 1u 2 = 1 2 m 21v A+ 1 2 m 22v BDari kedua persamaan di atas, kita peroleh:dan(u = m 1 + m 2 ) v2m(v A= m 1 − m 2 ) v B2m1Bagian energi kinetik partikel A yang hilang:atau2⎛ v∆ =⎜1 −A ⎞ ⎡2 ⎟ = 1 1 2 2− ⎛ m − m ⎞ ⎤⎢⎝ u⎜⎠ ⎝ 1 + ⎟⎣ m m⎥2 ⎠ ⎦∆ =1B4m 1 m 21 + m2 2( m )1.90. Partikel 1 bertumbukan elastik dengan partikel 2 yang diam. Tentukanperbandingan massa kedua partikel, bila:(a) setelah tumbukan sentral, partikel-partikel bergerak berlawanan dengankecepatan sama!(b) setelah tumbukan, partikel-partikel bergerak secara simetri dengan sudut60 o !50Mekanika I

Jawab:(a) Kekekalan momentum:1 2m 1u 1= m 1v 1− m 2v 2dimana, u 1adalah kecepatan awal partikel 1.Karena | v 1 | = | v 2 | = vmaka, v =m1u1m − m1 2Kekekalan energi kinetik:1 2 m 1 u 12= 1 2 m 1v 12+ 1 2 m 2v 22Selanjutnya dari persamaan-persamaan di atas kita akan peroleh:θ 1θ 2mm12= 1 3(b) Karena partikel terpisah secara simetris pada sudut 60 o , θ 1+θ 2= 60 o , maka θ 1= 30 o dan θ 2= 30 o .Kekekalan momentum:Arah sumbu x:Arah sumbu y:Kekekalan Energi:m 1u 1= (m 1v 1+ m 2v 2) cos 30 om 1v 1sin 30 o = m 2v 2sin 30 o1 2 m 1 u 12= 1 2 m 1v 12+ 1 2 m 2v 22Dari persamaan-persamaan diatas kita peroleh:atau4 cos 2 30 o = 1 + m m1mm12= 221.91. Sebuah peluru bergerak dengan kecepatan v = 500 m/s. Peluru inikemudian pecah menjadi tiga bagian yang sama sehingga energi kinetiksistem meningkat η = 1,5 kali. Hitung kecepatan terbesar dari antaraketiga komponen ini!Jawab:Kekekalan momentum:mv = m 3 v 1 + m 3 v 2 + m 3 v 3Mekanika I 51

Karena η = 1,5, makaη =( ) + ( ) + ( )m m m v v v3 3 32mv12 1 2 12 2 2 12 3 2123ηv 2 = v 12+ v 22+ v 32Dari persaman di atas kita peroleh,atau,3ηv 2 = 2v 12 + 2 v 22+ 9v 2 − 6vv 1+ 2v 1v 2− 6vv 22v 12 − 2v1 (3v − v 2) + [(9 − 3η)v 2 + 2v 22 − 6vv2 ] = 0Dengan menggunakan rumus abc kita akan peroleh v 1. Pada rumus abc,nilai yang berada dalam akar (diskriminan) haruslah lebih besar atausama dengan nol. Dengan kata lain:4(3v − v 2) 2 − 42 [(9 − 3η)v 2 + 2v 2 2 − 6vv 2] 0dengan menyelesaikan dan menyederhanakan persamaan di atas diperoleh:Jadi,v 2 v(1 + 2η − 2 )v 2(maksimum) = v(1 + 2η − 2 )= 1 km/s1.92. Partikel 1 yang bergerak dengan kecepatan v = 10 m/s menumbuk sentralpartikel 2 yang diam. Kedua partikel bermassa sama. Akibat tumbukan inienergi kinetik sistem berkurang η = 1,0%. Tentukan besar dan arah kecepatanpartikel 1 setelah tumbukan!Jawab : Anggap kecepatan partikel-partikel ini setelah tumbukan adalahv 1dan v 2.Kekekalan momentum:Kekekalan energi total:mv = mv 1+ mv 2Energi mula-mula = Energi akhir + Energi yang hilang1 2 mv 2 = 1 2 m v 12+ 1 2 mv 2 2 + η( 1 2 mv2 )dari kedua persamaan di atas kita peroleh,22v 1 − 2vv1 + ηv 2 = 0jadi,(v 1= 1 ± 1 − 2 η ) v2Disini, tanda positif sebelum akar kuadrat tidak diperbolehkan karenaakan membuat v 2negatif dan hal ini tidak mungkin.52Mekanika I

v pm= m v m v 1 + 2m + m1 21 2Momentum partikel pertama dalam kerangka pusat massa sistem:P1( pm ) = m 1 (v 1 − v pm ) = m 1 m 2m m v v ( 1 − 2 )1 + 2Sedangkan partikel kedua memiliki momentum:P m mm v v 1 2pmpmm m v v 2( ) = 2 ( 2 − ) = - ( 1 − 2 )+Karena v 1 ⊥ v 2 , maka:P1( pm)2= P ( pm) =m1m2m + m1 21 2v1 2 + v2 2(b) Energi kinetik partikel pertama dalam kerangka pusat massa sistemadalah: E 1( pm)= 1 22 m ⎛1 v m1v 1+ m2v2 ⎞⎜ 1 −⎝ m1 + m⎟2 ⎠= 1 2Dengan cara yang sama,m m( m + m )1 2 21 2 2E 2( pm)= 1 2(v 1 + v 2 )2m m( m + m )2 1 21 2 2Jadi, energi kinetik total pusat massa adalah:E k= E 1( pm)+ E 2( pm).E k= 1 2m 1 m 2m + m1 2(karena tegak lurus v 1 •v 2 = 0).(v 1 2 + v 2 2 )( v 1 + v 2 ) 2AuB1.95. Sebuah partikel A bermassa m 1menumbuk partikel B yang diam danbermassa m 2(m 1> m 2) secara elastik. Tentukan sudut maksimumpartikel A setelah tumbukan!v 1θ 1θ 2v 2Jawab:Kekekalan momentum:Arah sumbu x:Arah sumbu y:m 1u = m 1v 1cos θ 1+ m 2v 2cos θ 20 = m 1v 1sin θ 1− m 2v 2sin θ 2Kekekalan energi kinetik (tumbukan elastik):1 2 m 1u 2 = 1 2 m 1 v 1 2 + 1 2 m 2 v 2 254Mekanika I

Dari persamaan-persamaan di atas kita akan peroleh,u 2 (m 1m 2− m 1 2 ) + u(2m 12 v1 cos θ 1) − v 12 (m1 m 2+ m 1 2 ) = 0Dengan rumus abc kita bisa menghitung u. Tetapi diskriminan(bilangan yang terdapat dalam akar kuadrat persamaan abc) haruslebih besar atau sama dengan nol.Sehingga:atau,4m 1 4 v 12 cos2θ 1 4 (m 12 − m1 m 2)(m 1 2 + m 1m 2)v 12cos 2 θ 1 1 − m m2 2 1 2Jadi, agar nilai θ 1maksimum (atau nilai cos θ 1minimum)atau:cos 2 θ m= 1 −⎛ m⎜⎝ m212⎞⎟⎠2 1 2θ m= cos -1 ⎡1 − ⎛ m2⎝ ⎜ ⎞ ⎤⎢ ⎟⎣ m⎥1 ⎠ ⎦dV'1.96. Tiga bola identik A, B, dan C terletak pada suatu bidang datar licin. BolaA bergerak dengan kecepatan v dan menumbuk bola B dan C yang sedangV" diam secara bersamaan. Jarak pusat massa B dan C sebelum tumbukanadalah ηd dimana d adalah diameter bola. Tentukan kecepatan A setelahtumbukan. Pada nilai η berapakah bola akan tertolak ke belakang; berhenti;terus bergerak?V"d}η/2θ1 - η24dJawab: Anggap sudut ABC adalah θ, maka:dη cos θ = 2 =ηd 2Tinjau momentum arah sumbu mendatar. Anggap setelah tumbukan,kecepatan B dan C adalah v" sedangkan kecepatan A adalah v'.Kekekalan momentum:mv = mv' + 2mv" cos θv - v' = 2v" cos θ(v - v') 2 = 4v" 2 cos θ ................................ (1)Kekekalan energi kinetik: 1 2 mv2 = 1 2 mv'2 + 1 2 2 mv"21 dan 2v 2 - v' 2 = v" 2 .................................... (2)( v − v ') ( v − v ')( v − v ') ( v + v ') = 2 cos 2 θ2⎛ 2 − η ⎞v ' = −v⎜ 2 ⎟⎝ 6 − η ⎠Mekanika I 55

yxKetika A tertolak ke belakang, v' harus negatif.Jadi, 2 > η 2atau, η < 2Agar A berhenti, v' = 0jadi, η = 2Agar A bergerak ke ke depan, v' adalah positif.Jadi, η > 21.97. Sebuah molekul menumbuk molekul sejenis yang sedang diam. Buktikanbahwa kedua molekul akan membentuk sudut 90 o ketika tumbukannyalenting sempurna!v 1Jawab:Kekekalan momentum:Arah sumbu x:u θ 1θA B2v 2Arah sumbu y:m 1u = m 1v 1cos θ 1+ m 2v 2cos θ 20 = m 1v 1sin θ 1− m 2v 2sin θ 2Dari kedua persamaan di atas (dengan mengingat massa kedua molekulsama) maka kita peroleh:u 2 = v 12 + v 22 + 2v1 v 2(cos θ 1cos θ 2− sin θ 1sin θ 2)Kekekalan energi kinetik:1 2 m 1 u 12= 1 2 m 1v 12+ 1 2 m 2v 22Dari persamaan-persamaan di atas kita akan peroleh persamaan berikut:atau,dengan kata lain:0 = 2v 1v 2cos(θ 1+ θ 2)cos(θ 1+ θ 2) = 0θ 1+ θ 2= π 2Bila tumbukan tidak lenting sempurna makaatau,cos(θ 1+ θ 2) ≠ 0θ 1+ θ 2≠ π 21.98. Sebuah bola bermassa m dilemparkan dengan sudut elevasi α dan dengankecepatan awal v 0. Hitung besar momentum sudut terhadap titik awal padatitik tertinggi lintasan bila m = 130 gram, α = 45°, dan v 0= 25 m/s!Abaikan hambatan udara.56Mekanika I

yαv 0RHxJawab:Pada titik tertinggi: v = v x= v 0cos αdan v y= 0.Dengan rumus y = v 0yt − 1 2 gt2 dan v y= v 0y− gt serta persamaandi atas kita akan peroleh tinggi titik tertinggi adalah:vektor momentumatauH = vsin α2g0 2 2P = mv P = (mv 0cos α) i Vektor posisi dari titik tertinggi adalah:r R=⎛ ⎞⎜ ⎟ i + H j⎝ 2 ⎠dimana R adalah jangkauan proyektil.Jadi, momentum sudut partikel terhadap titik asal, ketika partikel beradapada titik tertinggi adalah:L = r P = R ( 2i + H j ) (mv 0cos α) i = -Hmv 0cos α k atauL ⎛ mv= - ⎜⎝sin α cosα⎞⎟ k 2g⎠0 3 2L = 37 kg.m 2 /szP’yPαOO’1.99. Sebuah benda A bermassa m meluncur pada permukaan datar licin dengankecepatan v. Benda ini menumbuk dinding di titik O secara elastik dengansudut datang α (terhadap garis normal). Tentukan:(a) titik-titik terhadap mana momentum sudut benda konstan!(b) besar perubahan vektor momentum sudut L relatif terhadap titikO' yang terletak di dalam bidang gerak (pada sumbu vertikal) danberjarak l dari titik O!lJawab:(a) Gunakan rumus L = r P Anda dapat membuktikan bahwamomentum sudut terhadap titik-titik pada garis normal adalahsama besar (konstan).(b) Besar momentum sudut awal:atau, L = -mv 0l cos α|L | = |r P |Tanda negatif menunjukkan bahwa momentum sudut awalmempunyai arah sumbu z negatif.Mekanika I 57

1αr 1 r 2v 1 = vk OOO’αlT sin αO’Momentum sudut akhir:Perubahan momentum sudut:atau,L' = | r P | = mv 0l cos α∆L = mv 0l cos α − (-mv 0l cos α)∆L = 2mv 0l cos α1.100. Sebuah bola kecil bermassa m digantung dengan benang yang panjangnyal pada titik O di suatu langit-langit. Bola bergerak dalam suatu lingkaranmendatar dengan kecepatan sudut konstan ω. Relatif terhadap titikmanakah momentum sudut bola L tetap konstan? Tentukan perubahanvektor momentum sudut bola relatif terhadap titik O dalam setengah putaran!2v 2 = -vkatauT cos αmgJawab: Pada gambar di atas arah sumbu x, y dan z dinyatakan olehvektor satuan i , j ,dan k .Gaya-gaya yang bekerja ditunjukkan pada gambar di bawah ini:Dalam keadaan seimbang:danT cos α = mgT sin α = mω 2 l sin αcos α =sin α = 1gω 2 l− ( g)22ω lDari gambar terlihat bahwa T sin θ mengimbangi gaya sentrifugal, danselalu mengarah ke pusat lingkaran horizontal O’. Jelas juga terlihatbahwa titik O’ adalah titik dimana resultan torsi adalah nol. Oleh karenaitu, momentum sudut bola akan selalu konstan di titik O’.Momentum sudut bola terhadap titik O ketika bola berada pada titik 1adalah:Di titik 2:L 1 = r 1 mv 1L 2 = r 2 mv 2Vektor posisi titik 1 dan 2 terhadap titik O adalah:Sehingga kita peroleh:r 1 = l(- i sin α − j cos α)r 2 = l( i sin α − j cos α)L 1 = mvl(- j sin α + i cos α)L 2 = -mvl( j sin α + i cos α)Perubahan momentum sudut dalam setengah putaran adalah:58Mekanika I

∆ L = L 2 − L 1OF= mvl(- j sin α − i cos α + j sin α − i cos α)Gunakan v = ωl sin α, kita akan peroleh besarnya perubahan momentumsudut ini adalah:∆L = 2ml 2 ω cos α sin α∆L = 2mg l ω 1− ( g)221.101. Sebuah benda bermassa m terikat pada suatu tali dalam suatu bidangdatar. Ujung tali yang lain dimasukkan ke suatu lubang dalam bidangdatar itu dan ditarik dengan kecepatan konstan. Hitung tegangan talisebagai fungsi jarak r antara benda dan lubang bila pada r = r 0kecepatansudut tali ω 0!ω lJawab: Tegangan tali dan gaya F arahnya ke pusat lintasan lingkatan(titik O) sehingga tidak akan memberikan momen gaya terhadap titik O.Karena momen gaya nol maka momentum sudut terhadap titik O kekal.mr 02 ω0 = mr 2 ωatau,v = r 0 2 ω0rTegangan pada tali memberikan gaya sentripetal, sehingga:Sehingga kita peroleh:T = mv rT = mr r20 4 ω0 23A1.102. Suatu bola bermassa m bergerak dengan kecepatan v 0. Bola ini menumbuksecara elastik suatu "dumb bell" (lihat gambar). Massa tiap bola pada dumbbell itu masing-masing m 2 dan jarak antara kedua bola bulatan adalah l.Hitung momentum sudut L dumb bell setelah tumbukan, terhadap titikBpusat massa dumb bell!lCJawab: Tumbukan antara A dan B (lihat gambar):Kekekalan momentum:mv 0= mv' 0+ ( m 2) v 1Tumbukan elastik (kekekalan energi kinetik):1 22 mv 0= 1 2 mv ' 2 0 + 1 2 m 2( 2) v 1dimana v 0’ dan v 1adalah kecepatan bola A dan B setelah tumbukan.Mekanika I 59

Dari kedua persamaan di atas kita peroleh, v 1= 4 v 03pusat massa dumb bell adalah:v pm=( ) ⎛ ⎝ ⎜ ⎞⎟ + ( )m 4v0m2 3 ⎠ 2 0(m m2+2)arah kecepatan pusat massa ini ke kanan.= 2 v 03. Jadi kecepatanKecepatan bola B dan C relatif terhadap pusat massa ini adalah:v 0v 1pm= v 1− v pm= 2 3v 2pm= v 2− v pm= −2 v 0 (arah ke kiri).3Momentum sudut dumb bell terhadap pusat massa adalah:L pm = r 1pm m 2Dalam bentuk vektor:Sehingga kita peroleh:( ) v 1pm + r 2pm ( m 2) v 2pm( ) j( ) jr 1pm = l 2r 2pm = - l 2( ) i ( ) i v 1pm = 2 v 03v 2pm = -2 v 03L pm = - ⎛ mv0l⎞⎜ ⎟ k ⎝ 3 ⎠A⎛Besar momentum sudut ini adalah: mv 0 l ⎞⎜ ⎟ .⎝ 3 ⎠1.103. Dua benda masing-masing bermassa m, dihubungkan dengan sebuahpegas panjang l dan konstanta pegas k. Pada suatu ketika satu daribenda ini digerakan dalam arah mendatar dengan kecepatan v 0.Tentukan perubahan panjang pegas maksimum dalam peristiwa ini.l 0v 0awalBJawab:mv 0+ 0.m 1v pm== vm + m0(kecepatan pusat massa)2Kecepatan B relatif terhadap pusat massav rv B-pm= v B- v pm= v 0- 1 2 v 0 = 1 2 v 0Al + xakhirBKecepatan A relatif terhadap pusat massav A-pm= v A- v pm= 0 - 1 2 v 0 = - 1 2 v 060Mekanika I

Momentum sudut awal terhadap pusat massam Bv B-pm 1 2 l 0 + m A-pm ( 1 2 l 0 )= m.( 1 2 v 0 ) 1 2 l 0 + m(- 1 2 v 0 )(- 1 2 l 0 )= 1 2 mv 0 l 0momentum akhir terhadap pusat massa= 1 2 mv r(l + x)PcbFRraKekekalan energi12 m ( v 02) 2 + 1 2 m ( v 02) 2 = 1 2 k x2 + 1 2 m ( v r2) 2 + 1 2 m ( v r2) 2Gunakan kekekalan momentum sudut dan kekekalan energi.diperoleh x = mv 0 2kl1.104. Sebuah planet bermassa M = 1,6510 30 kg, bergerak mengelilingiMatahari dengan kecepatan v = 32,9 km/s (dalam kerangka matahari).Hitung periode revolusi planet ini! Anggap lintasan planet melingkar.Jawab: Gaya sentripetal yang menyebabkan planet bergerakmelingkar adalah gaya gravitasi, sehingga dengan hukum Newton:F = ma.mv= GMmr r 2Perioda planet (waktu 1 putaran) adalah:T = 2πrv2= 2 πGM3v= 225 hari1.105. Jika lintasan suatu planet berbentuk ellips, buktikan bahwa T 2 sebandingdengan r 3 (hukum Keppler III), dimana T adalah perioda planet danr adalah jarak planet ke Matahari!Qv∆tJawab:Luas daerah yang diarsir adalah (anggap luas segitiga)∆A =1/2 |R v ∆t|Karena momentum sudut planet adalah L = R mv maka:( )∆A ∆t= L 2mIni artinya laju luas yang disapu oleh gerakan planet adalah konstan(ingat momentum sudut planet konstan).Jika ∆t = T adalah perioda, maka luas ellips A dapat ditulis:( )A T = L 2mMekanika I 61

Karena luas ellips adalah A = πab, makaT = 2πm ab LSekarang perhatikan keadaan planet di titik P (jarak Matahari ketitik P adalah R p) dan titik Q (jarak matahari ke titik Q adalah R Q).Kekekalan momentum sudut:Kekekalan energi:mR pv p= mR Qv Q= L1 22 mv P− GMm = 1R2 mv Q 2 − GMmP R QDari kedua persamaan di atas kita peroleh,2( L2 m ) (R P+ R Q) = GMmR PR QDalam ellips terdapat hubungan berikut:R P+ R Q= 2aR P= a(1 − e)R Q= a(1 + e)b 2 = a 2 − a 2 e 2dimana e adalah eksentrisitas ellips.Dari persamaan-persamaan di atas kita akan peroleh:2 2L 2 = GMm baSelanjutnya kita akan peroleh:T 2 ⎛= 4 π2 ⎞⎜ ⎟ a 3⎝GM⎠1.106. Periode revolusi Yupiter 12 kali periode revolusi Bumi. Anggap orbitplanet melingkar, tentukan:(a) perbandingan jarak Yupiter-Matahari dengan Bumi-Matahari!(b) kecepatan dan percepatan planet Yupiter dalam kerangka matahari!rJawab:(a) Anggap suatu planet berputar mengelilingi matahari denganperioda T dan jari-jari orbit r.Dari hukum Newton (F = ma) kita peroleh:Karena v = 2π Tmvr2= GMmr 2( ) r, maka T 2 ⎛= 4 π2⎜⎞⎟ r 3⎝GM⎠62Mekanika I

Diketahui bahwa: T YTB = 12Karena T 2 sebanding dengan r 3 makaatau r Y= 5,2 r BrrYB⎛= T ⎜⎝TyB⎞⎟⎠2 3(b) Percepatan Yupiter mengitari Matahari dapat dicari dengan rumusNewton F = ma.m Ya = GMm Yry 2atau2karena a = v ra Y= GMr Y2=GM( )5,2r B2=1( 5,2)2 gmaka kecepatan planet Yupiter adalah:v Y=GM5,2r B1.107. Sebuah planet bermassa M bergerak mengitari Matahari padalintasan elips. Jika jarak minimum planet dari Matahari r dan jarakmaksimum R. Tentukan periode revolusi planet mengitari Matahari!Jawab: Soal ini mirip dengan soal sebelumnya. Silahkan Andabuktikan bahwa:T =⎛⎜⎝2πGM s⎞ ⎛ R + r⎟ ⎜⎠ ⎝ 2⎞⎟⎠3 21.108. Sebuah benda kecil jatuh pada Matahari dari jarak yang sama denganjari-jari lintasan Bumi. Kecepatan awal benda nol menurut matahari.Dengan menggunakan Hukum Kepler, tentukan berapa lama bendaakan jatuh?Jawab: Benda yang jatuh ke Matahari dapat dianggap sebagai suatuplanet kecil yang lintasan ellipsnya sangat pipih dengan sumbu semimayornya adalah R 2 .Menurut Hukum Keppler, T 2 sebanding dengan r 3 , sehingga:⎛T⎜⎝TbendaBumi⎞⎟⎠2=⎛ R ⎞⎜ 2 ⎟⎝ R ⎠Waktu jatuh adalah t = T benda2. Sehingga:t = T 21233( )2= 65 hariMekanika I 63