Applicazioni della teoria del minimax a problemi ... - Portale Posta DMI

Coordinatore:
Università degli Studi di Catania
Facoltà di Scienze Matematiche Fisiche e Naturali
Dottorato di Ricerca in Matematica
Antonio Iannizzotto
Applicazioni della teoria del minimax
a problemi variazionali
Chiar.mo Prof. Alfio Ragusa
Tesi di Dottorato
XIX Ciclo 2003–2007
Tutor:
Chiar.mo Prof. Biagio Ricceri

Ringraziamenti
La prima persona da ringraziare è il Professor Biagio Ricceri, al quale sono debitore della
maggior parte della matematica che conosco e di un esempio luminoso di dedizione alla
scienza.
Ho svolto quasi tutta la mia attività di ricerca in collaborazione con la Dottoressa
Francesca Faraci, avvantaggiandomi del suo talento e della sua pazienza, e anche verso di
lei ho un grande debito di gratitudine.
Un ringraziamento va anche ai matematici della Universitatea Babe¸s–Bolyai di Cluj–
Napoca con cui ho collaborato, e in particolare al Professor Csaba Varga, al quale devo
l’introduzione all’analisi non–smooth e diversi interessanti spunti di ricerca.
A tutti i miei colleghi devo l’atmosfera sempre lieta e amichevole che mi ha circondato
durante questi anni di Dottorato, contribuendo a farne un periodo indimenticabile.
Questo lavoro è dedicato ai miei genitori, ai quali devo tutto il resto.
iii

Introduzione
Nihil certi habemus in nostra scientia, nisi nostram mathematicam.
Nicola Cusano, De Possest (1460).
Il problema del minimax si può formulare come segue.
Siano X, Y due insiemi non vuoti, ψ : X ×Y → R una funzione: determinare condizioni
sotto le quali è verificata l’eguaglianza
sup
y∈Y
inf
x∈X
ψ(x, y) = inf
x∈X sup ψ(x, y).
Originariamente collegato alla teoria dei giuochi strategici di Von Neumann, il problema
precedente presenta alcune caratteristiche che lo rendono estremamente affascinante
agli occhi dei matematici: in primo luogo la sua formulazione, semplice ed elegante benché
molto generale; quindi l’importanza delle applicazioni, che spaziano dalla teoria economica
dell’equilibrio alle equazioni differenziali; infine la varietà delle possibili soluzioni, che impiegano
metodi basati sull’analisi convessa, sulla topologia, sui teoremi di punto fisso, sulle
discipline computazionali o sulle multifunzioni (per non menzionare che alcuni approcci).
La letteratura degli ultimi decenni offre un numero impressionante di teoremi di minimax,
ovvero di risultati che, sotto convenienti ipotesi relative agli insiemi X e Y e alla
funzione ψ, assicurano che l’eguaglianza sopra (detta, prevedibilmente, eguaglianza del
minimax) sia verificata: questi risultati differiscono per i metodi dimostrativi e per le ipotesi
adottate, che nel corso degli anni si sono fatte via via più raffinate; la loro varietà è
tale da far considerare il complesso dei risultati relativi a questo problema una teoria a sé
stante nell’àmbito della matematica pura, detta teoria del minimax.
In particolare, un’idea ricorrente nella teoria del minimax, sulla quale è basato il celebre
teorema di M. Sion, è la seguente: se X e Y sono sottoinsiemi convessi e compatti di
spazi vettoriali topologici e la funzione ψ è del tipo convesso–concavo (ovvero è convessa
rispetto alla prima variabile e concava rispetto alla seconda), oltre a soddisfare opportune
condizioni di semicontinuità, l’eguaglianza del minimax è verificata.
In effetti, le ipotesi di convessità e concavità espresse sopra sono ridondanti, e H.
König le ha sostituite con sofisticate condizioni topologiche sulla connessione di certe
intersezioni di sopralivelli e sottolivelli di ψ: rimuovendo l’idea di convessità a favore di
quella di connessione, si realizza un notevole progresso nella generalizzazione della teoria,
v
y∈Y

vi
in quanto, mentre la convessità ha senso solo in una struttura vettoriale, la connessione
richiede solo una topologia.
Fra i teoremi di minimax topologici, particolarmente interessanti si sono rivelati quelli
formulati per il caso in cui l’insieme X è uno spazio topologico e l’insieme Y è un intervallo
reale: in particolare, B. Ricceri ha studiato questo caso impiegando sottili tecniche
di analisi multivoca (principalmente, un principio di alternativa per le multifunzioni) e
stabilendo alcuni teoremi di minimax che richiedono ipotesi molto tenui sull’insieme X e
sulla dipendenza di ψ dalla prima variabile.
Non intendiamo addentrarci nei particolari tecnici, ma anticipiamo che le ipotesi di
Ricceri riguardano essenzialmente i punti di minimo locale che la funzione ψ(·, y) (o una
ad essa collegata) ammette in X, al variare di y nell’intervallo reale Y : questo stabilisce
un collegamento fecondo fra la teoria del minimax e l’analisi funzionale non lineare.
Difatti, è possibile applicare (di solito in maniera “inversa”, cioè supponendo che l’eguaglianza
del minimax non sia verificata) questi teoremi di minimax per ottenere risultati
di esistenza e di molteplicità per i punti di minimo locale di funzioni a valori reali definite
su uno spazio topologico e dipendenti da un parametro reale; quando poi si scelga come
X uno spazio di Banach e le funzioni in esame siano differenziabili secondo Gâteaux, ci
si colloca nel contesto proprio della teoria dei punti critici per funzionali non lineari, e
i risultati precedenti interagiscono in modo fruttuoso con il classico Teorema del passo
di montagna di P. Pucci e J. Serrin, consentendo di provare teoremi di molteplicità per
i punti critici di un funzionale dipendente da un parametro reale: un’applicazione molto
distante da quelle usuali della teoria del minimax.
Questo metodo è stato impiegato con successo da diversi autori, che hanno stabilito
teoremi di molteplicità per le soluzioni di vari problemi legati alle equazioni differenziali
non lineari, sia ordinarie che alle derivate parziali.
Tuttavia, la generalità dei risultati astratti ne consente un uso più ampio, non necessariamente
limitato ai funzionali differenziabili in senso classico: in particolare, S.A. Marano
e D. Motreanu hanno applicato per primi il metodo sopra accennato nel campo dell’analisi
non–smooth, estendendo il risultato di Ricceri a una più vasta classe di funzionali.
A questo punto s’impone una breve digressione: come la teoria del minimax, anche
l’analisi non–smooth è una branca complessa e stimolante della matematica pura, le
cui origini sono però riconducibili alle scienze applicate, e precisamente alla meccanica
e all’ingegneria.
In generale, i problemi di equilibrio in meccanica classica conducono a disequazioni
variazionali, che l’analisi convessa interpreta variazionalmente come la ricerca di punti critici
per funzionali convessi, detti potenziali, definiti su opportuni spazi funzionali; tuttavia,
accade di frequente nei fenomeni meccanici reali che, a causa di comportamenti non omogenei
delle grandezze in giuoco (che si esprimono matematicamente con funzioni definite
in modi diversi su aree diverse), non è sempre possibile definire un potenziale convesso.
In tale contesto, si rende necessario il ricorso a una teoria più generale della derivazione,
quale quella sviluppata da F.H. Clarke per i funzionali localmente lipschitziani:
i problemi studiati da questa teoria, che generalizzano le disequazioni variazionali,

Introduzione vii
sono noti in letteratura come disequazioni emivariazionali (senza vincoli) o disequazioni
variazionali–emivariazionali (con vincoli), e sono stati introdotti da P.D. Panagiotopoulos.
Per studiare queste disequazioni secondo un approccio variazionale, sono stati definiti
i cosiddetti funzionali di Motreanu–Panagiotopoulos, per i quali è stata sviluppata una
teoria generalizzata dei punti critici che combina aspetti della teoria di F.H. Clarke e della
più tradizionale analisi convessa: tale teoria, benché piuttosto recente, ha già raggiunto una
notevole estensione, che comprende versioni generalizzate di risultati classici dell’analisi
non lineare come il già citato Teorema del passo di montagna e il Principio della criticità
simmetrica di R.S. Palais.
Un elemento di grande interesse, anche dal punto di vista astratto, delle disequazioni
variazionali–emivariazionali risiede nel fatto che esse rappresentano uno “schema” molto
generale, cui si possono ricondurre problemi variazionali di diversa natura, quali le equazioni
differenziali ellittiche non lineari anche con nonlinearità fortemente discontinue (K.C.
Chang), le inclusioni differenziali (S.Th. Kyritsi, N.S. Papageorgiou) e vari tipi di problemi
al contorno.
Per questa ragione è utile disporre di teoremi sui punti critici di funzionali di Motreanu–
Panagiotopoulos: da essi si possono far discendere (talvolta, in verità, incontrando difficoltà
tecniche considerevoli) risultati di esistenza e di molteplicità per le soluzioni che valgono
simultaneamente per problemi all’apparenza molto diversi fra loro, come se la speculazione
astratta cogliesse l’essenza comune di tali problemi.
Tornando alla teoria del minimax, va ricordato che, in séguito, B. Ricceri ha migliorato
il suo teorema, trasferendo le ipotesi di tipo variazionale dalla funzione ψ(·, y) a
un’altra funzione che differisce da essa per una piccola perturbazione: questa nuova versione
del risultato astratto permette di dedurre teoremi di molteplicità per i punti critici
di un funzionale perturbato definito su uno spazio di Banach, dipendente da due parametri
reali; usando in modo accorto il metodo del passo di montagna, è altresì possibile
fornire una stima delle norme di tali punti critici uniforme (vale a dire, indipendente dalla
perturbazione).
Le conseguenze di questi teoremi di minimax nella teoria dei punti critici e numerose
applicazioni a problemi differenziali sono state esplorate in una copiosa e interessante
letteratura basata sul metodo della diseguaglianza di minimax, ad opera, oltre che dello
stesso B. Ricceri, di G. Barletta, G. Bonanno, F. Cammaroto, P. Candito, A. Chinnì,
G. Cordaro, B. Di Bella, A. Kristály, H. Lisei, R. Livrea, S.A. Marano, D. Motreanu, V.
Rădulescu, J. Saint Raymond, Cs. Varga (fra gli altri).
L’autore della presente tesi, in collaborazione con F. Faraci, P. Kupán e Cs. Varga, si è
occupato della questione applicando il metodo a una classe di disequazioni emivariazionali
su dominî illimitati.
Qui ci si spingerà un po’ oltre, stabilendo, sulla base della nuova versione del teorema
di minimax di B. Ricceri, l’esistenza di almeno due punti di minimo locale per una classe di
funzionali di Motreanu–Panagiotopoulos perturbati; da tale risultato sarà possibile dedurre
l’esistenza di due (o tre) soluzioni per alcuni problemi variazionali dipendenti da due
parametri reali e coinvolgenti una perturbazione in qualche misura arbitraria, fornendo

viii
anche una stima uniforme delle norme delle soluzioni: precisamente, saranno presi in esame
un’inclusione differenziale con un vincolo di positività delle soluzioni; un problema di
Dirichlet con condizioni al contorno omogenee e nonlinearità discontinue su un dominio
illimitato; una disequazione variazionale–emivariazionale che estende il classico problema
dell’ostacolo.
Vi è un’altra “famiglia” di risultati legati alla teoria del minimax, e all’inedita congiunzione
fra questa e certi aspetti della teoria dell’approssimazione metrica: è ancora B.
Ricceri a segnare il punto di partenza di questo filone di ricerca, applicando il suo teorema
topologico di minimax, insieme a un risultato di I.G. Tsar’kov relativo alle proiezioni
metriche su certi insiemi, per dedurne un teorema di molteplicità per le soluzioni di una
certa equazione astratta in uno spazio di Hilbert.
Si tratta di un risultato altamente tecnico, che è impensabile descrivere in questa sede:
basti sapere che esso si inquadra nella teoria classica dei punti critici e consente, sotto
comuni ipotesi di crescita e una condizione di non–convessità estremamente generale, di
stabilire l’esistenza di almeno tre soluzioni per problemi differenziali di tipo semi–lineare
dipendenti da un parametro reale e da una funzione (che rappresenta una perturbazione
interna del problema); alcune applicazioni sono state sviluppate da B.E. Breckner, A.
Horváth, A. Kristály, Cs. Varga.
L’autore della presente tesi si è dedicato a lungo allo studio delle conseguenze di questo
risultato di B. Ricceri: in collaborazione con F. Faraci, ha esteso il teorema originale a una
classe più ampia di spazi di Banach, consentendo alle applicazioni in campo variazionale di
abbracciare anche problemi al contorno su equazioni quasi–lineari; quindi, in collaborazione
ancora con F. Faraci e con H. Lisei e Cs. Varga, ha esteso ulteriormente il risultato generale
ai funzionali localmente lipschitziani, impiegando l’analisi non–smooth.
In questo lavoro troveranno posto la versione perfezionata di tale risultato generale e
applicazioni a problemi variazionali specifici, dipendenti da un parametro reale e da una
perturbazione interna: un problema di Dirichlet con condizioni al contorno omogenee e
nonlinearità discontinua su un dominio limitato, e una disequazione variazionale su una
striscia illimitata.
Il teorema di molteplicità basato sulla teoria del minimax e su quella dell’approssimazione
metrica permette anche un’applicazione di natura completamente diversa: lo stesso
B. Ricceri ha stabilito, servendosi di quel risultato, un originale teorema di struttura per
l’insieme dei punti singolari di certi operatori non lineari fra spazi di Hilbert.
Anche in questo caso, il risultato astratto ha importanti conseguenze nello studio di
problemi differenziali: recentemente, F. Faraci e l’autore di questa tesi hanno provato,
applicando quest’ultimo risultato di B. Ricceri, un teorema di struttura per l’insieme dei
punti di biforcazione di un sistema non lineare di equazioni differenziali del secondo ordine
ordinarie con condizioni agli estremi periodiche; così, attraverso la teoria del minimax, è
stato portato un nuovo contributo alla teoria della biforcazione, uno dei settori più vitali
della moderna analisi non lineare.
Infine, va segnalato un ulteriore collegamento stabilito fra la teoria del minimax e un
classico argomento della teoria dell’ottimizzazione: servendosi di un noto teorema di punto

Introduzione ix
di sella (un tipo di risultati che appartiene, per legami diretti, alla specie dei teoremi di
minimax), B. Ricceri ha dimostrato un risultato di buona posizione per certi problemi
di minimizzazione per funzionali derivabili secondo Gâteaux con derivata lipschitziana
definiti su spazi di Hilbert.
La portata del metodo basato sui punti di sella, tuttavia, eccede i limiti della teoria classica
dell’ottimizzazione, per lambire un argomento, in apparenza, del tutto indipendente:
si apre qui una nuova, breve digressione.
Si è fatto cenno della teoria dell’approssimazione metrica: il più celebre problema studiato
da questa disciplina è certamente quello della convessità degli insiemi di Chebyshev,
vale dire di quei sottoinsiemi di uno spazio normato che possiedono, per ogni punto esterno,
esattamente un punto di miglior approssimazione (o proiezione metrica); tale problema,
oggetto di uno studio decennale inaugurato da N.V. Efimov e S.B. Stečkin e proseguito
soprattutto da numerosi matematici russi (anche il teorema di I.G. Tsar’kov citato sopra
si colloca lungo questa linea di ricerca), è tuttora insoluto, benché siano state individuate
alcune interessanti soluzioni parziali.
In particolare, attende risposta la seguente questione: esiste uno spazio di Hilbert di
dimensione infinita che contenga un insieme di Chebyshev non convesso?
Seguendo un metodo basato sui punti di sella simile a quello ideato da B. Ricceri (ma
studiando in questo caso funzionali non derivabili), F. Faraci e l’autore della presente tesi
hanno stabilito un teorema di buona posizione per il problema della miglior approssimazione
relativo a certi sottoinsiemi di uno spazio di Hilbert; tale risultato schiude una
prospettiva inedita sul problema sopra esposto, e in base a esso è motivata una congettura
intesa a risolvere il problema della convessità degli insiemi di Chebyshev in uno spazio di
Hilbert.
Come si vede, la teoria del minimax è posta al centro di una fitta rete che collega
fra loro, in modi talora inaspettati, aree differenti della matematica quali i metodi variazionali,
l’analisi non–smooth, i problemi differenziali, la teoria della biforcazione e quella
dell’approssimazione metrica; inoltre, tutte queste discipline, che nella presente tesi saranno
sempre considerate nell’ottica propria della matematica pura, hanno relazioni profonde
anche con le scienze applicate.
Pertanto, la natura multiforme dei risultati esposti in questo lavoro, negli auspici
dell’autore, può forse essere considerata un valore.
La tesi si articola in otto Capitoli, dei quali i primi quattro sono di natura generale e
introduttiva, mentre gli altri quattro contengono i risultati originali (talvolta inediti, più
spesso già pubblicati in diversi articoli):
• nel Capitolo 1 sono raccolti alcuni dei risultati classici della teoria del minimax,
insieme ai più recenti teoremi topologici di minimax dovuti a B. Ricceri;
• nel Capitolo 2 sono richiamate alcune utili nozioni sugli spazi di Banach ed è delineata
un’introduzione al problema della convessità degli insiemi di Chebyshev;

x
• nel Capitolo 3 sono esposti gli elementi fondamentali della teoria dei punti critici per
funzionali localmente lipschitziani e per funzionali di Motreanu–Panagiotopoulos;
• nel Capitolo 4 è tracciata una descrizione sintetica di alcuni problemi variazionali
che possono essere affrontati con gli strumenti concettuali dell’analisi non–smooth;
• nel Capitolo 5 sono presi in esame alcuni problemi variazionali dipendenti da due
parametri, per i quali sono provati teoremi di molteplicità delle soluzioni mediante
il metodo della diseguaglianza di minimax;
• nel Capitolo 6 è presentato un teorema generale di molteplicità per i punti critici di
una classe di funzionali localmente lipschitziani, insieme alle sue conseguenze relative
ad alcuni problemi variazionali;
• nel Capitolo 7 sono stabiliti un teorema di struttura sull’insieme dei punti di biforcazione
di certi sistemi di equazioni differenziali non lineari e un teorema di esistenza
di soluzioni non banali per certi sistemi lineari;
• nel Capitolo 8 il metodo del punto di sella è applicato per provare la buona posizione
di un problema di miglior approssimazione, collegato a una congettura sull’esistenza
di insiemi di Chebyshev non convessi in spazi di Hilbert.

Notazioni
Introduciamo alcune notazioni che saranno adottate nella presente tesi.
Insiemi e spazi topologici
Siano X, Y due insiemi e S ⊆ X × Y : si pone per ogni x ∈ X, y ∈ Y
Sx = {y ∈ Y : (x, y) ∈ S}, S y = {x ∈ X : (x, y) ∈ S}.
Sia Φ : X → R ∪ {+∞}: per ogni ρ ∈ R si pone
Φ ρ = {x ∈ X : Φ(x) < ρ}, Φρ = {x ∈ X : Φ(x) > ρ},
Φ ρ = {x ∈ X : Φ(x) ≤ ρ}, Φρ = {x ∈ X : Φ(x) ≥ ρ},
dom(Φ) = {x ∈ X : Φ(x) ∈ R}.
Siano (X, τ) uno spazio topologico, S ⊆ X: cl(S), int(S), ∂S denotano rispettivamente
la chiusura, l’interno e la frontiera di S.
Sia Φ : X → R ∪ {+∞}: τΦ è la meno fine topologia su X che include τ e gli insiemi
Φ ρ per ogni ρ ∈ R.
Rammentiamo che Φ è detto semi–continuo inferiormente (s.c.i.) se Φρ è aperto per
ogni ρ ∈ R, e semi–continuo superiormente (s.c.s.) se Φ ρ è aperto per ogni ρ ∈ R; inoltre,
Φ è sequenzialmente s.c.i. se per ogni successione {xn} in X convergente a x ∈ X si ha
lim inf
n
Φ(xn) ≥ Φ(x),
e sequenzialmente s.c.s. se per ogni successione {xn} in X convergente a x ∈ X si ha
Spazi di Banach
lim sup Φ(xn) ≤ Φ(x).
n
Con (X, · ) s’indica sempre uno spazio di Banach reale, e con (X ∗ , · ∗) il suo duale
topologico; la dualità fra X ∗ e X è denotata 〈·, ·〉; la dimensione di X è dim(X) ∈ N∪{∞}.
Si pone per ogni u ∈ X, R > 0
B(u, R) = {v ∈ X : v − u < R}, S(u, R) = {v ∈ X : v − u = R},
xi

xii
inoltre, per ogni u, v ∈ X si pone
B(u, R) = B(u, R) ∪ S(u, R);
[u, v] = {τu + (1 − τ)v : τ ∈ [0, 1]} .
Se X è uno spazio di Hilbert, si identifica X ∗ = X e 〈·, ·〉 indica il prodotto scalare.
Se X, Y sono due spazi di Banach, L(X, Y ) è lo spazio degli operatori lineari continui
da X in Y ; per ogni k ∈ N, C k (X, Y ) è lo spazio delle mappe derivabili secondo Gâteaux
k volte con derivate continue e
C ∞ (X, Y ) =
∞
C k (X, Y ).
L’immersione X ↩→ Y è continua se esistono un operatore iniettivo T ∈ L(X, Y ) e
c > 0 tali che per ogni u ∈ X
T (u)Y ≤ cuX;
è compatta se è continua e per ogni successione limitata {un} in X esiste una sottosuccessione
{unk } tale che {T (unk )} converge in Y .
In ogni caso, X si identifica con il sottospazio T (X) di Y .
Spazi di Lebesgue e di Sobolev
Per ogni N ∈ N, m(·) denota la misura secondo Lebesgue in R N .
k=1
Sia Ω un dominio (cioè un aperto connesso) in R N con frontiera regolare (cioè di classe
C 1 , anche se nella maggior parte dei casi trattati una regolarità inferiore è sufficiente):
C ∞ 0 (Ω) è lo spazio delle funzioni di C∞ (Ω, R) a supporto compatto; (L ∞ (Ω), · ∞) è lo
spazio delle funzioni essenzialmente limitate; per ogni p > 0, si denota (L p (Ω), · p) lo
spazio (di Lebesgue) delle funzioni di potenza p–ma sommabile.
Sullo spazio di Sobolev W 1,p (Ω) è adottata la norma
e su W 1,p
0 (Ω) la norma
u =
[|∇u(x)|
Ω
p + |u(x)| p 1
p
] dx
u =
Per ogni p > 1 denotiamo p ′ = p
p − 1
p ∗ = Np
N − p
l’esponente critico (di Sobolev).
|∇u(x)|
Ω
p dx
1
p
.
,
l’esponente coniugato e, se p < N, denotiamo

Indice
Ringraziamenti iii
Introduzione v
Notazioni xi
1 Teoremi di minimax 1
1.1 Teoremi classici di minimax . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Un teorema di minimax basato sui minimi locali . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3 Un teorema di minimax per funzioni perturbate e le sue conseguenze . . . . 4
1.4 Punti di sella . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2 Alcuni richiami sugli spazi di Banach 7
2.1 Nozioni di convessità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.2 Mappe di dualità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.3 Gli insiemi di Chebyshev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
3 Teoria dei punti critici per funzionali non differenziabili 13
3.1 Calcolo differenziale per funzionali localmente
lipschitziani . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3.2 Punti critici per funzionali di Motreanu–Panagiotopoulos . . . . . . . . . . 16
3.3 Il Teorema del passo di montagna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.4 Il Principio della criticità simmetrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
4 Problemi variazionali: uno sguardo d’insieme 25
4.1 Disequazioni emivariazionali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
4.2 Disequazioni variazionali–emivariazionali in dimensione maggiore di uno . . 28
4.3 Disequazioni variazionali–emivariazionali in dimensione uno . . . . . . . . . 31
4.4 Problemi al contorno con nonlinearità discontinue . . . . . . . . . . . . . . . 33
5 Teoremi di molteplicità per problemi con due parametri 37
5.1 Due minimi locali per funzionali di
Motreanu–Panagiotopoulos perturbati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
5.2 Tre soluzioni positive per un’inclusione differenziale . . . . . . . . . . . . . . 42
xiii

xiv
5.3 Tre soluzioni per un problema di Dirichlet con nonlinearità discontinue e
simmetriche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
5.4 Tre soluzioni per il problema dell’ostacolo su una disequazione emivariazionale 61
6 Un teorema di molteplicità per problemi con perturbazione interna 69
6.1 Il risultato generale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
6.2 Un problema di Dirichlet con nonlinearità discontinua . . . . . . . . . . . . 73
6.3 Un’inclusione differenziale su una striscia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
7 Punti di biforcazione per sistemi hamiltoniani 81
7.1 Punti singolari di operatori non lineari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
7.2 Alcuni richiami sui sistemi del secondo ordine . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
7.3 Biforcazione per sistemi non lineari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
7.4 Esistenza per sistemi lineari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
8 Buona posizione e insiemi di Chebyshev non convessi 95
8.1 Buona posizione per un problema di miglior approssimazione . . . . . . . . 95
8.2 Una congettura sugli insiemi di Chebyshev non convessi . . . . . . . . . . . 99
Bibliografia 101

Capitolo 1
Teoremi di minimax
La teoria del minimax è nata da una costola della teoria dei giuochi strategici di Von
Neumann, per poi svilupparsi come un oggetto di studio a sé stante: lo scopo originario
di quella che sarebbe divenuta una vasta e raffinata disciplina, con ramificazioni in diversi
settori della matematica, era la risoluzione di un problema sorto nello studio delle funzioni
di decisione, che può essere enunciato nella seguente forma generale.
Siano X, Y due insiemi non vuoti, ψ : X ×Y → R una funzione: determinare condizioni
sotto le quali è verificata l’eguaglianza
sup
y∈Y
inf
x∈X
ψ(x, y) = inf
x∈X sup ψ(x, y).
Un teorema di minimax è dunque un risultato che, sotto opportune ipotesi riferite ai
dati X, Y e ψ, garantisca la validità dell’eguaglianza sopra, detta eguaglianza del minimax.
(Molti autori designano con la locuzione “teorema di minimax” risultati di analisi
funzionale non lineare di natura completamente diversa, del tipo del Teorema del passo di
montagna: nel presente lavoro cercheremo di evitare ogni ambiguità in merito.)
y∈Y
Notiamo che, nella situazione esposta sopra, si ha sempre
sup
y∈Y
inf
x∈X
ψ(x, y) ≤ inf
x∈X sup ψ(x, y),
come si verifica facilmente; pertanto, è sufficiente dimostrare la diseguaglianza inversa per
ottenere l’eguaglianza del minimax.
In questo Capitolo esporremo alcuni classici teoremi di minimax (Sezione 1.1), rimandando
il lettore ai volumi curati da Du e Pardalos [36] e da Ricceri e Simons [102] per una
più ampia trattazione dell’argomento; quindi ci soffermeremo su certi risultati più recenti
di Ricceri (Sezioni 1.2 e 1.3), e infine introdurremo rapidamente la nozione di punto di
sella e un risultato ad essa relativo (Sezione 1.4).
1.1 Teoremi classici di minimax
In questa Sezione forniremo un quadro molto sintetico degli sviluppi classici della teoria
del minimax, basandoci sull’articolo [106] di Simons.
1
y∈Y

2 Capitolo 1. Teoremi di minimax
Il primo teorema di minimax, stabilito da Von Neumann in [84], studia una situazione
che, col senno di poi, definiremmo assai semplice.
Teorema 1.1. ([106], Theorem 1) Siano N, M ∈ N, A una matrice N × M, gli insiemi
X, Y e la funzione ψ : X × Y → R definiti da
X = x ∈ R N N
: xi ≥ 0, xi = 1 ,
Allora,
i=1
⎧
⎨
Y =
⎩ y ∈ RM ⎫
M ⎬
: yj ≥ 0, yj = 1
⎭ ,
sup
y∈Y
inf
x∈X
j=1
ψ(x, y) = x · (Ay).
ψ(x, y) = inf
x∈X sup ψ(x, y).
Osserviamo che nel precedente risultato gli insiemi X, Y sono sottoinsiemi convessi e
compatti di spazi vettoriali di dimensione finita, e la funzione ψ è bilineare e continua: la
teoria classica del minimax tende essenzialmente all’alleggerimento di queste ipotesi; noi
prenderemo ora in esame solo due dei risultati più celebri, particolarmente significativi per
il discorso che intendiamo sviluppare.
Il seguente teorema di minimax, dovuto a Sion, estende il Teorema 1.1 in più di un
senso: gli spazi vettoriali topologici in esame possono avere dimensione infinita, è richiesta
la compattezza del solo insieme X, mentre la funzione ψ è del tipo quasi–convesso–concavo
e non necessariamente continua.
Teorema 1.2. ([107], Theorem 3.4) Siano V , W spazi vettoriali topologici di Hausdorff,
X ⊂ V convesso compatto, Y ⊆ W convesso, ψ : X × Y → R verificante le seguenti
condizioni:
(1.2.1) ψ(·, y) è s.c.i. per ogni y ∈ Y ;
(1.2.2) ψ(x, ·) è s.c.s. per ogni x ∈ X;
(1.2.3) ψ(·, y) ρ è convesso per ogni y ∈ Y , ρ ∈ R;
(1.2.4) ψ(x, ·) ρ è convesso per ogni x ∈ X, ρ ∈ R.
Allora,
sup
y∈Y
inf
x∈X
y∈Y
ψ(x, y) = inf
x∈X sup ψ(x, y).
Una successiva generalizzazione conduce ai teoremi di minimax topologici, nei quali
è rimossa la struttura lineare e, tipicamente, le ipotesi di convessità sono sostituite da
ipotesi di connessione; tuttavia, non è in generale sufficiente richiedere la connessione
dei singoli sottolivelli e sopralivelli delle restrizioni di ψ per ottenere l’eguaglianza del
minimax, bisogna bensì richiedere la connessione di opportune intersezioni di tali insiemi:
il più generale dei classici teoremi di minimax topologici è quello di König, del quale di
séguito riportiamo una delle versioni.
y∈Y

Minimax e minimi locali 3
Teorema 1.3. ([62], Theorem 1.2) Siano X uno spazio di Hausdorff compatto, Y uno
spazio topologico, ψ : X × Y → R una funzione verificante le seguenti condizioni:
(1.3.1) ψ(·, y) è s.c.i. per ogni y ∈ Y ;
(1.3.2) ψ(x, ·) è s.c.s. per ogni x ∈ X;
(1.3.3)
y∈H
(1.3.4)
Allora,
x∈K
ψ(·, y) ρ è connesso per ogni H ⊆ Y finito, ρ > sup
y∈Y
ψ(·, y)ρ è connesso per ogni K ⊆ X, ρ > sup
y∈Y
sup
y∈Y
inf
x∈X
inf
x∈X
ψ(x, y) = inf
x∈X sup ψ(x, y).
y∈Y
inf
x∈X
ψ(x, y).
ψ(x, y);
Richiamiamo l’attenzione del lettore sulle “asimmetrie” delle ipotesi rispetto alle due
variabili, rimandando a [62] per altre versioni del teorema; osserviamo anche che, nel
confronto fra il Teorema 1.2 e il Teorema 1.3, il progresso è più che altro di natura teorica:
difatti, poiché la connessione non è conservata nell’intersezione di insiemi, le ipotesi (1.3.3)
e (1.3.4) sono di assai difficile verifica all’infuori del caso in cui ψ sia del tipo quasi–
convesso–concavo.
Nelle prossime Sezioni, introdurremo invece alcuni risultati accomunati dall’ipotesi che
l’insieme Y sia un intervallo reale, il che ovviamente semplifica alquanto le cose: difatti, i
sottoinsiemi connessi di R hanno intersezioni connesse.
1.2 Un teorema di minimax basato sui minimi locali
In questa Sezione richiamiamo un teorema di minimax topologico stabilito da Ricceri, la
cui dimostrazione fa uso di tecniche di analisi multivoca.
Teorema 1.4. ([95], Theorem 1, Remark 1) Siano X uno spazio topologico, Λ ⊆ R
un intervallo, ψ : X × Λ → R una funzione verificante le seguenti condizioni:
(1.4.1) ψ(x, ·) è continua e quasi–concava per ogni u ∈ X;
(1.4.2) esistono ρ0 > sup inf
x∈X ψ(x, λ) e λ0 ∈ Λ tali che l’insieme ψ(·, λ0) ρ0
è compatto;
λ∈Λ
(1.4.3) ψ(·, λ) è s.c.i. e non ammette minimi locali non globali per ogni λ ∈ Λ.
Allora,
sup inf ψ(x, λ) = inf
x∈X sup ψ(x, λ).
λ∈Λ x∈X
Il Teorema 1.4 migliora un precedente risultato di Borenshtein e Shul’man [15], nel
quale si richiede fra l’altro che ψ sia continua su X × Λ. Come si vedrà in séguito (Capitolo
6), la condizione di sola semicontinuità inferiore rispetto alla variabile x consente
applicazioni altrimenti impossibili.
λ∈Λ

4 Capitolo 1. Teoremi di minimax
1.3 Un teorema di minimax per funzioni perturbate e le sue
conseguenze
I risultati esposti in questa Sezione, dovuti ancora a Ricceri, coronano (per ora) un lungo
processo di raffinamento; l’inizio di tale processo può essere rintracciato in [90], in cui è
presentato un teorema topologico di minimax basato su un principio di alternativa sulle
multifunzioni: come nella Sezione precedente, si studia una funzione ψ : X × Λ → R, dove
X è uno spazio topologico e Λ un intervallo reale; l’ipotesi cruciale di quel risultato è una
condizione di unicità del minimo locale di ψ(·, λ) per ogni λ ∈ Λ.
Successivamente, Ricceri è tornato sull’argomento, migliorando in [96] e in [98] i precedenti
risultati: nella nuova versione, l’ipotesi cruciale non è riferita a ψ(·, λ), bensì a una
funzione che differisce da essa per una piccola perturbazione.
Teorema 1.5. ([98], Theorem 1) Siano (X, τ) uno spazio di Hausdorff, Λ ⊆ R un
intervallo, ψ : X × Λ → R ∪ {+∞} una funzione propria, tale che ψ(x, ·) sia continua per
ogni x ∈ X. Siano inoltre Λ0 un sottoinsieme denso di Λ, ρ0 > sup inf ψ(x, λ) verificanti
le seguenti condizioni:
(1.5.1) ψ(x, ·)ρ è un intervallo per ogni x ∈ X, ρ < ρ0;
λ∈Λ x∈X
(1.5.2) ψ(·, λ) ρ è compatto e sequenzialmente compatto per ogni λ ∈ Λ0, ρ < ρ0;
(1.5.3) per ogni λ ∈ Λ0 esistono una funzione Φ : X → R, µ0 > 0 e una successione
Φ(x) > −∞, per ogni µ ∈]0, µ0[ la
Allora,
infinitesima {¯µn} in ]0, +∞[ tali che inf
x∈ψ(·,λ) ρ 0
funzione ψ(·, λ) + µΦ(·) è s.c.i. e per ogni n ∈ N la funzione ψ(·, λ) + ¯µnΦ(·) ha al
più un punto di minimo locale rispetto alla topologia τ ψ(·,λ) nell’insieme ψ(·, λ) ρ0 .
sup inf ψ(x, λ) = inf
x∈X sup ψ(x, λ).
λ∈Λ x∈X
Non affermeremo che il Teorema 1.5 sia di facile lettura, tuttavia questa è la forma di
tale risultato che più si presta alle applicazioni che seguiranno: in particolare, segnaliamo
un’importante conseguenza del Teorema 1.5, della quale faremo largo uso nel Capitolo 5.
Teorema 1.6. ([98], Theorem 4) Siano (X, τ) uno spazio di Hausdorff, Λ ⊆ R un
intervallo, ψ : X × Λ → R ∪ {+∞} una funzione propria, tale che ψ(x, ·) sia continua per
ogni x ∈ X. Siano inoltre Λ1 un sottoinsieme aperto e denso di Λ, ρ0 > sup inf ψ(u, λ)
verificanti le seguenti condizioni:
(1.6.1) sup inf ψ(x, λ) < inf
x∈X sup ψ(x, λ);
λ∈Λ x∈X
λ∈Λ
λ∈Λ
(1.6.2) ψ(x, ·)ρ è un intervallo per ogni x ∈ X, ρ < ρ0;
λ∈Λ u∈X
(1.6.3) ψ(·, λ) ρ è compatto, sequenzialmente compatto per ogni λ ∈ Λ1, ρ < ρ0.

Punti di sella 5
Allora, esistono λ0, λ1 ∈ Λ tali che λ0 < λ1 e che per ogni λ ∈ [λ0, λ1] e ogni Φ : X → R,
µ0 > 0 verificanti
(1.6.4) inf
x∈ψ(·,λ) ρ Φ(x) > −∞;
0
(1.6.5) ψ(·, λ) + µΦ(·) è s.c.i. per ogni µ ∈]0, µ0[,
esiste µ1 > 0 tale che per ogni µ ∈]0, µ1[ la funzione ψ(·, λ) + µΦ(·) ha almeno due punti
di minimo locale rispetto alla topologia τ ψ(·,λ) nell’insieme ψ(·, λ) ρ0 .
Dimostrazione. Definiamo l’insieme Λ2 degli elementi λ ∈ Λ tali che esistano Φ, µ0 e
una successione {¯µn} come nella condizione (1.5.3): l’insieme Λ2 non è denso in Λ, come
dimostriamo per assurdo.
Supponendo Λ2 denso in Λ, anche l’insieme Λ0 := Λ1∩Λ2 risulta denso in Λ (ricordiamo
che Λ1 è aperto): dunque sono verificate le condizioni (1.5.1), (1.5.2), (1.5.3); dal Teorema
1.5 segue allora l’eguaglianza del minimax, contro l’ipotesi (1.6.1): una contraddizione.
Siano allora λ0, λ1 ∈ Λ tali che λ0 < λ1 e [λ0, λ1] ⊆ Λ \ Λ2: per la definizione di Λ2, la
tesi è provata.
1.4 Punti di sella
Una nozione strettamente legata a quella di minimax è quella di punto di sella, che
formalizziamo come segue:
Definizione 1.7. Siano X, Y insiemi non vuoti, ψ : X × Y → R. Un punto di sella è
una coppia (¯x, ¯y) ∈ X × Y verificante le seguenti eguaglianze:
inf
x∈X
ψ(x, ¯y) = ψ(¯x, ¯y) = sup ψ(¯x, y).
y∈Y
Un teorema di punto di sella è ovviamente un risultato che, sotto opportune ipotesi su
X, Y e ψ, garantisce l’esistenza di un punto di sella.
Osserviamo come, nella situazione descritta sopra, l’eguaglianza del minimax sia sempre
verificata, sicché ogni teorema di punto di sella diventa un teorema di minimax: non
è quindi inappropriato riportare in questo Capitolo il seguente risultato, di cui si farà uso
nel Capitolo 8.
Teorema 1.8. ([118], Theorem 49.A) Siano (X, · ) uno spazio di Hilbert, Λ ⊆ R un
intervallo compatto, ψ : X × Λ → R una funzione verificante le seguenti condizioni:
(1.8.1) ψ(·, λ) è continua e convessa per ogni λ ∈ Λ;
(1.8.2) ψ(u, ·) è continua e concava per ogni u ∈ X;
(1.8.3) esiste λ0 ∈ Λ tale che
lim
u→+∞ ψ(u, λ0) = +∞.

6 Capitolo 1. Teoremi di minimax
Allora esiste (ū, ¯ λ) ∈ X × Λ tale che
inf
u∈X ψ(u, ¯ λ) = ψ(ū, ¯ λ) = sup ψ(ū, λ).
λ∈Λ

Capitolo 2
Alcuni richiami sugli spazi di
Banach
Gli spazi di Banach sono l’ambiente naturale di tutta l’analisi funzionale, e le proprietà
astratte di questi spazi rivestono grande importanza anche nello studio di problemi variazionali
come quelli che in questa tesi intendiamo affrontare.
In questo Capitolo, la cui funzione è solo quella di fornire un glossario per gli sviluppi
successivi, richiameremo alcune nozioni astratte relative agli spazi di Banach: dapprima
forniremo alcune definizioni di convessità (Sezione 2.1), quindi introdurremo le mappe di
dualità (Sezione 2.2), e infine esamineremo gli insiemi di Chebyshev e i problemi ad essi
legati, concedendoci qualche dettaglio (Sezione 2.3).
2.1 Nozioni di convessità
Nello studio degli spazi di Banach è di grande importanza la nozione di convessità, che
collega la struttura lineare dello spazio alla sua struttura metrica: in termini un poco
vaghi, possiamo dire che questo concetto corrisponde a quello della “rotondità” delle sfere.
Esistono varie definizioni di convessità per uno spazio di Banach; qui citeremo solo
quelle che saranno impiegate nelle applicazioni, rimandando il lettore alla monografia di
Diestel [34] per una trattazione esaustiva dell’argomento.
Introduciamo dapprima la definizione di stretta convessità, che corrisponde alla condizione
che le sfere non contengano segmenti:
Definizione 2.1. Sia (X, · ) uno spazio di Banach: esso è strettamente convesso se
per ogni u, v ∈ S(0, 1) esiste τ ∈]0, 1[ tale che τu + (1 − τ)v /∈ S(0, 1).
Più nota è la seguente definizione di uniforme convessità:
Definizione 2.2. Sia (X, · ) uno spazio di Banach: esso è uniformemente convesso
se per ogni ε > 0 esiste δ > 0 tale che per ogni u, v ∈ S(0, 1) con u − v ≥ ε si ha
u + v ≤ 2(1 − δ).
Ovviamente, uno spazio di Banach uniformemente convesso è a fortiori strettamente
convesso.
7

8 Capitolo 2. Spazi di Banach
Altra nozione importante, nella classificazione degli spazi di Banach, è quella di séguito
definita:
Definizione 2.3. Sia (X, ·) uno spazio di Banach con duale (X ∗ , ·∗): esso è liscio
(smooth) se per ogni u ∈ S(0, 1) esiste u ∗ ∈ X ∗ con u ∗ ∗ = 1 tale che 〈u ∗ , u〉 = 1.
Le definizioni sopra sono collegate dal seguente risultato di Klee:
Teorema 2.4. ([34], Theorem 2, p. 23) Sia (X, · ) uno spazio di Banach con duale
(X ∗ , · ∗) strettamente convesso. Allora, X è liscio.
Concludiamo questa Sezione osservando che uno spazio di Hilbert gode di tutte queste
proprietà, come è facile verificare.
2.2 Mappe di dualità
Una domanda piuttosto naturale che ci si può porre in merito agli spazi di Banach è
quella relativa alla derivabilità della norma, qui considerata come un funzionale a valori
reali: la risposta è in generale negativa, poiché la norma non è derivabile secondo Gâteaux
nell’origine.
Tuttavia, aggiungendo un esponente maggiore di uno e restringendo l’indagine a una
famiglia di spazi sufficientemente regolari, la derivabilità è facilmente acquisita: seguendo
l’impostazione di Chabrowski [21], definiamo di séguito le mappe di dualità fra lo spazio
e il suo duale, come strumento di questa operazione.
Definizione 2.5. Siano (X, · ) uno spazio di Banach, (X∗ , · ∗) il suo duale, p > 1.
Una mappa di dualità, indotta dalla funzione peso t ↦→ tp
, è un’applicazione A : X → X∗
p
verificante
(2.5.1) A(u)∗ = u p−1 per ogni u ∈ X;
(2.5.2) 〈A(u), u〉 = A(u)∗u per ogni u ∈ X.
L’esistenza di una siffatta applicazione e il suo legame con la derivabilità della norma
sono esaminati nel seguente risultato:
Lemma 2.6. ([21], Proposition 2.2.2 e Proposition 2.2.4) Siano (X, · ) uno spazio di
Banach con duale (X ∗ , · ∗) strettamente convesso, p > 1. Allora, esiste un’unica mappa
di dualità A : X → X ∗ ; inoltre, essa verifica
〈A(u) − A(v), u − v〉 ≥ u p−1 − v p−1 (u − v)
per ogni u, v ∈ X; infine, il funzionale u ↦→ up
è derivabile secondo Gâteaux in X con
p
derivata A.
Osserviamo che in generale una mappa di dualità è emicontinua (ovvero continua sui
segmenti), ma non continua: pertanto, il funzionale u ↦→ up
non ha derivata continua.
p
Ovviamente, nel caso di uno spazio di Hilbert (che identifichiamo col suo duale in virtù
del teorema di Riesz) e per p = 2, l’unica mappa di dualità è l’identità.

Insiemi di Chebyshev 9
2.3 Gli insiemi di Chebyshev
In questa Sezione introdurremo i lineamenti fondamentali del celebre problema della convessità
degli insiemi di Chebyshev: si tratta di un problema studiato dalla teoria dell’approssimazione
metrica, che da decenni resiste agli sforzi dei ricercatori; per una trattazione
estesa di questo e altri temi legati alle proprietà metriche dei sottoinsiemi di spazi normati,
rimandiamo alle monografie redatte da Vlasov [115], da Balaganskĭ e Vlasov [6] e da
Cobza¸s [28], da cui traiamo la maggior parte dei contenuti della Sezione.
Benché l’argomento non rientri stricto sensu nella teoria dei punti critici o in quella
dei problemi variazionali, esso ha importanti collegamenti con i temi trattati in questa
tesi: nel Capitolo 6 dedurremo un teorema di molteplicità per le soluzioni di problemi
variazionali da una proprietà degli insiemi di Chebyshev, e nel Capitolo 8 avanzeremo una
congettura per la soluzione del problema della convessità di tali insiemi partendo proprio
da un’ipotesi di tipo variazionale.
Preliminarmente stabiliamo la seguente definizione:
Definizione 2.7. Siano (X, · ) uno spazio di Banach, M un sottoinsieme non vuoto
di X e u ∈ X: la distanza di u da M è
d(u, M) = inf u − v;
v∈M
la proiezione metrica su M è una multifunzione PM : X → 2 M definita per ogni u ∈ X da
PM(u) = {v ∈ M : u − v = d(u, M)} .
È facile verificare che, se PM ha valori non vuoti, M è chiuso.
Introduciamo ora la nozione fondamentale di questa Sezione, individuando la classe
degli insiemi le cui proiezioni metriche sono ben definite come funzioni univoche:
Definizione 2.8. Siano (X, · ) uno spazio di Banach, M un sottoinsieme non vuoto
di X: M è un insieme di Chebyshev se PM(u) è un singoletto per ogni u ∈ X.
L’idea di insieme di Chebyshev è più antica della sua definizione ufficiale: già nel XIX
Secolo, infatti, Chebyshev provò che, nello spazio C 0 ([0, 1], R), l’insieme dei polinomî di
grado minore o uguale a n è un insieme di Chebyshev per ogni n ∈ N (ovviamente non
con queste parole); tuttavia, una teoria sistematica di questi insiemi e delle loro proprietà
non appare fino a una serie di articoli composti da Efimov e Stečkin.
Chiaramente ogni insieme di Chebyshev è chiuso, mentre è più elusivo il rapporto di
questa proprietà con la convessità: in uno spazio sufficientemente regolare, un insieme
chiuso e convesso è un insieme di Chebyshev, come stabilisce il seguente basilare risultato.
Teorema 2.9. ([115], Theorem 0.6) Sia (X, · ) uno spazio di Banach. Le seguenti
condizioni sono equivalenti:
(2.9.1) X è riflessivo e strettamente convesso;
(2.9.2) ogni sottoinsieme chiuso e convesso di X è un insieme di Chebyshev.

10 Capitolo 2. Spazi di Banach
Esaminiamo ora il problema inverso, che si può formulare al modo seguente: esiste uno
spazio di Banach contenente un insieme di Chebyshev non convesso?
L’ipotesi di completezza dello spazio è qui cruciale: in [58], Johnson ha dimostrato che
lo spazio pre–hilbertiano
X := {xk} ∈ ℓ 2 : xk = 0 per k sufficientemente grande
(che non è completo) contiene un insieme di Chebyshev non convesso (si veda [6] per una
costruzione equivalente a quella di Johnson, ma più chiara).
La questione della convessità degli insiemi di Chebyshev in spazi di Banach è tuttora
un problema aperto, in generale; esistono tuttavia risposte parziali, alcune delle quali
richiedono ipotesi aggiuntive sullo spazio, come nel seguente risultato, stabilito da Efimov
e Stečkin in [38], che chiude il discorso relativo agli spazi di dimensione finita.
Teorema 2.10. ([115], Theorem 4.29) Sia (X, ·) uno spazio di Banach di dimensione
finita. Le seguenti condizioni sono equivalenti:
(2.10.1) X è liscio e strettamente convesso;
(2.10.2) ogni insieme di Chebyshev in X è chiuso e convesso.
Un’altra risposta parziale si può dare restringendo lo studio a un’opportuna classe di
insiemi, caratterizzati dalla seguente proprietà:
Definizione 2.11. Siano (X, ·) uno spazio di Banach, M un sottoinsieme non vuoto
di X, u ∈ X: una successione minimizzante per u in M è una successione {vn} tale che
lim
n→∞ u − vn = d(u, M);
l’insieme M è approssimativamente compatto se, per ogni u ∈ X, ogni successione minimizzante
per u in M ha una sottosuccessione convergente a un elemento di M.
Anche il seguente risultato si deve a Efimov e Stečkin [39]:
Teorema 2.12. ([115], Theorem 4.31) Siano (X, · ) uno spazio di Banach liscio e
uniformemente convesso, M ⊂ X un insieme di Chebyshev. Le seguenti condizioni sono
equivalenti:
(2.12.1) M è convesso;
(2.12.2) M è approssimativamente compatto;
(2.12.3) M è sequenzialmente debolmente chiuso.
Sarà utile nel séguito (segnatamente, nel Capitolo 8) la proprietà espressa dal seguente
lemma:
Lemma 2.13. Siano (X, · ) uno spazio di Banach, M ⊂ X un insieme di Chebyshev
approssimativamente compatto, u ∈ X. Allora, ogni successione minimizzante per u in M
converge all’unico elemento di PM(u).

Insiemi di Chebyshev 11
Dimostrazione. Sia {vn} una successione minimizzante per u in M, e sia PM(u) = {v}:
proveremo che vn → v.
Procediamo per assurdo, supponendo che esistano ε > 0 e una sottosuccessione, denotata
ancora {vn}, tale che vn − v ≥ ε per ogni n ∈ N: poiché M è approssimativamente
compatto, questa ammette un’estratta, che denotiamo nuovamente {vn}, convergente a un
elemento w ∈ M.
Si ha dunque w − v ≥ ε, mentre
w − u = d(u, M),
da cui segue w ∈ PM(u) ossia w = v, una contraddizione.
Se un insieme sequenzialmente debolmente chiuso M non ha la proprietà di Chebyshev,
esiste un punto dello spazio che ammette una proiezione metrica su M formata da almeno
due punti: in generale, tuttavia, non è possibile stabilire dove si trovi questo punto.
Una risposta a questa domanda è offerta dal seguente risultato di Tsar’kov, che sotto
opportune ipotesi migliora il Teorema 2.12: esso costituirà uno strumento fondamentale
per il metodo che svilupperemo nel Capitolo 6.
Teorema 2.14. ([113], Theorem 2) Siano (X, · ) uno spazio di Banach uniformemente
convesso con duale (X ∗ , · ∗) strettamente convesso, S un sottoinsieme denso e
convesso di X, M un sottoinsieme sequenzialmente debolmente chiuso e non convesso.
Allora, esiste ū ∈ S tale che PM(ū) contiene almeno due punti.
Nel Capitolo 8 ritorneremo sul problema della convessità degli insiemi di Chebyshev,
esaminando in particolare il caso degli spazi di Hilbert.

12 Capitolo 2. Spazi di Banach

Capitolo 3
Teoria dei punti critici per
funzionali non differenziabili
Molti interessanti problemi possono essere formalizzati, seguendo l’approccio variazionale,
al modo seguente: trovare i punti critici di un funzionale Φ definito su uno spazio di Banach
X.
Nella teoria classica, il significato del precedente problema è chiaro: si considera un
funzionale Φ che ammetta derivata secondo Gâteaux Φ ′ : X → X ∗ (magari continua), e si
cerca di risolvere l’equazione di Eulero
Φ ′ (u) = 0.
Tuttavia, la portata del metodo variazionale è ben più ampia: per esempio, nel campo
dell’ottimizzazione (vale a dire la ricerca degli estremi relativi e assoluti di un funzionale)
i funzionali trattati non sono tutti derivabili secondo Gâteaux.
Emerge quindi la necessità di elaborare nozioni di punto critico adatte a classi di
funzionali non abbastanza regolari per rientrare nella teoria classica: l’analisi convessa
ha sviluppato una teoria organica della differenziazione e dei punti critici per funzionali
convessi (si veda il lavoro di Ioffe e Levin [57] o, per un’impostazione molto generale,
la monografia di Zălinescu [116]); anche per i funzionali localmente lipschitziani è sorta,
soprattutto grazie alle idee di Clarke (si veda per esempio [27]), una teoria della derivazione
generalizzata e dei punti critici.
Tuttavia, molti problemi che sorgono in meccanica richiedono un uso congiunto delle
due tecniche: nasce così la classe dei funzionali di Motreanu–Panagiotopoulos, per i quali
esiste una definizione di punto critico senza che si definisca una vera e propria derivata.
Alcuni risultati esposti in questa tesi (segnatamente nei Capitoli 5 e 6) sono di tipo
variazionale: teoremi di esistenza e di molteplicità per i punti critici di certi funzionali
di Motreanu–Panagiotopoulos (o localmente lipschitziani) definiti su spazi di Banach, dai
quali si deducono poi risultati relativi alle soluzioni di problemi differenziali di varia natura.
Pertanto, non ci è parso superfluo dedicare un Capitolo all’esposizione di alcuni lineamenti
fondamentali della teoria dei punti critici per funzionali non differenziabili: nella
13

14 Capitolo 3. Teoria dei punti critici
Sezione 3.1 introdurremo i concetti di derivata e gradiente generalizzato per funzionali
localmente lipschitziani; nella Sezione 3.2 definiremo i punti critici per funzionali di
Motreanu–Panagiotopoulos; nelle Sezioni 3.3 e 3.4 riporteremo versioni generalizzate di
due fondamentali elementi della teoria (classica) dei punti critici quali il Teorema del
passo di montagna e il Principio della criticità simmetrica.
3.1 Calcolo differenziale per funzionali localmente
lipschitziani
L’origine del calcolo differenziale per funzionali localmente lipschitziani è da cercare nell’opera
di Clarke, in particolare negli articoli [24], [25], [26] e nel volume [27]; un importante
contributo alla teoria è inoltre rappresentato dal lavoro di Chang [22]; ma la nostra fonte
principale sull’argomento è la monografia di Motreanu e Panagiotopoulos [81], alla quale
attingiamo largamente nella presente Sezione.
Presentiamo ora alcuni lineamenti fondamentali della teoria della derivazione generalizzata
di Clarke, a cominciare dalla seguente definizione:
Definizione 3.1. Siano (X; · ) uno spazio di Banach, Φ : X → R un funzionale: Φ
è localmente lipschitziano se per ogni u ∈ X esistono un intorno U di u e una costante
L > 0 tali che per ogni v, w ∈ U
|Φ(v) − Φ(w)| ≤ Lv − w.
Un funzionale localmente lipschitziano non è, in generale, derivabile secondo Gâteaux;
tuttavia, se ne possono definire una derivata direzionale e un gradiente (sotto forma di
multifunzione dallo spazio X nel suo duale) al modo seguente:
Definizione 3.2. Siano (X; · ) uno spazio di Banach, Φ : X → R un funzionale
localmente lipschitziano, u ∈ X: la derivata generalizzata di Φ nel punto u lungo la
direzione v ∈ X è il numero
Φ ◦ (u; v) = lim sup
w→u, τ→0 +
il gradiente generalizzato di Φ nel punto u è l’insieme
Φ(w + τv) − Φ(w)
;
τ
∂Φ(u) = {u ∗ ∈ X ∗ : 〈u ∗ , v〉 ≤ Φ ◦ (u; v) per ogni v ∈ X} .
È naturale porsi il problema della compatibilità di queste definizioni con quelle consuete
di derivata e gradiente: il prossimo Lemma stabilisce tale compatibilità per il caso di
funzionali derivabili secondo Gâteaux con derivata continua.
Lemma 3.3. ([81], Proposition 1.1) Siano (X; ·) uno spazio di Banach, Φ ∈ C 1 (X, R).
Allora, Φ è localmente lipschitziano e per ogni u, v ∈ X si ha
Φ ◦ (u; v) = 〈Φ ′ (u), v〉, ∂Φ(u) = {Φ ′ (u)}.

Funzionali localmente lipschitziani 15
Anche nel caso di funzionali continui e convessi, le definizioni introdotte sopra sono
compatibili con quelle dell’analisi convessa:
Lemma 3.4. ([81], Proposition 1.2) Siano (X; · ) uno spazio di Banach, Φ : X → R
un funzionale continuo e convesso. Allora, Φ è localmente lipschitziano e per ogni u, v ∈ X
si ha
Φ ◦ (u; v) = Φ ′ (u; v).
La derivata di Clarke gode di alcune proprietà intrinseche: riportiamo quelle che
saranno sfruttate nelle successive applicazioni.
Lemma 3.5. ([81], Chapter 1 passim) Siano (X, · ) uno spazio di Banach, Φ, Ψ :
X → R funzionali localmente lipschitziani. Allora, per ogni u, v ∈ X valgono le seguenti
condizioni:
(3.5.1) Φ ◦ (u; ·) : X → R è subadditiva e positivamente omogenea con esponente 1;
(3.5.2) (Φ + Ψ) ◦ (u; v) ≤ Φ ◦ (u; v) + Ψ ◦ (u; v);
(3.5.3) (λΦ) ◦ (u; v) = λΦ ◦ (u; v) per ogni λ > 0;
(3.5.4) (−Φ) ◦ (u; v) = Φ ◦ (u; −v);
(3.5.5) |Φ ◦ (u; v)| ≤ Lu, dove L è come nella Definizione 3.1.
Osserviamo che da (3.5.1), per il Teorema di Hahn–Banach, segue che ∂Φ(u) = ∅ per
ogni u ∈ X. Alcune proprietà intrinseche del gradiente di Clarke sono raccolte nel seguente
Lemma:
Lemma 3.6. ([81], Chapter 1 passim) Siano (X, · ) uno spazio di Banach, Φ, Ψ :
X → R funzionali localmente lipschitziani. Allora, per ogni u, v ∈ X valgono le seguenti
condizioni:
(3.6.1) ∂Φ(u) è convesso e debolmente ∗ compatto;
(3.6.2) la multifunzione ∂Φ : X → 2 X∗
(3.6.3) Φ ◦ (u; v) = max
u ∗ ∈∂Φ(u) 〈u∗ , v〉;
(3.6.4) ∂(λΦ)(u) = λ∂Φ(u) per ogni λ ∈ R;
(3.6.5) ∂(Φ + Ψ)(u) ⊆ ∂Φ(u) + ∂Ψ(u).
è debolmente ∗ s.c.s.;
Rammentiamo che la condizione (3.6.2) significa quanto segue: per ogni u ∈ X e ogni
sottoinsieme V di X ∗ aperto rispetto alla topologia debole ∗ e tale che ∂Φ(u) ⊆ V , esiste
un intorno U di u in X tale che per ogni v ∈ U si ha ∂Φ(v) ⊆ V .
Il classico Teorema di Lagrange trova, in questo contesto, il suo corrispondente nel
Teorema del valor medio di Lebourg:

16 Capitolo 3. Teoria dei punti critici
Teorema 3.7. ([81], Theorem 1.1) Siano (X, · ) uno spazio di Banach, Φ : X → R
un funzionale localmente lipschitziano. Allora, per ogni u, v ∈ X esistono w ∈ [u, v] e
w ∗ ∈ ∂Φ(w) tali che
Φ(v) − Φ(u) = 〈w ∗ , v − u〉.
Concludiamo questa Sezione presentando la nozione fondamentale del calcolo differenziale
per funzionali localmente lipschitziani: quella di punto critico, che (come segue dai
Lemmi 3.3 e 3.4) estende le definizioni di punto critico per funzionali derivabili secondo
Gâteaux con derivata continua e per funzionali continui e convessi.
Definizione 3.8. Siano (X, · ) uno spazio di Banach, Φ : X → R un funzionale
localmente lipschitziano, u ∈ X: u è un punto critico di Φ se sono verificate le seguenti
condizioni, fra loro equivalenti:
(3.8.1) 0 ∈ ∂Φ(u);
(3.8.2) Φ ◦ (u; v) ≥ 0 per ogni v ∈ X.
In particolare, si osserva che ogni punto di estremo locale di Φ è un punto critico di Φ
nel senso della Definizione 3.8.
Secondo una denominazione introdotta da Panagiotopoulos, chiameremo disequazione
emivariazionale (astratta) il problema seguente: trovare u ∈ X verificante (3.8.2).
3.2 Punti critici per funzionali di Motreanu–Panagiotopoulos
In questa Sezione estenderemo la nozione di punto critico introdotta nella Definizione 3.8
a una più ampia classe di funzionali (che possono assumere anche valori infiniti), senza
peraltro definire per tale classe una vera e propria regola di derivazione: questa teoria è
sviluppata da Motreanu e Panagiotopoulos in [81] (ma rimandiamo il lettore anche alla
più recente opera di Motreanu e Rădulescu [82]).
La classe di funzionali di cui ci occuperemo è definita al modo seguente:
Definizione 3.9. Siano (X, · ) uno spazio di Banach, Ψ : X → R ∪ {+∞}: Ψ è un
funzionale di Motreanu–Panagiotopoulos se esistono Φ : X → R localmente lipschitziano
e χ : X → R ∪ {+∞} proprio, convesso, s.c.i. e continuo su dom(χ) tali che Ψ = Φ + χ.
Avvertiamo che, nella precedente Definizione, la condizione di continuità della restrizione
di χ al suo dominio è “spuria”, cioè non compare in [81], e in effetti non è necessaria
alla teoria che esporremo in questa Sezione: tuttavia, come si vedrà nel séguito, questa
condizione è verificata nelle applicazioni più comuni della teoria, sicché abbiamo creduto
bene introdurla subito.
Osserviamo, peraltro, che in letteratura non sono nuove ipotesi di continuità per opportune
restrizioni di χ (si veda ad esempio [79]); e che tali condizioni non sono troppo onerose,
in quanto un funzionale χ proprio, convesso e s.c.i. è ipso facto continuo su int(dom(χ))
(si veda il testo di Deimling [33], p. 296).

Funzionali di Motreanu–Panagiotopoulos 17
Se, nella Definizione 3.9, si suppone Φ ∈ C 1 (X, R), si rientra nel caso studiato da
Szulkin in [111]: in quel lavoro, si definisce un punto critico di Ψ come un punto u ∈ X
tale che per ogni v ∈ X si abbia
〈Φ ′ (u), v − u〉 + χ(v) − χ(u) ≥ 0
(notiamo che in tal caso deve aversi u ∈ dom(χ)).
In analogia con questa nozione, introduciamo la seguente Definizione:
Definizione 3.10. Siano X, Ψ come nella Definizione 3.9, u ∈ X: u è un punto critico
secondo Szulkin di Ψ se verifica la condizione
(3.10.1) Φ ◦ (u; v − u) + χ(v) − χ(u) ≥ 0 per ogni v ∈ X.
Tutte le applicazioni che presenteremo rientrano nel seguente caso particolare: siano C
un sottoinsieme chiuso, convesso e non vuoto di X, e sia χC : X → R ∪ {+∞} la funzione
indicatrice di C, definita per ogni u ∈ X da
χC(u) =
0 se u ∈ C
+∞ se u /∈ C .
Come si verifica facilmente, χC è un funzionale proprio, convesso, s.c.i. e continuo sul
suo dominio (che è C).
Sia ora Φ : X → R un funzionale localmente lipschitziano; secondo una denominazione
introdotta da Panagiotopoulos, chiamiamo disequazione variazionale–emivariazionale
(astratta) il seguente problema: trovare u ∈ C tale che
(3.1) Φ ◦ (u; v − u) ≥ 0 per ogni v ∈ C.
Si tratta di un problema variazionale molto generale: basti osservare che se, nella
situazione descritta sopra, C = X, il problema (3.1) si riduce a una disequazione emivariazionale
(si veda la Sezione 3.1); se invece Φ ∈ C 1 (X, R), (3.1) diventa una tradizionale
disequazione variazionale del tipo
〈Φ ′ (u), v − u〉 ≥ 0 per ogni v ∈ C
(si veda in merito la classica monografia di Kinderlehrer e Stampacchia [59]); se infine,
valgono entrambe le restrizioni sopra, (3.1) è l’equazione di Eulero
Φ ′ (u) = 0.
Il punto è che Ψ := Φ + χC è un funzionale di Motreanu–Panagiotopoulos, e in questo
caso (come si vede facilmente) le condizioni (3.10.1) e (3.1) sono equivalenti: dunque,
risolvere una disequazione variazionale–emivariazionale equivale a trovare i punti critici di
un funzionale di Motreanu–Panagiotopoulos.

18 Capitolo 3. Teoria dei punti critici
Vi è un altro modo di definire i punti critici per funzionali di questo tipo: in [110],
Struwe considera un funzionale Ψ = Φ + χC con Φ ∈ C 1 (X, R) e C ⊂ X chiuso, convesso
e non vuoto, e definisce un punto critico di Ψ come un punto u ∈ X che verifica
sup 〈Φ
v∈C∩B(u,1)
′ (u), u − v〉 = 0.
Si dimostra che le due definizioni di punto critico sono in questo caso equivalenti.
Questo approccio è stato ripreso nel contesto più generale da Kyritsi e Papageorgiou
in [72], donde traiamo la seguente Definizione:
Definizione 3.11. Siano (X, · ) uno spazio di Banach, Φ : X → R localmente
lipschitziano, C un sottoinsieme chiuso, convesso e non vuoto di X, Ψ = Φ + χC, u ∈ C:
denotiamo
mΨ(u) = inf sup 〈u ∗ , u − v〉;
u∗∈∂Φ(u) v∈C∩B(u,1)
u è un punto critico secondo Struwe di Ψ se
mΨ(u) = 0.
Dimostreremo che anche in questo caso le due definizioni di punto critico sono equivalenti;
a tal fine, premettiamo un Lemma che impiega la teoria classica del minimax:
Lemma 3.12. Siano (X, · ) uno spazio di Banach, Φ : X → R localmente lipschitziano,
C un sottoinsieme chiuso, convesso e non vuoto di X, Ψ = Φ + χC, u ∈ C.
Allora,
mΨ(u) = sup inf
u∗∈∂Φ(u) 〈u∗ , u − v〉;
v∈C∩B(u,1)
Dimostrazione. Applicheremo il Teorema 1.2 alla funzione ψ : ∂Φ(u)×(C ∩ B(u, 1)) →
R definita ponendo per ogni u ∗ ∈ ∂Φ(u), v ∈ C ∩ B(u, 1)
ψ(u ∗ , v) = 〈u ∗ , u − v〉,
adottando su X ∗ la topologia debole ∗ e su X l’ordinaria topologia indotta dalla norma
(entrambe topologie vettoriali di Hausdorff).
Le ipotesi del Teorema 1.2 sono verificate: ∂Φ(u) è convesso e debolmente ∗ compatto
(3.6.1), C ∩ B(u, 1) è convesso e le condizioni su ψ (1.2.1)–(1.2.4) sono soddisfatte.
Ne segue l’eguaglianza del minimax, che (con un occhio alla Definizione 3.11) equivale
alla tesi.
Possiamo ora provare il seguente risultato:
Teorema 3.13. Siano (X, · ) uno spazio di Banach, Φ : X → R localmente lipschitziano,
C un sottoinsieme chiuso, convesso e non vuoto di X, Ψ = Φ + χC, u ∈ C. Allora,
le seguenti condizioni sono equivalenti:
(3.13.1) u è un punto critico di Ψ secondo Szulkin;
(3.13.2) u è un punto critico di Ψ secondo Struwe.

Il Teorema del passo di montagna 19
Dimostrazione. Proviamo che (3.13.1) implica (3.13.2), procedendo per assurdo: supponiamo
che mΨ(u) = k > 0 (tale quantità infatti non è mai negativa).
Per il Lemma 3.12, esiste v ∈ C ∩ B(u, 1) tale che
da cui si deduce con un rapido calcolo che
contro (3.13.1).
inf
u∗∈∂Φ(u) 〈u∗ , u − v〉 > k
2 ,
Φ ◦ (u; v − u) ≤ − k
2
Proviamo ora che (3.13.2) implica (3.13.1), procedendo ancora per assurdo: supponiamo
che esista w ∈ C tale che
donde segue w = u; poniamo
ricavandone che ¯v ∈ C ∩ B(u, 1).
da cui
Per ogni u ∗ ∈ ∂Φ(u) si ha
contro (3.13.2).
< 0,
Φ ◦ (u; w − u) = −k < 0,
¯v = u +
1
(w − u),
2w − u
sup 〈u
v∈C∩B(u,1)
∗ , u − v〉 ≥ 〈u ∗ , u − ¯v〉 ≥
mΨ(u) ≥
k
> 0,
2w − u
k
2w − u ,
Così la tesi è acquisita.
In virtù del Lemma 3.13, si può parlare a cuor leggero di punti critici per un funzionale
del tipo Ψ = Φ + χC (Φ localmente lipschitziano, C ⊆ X non vuoto, chiuso e convesso).
La dimostrazione del Lemma 3.13 è nuova, e riteniamo che rappresenti una piccola,
ma originale applicazione della teoria classica del minimax; vogliamo però osservare che,
in generale, definizioni anche significative di punto critico possono benissimo non essere
equivalenti fra loro (si veda [82], Chapter 2).
3.3 Il Teorema del passo di montagna
Il Teorema del passo di montagna ha avuto, nello sviluppo dell’analisi non lineare e dei
metodi variazionali, un ruolo cruciale: esso fornisce lo strumento più naturale per l’individuazione
di punti critici di un funzionale che non rappresentino necessariamente dei punti

20 Capitolo 3. Teoria dei punti critici
di minimo locale (per una trattazione generale dei metodi fondati su questo risultato si
veda, per esempio, il testo di Struwe [110]).
Fra le numerose versioni di questo teorema, ricordiamo quella originaria, presentata da
Ambrosetti e Rabinowitz in [3], e quella, adattata a una geometria più generale, introdotta
da Pucci e Serrin in [88]: da quest’ultima, in particolare, si deduce il seguente risultato di
molteplicità per i punti critici di un funzionale regolare.
Teorema 3.14. ([88], Corollary 1) Siano (X, ·) uno spazio di Banach, Φ ∈ C 1 (X, R)
un funzionale verificante la condizione di Palais–Smale, u0, u1 ∈ X punti di minimo locale
per Φ con u0 = u1. Allora, esiste u2 ∈ X \ {u0, u1} tale che Φ ′ (u2) = 0.
La comparsa di questo terzo punto critico apre la via a nuovi interrogativi: in particolare,
ci si può domandare qual è la natura di tale punto critico (estremo locale o no), qual
è il valore critico Φ(u2), dove si trova u2.
Un’interessante teoria, che risponde a tali quesiti, è quella sviluppata da Ghoussoub
in [53] e da Ghoussoub e Preiss in [54], basata su una generalizzazione della geometria del
passo di montagna e su certe proprietà delle successioni di insiemi compatti.
Le versioni del Teorema del passo di montagna per funzionali non derivabili hanno pure
avuto uno sviluppo notevole: menzioniamo qui il risultato di Rădulescu [89] per funzionali
convessi, quello di Motreanu e Varga [83] per funzionali localmente lipschitziani e quello
di Motreanu e Panagiotopoulos [81] per la classe di funzionali che porta i loro nomi.
In vista delle applicazioni che presenteremo (si veda il Capitolo 5), faremo riferimento
a una forma del Teorema del passo di montagna che permetta in un certo senso di
“controllare” la localizzazione del terzo punto critico e il valore critico corrispondente: un
risultato siffatto è stato stabilito, per i funzionali di Motreanu–Panagiotopoulos, da Livrea
e Marano in [78], seguendo in parte l’approccio di [53].
Premettiamo la seguente versione della condizione di Palais–Smale per funzionali di
Motreanu–Panagiotopoulos:
Definizione 3.15. Siano (X, · ) uno spazio di Banach, Φ : X → R localmente
lipschitziano, χ : X → R∪{+∞} proprio, convesso, s.c.i. e continuo su dom(χ), Ψ = Φ+χ
e c ∈ R: Ψ soddisfa la condizione di Palais–Smale a quota c se ogni successione {un} in
X, verificante
(3.15.1) lim
n→∞ Ψ(un) = c;
(3.15.2) esiste una successione {εn} in ]0, +∞[ tale che lim
n→∞ εn = 0 e per ogni n ∈ N,
v ∈ X
Φ ◦ (un; v − un) + χ(v) − χ(un) ≥ −εnv − un,
ammette una sottosuccessione convergente.
Riportiamo il risultato di Livrea e Marano in una forma adatta ai nostri fini:
Teorema 3.16. ([78], Theorem 3.3) Siano (X, · ), Ψ = Φ + χ come nella Definizione
3.15, u0, u1 ∈ dom(χ) con u0 = u1. Siano definiti
Γ = {γ ∈ C([0, 1], X) : γ(i) = ui, i = 0, 1} ,

Il Teorema del passo di montagna 21
c = inf
γ∈Γ sup Ψ(γ(τ)),
τ∈[0,1]
e Ψ soddisfi la condizione di Palais–Smale a quota c. Sia infine F ⊆ X un insieme chiuso
verificante le seguenti condizioni:
(3.16.1) (γ([0, 1]) ∩ F ) \ {u0, u1} = ∅ per ogni γ ∈ Γ;
(3.16.2) Ψ(ui) ≤ inf Ψ(u) (i = 0, 1).
u∈F
Allora, esiste u2 ∈ X, punto critico per Ψ, tale che Ψ(u2) = c; se inoltre
si ha u2 ∈ F .
inf Ψ(u) = c,
u∈F
Osserviamo che c ∈ R: infatti, dom(χ) è convesso, quindi in particolare, definito il
cammino γ ∈ Γ ponendo per ogni τ ∈ [0, 1]
γ(τ) = τu1 + (1 − τ)u0,
si ha γ(τ) ∈ dom(χ) per ogni τ ∈ [0, 1]; inoltre, γ([0, 1]) è compatto, sicché si può stimare
c ≤ max Ψ(γ(τ)) < +∞.
τ∈[0,1]
Dal Teorema 3.16 si trae la seguente estensione del Teorema 3.14:
Teorema 3.17. Siano (X, · ), Ψ = Φ + χ come nella Definizione 3.15, u0, u1 ∈
dom(χ), con u0 = u1, punti di minimo locale per Ψ. Siano Γ, c definiti come nel Teorema
3.16 e Ψ soddisfi la condizione di Palais–Smale a quota c. Allora, esiste u2 ∈ X \ {u0, u1},
punto critico per Ψ, tale che Ψ(u2) = c.
Dimostrazione. Senza perdita di generalità possiamo supporre
e individuare R ∈]0, u1 − u0[ tale che
Ψ(u1) ≤ Ψ(u0) ≤ c,
Ψ(u0) = inf
u∈B(u0,R)
Ψ(u).
Sia F = S(u0, R): chiaramente F è chiuso; inoltre vale (3.16.1) perché ogni cammino
continuo che congiunge u0 e u1 interseca F ; vale anche (3.16.2) perché F ⊂ B(u0, R).
Per il Teorema 3.16 esiste un punto critico u2 ∈ X per Ψ tale che Ψ(u2) = c; rimane
da provare che u2 non coincide con ui (i = 0, 1), distinguendo due casi:
• se Ψ(u0) < c, ovviamente u2 = ui (i = 0, 1);
• se Ψ(u0) = c, si deduce facilmente che inf
u∈F Ψ(u) = c, da cui segue u2 ∈ F , in
particolare u2 = ui (i = 0, 1).
Così la tesi è acquisita.

22 Capitolo 3. Teoria dei punti critici
3.4 Il Principio della criticità simmetrica
Studiando un problema variazionale che presenta una simmetria, è in generale proficuo
cercare soluzioni che siano dotate della stessa simmetria; lo studio può essere decisamente
semplificato allorché sia possibile considerare solo gli elementi dello spazio delle soluzioni
dotati di questa simmetria.
Uno strumento fondamentale, in questo contesto, è il Principio della criticità simmetrica,
introdotto da Palais in [85] e in séguito esteso a problemi sempre più generali.
Prima di introdurre questo risultato, occorre rendere l’idea intuitiva di simmetria più
rigorosa: a tal fine, si può impiegare il concetto di azione di un gruppo su uno spazio di
Banach.
Definizione 3.18. Siano (X, · ) uno spazio di Banach, G un gruppo topologico.
Un’azione di G su X è un’applicazione continua (g, u) ↦→ gu da G × X in X, tale che per
ogni g, h ∈ G e ogni u ∈ X si abbia
(gh)u = g(hu).
L’azione è lineare isometrica se u ↦→ gu è un’isometria lineare per ogni g ∈ G. Un sottoinsieme
K di X è G–invariante se gu ∈ K per ogni g ∈ G, u ∈ K. Un funzionale
Φ : X → R ∪ {+∞} è G–invariante se Φ(gu) = Φ(u) per ogni g ∈ G, u ∈ X.
Un’azione lineare isometrica di G su X induce un’azione di G sul duale (X ∗ , · ∗),
definita per ogni g ∈ G, u ∗ ∈ X ∗ e per ogni u ∈ X da
〈gu ∗ , u〉 = 〈u ∗ , g −1 u〉.
In entrambe le azioni sono individuati gli insiemi dei punti fissi
XG = {u ∈ X : gu = u per ogni g ∈ G} ,
X ∗ G = {u∗ ∈ X ∗ : gu ∗ = u ∗ per ogni g ∈ G} ,
che nelle applicazioni rappresentano gli elementi simmetrici di X e X∗ rispettivamente;
tanto XG che X∗ G sono sottospazi chiusi di X e X∗ rispettivamente, e X∗ G è linearmente
isometrico al duale di XG.
Denotando con ΦG la restrizione a XG di un funzionale Φ definito su X, enunciamo
come segue il Principio della criticità simmetrica di Palais:
Teorema 3.19. ([85], Theorem 5.4) Siano (X, · ) uno spazio di Banach riflessivo,
G un gruppo topologico compatto che agisce su X linearmente e isometricamente, Φ ∈
C 1 (X, R) un funzionale G–invariante e u ∈ XG un punto critico per ΦG. Allora, u è un
punto critico per Φ.
Successivamente, il risultato è stato esteso a classi di funzionali invarianti sempre più
ampie: in [63], Krawcewicz e Marzantowicz hanno provato una versione per funzionali
localmente lipschitziani e gruppi finiti; in [61], Kobayashi e Ôtani hanno studiato i funzionali
di Szulkin, e in [71] Kristály, Cs. Varga e V. Varga hanno infine esteso la teoria ai
funzionali di Motreanu–Panagiotopoulos.

Il Principio della criticità simmetrica 23
Teorema 3.20. ([71], Theorem 2.1) Siano (X, · ) uno spazio di Banach riflessivo, G
un gruppo topologico compatto che agisce su X linearmente e isometricamente, Φ : X →
R un funzionale localmente lipschitziano e G–invariante, χ : X → R ∪ {+∞} proprio,
convesso, s.c.i., continuo su dom(χ) e G–invariante, Ψ = Φ + χ e u ∈ XG un punto critico
per ΨG. Allora, u è un punto critico per Ψ.
Nei Capitoli 5 e 6, applicheremo questo risultato a problemi variazionali di diversa
natura su dominî illimitati, sfruttando la simmetria dei dati e ottenendo soluzioni
simmetriche.

24 Capitolo 3. Teoria dei punti critici

Capitolo 4
Problemi variazionali: uno sguardo
d’insieme
Utilizzando la teoria del minimax, si possono ricavare dei risultati di esistenza e molteplicità
per i punti critici di funzionali di Motreanu–Panagiotopoulos, che si traducono in
teoremi relativi alle soluzioni di problemi variazionali non lineari di diversi tipi.
In questo Capitolo ci proponiamo di offrire un’impostazione generale di tali problemi,
presentando alcuni risultati che saranno sfruttati nel séguito: introdurremo le disequazioni
emivariazionali (Sezione 4.1) e le disequazioni variazionali–emivariazionali (Sezioni 4.2 e
4.3), quindi mostreremo come si possano ricondurre ai modelli precedenti certi problemi
al contorno con nonlinearità discontinue (Sezione 4.4).
I risultati presentati di séguito saranno impiegati nei Capitoli 5 e 6; nel Capitolo 7 ci si
occuperà invece di sistemi hamiltoniani, seguendo un approccio solo in parte variazionale,
quindi introdurremo qualche elemento di teoria per tali problemi solo nel Capitolo a essi
dedicato.
4.1 Disequazioni emivariazionali
Nella Sezione 3.1, abbiamo introdotto le disequazioni emivariazionali (astratte), definendole
come il problema di trovare i punti critici di un funzionale localmente lipschitziano:
in questa Sezione, daremo a questo problema una forma più concreta, riferendoci a una
particolare classe di funzionali localmente lipschitziani, definiti sugli spazi di Lebesgue (o
sui loro sottospazi); la nostra fonte principale sarà il libro di Motreanu e Panagiotopoulos
[81], ma facciamo anche riferimento al lavoro di Chang [22].
Premettiamo alla descrizione del problema una breve ricognizione bibliografica: le disequazioni
emivariazionali furono introdotte da Panagiotopoulos in [86], come una generalizzazione
delle disequazioni variazionali al caso (frequente in meccanica) di potenziali
non convessi; lo studio di disequazioni emivariazionali su dominî illimitati fu inaugurato
da Gazzola e Rădulescu in [52] e sviluppato nei lavori di Kristály [66], [64], di Dályai e
Varga [31], di Varga [114].
25

26 Capitolo 4. Problemi variazionali
Qui cercheremo di offrire una trattazione generale, valida per dominî sia limitati che
illimitati, distinguendo i due casi quando servirà.
Siano N ∈ N (N > 1), Ω ⊆ R N un dominio con frontiera regolare; sia poi H : Ω×R → R
una funzione, detta potenziale, tale che H(·, s) è misurabile per ogni s ∈ R e H(x, ·) è
localmente lipschitziana per q.o. x ∈ Ω.
Assumeremo anche che H soddisfi una condizione di crescita: dati un numero reale
r > 1 e una funzione a ∈ L ∞ (Ω) ∩ L 1 (Ω) a valori quasi ovunque non negativi, supponiamo
che si abbia
(4.1) |ξ| ≤ a(x)(1 + |s| r−1 ) per q.o. x ∈ Ω e ogni s ∈ R, ξ ∈ ∂sH(x, s)
(osserviamo che ovviamente L ∞ (Ω) ⊂ L 1 (Ω) se Ω ha misura finita, mentre la stessa
inclusione si perde se Ω ha misura infinita).
Sullo spazio di Lebesgue (Lr (Ω), · r) definiamo un funzionale JH ponendo per ogni
u ∈ Lr (Ω)
JH(u) = H(x, u(x))dx.
Il prossimo Lemma fornisce le prime proprietà di JH:
Ω
Lemma 4.1. Siano Ω e H come sopra. Allora, il funzionale JH : L r (Ω) → R è ben
definito e localmente lipschitziano, e verifica:
(4.1.1) u ∗ (x) ∈ ∂sH(x, u(x)) per ogni u ∈ L r (Ω), u ∗ ∈ ∂JH(u) e q.o. x ∈ Ω;
(4.1.2) ∂JH(u) ⊆
Ω
(4.1.3) J ◦
H(u; v) ≤
∂sH(x, u(x))dx per ogni u ∈ L r (Ω);
H
Ω
◦ s (x, u(x); v(x))dx per ogni u, v ∈ Lr (Ω).
Dimostrazione. Per il Teorema 3.7, per q.o. x ∈ Ω e per ogni s ∈ R si ha
|H(x, s)| ≤ a(x) (|s| + |s| r ) ;
osservando che a ∈ Lr′ (Ω), da quanto sopra deduciamo che per ogni u ∈ Lr (Ω)
|H(x, u(x))|dx ≤ ar ′ur + a∞u r r,
ergo JH è ben definito.
Ω
Proviamo ora che JH è lipschitziano sui sottoinsiemi limitati di L r (Ω): siano M > 0 e
u, v ∈ L r (Ω) con ur, vr ≤ M, allora
|JH(u) − JH(v)| ≤ ar ′ + 2M r−1
a∞ u − vr.
Le relazioni (4.1.1), (4.1.2) e (4.1.3) si dimostrano come in [81] (Section 1.3 passim):
osserviamo solo che, giacché r > 1, il duale di L r (Ω) si identifica con lo spazio di Lebesgue

Disequazioni emivariazionali 27
Lr′ elemento di Lr′ (Ω) e porre per ogni v ∈ Lr (Ω)
〈u ∗
, v〉 = u ∗ (x)v(x)dx.
(Ω); in particolare, per ogni u ∈ L r (Ω) e u ∗ ∈ ∂JH(u), si può vedere u ∗ come un
Ω
Ciò chiarisce, ci sembra, il significato di (4.1.1).
Presentiamo ora una situazione generica, alla quale ricondurremo alcuni problemi specifici
nel séguito: siano p > 1 un numero reale e (X, · ) uno spazio di Banach con duale
(X ∗ , · ∗) strettamente convesso, A : X → X ∗ la mappa di dualità indotta dalla funzione
peso t ↦→ tp
p (vedi Sezione 2.2); assumiamo inoltre che l’immersione X ↩→ Lr (Ω) sia
continua (identificheremo pertanto X con un sottospazio di L r (Ω)).
che
Chiameremo disequazione emivariazionale il seguente problema: trovare u ∈ X tale
(4.2) 〈A(u), v − u〉 ≤ H ◦ s (x, u(x); v(x) − u(x))dx per ogni v ∈ X.
Ω
Non v’è ambiguità fra questa definizione e quella astratta data nella Sezione 3.1: difatti,
introdotto il funzionale Φ : X → R ponendo per ogni u ∈ X
Φ(u) = up
p
− JH(u),
il problema (4.2) è ricondotto a una disequazione variazionale in senso astratto:
Lemma 4.2. Siano Ω, H, X e Φ come sopra. Allora, il funzionale Φ : X → R è ben
definito e localmente lipschitziano, e ogni punto critico di Φ è una soluzione di (4.2).
Dimostrazione. Per i Lemmi 2.6, 3.4, 3.5 e 4.1, Φ è localmente lipschitziano e verifica
per ogni u, v ∈ X
Φ ◦ (u; u − v) ≤ 〈A(u), u − v〉 + J ◦ H(u; v − u);
ergo, se u ∈ X è un punto critico per Φ, da (4.1.3) si ottiene (4.2).
Le disequazioni emivariazionali hanno anche una forma multivoca, in cui appaiono
come inclusioni differenziali del tipo seguente: trovare u ∈ X tale che
(4.3) A(u) ∈ ∂sH(x, u) per q.o. x ∈ Ω.
Anche questo problema, infatti, si riconduce a una disequazione variazionale astratta:
Lemma 4.3. Siano Ω, H, X e Φ come sopra. Allora, ogni punto critico di Φ è una
soluzione di (4.3).
Dimostrazione. Sia u ∈ X un punto critico di Φ: prima di tutto, estenderemo il
funzionale lineare continuo A(u) ∈ X ∗ allo spazio L r (Ω).
Proviamo dapprima che A(u) è continuo anche rispetto alla topologia indotta su X
dalla norma · r: siano {vn} una successione in X con vnr → 0, e L > 0 una costante
di Lipschitz per JH in un intorno di u; allora, per il Lemma 3.5 si ha
〈A(u), vn〉 ≤ J ◦ H(u; vn) ≤ Lvnr,

28 Capitolo 4. Problemi variazionali
da cui
analogamente si prova che
da cui 〈A(u), vn〉 → 0.
lim sup〈A(u),
vn〉 ≤ 0;
n→∞
lim inf
n→∞ 〈A(u), vn〉 ≥ 0,
Dunque A(u) appartiene al duale di (X, · r), JH(u, ·) è una seminorma su L r (Ω) e
per ogni v ∈ X si ha
〈A(u), v〉 ≤ J ◦ H(u; v);
dal Teorema di Hahn–Banach segue allora l’esistenza di u∗ ∈ Lr′ (Ω) tale che
〈A(u), v〉 =
Ω
u ∗ (x)v(x)dx per ogni v ∈ X,
u
Ω
∗ (x)v(x)dx ≤ J ◦ H(u; v) per ogni v ∈ L r (Ω).
Per la prima delle eguaglianze sopra, A(u) si può identificare con la funzione u ∗ ; dalla
seconda si evince che u ∗ ∈ ∂JH(u): applicando il Lemma 4.1, si ottiene che per q.o. x ∈ Ω
u ∗ (x) ∈ ∂sH(x, u(x)),
dunque A(u) è soluzione di (4.3).
4.2 Disequazioni variazionali–emivariazionali in dimensione
maggiore di uno
Anche le disequazioni variazionali–emivariazionali (astratte) introdotte nella Sezione 3.2
si possono rivestire di una forma più concreta, che consente di adoperarle come modello
di problemi differenziali in cui alle soluzioni sono imposti dei vincoli, espressi attraverso
l’appartenenza a un conveniente sottoinsieme convesso e chiuso dello spazio delle soluzioni:
nella presente Sezione esporremo alcune caratteristiche di questo modello, rifacendoci
ancora a [81]; quindi prenderemo in esame il caso del cono delle funzioni non–negative,
seguendo un approccio adottato da Kyritsi e Papageorgiou in [72].
Siano N, Ω, e H come nella Sezione 4.1, e sia verificata (4.1); siano inoltre X, p, A,
JH e Φ definiti come sopra, sia C un sottoinsieme non vuoto, chiuso e convesso di X, la
cui funzione indicatrice χC è definita come nella Sezione 3.2: ponendo per ogni u ∈ X
Ψ(u) = Φ(u) + χC(u),
introduciamo un funzionale di Motreanu–Panagiotopoulos Ψ : X → R∪{+∞} che assume
valori finiti solo nei punti di C.

Disequazioni variazionali–emivariazionali 29
Chiamiamo disequazione variazionale–emivariazionale il seguente problema: trovare
u ∈ C tale che
(4.4) 〈A(u), v − u〉 ≤ H ◦ s (x, u(x); v(x) − u(x))dx per ogni v ∈ C.
Ω
Il problema (4.4) è ricondotto alla forma astratta (3.1) grazie al seguente Lemma:
Lemma 4.4. Siano Ω, H e X come sopra. Allora, ogni punto critico di Ψ è una soluzione
di (4.4).
Dimostrazione. Basta ricordare le definizione di punto critico secondo Szulkin e quanto
osservato nella Sezione 4.1.
Per le disequazioni variazionali–emivariazionali, passare alla forma multivoca è più
complicato rispetto al caso delle disequazioni emivariazionali: tale difficoltà si può far
risalire al fatto che la derivata del funzionale Φ nel punto u non è calcolata in tutte le
possibili direzioni dello spazio, bensì solo in quelle rappresentate da vettori del tipo v − u
con v ∈ C.
Non stupisce, pertanto, che per trasformare (4.4) in un’inclusione differenziale con
vincoli occorra restringersi a un caso particolare, seguendo un metodo che dobbiamo alla
lettura di [72].
Assumiamo dunque che Ω sia limitato, che p ∈]1, N[ e r ∈]p, p ∗ [, poniamo X =
W 1,p
0 (Ω); sia
C = {u ∈ X : u(x) ≥ 0 per q.o. x ∈ Ω} ;
oltre a (4.1), supponiamo che H verifichi, per un opportuno M > 0, le seguenti condizioni:
(4.5) ξ ≥ 0 (oppure ξ ≤ 0) per q.o. x ∈ Ω e ogni s ≥ m, ξ ∈ ∂sH(x, s);
(4.6) ξ ≥ 0 per q.o. x ∈ Ω e ogni ξ ∈ ∂sH(x, 0).
Rileviamo come, in questo caso, la mappa di dualità si identifichi con −∆p, dove ∆p è
l’operatore p–laplaciano, ossia per ogni u, v ∈ X
〈A(u), v〉 =
Ω
|∇u(x)| p−2 ∇u(x) · ∇v(x)dx.
Consideriamo quindi il seguente problema: trovare u ∈ C tale che
(4.7) A(u) ∈ ∂sH(x, u) per q.o. x ∈ Ω.
Anche questo problema si riduce a una ricerca di punti critici:
Lemma 4.5. Siano Ω, H, X e Ψ come sopra. Allora, ogni punto critico di Ψ è una
soluzione di (4.7).

30 Capitolo 4. Problemi variazionali
Dimostrazione. Sia u ∈ C un punto critico per Ψ: richiamando questa volta la definizione
di punto critico secondo Struwe, risulta mΨ(u) = 0, cioè
inf
sup
u∗∈∂Φ(u) v∈C∩B(u,1)
〈u ∗ , u − v〉 = 0.
Poiché l’insieme ∂Φ(u) è debolmente ∗ compatto (Lemma 3.6) e la funzione
u ∗ ↦→ sup
v∈C∩B(u,1)
〈u ∗ , u − v〉
è debolmente ∗ s.c.i., esiste u ∗ ∈ ∂Φ(u) tale che
sup 〈u
v∈C∩B(u,1)
∗ , u − v〉 = 0.
Per le proprietà del gradiente di Clarke (Lemma 3.6), esiste w ∗ ∈ ∂JH(u) tale che
u ∗ = A(u) − w ∗ .
Per ogni v ∈ X, ε > 0 denotiamo vε = (u + εv) + (si noti che vε ∈ C) e proviamo che
(4.8) 〈u ∗ , u − vε〉 ≤ 0.
Occorre distinguere due casi:
• se u − vε < 1, risulta vε ∈ C ∩ B(u, 1) e non vi è altro da provare;
• se u − vε ≥ 1, per un arbitrario δ > 1 poniamo
così che vε ∈ C ∩ B(u, 1) e
vε = u +
1
(u − vε),
δu − vε
〈u ∗ , u − vε〉 = δu − vε〈u ∗ , u − vε〉 ≤ 0.
Il prossimo passo consiste nel provare che u ∗ = 0, o equivalentemente che per ogni
v ∈ X
〈u ∗ , v〉 ≥ 0.
A tal fine, siano ε > 0 e vε come sopra, quindi vε = u + εv + (u + εv) − : da (4.8) segue
(omettiamo la dipendenza delle integrande da x)
〈u ∗ , εv〉 ≥ −〈u ∗ , (u + εv) − 〉
= −〈A(u), (u + εv) − 〉 + 〈w ∗ , (u + εv) − 〉
=
Ωε
|∇u| p−2
∇u · ∇(u + εv)dx −
Ωε
w ∗ (u + εv)dx,

Disequazioni variazionali–emivariazionali in dimensione uno 31
dove si è posto
Osserviamo che
|∇u| p−2 ∇u · ∇(u + εv)dx =
Ωε
Ωε = {x ∈ Ω : u(x) + εv(x) < 0} .
≥ ε
{x∈Ωε : u(x)>0}
{x∈Ωε : u(x)>0}
|∇u| p−2 ∇u · ∇(u + εv)dx
|∇u| p−2 ∇u · ∇v dx.
È il momento di sfruttare le ipotesi fatte su H: da (4.1) e dal Lemma 4.1 segue che,
per q.o. x ∈ Ωε tale che u(x) ≤ M, si ha |w ∗ (x)| ≤ K (dove K = a∞(1 + M r−1 )); in
(4.5), supponiamo che per q.o. x ∈ Ω tale che u(x) ≥ M si abbia w ∗ (x) ≥ 0 (se vale la
diseguaglianza opposta si procede in modo simile); da (4.6) segue che, per q.o. x ∈ Ωε tale
che u(x) = 0, si ha w ∗ (x) ≥ 0.
Da queste relazioni si ricava che
− w ∗
(u + εv)dx ≥ −
Ωε
≥ K
≥ εK
{x∈Ωε : 0

32 Capitolo 4. Problemi variazionali
Lemma 4.6. L’immersione X ↩→ C 0 ([0, 1], R) è compatta e per ogni u ∈ X si ha
(4.6.1) u∞ ≤ 1
2 u.
Dimostrazione. La compattezza dell’immersione è assicurata da un risultato classico
(si veda per esempio [17], Teorema VIII.7).
u ∈ C ∞ 0
da cui
Poiché C ∞ 0
(]0, 1[) è un sottospazio denso di X, è sufficiente dimostrare (4.6.1) per ogni
(]0, 1[): per ogni t ∈]0, 1[ si ha
2|u(t)| ≤
t
0
u(t) =
t
0
|u ′ (x)|dx +
u ′ (x)dx = −
1
t
1
t
|u ′ (x)|dx =
u ′ (x)dx,
1
0
|u ′ (x)|dx ≤ u;
ne segue (4.6.1).
Siano ora C un sottoinsieme non vuoto, convesso, chiuso di X, H : R → R un potenziale
localmente lipschitziano, α : [0, +∞[→ [0, +∞[ una funzione continua, verificanti
(4.9) |ξ| ≤ α(|s|) per ogni s ∈ R, ξ ∈ ∂H(s)
(si può, senza perdita di generalità, supporre α non–decrescente).
Come di consueto, si definisce un funzionale JH ponendo per ogni u ∈ X
JH(u) =
1
0
H(u(x))dx,
le cui proprietà trovano espressione nel seguente Lemma.
Lemma 4.7. Il funzionale JH : X → R è ben definito, localmente lipschitziano,
sequenzialmente debolmente continuo e verifica
(4.7.1) J ◦ H(u; v) ≤
1
0
H ◦ (u(x); v(x))dx per ogni u, v ∈ X.
Dimostrazione. Per ogni u ∈ X, la funzione H(u(·)) è continua su [0, 1] (Lemma 4.6),
ergo JH è ben definito.
Proviamo ora che JH è lipschitziano sugli insiemi limitati: siano M > 0, u, v ∈ X con
u, v ≤ M; applicando il Teorema 3.7 e (4.6.1), si ottiene
1
|JH(u) − JH(v)| ≤ |H(u(x)) − H(v(x))|dx
≤
≤
0
M
α |u(x) − v(x)|dx
2
1
2 α
M
u − v.
2

Problemi al contorno 33
Proviamo ora che JH è sequenzialmente debolmente continuo: sia {un} una successione
in X, debolmente convergente a u ∈ X; a meno di estratte, si può assumere che {un}
converga a u uniformemente su [0, 1], da cui JH(un) → JH(u).
Infine, (4.7.1) si prova come in [81] (Section 1.3 passim), il che conclude la dimostrazione.
Consideriamo la seguente disequazione variazionale–emivariazionale: trovare u ∈ C
tale che
1 ′ ′ ′ ◦
(4.10) u (x) v (x) − u (x) + H (u(x); u(x) − v(x)) dx ≥ 0 per ogni v ∈ C.
0
Il precedente problema si può studiare secondo i dettami del metodo variazionale
facendo uso del funzionale di Motreanu–Panagiotopoulos Ψ definito ponendo per ogni
u ∈ X
Ψ(u) = u2
2 − JH(u) + χC(u),
come si evince dal seguente Lemma.
Lemma 4.8. Siano C e H come sopra. Allora, ogni punto critico del funzionale Ψ è
una soluzione di (4.10).
Dimostrazione. Basta rammentare la Definizione 3.10 e (4.7.1).
Nella Sezione 5.4 studieremo un problema dell’ostacolo sotto la specie di una disequazione
del tipo (4.10).
4.4 Problemi al contorno con nonlinearità discontinue
Una delle più diffuse applicazioni del calcolo differenziale per funzioni localmente lipschitziane,
descritta da Chang in [22], è l’elaborazione di un metodo variazionale generale per
problemi al contorno su equazioni alle derivate parziali con nonlinearità discontinue: in
questa Sezione, studieremo un problema di Dirichlet con condizioni al contorno omogenee
e nonlinearità fortemente discontinua, riconducendolo al caso esaminato nella Sezione 4.1;
adopereremo idee tratte dall’articolo [79] di Marano e Motreanu.
Siano N ∈ N (N > 2), Ω ⊂ R N un dominio con frontiera ∂Ω regolare, Ω0 un sottoinsieme
misurabile di Ω con misura nulla, h : Ω × R → R una funzione tale che h(·, s) è
misurabile per ogni s ∈ R e verificante le seguenti condizioni: siano a ∈ L ∞ (Ω) ∩ L 1 (Ω)
una funzione tale che a(x) ≥ 0 per q.o. x ∈ Ω e r > 1 tali che
(4.11) |h(x, s)| ≤ a(x)(1 + |s| r−1 ) per ogni x ∈ Ω \ Ω0, s ∈ R;
(4.12) D =
x∈Ω\Ω0
{s ∈ R : h(x, ·) è discontinua in s} ha misura nulla.
In particolare, h(x, ·) è localmente limitata, sicché si possono definire (quasi ovunque)
due funzioni ausiliarie h−, h+ : Ω × R → R ponendo per ogni (x, s) ∈ Ω × R
h−(x, s) = lim ess inf
δ→0 + |t−s|

34 Capitolo 4. Problemi variazionali
su di esse facciamo ulteriori ipotesi: h− e h+ siano sup–misurabili e verifichino
(4.13) h(x, s) = 0 per (x, s) ∈ (Ω \ Ω0) × D tali che h−(x, s) ≤ 0 ≤ h+(x, s).
Alcune osservazioni: la condizione (4.12) rappresenta un’ipotesi di regolarità molto
debole sulla funzione h(x, ·), in quanto (si pensi al caso autonomo) a tale funzione è
concesso avere un insieme infinito di punti di discontinuità, anche dotato di punti di
accumulazione; la condizione (4.13), d’altra parte, annulla i valori della funzione h non in
tutti i punti di discontinuità, bensì solo in quelli in cui essa cambia segno.
Introdotta la funzione H : Ω × R → R ponendo per ogni (x, s) ∈ Ω × R
H(x, s) =
s
0
h(x, t)dt,
si definisce il funzionale integrale JH come nella Sezione 4.1; esso ha le consuete proprietà:
Lemma 4.9. Siano Ω e h come sopra. Allora, il funzionale JH : L r (Ω) → R è ben
definito e localmente lipschitziano, e verifica:
(4.9.1) u ∗ (x) ∈ [h−(x, u(x)), h+(x, u(x))] per ogni u ∈ L r (Ω), u ∗ ∈ ∂JH(u) e q.o. x ∈ Ω.
Dimostrazione. Si ricava facilmente che, per q.o. x ∈ Ω \ Ω0, la funzione H(x, ·) è
localmente lipschitziana e per ogni s ∈ R, ξ ∈ ∂sH(x, s) si ha
(si veda [81], Proposition 1.7).
ξ ∈ [h−(x, s), h+(x, s)]
Dunque H verifica (4.1), da cui segue (per il Lemma 4.1) che JH è ben definito e
localmente lipschitziano; infine, (4.9.1) segue da (4.1.1) e da quanto sopra.
Consideriamo il seguente problema di Dirichlet:
(4.14)
−∆u = h(x, u)
u = 0
in Ω
su ∂Ω
Seguendo Chang [22], conveniamo su quanto segue: una soluzione di (4.14) è una
funzione u ∈ W 1,2
(Ω) tale che per q.o. x ∈ Ω
0 (Ω) ∩ W 2,2
loc
−∆u(x) = h(x, u(x)).
Posto X = W 1,2
0 (Ω), definiamo il funzionale Φ : X → R ponendo per ogni u ∈ X
Φ(u) = u2
2
− JH(u),
che fornisce un’impostazione variazionale al problema (4.14): infatti, ogni suo punto critico
che sia anche una funzione sufficientemente regolare è una soluzione di (4.14).
Lemma 4.10. Siano Ω, h e X come sopra. Allora, il funzionale Φ : X → R è ben
definito e localmente lipschitziano, e per ogni punto critico u ∈ X ∩ W 2,2
loc (Ω) di Φ, u è una
soluzione di (4.14).

Problemi al contorno 35
Dimostrazione. Innanzitutto ricordiamo che, essendo X uno spazio di Hilbert, la relativa
mappa di dualità è l’identità (si veda la Sezione 2.2). Sia u ∈ X ∩ W 2,2
loc (Ω) un punto
critico per Φ: ragionando come nel Lemma 4.3, si deduce l’esistenza di u∗ ∈ Lr′ (Ω) tale
che per ogni v ∈ X
∇u(x) · ∇v(x)dx = u
Ω
Ω
∗ (x)v(x)dx,
ossia, u è una soluzione debole dell’equazione di Laplace
−∆u = u ∗
(sicché possiamo identificare −∆u con la funzione u ∗ ).
D’altra parte, applicando i Lemmi 4.3 e 4.9, risulta che u verifica per q.o. x ∈ Ω
l’inclusione
−∆u(x) ∈ [h−(x, u(x)), h+(x, u(x))];
definito l’insieme
E = {x ∈ Ω \ Ω0 : u(x) ∈ D} ,
per (4.12), impiegando un risultato di De Giorgi, Buttazzo e Dal Maso (si veda [32], Lemma
1) si può porre per ogni x ∈ E
∆u(x) = 0.
Sia ora x ∈ Ω \ Ω0; dimostriamo che
distinguendo due casi:
−∆u(x) = h(x, u(x)),
• se x /∈ E, l’inclusione diventa chiaramente
• se x ∈ E, per quanto sopra si ha
da cui, per (4.13),
−∆u(x) = h(x, u(x));
h−(x, u(x)) ≤ 0 ≤ h+(x, u(x)),
h(x, u(x)) = 0 = −∆u(x).
Con ciò, la tesi è provata.
Ovviamente, non v’è ragione per cui, in generale, un punto critico del funzionale Φ
ricada nello spazio W 2,2
loc (Ω): questo problema di regolarità dovrà essere affrontato caso
per caso, nelle applicazioni.
Nei Capitoli 5 e 6, presenteremo alcuni teoremi di esistenza e di molteplicità per le
soluzioni di problemi simili a (4.14).

36 Capitolo 4. Problemi variazionali

Capitolo 5
Teoremi di molteplicità per
problemi con due parametri
Questo Capitolo è dedicato alle conseguenze del Teorema 1.6 nello studio di problemi
variazionali: la natura eminentemente astratta di quel risultato ci consentirà di adattarlo,
di volta in volta, a contesti differenti, sempre nell’àmbito della teoria dei punti critici per
funzionali non differenziabili, ove lo applicheremo insieme al Teorema 3.17.
Ripercorriamo, seguendo l’articolo riassuntivo di Ricceri [101] (al quale rimandiamo il
lettore anche per ulteriori riferimenti bibliografici), la storia di questo metodo: il punto
di partenza è rappresentato dal seguente risultato di Ricceri, comparso in [94] (si vedano
anche [92], [93]) e noto come Teorema dei tre punti critici.
Teorema 5.1. Siano (X, · ) uno spazio di Banach riflessivo e separabile, Φ ∈
C 1 (X, R) un funzionale sequenzialmente debolmente s.c.i. tale che Φ ′ : X → X ∗ ammette
un inverso continuo, Ψ ∈ C 1 (X, R) un funzionale tale che Ψ ′ : X → X ∗ è compatto,
Λ ⊆ R un intervallo, δ ∈ R verificanti
(5.1.1) sup inf [Φ(u) + λ(δ − Ψ(u))] < inf
u∈X sup [Φ(u) + λ(δ − Ψ(u))];
λ∈Λ u∈X
λ∈Λ
(5.1.2) lim [Φ(u) − λΨ(u)] = +∞ per ogni λ ∈ Λ.
u→+∞
Allora, esistono λ0, λ1 ∈ Λ e σ1 > 0 tali che λ0 < λ1 e che per ogni λ ∈ [λ0, λ1] l’equazione
ammette almeno tre soluzioni in B(0, σ1).
Φ ′ (u) − λΨ ′ (u) = 0
Il Teorema 5.1 è un risultato di molteplicità per i punti critici di una certa classe di
funzionali derivabili secondo Gâteaux con derivata continua, che fornisce anche una stima
delle norme dei punti critici.
Su di esso si fonda il metodo della diseguaglianza di minimax, che nel corso degli anni
è stato applicato con successo a numerosi problemi variazionali classici: senza accampare
pretese di completezza, citiamo qui i lavori di Barletta e Livrea [7], Bonanno [10] e [11]
37

38 Capitolo 5. Problemi con due parametri
(su cui ritorneremo in séguito), Bonanno e Candito [13], Cordaro [29], [30], Kristály [65],
Kristály e Varga [70], Livrea [77], nonché dello stesso Ricceri [91].
Parallelamente, il Teorema 5.1 ha conosciuto diverse estensioni: fra queste appare particolarmente
importante, nella prospettiva della presente tesi, quella stabilita da Marano e
Motreanu in [79], in cui Φ e Ψ sono sostituiti da funzionali di Motreanu–Panagiotopoulos;
questa nuova versione del risultato consente applicazioni a quella vasta classe di problemi
variazionali (descritti nel Capitolo 4) che si riconducono al modello generale delle disequazioni
variazionali–emivariazionali (si vedano, per esempio, l’articolo di Bonanno [12],
quello di Bonanno e Candito [14] e quello di Kristály [64]); segnaliamo inoltre i lavori
di Kristály, Lisei e Varga [68] e di Kristály e Rădulescu [69], in cui sono esaminati altri
problemi differenziali.
Il Teorema 5.1, com’è ovvio, è basato sulla teoria del minimax: grosso modo, l’idea alla
base della sua dimostrazione è che, se la funzione ψ : X × Λ → R definita da
ψ(u, λ) = Φ(u) + λ(δ − Ψ(u))
non verifica l’eguaglianza del minimax (come risulta da (5.1.1)), in virtù di un risultato
simile al Teorema 1.4 (si veda Saint Raymond [104]), per opportuni valori λ ∈ Λ il funzionale
ψ(·, λ) deve ammettere un minimo locale non globale; d’altra parte, (5.1.2) e le
altre ipotesi implicano l’esistenza di un minimo globale per lo stesso funzionale, e un’applicazione
del Teorema del passo di montagna (Teorema 3.14) permette a questo punto di
trovare un terzo punto critico per ψ(·, λ) (che differisce dal funzionale della tesi per una
costante).
Fermiamoci, per il momento, al passaggio dei due punti di minimo locale: applicando
un risultato di minimax più raffinato, come il Teorema 1.5, si può, sotto le medesime
ipotesi, provare una tesi più significativa, che asserisce l’esistenza di almeno due punti di
minimo locale per un funzionale che differisca da ψ(·, λ) per una piccola perturbazione;
questo è il senso del Teorema 1.6, stabilito da Ricceri in [98] (si veda anche [96]).
Se, inoltre, si fa ricorso a una versione del Teorema del passo di montagna più precisa, è
possibile individuare un terzo punto critico per il funzionale perturbato e stimare le norme
di tutti e tre i punti critici in modo uniforme, ossia indipendente dalla perturbazione: nel
campo dei problemi variazionali classici, risultati di questo tipo sono stati stabiliti da
Cammaroto, Chinnì e Di Bella in [19], [18], [20]; in [49], Faraci, Kupán, Varga e l’autore
della presente tesi hanno applicato questo nuovo metodo alle disequazioni emivariazionali
su dominî illimitati.
Questo Capitolo contiene alcuni contributi al metodo della diseguaglianza di minimax:
i risultati esposti sono in massima parte nuovi, ma generalizzano le idee di [49] al caso
delle disequazioni variazionali–emivariazionali; per ragioni tecniche, non abbiamo ritenuto
conveniente formulare un Teorema dei tre punti critici per funzionali di Motreanu–
Panagiotopoulos, preferendo stabilire in astratto solo l’esistenza dei due punti di minimo
locale e indagando la questione del terzo punto critico nelle applicazioni, caso per caso;
inevitabilmente, ciò comporterà alcune ripetizioni ma consentirà di adottare ipotesi e
tecniche ad ogni singola applicazione.

Due minimi locali 39
La struttura del Capitolo è la seguente: dapprima stabiliremo una versione del Teorema
1.6 per una certa classe di funzionali di Motreanu–Panagiotopoulos, corredata di un
Lemma tecnico finalizzato alle applicazioni (Sezione 5.1); quindi adopereremo il risultato
astratto, provando teoremi di molteplicità per le soluzioni di un’inclusione differenziale
con vincolo di positività (Sezione 5.2), di un problema di Dirichlet su una striscia con
nonlinearità discontinue e simmetriche (Sezione 5.3) e del problema dell’ostacolo su una
disequazione emivariazionale in dimensione uno (Sezione 5.4).
5.1 Due minimi locali per funzionali di
Motreanu–Panagiotopoulos perturbati
Il risultato principale della presente Sezione consiste in una riformulazione del Teorema 1.6:
sotto opportune ipotesi, potremo dimostrare l’esistenza di almeno due punti di minimo
locale per una classe di funzionali di Motreanu–Panagiotopoulos perturbati su spazi di
Banach rispetto alla topologia forte; tali punti, ricordiamo, sono punti critici (cui nelle
applicazioni si aggiungerà un terzo punto critico di natura imprecisata individuato col
metodo del passo di montagna).
Inoltre, il nostro risultato fornisce una stima a priori delle norme dei punti critici
ottenuti, che non dipende dalla perturbazione (sulla quale, peraltro, sono fatte ipotesi
molto blande).
Nel seguito, (X, · ) denota uno spazio di Banach riflessivo e separabile; I : X →
R un funzionale localmente lipschitziano, sequenzialmente debolmente s.c.i.; J : X →
R un funzionale localmente lipschitziano, sequenzialmente debolmente continuo; C un
sottoinsieme non vuoto, chiuso, convesso di X; χC : X → R∪{+∞} la funzione indicatrice
di C (definita come nella Sezione 3.2); δ un numero reale; si pone poi Λ = [0, +∞[, e si
definisce una funzione ψ : X × Λ → R ∪ {+∞} ponendo per ogni (u, λ) ∈ X × Λ
ψ(u, λ) = I(u) + λ (δ − J(u)) + χC(u).
Nel presente contesto, il Teorema 1.6 si può riformulare come segue.
Teorema 5.2. Siano X, I, J, C, δ, Λ e ψ come sopra, e siano verificate le seguenti
condizioni:
(5.2.1) sup inf ψ(u, λ) < inf
u∈C sup ψ(u, λ);
λ∈Λ u∈C
λ∈Λ
(5.2.2) lim ψ(u, λ) = +∞ per ogni λ ∈ Λ.
u→+∞
Allora, esistono λ0, λ1 ∈ Λ e σ1 > 0 tali che λ0 < λ1 e che per ogni λ ∈ [λ0, λ1] e ogni
funzionale Φ : X → R localmente lipschitziano, sequenzialmente debolmente s.c.i., esiste
µ1 > 0 tale che per ogni µ ∈]0, µ1[ il funzionale ψ(·, λ) + µΦ(·) ammette almeno due punti
di minimo locale giacenti in C ∩ B(0, σ1).

40 Capitolo 5. Problemi con due parametri
Dimostrazione. Applicheremo il Teorema 1.6 denotando τ la topologia debole su X,
ponendo Λ1 =]0, +∞[ e scegliendo ρ0 ∈ R verificante
sup inf
u∈C ψ(u, λ) < ρ0 < inf
u∈C sup ψ(u, λ).
λ∈Λ
Tutte le ipotesi del Teorema 1.6 sono soddisfatte: in primo luogo osserviamo che ψ(u, ·)
è una funzione affine (in particolare, continua) per ogni u ∈ X.
La condizione (1.6.1) è verificata in quanto equivale a (5.2.1), come si vede facilmente.
La condizione (1.6.2) è verificata per quanto osservato sopra in merito alla funzione
ψ(u, ·).
La condizione (1.6.3) è verificata in quanto, per ogni λ ∈ Λ1, il funzionale ψ(·, λ)
è proprio, sequenzialmente debolmente s.c.i. e coercivo (5.2.2), sicché per ogni ρ < ρ0
l’insieme ψ(·, λ) ρ risulta limitato e sequenzialmente debolmente chiuso: pertanto, per il
Teorema di Eberlein–Smulyan, ψ(·, λ) ρ è (sequenzialmente) debolmente compatto.
Siano dunque λ0, λ1 ∈ Λ come nel Teorema 1.6, e sia definito l’insieme
S =
ψ(·, λ) ρ0 .
Si ha
λ∈[λ0,λ1]
λ∈Λ
S = ψ(·, λ0) ρ0 ∪ ψ(·, λ1) ρ0 ;
infatti, per ogni u ∈ S esiste λ ∈ [λ0, λ1] tale che ψ(u, λ) < ρ0 e si possono distinguere due
casi:
• se J(u) ≤ δ, si ha ψ(u, λ0) ≤ ψ(u, λ) < ρ0;
• se J(u) > δ, si ha ψ(u, λ1) ≤ ψ(u, λ) < ρ0.
In particolare, poiché gli insiemi ψ(·, λ0) ρ0 , ψ(·, λ1) ρ0 sono limitati, esiste σ1 > 0 tale
che
(5.1) S ⊆ B(0, σ1)
(questo procedimento è stato introdotto da Anello in [4]).
Siamo ora in una posizione propizia per provare la nostra tesi: siano λ ∈ [λ0, λ1], Φ un
funzionale localmente lipschitziano, sequenzialmente debolmente s.c.i. e sia µ0 > 0 scelto
ad arbitrio.
La condizione (1.6.4) è verificata in quanto Φ è sequenzialmente debolmente s.c.i. e
ψ(·, λ) ρ0
è sequenzialmente debolmente compatto.
La condizione (1.6.5) è verificata in quanto, per ogni µ ∈]0, µ0[, ψ(·, λ)+µΦ(·) è somma
di due funzionali sequenzialmente debolmente s.c.i.
Per il Teorema 1.6, esiste µ1 > 0 tale che, per ogni µ ∈]0, µ1[, esistono u0, u1 ∈ ψ(·, λ) ρ0
(u0 = u1) punti di minimo locale per ψ(·, λ) + µΦ(·) rispetto alla topologia τ ψ(·,λ): da (5.1)
segue che
u0, u1 ∈ C ∩ B(0, σ1).

Due minimi locali 41
Inoltre, per ogni i ∈ {0, 1} il funzionale ψ(·, λ) + µΦ(·) ha in ui un minimo locale
forte: infatti, per definizione di τ ψ(·,λ) esistono un sottoinsieme U debolmente aperto di X
e ρ ∈ R tali che per ogni u ∈ U ∩ ψ(·, λ) ρ si ha
(5.2) ψ(u, λ) + µΦ(u) ≥ ψ(ui, λ) + µΦ(ui).
Giacché la restrizione di ψ(·, λ)+µΦ(·) all’insieme C è continua, esiste un sottoinsieme
V aperto (rispetto alla topologia forte) di X tale che
ψ(·, λ) ρ = V ∩ C;
si vede subito che per ogni u ∈ U ∩ V vale (5.2), di modo che ui risulta essere un punto di
minimo locale per ψ(·, λ) + µΦ(·) rispetto alla topologia forte.
Questo conclude la dimostrazione.
Un commento: nell’ultima parte della dimostrazione del Teorema 5.2, è imprescindibile
la continuità della funzione χC (e quindi del funzionale in esame) sull’insieme dom(χC) =
C; rammentiamo, in proposito, quanto osservato a margine della Definizione 3.9.
Nelle applicazioni del Teorema 5.2 a problemi variazionali, occorre trovare condizioni
sui dati che garantiscano le sue ipotesi fondamentali: in particolare, la condizione (5.2.1)
può essere garantita attraverso ipotesi intermedie tutt’altro che banali; Bonanno, in [11],
ha introdotto alcune condizioni che implicano la diseguaglianza (5.2.1) o sono ad essa
equivalenti.
Il seguente Lemma è analogo a un risultato di [11] (Proposition 2.1).
Lemma 5.3. Siano X, I, J, C, Λ e ψ come sopra, e siano δ ∈ R, w0, w1 ∈ C verificanti
le seguenti condizioni:
(5.3.1) J(w0) < δ < J(w1);
(5.3.2) inf
u∈C∩J δ
I(u) > (J(w1) − δ)I(w0) + (δ − J(w0))I(w1)
.
J(w1) − J(w0)
Allora, vale la diseguaglianza (5.2.1).
Dimostrazione. Sia
m = inf
u∈C∩J δ
I(u)
(si ha m ∈ R in quanto w1 ∈ C ∩ J δ); da (5.3.1), (5.3.2) segue
(5.3)
Fissato λ ∈ Λ, vanno distinti due casi:
I(w1) − m
J(w1) − δ < I(w0) − m
J(w0) − δ .
• se λ > I(w1) − m
J(w1) − δ , si ha ψ(w1, λ) < m;
• se λ ≤ I(w1) − m
J(w1) − δ , applicando (5.3) si ha ψ(w0, λ) < m.

42 Capitolo 5. Problemi con due parametri
Ergo, in ogni caso si ha
inf ψ(u, λ) < m;
u∈C
peraltro, la funzione λ ↦→ inf ψ(u, λ) è s.c.s. in Λ e
u∈C
esiste allora ¯ λ ∈ Λ tale che
Ne segue
lim
λ→+∞ inf ψ(u, λ) ≤ lim
u∈C λ→+∞ ψ(w1, λ) = −∞;
sup inf
λ∈Λ u∈C
ψ(u, λ) = inf
u∈C ψ(u, ¯ λ).
(5.4) sup inf ψ(u, λ) < m.
λ∈Λ u∈C
D’altra parte, fissato u ∈ C, si incontra un altro bivio:
• se J(u) < δ, si ha sup ψ(u, λ) = +∞;
λ∈Λ
• se J(u) ≥ δ, si ha sup ψ(u, λ) = I(u).
λ∈Λ
Ne segue
(5.5) inf
u∈C sup ψ(u, λ) = m.
λ∈Λ
Da (5.4) e (5.5), infine, è dedotta (5.2.1).
Nelle Sezioni 5.2, 5.3 dimostreremo la diseguaglianza di minimax (5.2.1) direttamente,
mentre nella Sezione 5.4 faremo uso del Lemma 5.3.
5.2 Tre soluzioni positive per un’inclusione differenziale
In questa Sezione studieremo le soluzioni non–negative di un’inclusione differenziale, seguendo
il metodo delineato nella Sezione 4.2.
Siano N ∈ N (N > 1), Ω ⊂ R N un dominio limitato con frontiera ∂Ω regolare,
p ∈]1, N[; introduciamo F, G : Ω×R → R tali che le funzioni F (·, s), G(·, s) siano misurabili
per ogni s ∈ R e F (x, ·), G(x, ·) siano localmente lipschitziane per q.o. x ∈ Ω.
Siano, per opportuni k, h > 0, q ∈]1, p[, r ∈]p, p ∗ [, verificate le seguenti condizioni di
crescita su F e sugli elementi del suo gradiente:
(5.6) |ξ| ≤ k(|s| p−1 + |s| r−1 ) per q.o. x ∈ Ω e ogni s ∈ R, ξ ∈ ∂sF (x, s);
(5.7) F (x, s) ≤ h(1 + |s| q ) per q.o. x ∈ Ω e ogni s ∈ R.

Soluzioni positive 43
Inoltre, esistano s1 > 0 e un insieme aperto Ω1 con m(Ω1) > 0, cl(Ω1) ⊂ Ω tali che
(5.8) F (x, 0) = 0 per q.o. x ∈ Ω, F (x, s1) > 0 per q.o. x ∈ Ω1.
Completano le ipotesi su F le seguenti condizioni di segno sugli elementi del gradiente,
verificate per un conveniente M > 0:
(5.9) ξ ≥ 0 (oppure ξ ≤ 0) per q.o. x ∈ Ω e ogni s ≥ M, ξ ∈ ∂sF (x, s);
(5.10) ξ ≥ 0 per q.o. x ∈ Ω e ogni ξ ∈ ∂sF (x, 0).
Imponiamo alcune condizioni anche su G:
(5.11) |ξ| ≤ k(1 + |s| r−1 ) per q.o. x ∈ Ω e ogni s ∈ R, ξ ∈ ∂sG(x, s);
(5.12) ξ ≥ 0 (oppure ξ ≤ 0) per q.o. x ∈ Ω e ogni s ≥ M, ξ ∈ ∂sG(x, s);
(5.13) ξ ≥ 0 per q.o. x ∈ Ω e ogni ξ ∈ ∂sG(x, 0).
Sotto le precedenti ipotesi, siamo interessati alla ricerca delle soluzioni positive di
un’inclusione differenziale dipendente da due parametri λ, µ > 0:
(5.14)
⎧
⎨
⎩
−∆pu ∈ λ∂sF (x, u) + µ∂sG(x, u) in Ω
u ≥ 0 in Ω
u = 0 in ∂Ω
Applicando il Teorema 5.2 e il Teorema 3.17, stabiliremo per il problema (5.14) l’esistenza
di almeno due (o tre) soluzioni per opportuni λ, µ, e una stima uniforme delle
norme di tali soluzioni.
Come già ricordato (Sezione 4.2), un’inclusione differenziale con il vincolo di non–
negatività delle soluzioni è stata studiata da Kyritsi e Papageorgiou in [72].
Denotiamo X = W 1,p
0 (Ω) e ricordiamo che l’immersione X ↩→ L ν (Ω) è continua (con
costante cν > 0) per ogni ν ∈ [1, p ∗ ] e compatta per ogni ν ∈ [1, p ∗ [ (si veda il testo di
Evans [42], p. 272).
Poniamo
C = {u ∈ X : u(x) ≥ 0 per q.o. x ∈ Ω} ,
osservando che C è un cono chiuso e convesso; definiamo, inoltre, la funzione indicatrice
χC al solito modo.
Introduciamo due funzionali ponendo per ogni u ∈ X
JF (u) = F (x, u(x))dx, JG(u) = G(x, u(x))dx.
Ω
Ω
.

44 Capitolo 5. Problemi con due parametri
In forza delle condizioni (5.6) e (5.11), JF e JG sono funzionali localmente lipschitziani
e verificano per ogni u, v ∈ X
J ◦ F (u; v) ≤
(si veda il Lemma 4.1).
F
Ω
◦ s (x, u(x); v(x))dx, J ◦ G(u; v) ≤
Ω
G ◦ s(x, u(x); v(x))dx
Per ogni λ, µ > 0, il funzionale dell’energia associato al problema (5.14) è definito
ponendo per ogni u ∈ X
Vale infatti quanto segue:
Eλ,µ(u) = up
p − λJF (u) − µJG(u) + χC(u).
Lemma 5.4. Per ogni λ, µ > 0, Eλ,µ : X → R ∪ {+∞} è un funzionale di Motreanu–
Panagiotopoulos, e ogni suo punto critico è una soluzione di (5.14).
Dimostrazione. Rammentiamo quanto stabilito nella Sezione 4.2 e poniamo per ogni
(x, s) ∈ Ω × R
H(x, s) = λF (x, s) + µG(x, s);
chiaramente H soddisfa le condizioni (4.1), (4.5) e (4.6), mentre il problema (4.7) è
equivalente al nostro (5.14): quindi basta applicare il Lemma 4.5.
Grazie al Teorema 5.2, proveremo, sotto opportune restrizioni sui parametri λ, µ,
l’esistenza di almeno due punti di minimo locale in C per Eλ,µ; quindi, servendoci del
Teorema 3.17, affiancheremo a essi un terzo punto critico; poiché la dimostrazione del
nostro risultato è alquanto laboriosa, preferiamo alleggerirla introducendo alcuni lemmi
preliminari.
Lemma 5.5. Il funzionale JF : X → R è sequenzialmente debolmente continuo e per
ogni λ ≥ 0 si ha
up (5.5.1) lim
u→+∞ p − λJF
(u) = +∞.
Dimostrazione. Proviamo che JF è sequenzialmente debolmente continuo, ragionando
per assurdo: siano {vn} una successione in X debolmente convergente a v ∈ X e ε > 0 tali
che per ogni n ∈ N
(5.15) |JF (vn) − JF (v)| ≥ ε.
Poiché l’immersione X ↩→ Lr (Ω) è compatta, esiste una sottosuccessione, ancora denotata
{vn}, tale che vn − vr → 0; possiamo anche assumere che vnr, vr ≤ K per
ogni n ∈ N (per un opportuno K > 0): applicando il Teorema 3.7 e (5.6) si ottiene
|JF (vn) − JF (v)| ≤ |F (x, vn(x)) − F (x, v(x))|dx
Ω
≤ 2k 1 + |vn(x)| r−1 + |v(x)| r−1 |vn(x) − v(x)|dx
≤ 2k
Ω
m(Ω) r−1
r + 2K r−1
vn − vr,

Soluzioni positive 45
da cui JF (vn) → JF (v), contro (5.15).
Proviamo ora (5.5.1): basta ricordare (5.7) e osservare che per ogni λ ≥ 0 e ogni u ∈ X
u p
p − λJF (u) ≥ up
p
− λh (1 + |u(x)|
Ω
q ) dx
≥ up
p − λh m(Ω) + c q qu q .
Così la dimostrazione è conclusa.
Lemma 5.6. Il funzionale JG : X → R è sequenzialmente debolmente continuo.
Dimostrazione. Si procede come per il Lemma 5.5.
Lemma 5.7. Esiste w ∈ C tale che JF (w) > 0.
Dimostrazione. Sia ε ∈ R verificante
0 < ε <
Ω1
F (x, s1)dx.
Usando (5.6) e il Teorema 3.7 si prova che la funzione
x ↦→ max |F (x, s)|
|s|≤s1
è sommabile: pertanto esiste ζ > 0 tale che per ogni sottoinsieme misurabile A di Ω con
m(A) < ζ si ha
(5.16)
max |F (x, s)|dx < ε.
A |s|≤s1
Sia dunque Ω2 un aperto tale che cl(Ω1) ⊂ Ω2, cl(Ω2) ⊂ Ω e m(Ω2 \ Ω1) < ζ: per
risultati classici, esiste una funzione w ∈ C ∞ 0 (Ω) tale che w(x) ∈ [0, s1] per ogni x ∈ Ω e
chiaramente w ∈ C e
JF (w) =
s1 se x ∈ Ω1
w(x) =
;
0 se x ∈ Ω \ Ω2
Ω1
> ε −
F (x, s1)dx +
Ω2\Ω1
Ω2\Ω1
max |F (x, s)|dx,
|s|≤s1
F (x, w(x))dx
che per (5.16) implica la tesi.
Il prossimo Lemma è il cuore della presente Sezione: esso consente di acquisire (per
via diretta, senza adoperare esplicitamente il Lemma 5.3) la diseguaglianza di minimax
(5.2.1).

46 Capitolo 5. Problemi con due parametri
Per semplificare le cose, introduciamo a questo punto una notazione che ricalca quella
della Sezione 5.1: per ogni u ∈ X poniamo
inoltre, denotiamo Λ = [0, +∞[.
I(u) = up
p , J(u) = JF (u);
Lemma 5.8. Esiste δ > 0 tale che, definita ψ : X × Λ → R ∪ {+∞} come nella Sezione
5.1, si ha
(5.8.1) sup inf ψ(u, λ) < inf
u∈C sup ψ(u, λ).
λ∈Λ u∈C
λ∈Λ
Dimostrazione. Per ogni t > 0 poniamo
η(t) = sup
u∈C∩I t
J(u),
osservando che η(t) ≥ 0 per ogni t > 0; proveremo che
(5.17) lim
t→0 +
η(t)
= 0.
t
A tal fine, sia ε > 0: per (5.6) esiste kε > 0 tale che per q.o. x ∈ Ω e ogni s ∈ R,
ξ ∈ ∂sF (x, s)
|ξ| ≤ ε|s| p−1 + kε|s| r−1 ,
da cui, usando il solito Teorema 3.7, per q.o. x ∈ Ω e ogni s ∈ R si ottiene
|F (x, s)| ≤ ε|s| p + kε|s| r .
Da quanto sopra ricaviamo che per ogni u ∈ X
da cui per ogni t > 0
che a sua volta implica (5.17).
J(u) ≤ εc p pu p + kεc r ru r ,
η(t) ≤ εc p p(pt) + kεc r r(pt) r
p ,
Richiamando il Lemma 5.7, determiniamo t ∈]0, I(w)[ e δ ∈ R tali che
(5.18) η(t) < δ < tJ(w)
I(w) ,
sicché in particolare J(w) > δ.
Possiamo ora provare la diseguaglianza (5.8.1): in primo luogo, osserviamo che la
funzione
λ ↦→ inf ψ(u, λ)
u∈C

Soluzioni positive 47
è s.c.s. (come inviluppo inferiore di funzioni continue) e verifica
ergo esiste ¯ λ ∈ Λ tale che
Dimostriamo che
lim
λ→+∞ inf ψ(u, λ) = −∞,
u∈C
sup inf
λ∈Λ u∈C
ψ(u, λ) = inf
u∈C ψ(u, ¯ λ).
(5.19) inf
u∈C ψ(u, ¯ λ) < t,
distinguendo due casi:
• se ¯ λ < t
, si ricava
δ
• se ¯ λ ≥ t
, da (5.18) si ricava
δ
D’altra parte si ha
ψ(0, ¯ λ) = ¯ λδ < t;
ψ(w, ¯ λ) ≤ I(w) + t
(δ − J(w)) < t.
δ
(5.20) inf
u∈C sup ψ(u, λ) ≥ t.
λ∈Λ
Infatti, fissato u ∈ C, si possono ancora distinguere due casi:
• se J(u) < δ, si ricava
• se J(u) ≥ δ, per definizione di η si ricava
sup ψ(u, λ) = +∞;
λ∈Λ
sup ψ(u, λ) ≥ t.
λ∈Λ
Da (5.19) e (5.20) segue infine (5.8.1).
Introduciamo ora il risultato principale:
Teorema 5.9. Siano Ω, F come sopra. Allora, esistono λ0, λ1 > 0 e σ1, σ2 > 0 tali
che λ0 < λ1 e
(5.9.1) per ogni λ ∈ [λ0, λ1] e ogni G come sopra, esiste µ1 > 0 tale che per ogni µ ∈]0, µ1[
il problema (5.14) ammette almeno due soluzioni in C ∩ B(0, σ1);

48 Capitolo 5. Problemi con due parametri
(5.9.2) per ogni λ ∈ [λ0, λ1] e ogni G come sopra, verificante anche
G(x, s) ≤ h(1 + |s| p ) per q.o. x ∈ Ω e ogni s ∈ R,
esiste µ2 > 0 tale che per ogni µ ∈]0, µ2[ il problema (5.14) ammette almeno tre
soluzioni in C ∩ B(0, σ2);
Dimostrazione. Proviamo (5.9.1) applicando il Teorema 5.2: i dati sono conformi alle
sue ipotesi, in quanto X è uno spazio di Banach riflessivo e separabile, I è localmente
lipschitziano e sequenzialmente debolmente s.c.i. (in quanto è convesso), J è localmente
lipschitziano e sequenzialmente debolmente continuo (Lemma 5.5), C è non vuoto, chiuso
e convesso; inoltre, scelto δ come nel Lemma 5.8, da (5.8.1) segue (5.2.1), mentre da (5.5.1)
segue (5.2.2).
Siano dunque λ0, λ1 ∈ Λ (possiamo supporre λ0 > 0) e σ1 > 0 come nel Teorema 5.2:
dati λ ∈ [λ0, λ1] e G come in (5.9.1), si ponga
Φ = −JG;
allora, Φ è localmente lipschitziano e sequenzialmente debolmente continuo (Lemma 5.6),
sicché esiste µ1 > 0 tale che per ogni µ ∈]0, µ1[ il funzionale ψ(·, λ) + µΦ(·) ammette
almeno due punti di minimo locale u0, u1 ∈ C ∩ B(0, σ1).
Poiché per ogni u ∈ X si ha
Eλ,µ(u) = ψ(u, λ) + µΦ(u) − λδ,
segue che u0 e u1 sono punti di minimo locale per Eλ,µ, e quindi soluzioni di (5.14) (Lemma
5.4).
Proviamo ora (5.9.2), non senza aver premesso alcuni calcoli: acquisiti λ0, λ1 e σ1, sia
fissato ¯µ ∈ R tale che
0 < ¯µ < 1
phc p p
e si ponga per ogni t > 0
chiaramente
ϑ(t) =
1
p − ¯µhcp
p t p − λ1hc q qt q − (λ1 + ¯µ)hm(Ω);
(5.21) lim ϑ(t) = +∞,
t→+∞
quindi, posto
esiste σ2 > σ1 tale che per ogni t ≥ σ2
R = σp 1
p + λ1k c p pσ p
1 + crrσ r 1 + ¯µk (c1σ1 + c r rσ r 1) ,
(5.22) ϑ(t) > R.

Soluzioni positive 49
Siano ora λ ∈ [λ0, λ1] e G come in (5.9.2): determinato µ1 > 0 come in (5.9.1), poniamo
µ2 = min{µ1, ¯µ}.
Fissato µ ∈]0, µ2[, per ogni u ∈ X si ha
Eλ,µ(u) ≥ up
− λh
p
(1 + |u(x)| q
) dx − µh
Ω
Ω
(1 + |u(x)| p ) dx
≥ up
p − λ1h m(Ω) + c q qu q − ¯µh m(Ω) + c p pu p = ϑ(u);
questo, insieme a (5.21), implica che Eλ,µ è coercivo.
Proviamo ora che Eλ,µ soddisfa la proprietà di Palais–Smale a qualunque quota (si
veda la Definizione 3.15): siano, a tal fine, {vn} una successione in C tale che {Eλ,µ(vn)} è
limitata e {εn} una successione infinitesima di numeri reali positivi, in modo che per ogni
n ∈ N, v ∈ C (omettendo la dipendenza delle integrande da x)
|∇vn|
Ω
p−2 ∇un · (∇vn − ∇v)dx ≤ λJ ◦ F (vn; vn − v) + µJ ◦ G(vn; vn − v) + εnvn − v.
Dunque, {vn} è limitata, e, passando a una sottosuccessione, possiamo assumere che
esista v ∈ C tale che {vn} converga a v debolmente in X e fortemente in ciascuno degli
spazi L 1 (Ω), L p (Ω) e L r (Ω); dalla stima
Ω
|∇vn| p−2 ∇vn · (∇vn − ∇v)dx ≤
λk vn p−1
p vn − vp + vn r−1
r vn − vr +µk vn − v1 + vn r−1
r vn − vr +εnvn−v
si deduce allora che
lim sup |∇vn|
n Ω
p−2 ∇vn · (∇vn − ∇v)dx ≤ 0;
d’altra parte, poiché vn ⇀ v si ha
lim |∇v|
n
p−2 ∇v · (∇vn − ∇v)dx = 0,
Ω
sicché
lim sup |∇vn|
n Ω
p−2 ∇vn − |∇v| p−2 ∇v · (∇vn − ∇v)dx ≤ 0.
Rammentando le proprietà delle mappe di dualità (Lemma 2.6) segue
vn − v → 0.
È il momento di ricorrere al Teorema 3.17: siano u0, u1 ∈ C ∩ B(0, σ1) i due punti di
minimo locale di Eλ,µ individuati da (5.9.1), e siano Γ, c definiti come nella Sezione 3.3;
esiste allora un punto critico u2 ∈ C \ {u0, u1} per Eλ,µ tale che
Eλ,µ(u2) = c.

50 Capitolo 5. Problemi con due parametri
Dimostreremo adesso che
(5.23) c ≤ R;
a tal fine, definiamo il cammino ¯γ ∈ Γ ponendo per ogni τ ∈ [0, 1]
¯γ(τ) = τu1 + (1 − τ)u0
e osserviamo che per ogni τ ∈ [0, 1] si ha ¯γ(τ) ∈ C ∩ B(0, σ1) e
Eλ,µ(¯γ(τ)) ≤ I(¯γ(τ)) + λ1|JF (¯γ(τ))| + ¯µ|JG(¯γ(τ))|
≤ I(¯γ(τ)) + λ1k ¯γ(τ) p p + ¯γ(τ) r r + ¯µk [¯γ(τ)1 + ¯γ(τ) r r] ≤ R,
quindi, poiché
si ha (5.23).
Da (5.22) e (5.23) segue che
c ≤ sup Eλ,µ(¯γ(τ)),
τ∈[0,1]
u2 < σ2,
di modo che u0, u1, u2 ∈ C ∩ B(0, σ2); inoltre, per il Lemma 5.4, si tratta di tre soluzioni
del problema (5.14).
Questo conclude la dimostrazione.
Due brevi osservazioni: per il problema (5.14), che coinvolge due parametri reali λ, µ e
una perturbazione rappresentata dalla funzione G, il Teorema 5.9 garantisce l’esistenza di
due (o tre) soluzioni le cui norme sono dominate da una costante σ1 (o σ2) indipendente
da λ, µ e G; inoltre, diversamente da quanto accade sovente nello studio di problemi di
questo tipo, le ipotesi non implicano che il problema (5.14) ammetta la soluzione nulla (si
veda, in particolare, (5.11)), sicché nessuna sua soluzione può dirsi “banale”.
D’altra parte, è doveroso osservare come il metodo esposto nella presente Sezione non
sia l’unico atto a trovare soluzioni non–negative per inclusioni differenziali: nelle stesse
ipotesi, infatti (con particolare riferimento alle condizioni (5.10) e (5.13)), è possibile
trattare il problema attraverso il metodo dei troncamenti senza ricorrere ai funzionali di
Motreanu–Panagiotopoulos (per una applicazione del metodo dei troncamenti a problemi
simili a quello qui studiato si veda il lavoro di Kyritsi e Papageorgiou [74]).
In conclusione, presentiamo un esempio tipico di potenziali localmente lipschitziani che
soddisfano le nostre ipotesi: ci sia consentito rilevare qui come questa classe di potenziali
appaia particolarmente adatta all’applicazione del metodo esposto; infatti, le condizioni
imposte sul potenziale principale F (segnatamente (5.6)) richiedono che esso mostri comportamenti
diversi in prossimità di zero e all’infinito, il che è perfettamente normale per
un potenziale localmente lipschitziano, ma non troppo comune per un potenziale di classe
C 1 .

Nonlinearità discontinue e simmetriche 51
Esempio 5.10. Siano Ω, p come sopra e siano q ∈]1, p[, r ∈]p, p ∗ [: dette a, b ∈ L ∞ (Ω)
due funzioni non–negative, siano F , G le funzioni definite ponendo per ogni (x, s) ∈ Ω × R
F (x, s) = a(x) min{|s| q , |s| r },
G(x, s) = b(x) min{|s| p , |s| r } + s;
allora, applicando (5.9.2), si prova l’esistenza di λ0, λ1 > 0 e di σ2 > 0 tali che per ogni
λ ∈ [λ0, λ1] esiste µ2 > 0 tale che per ogni µ ∈]0, µ2[ il problema (5.14) ammette almeno
tre soluzioni con norme minori di σ2 (e tali soluzioni sono non–nulle).
5.3 Tre soluzioni per un problema di Dirichlet con nonlinearità
discontinue e simmetriche
Nella presente Sezione studieremo un problema di Dirichlet con nonlinearità fortemente
discontinue (del tipo introdotto nella Sezione 4.4) su una striscia illimitata: per ovviare
agli inconvenienti dovuti al tipo di dominio considerato, supporremo che le nonlinearità
coinvolte abbiano una simmetria cilindrica e sfrutteremo il Principio della criticità
simmetrica.
Siano m, N ∈ N tali che N ≥ m + 2, ω ⊂ R m un dominio limitato con frontiera ∂ω
regolare tale che 0 ∈ ω, e Ω = ω × R N−m .
Denotiamo O(R N ) il gruppo delle isometrie lineari di R N e G il sottogruppo di O(R N )
formato dalle isometrie lineari che lasciano invariate le prime m coordinate (vale a dire G =
{idR m} × O(RN−m )): osserviamo che Ω è G–invariante; nel séguito, diremo simmetriche le
funzioni definite su Ω invarianti rispetto a G (geometricamente, si tratta di una simmetria
assiale o cilindrica).
Siano Ω0 un sottoinsieme di Ω di misura nulla e f, g : Ω × R → R due funzioni tali che
f(·, s) e g(·, s) sono misurabili e simmetriche per ogni s ∈ R.
Occorre formulare alcune ipotesi sulla funzione f, che rappresenta la nonlinearità principale
del problema che siamo in procinto di studiare: in primo luogo, assumiamo che
esistano r ∈]2, 2 ∗ [ e una funzione a ∈ L ∞ (Ω) ∩ L 1 (Ω) a valori quasi ovunque non negativi,
non identicamente nulla, tali che
(5.24) |f(x, s)| ≤ a(x) |s| + |s| r−1 per ogni x ∈ Ω \ Ω0, s ∈ R.
Inoltre, concediamo alla funzione f(x, ·) (per q.o. x ∈ Ω) un forte grado di discontinuità,
richiedendo solo la seguente condizione:
(5.25) Df =
{s ∈ R : f(x, ·) è discontinua in s} ha misura nulla.
x∈Ω\Ω0
Le precedenti ipotesi consentono di definire, per q.o. x ∈ Ω e ogni s ∈ R, il potenziale
F ponendo
F (x, s) =
s
0
f(x, t)dt;

52 Capitolo 5. Problemi con due parametri
su esso è altresì necessario imporre le seguenti condizioni, verificate per un opportuno
q ∈]1, 2[ e una funzione b ∈ L ∞ (Ω) ∩ L 1 (Ω) a valori quasi ovunque non negativi:
(5.26) F (x, s) ≤ b(x) (1 + |s| q ) per ogni x ∈ Ω \ Ω0, s ∈ R.
(5.27) esistano s1 ∈ R, R1 > 0 tali che F (x, s1) > 0 per ogni x ∈ Ω \ Ω0, |x| < R1.
La funzione g, che nel problema in esame avrà il ruolo di una perturbazione, è soggetta
a vincoli più lievi:
(5.28) |g(x, s)| ≤ a(x) 1 + |s| r−1 per ogni x ∈ Ω \ Ω0, s ∈ R.
(5.29) Dg =
x∈Ω\Ω0
Poniamo inoltre per q.o. x ∈ Ω e ogni s ∈ R
{s ∈ R : g(x, ·) è discontinua in s} ha misura nulla.
G(x, s) =
s
0
g(x, t)dt.
Definite le funzioni f−, f+, g−, g+ come nella Sezione 4.4, ipotizziamo infine che esse
siano sup–misurabili e verifichino, per ogni λ, µ > 0, la seguente condizione:
(5.30) λf(x, s) + µg(x, s) = 0 per ogni x ∈ Ω \ Ω0, s ∈ Df ∪ Dg tali che
λf−(x, s) + µg−(x, s) ≤ 0 ≤ λf+(x, s) + µg+(x, s).
Sotto le precedenti ipotesi, studieremo il seguente problema di Dirichlet con condizioni
al contorno omogenee, dipendente dai due parametri positivi λ, µ:
−∆u = λf(x, u) + µg(x, u) in Ω
(5.31)
u = 0 in ∂Ω .
In particolare, il risultato principale di questa Sezione assicura l’esistenza, per opportuni
λ, µ > 0, di due (o tre) soluzioni simmetriche di (5.31) e fornisce una stima uniforme
delle loro norme; rammentiamo che le soluzioni di (5.31) sono definite come nella Sezione
4.4.
Problemi del tipo (5.31) sono stati studiati da Chang in [22], da Marano e Motreanu
in [79], da Bonanno in [12] e da Kyritsi e Papageorgiou in [73].
Per fornire (5.31) di una conveniente formulazione variazionale, occorre svolgere alcune
considerazioni: in primo luogo, denotiamo Y lo spazio W 1,2
0 (Ω) dotato della norma
u =
|∇u(x)|
Ω
2 1
2
dx
Lemma 5.11. Y è uno spazio di Hilbert separabile e l’immersione Y ↩→ L ν (Ω) è
continua (con costante cν > 0) per ogni ν ∈ [2, 2 ∗ ].
.

Nonlinearità discontinue e simmetriche 53
Dimostrazione. È lecito adottare la norma definita sopra in quanto sulla striscia Ω
vale la diseguaglianza di Poincaré (si veda Esteban [40], Lemma 3), che in generale non è
verificata nel caso di dominî illimitati.
Inoltre, Ω gode della cosiddetta proprietà del cono, il che garantisce la continuità delle
immersioni (si veda la classica monografia di Adams [1], Theorem 5.4).
Notiamo che le immersioni di cui al Lemma 5.11 non sono compatte; per superare
questa difficoltà, dovremo restringerci a un opportuno sottospazio.
Il gruppo G esercita su Y un’azione definita come segue: per ogni g ∈ G, u ∈ Y , sia
per ogni x ∈ Ω
gu(x) = u(g −1 x);
si dimostra che G è un gruppo topologico compatto e che esercita su Y un’azione lineare
e isometrica, i cui punti fissi costituiscono il sottospazio vettoriale chiuso
(si rammenti la Sezione 3.4).
X = {u ∈ Y : gu = u per ogni g ∈ G}
Riportiamo il seguente risultato, dovuto a Esteban e Lions:
Lemma 5.12. ([41], Theorem 1) L’immersione X ↩→ L ν (Ω) è compatta per ogni ν ∈
]2, 2 ∗ [.
Poniamo, come di consueto, per ogni u ∈ Lr (Ω),
JF (u) = F (x, u(x))dx, JG(u) =
Ω
Ω
G(x, u(x))dx;
per il Lemma 4.9, i funzionali JF , JG : L r (Ω) → R sono ben definiti e localmente lipschitziani.
Per ogni λ, µ > 0 e ogni u ∈ Y poniamo altresì
Eλ,µ(u) = u2
2 − λJF (u) − µJG(u),
così definendo il funzionale dell’energia relativo al problema in esame; vale infatti il
seguente Lemma, dalla dimostrazione innegabilmente tortuosa.
Lemma 5.13. Per ogni λ, µ > 0, il funzionale Eλ,µ : Y → R è ben definito, localmente
lipschitziano e ogni suo punto critico è una soluzione del problema (5.31).
Dimostrazione. Il funzionale u ↦→ u2
è localmente lipschitziano (Lemma 3.4); inoltre,
2
per il Lemma 5.11, le restrizioni di JF e JG a Y sono localmente lipschitziane: dunque
Eλ,µ lo è a sua volta.
Sia u ∈ Y un punto critico di Eλ,µ: in primo luogo, dimostriamo che u ∈ W 2,2
loc (Ω);
introdotto un dominio limitato Ω ′ ⊂ RN tale che cl(Ω ′ ) ⊂ Ω, è sufficiente provare che
u ∈ W 2,2
loc (Ω′ ) (in quel che segue, identificheremo le funzioni definite su Ω con le rispettive
restrizioni a Ω ′ ).

54 Capitolo 5. Problemi con due parametri
Per le proprietà del gradiente di un funzionale localmente lipschitziano (Lemma 3.6),
esistono v ∗ ∈ ∂JF (u) e w ∗ ∈ ∂JG(u) tali che per ogni z ∈ Y si ha
Ω
∇u(x) · ∇z(x)dx =
ossia u è una soluzione debole dell’equazione lineare
[λv
Ω
∗ (x) + µw ∗ (x)] z(x)dx,
(5.32) −∆u = λv ∗ (x) + µw ∗ (x).
Osserviamo che v∗ , w∗ ∈ Lr′ (Ω ′ ), e che per q.o. x ∈ Ω ′ si ha
v ∗ (x) ∈ [f−(x, u(x)), f+(x, u(x))], w ∗ (x) ∈ [g−(x, u(x)), g+(x, u(x))]
(si veda il Lemma 4.9), da cui, per (5.24) e (5.28), segue che per q.o. x ∈ Ω ′
Posto
e denotati
|v ∗ (x)| ≤ 2a(x) 1 + |u(x)| r−1 , |w ∗ (x)| ≤ a(x) 1 + |u(x)| r−1 .
A = x ∈ Ω ′
p = r
r − 2 ,
: |u(x)| < 1 , B = x ∈ Ω ′
: |u(x)| ≥ 1 ,
dalle stime sopra riportate si deduce che
Ω ′
|v∗ p
(x)|
dx
1 + |u(x)|
≤ 2 p
Ω ′
a(x) p
≤
1 + |u(x)| r−1 p
dx
1 + |u(x)|
2 p
a(x)
A
p dx + 2 p
a(x)
B
p
|u(x)| r−2 + |u(x)| r−1 p
dx
1 + |u(x)|
≤ 2 p a p p + 2 p a p ∞u r r;
similmente si ricava che
sicché in definitiva
Ω ′
|w∗ p
(x)|
dx ≤ a
1 + |u(x)|
p p + a p ∞u r r,
λv ∗ + µw ∗
1 + |u| ∈ Lp (Ω ′ ).
Poiché p > N
2 e Ω′ è limitato, ciò implica
λv ∗ + µw ∗
1 + |u|
∈ L N
2 (Ω ′ );
possiamo quindi applicare all’equazione (5.32) un potente teorema di regolarità (si veda
Struwe [110], Lemma B.3) e stabilire che u ∈ L ν loc (Ω′ ) per ogni ν ≥ 1, da cui in particolare
(usando ancora le stime di cui sopra) deduciamo che
λv ∗ + µw ∗ ∈ L 2 loc (Ω′ ).

Nonlinearità discontinue e simmetriche 55
A questo punto, un altro, più classico risultato di regolarità assicura che u ∈ W 2,2
loc (Ω′ )
(si veda per esempio il testo di Gilbarg e Trudinger [55], Theorem 8.8).
Dal Lemma 4.10 segue allora che per q.o. x ∈ Ω
−∆u(x) = λf(x, u(x)) + µg(x, u(x)),
ovvero u è una soluzione di (5.31).
Lo studio del problema (5.31) sarà ambientato nello spazio X, quindi introduciamo
due funzionali ponendo per ogni u ∈ X
I(u) = u2
2 , J(u) = JF (u);
inoltre denotiamo Λ = [0, +∞[; i prossimi Lemmi serviranno a predisporre l’applicazione
del Teorema 5.2.
Lemma 5.14. Il funzionale J : X → R è localmente lipschitziano, sequenzialmente
debolmente continuo e per ogni λ ∈ Λ si ha
(5.14.1) lim [I(u) − λJ(u)] = +∞.
u→+∞
Dimostrazione. Per il Lemma 5.12, J è localmente lipschitziano.
Proviamo che J è sequenzialmente debolmente continuo, ragionando per assurdo: siano
{vn} una successione in X debolmente convergente a un punto v ∈ X, e ε > 0 tale che
per ogni n ∈ N
(5.33) |J(vn) − J(v)| ≥ ε;
per il Lemma 5.12, vi è una sottosuccessione, ancora denotata {vn}, tale che vn−vr → 0,
da cui, giacché JF è continuo su L r (Ω),
contro (5.33).
J(vn) − J(v) → 0,
Infine, proviamo (5.14.1), sfruttando (5.26): per ogni u ∈ X si ha infatti
da cui (5.14.1).
I(u) − λJ(u) ≥ u2
2
≥ u2
2
− λ
− λ
Ω
b(x)(1 + |u(x)| q )dx
b1 + b r
r−q cq ru q
,
Così la dimostrazione è conclusa.
Lemma 5.15. Esiste w ∈ X tale che J(w) > 0.

56 Capitolo 5. Problemi con due parametri
Dimostrazione. Senza perdita di generalità, in (5.27) possiamo assumere che s1 > 0 e
che B(0, R1) ⊂ Ω; scelto ε > 0 tale che
F (x, s1)dx > ε,
la sommabilità della funzione
B(0,R1)
x ↦→ max |F (x, s)|
|s|≤s1
implica l’esistenza di ζ > 0 tale che per ogni sottoinsieme misurabile A di Ω con m(A) < ζ
si ha
max |F (x, s)|dx < ε.
A |s|≤s1
Sia R2 > R1 tale che B(0, R2) ⊂ Ω e
m B(0, R2) \ B(0, R1) < ζ;
esiste una funzione simmetrica w ∈ C ∞ 0 (Ω) tale che w∞ = s1 e
di modo che si ha w ∈ X e
J(w) =
w(x) =
B(0,R1)
> ε −
s1 se x ∈ B(0, R1)
0 se x ∈ Ω \ B(0, R2) ,
F (x, s1)dx +
F (x, w(x))dx
B(0,R2)\B(0,R1)
B(0,R2)\B(0,R1) |s|≤s1
max |F (x, s)|dx > 0.
Dunque w è la funzione richiesta.
Lemma 5.16. Esiste δ > 0 tale che, definita ψ : X ×Λ → R∪{+∞} come nella Sezione
5.1, si ha
(5.16.1) sup inf ψ(u, λ) < inf
u∈X sup ψ(u, λ).
λ∈Λ u∈X
λ∈Λ
Dimostrazione. Per ogni t > 0 poniamo
η(t) = sup
u∈I t
J(u),
osservando che η(t) ≥ 0 per ogni t > 0; proveremo che
(5.34) lim
t→0 +
η(t)
= 0.
t
A tal fine, sia ε > 0: per (5.24) esiste kε > 0 tale che per q.o. x ∈ Ω e ogni s ∈ R,
ξ ∈ ∂sF (x, s)
|ξ| ≤ ε|s| + kε|s| r−1 ,

Nonlinearità discontinue e simmetriche 57
da cui, usando il Teorema 3.7, per q.o. x ∈ Ω e ogni s ∈ R si ottiene
|F (x, s)| ≤ ε|s| 2 + kε|s| r .
Da quanto sopra ricaviamo che per ogni u ∈ X
da cui per ogni t > 0
che a sua volta implica (5.34).
J(u) ≤ εc 2 2u 2 + kεc r ru r ,
η(t) ≤ εc 2 2(2t) + kεc r r(2t) r
2 ,
Richiamando il Lemma 5.15, determiniamo t ∈]0, I(w)[ e δ ∈ R tali che
(5.35) η(t) < δ < tJ(w)
I(w) ,
sicché in particolare J(w) > δ.
Possiamo ora provare la diseguaglianza (5.16.1): in primo luogo, osserviamo che la
funzione
λ ↦→ inf ψ(u, λ)
u∈X
è s.c.s. (come inviluppo inferiore di funzioni continue) e verifica
ergo esiste ¯ λ ∈ Λ tale che
Dimostriamo che
lim
λ→+∞ inf ψ(u, λ) = −∞,
u∈X
sup inf
λ∈Λ u∈X
ψ(u, λ) = inf
u∈X ψ(u, ¯ λ).
(5.36) inf
u∈X ψ(u, ¯ λ) < t,
distinguendo due casi:
• se ¯ λ < t
, si ricava
δ
• se ¯ λ ≥ t
, da (5.35) si ricava
δ
ψ(0, ¯ λ) = ¯ λδ < t;
ψ(w, ¯ λ) ≤ I(w) + t
(δ − J(w)) < t.
δ

58 Capitolo 5. Problemi con due parametri
D’altra parte si ha
(5.37) inf
u∈X sup ψ(u, λ) ≥ t.
λ∈Λ
Infatti, fissato u ∈ X, si possono ancora distinguere due casi:
• se J(u) < δ, si ricava
• se J(u) ≥ δ, per definizione di η si ricava
sup ψ(u, λ) = +∞;
λ∈Λ
sup ψ(u, λ) ≥ t.
λ∈Λ
Da (5.36) e (5.37) segue infine (5.16.1).
Il risultato principale della presente Sezione è il seguente.
Teorema 5.17. Siano Ω, f come sopra. Allora, esistono λ0, λ1 > 0 e σ1, σ2 > 0 tali
che λ0 < λ1 e
(5.17.1) per ogni λ ∈ [λ0, λ1] e ogni g come sopra, esiste µ1 > 0 tale che per ogni µ ∈]0, µ1[
il problema (5.31) ammette almeno due soluzioni simmetriche in B(0, σ1);
(5.17.2) per ogni λ ∈ [λ0, λ1] e ogni g come sopra, verificante anche
G(x, s) ≤ b(x)(1 + |s| 2 ) per q.o. x ∈ Ω e ogni s ∈ R,
esiste µ2 > 0 tale che per ogni µ ∈]0, µ2[ il problema (5.31) ammette almeno tre
soluzioni simmetriche in B(0, σ2)
Dimostrazione. Le ipotesi del Teorema 5.2 (con C = X) sono tutte soddisfatte nel
presente contesto: X è uno spazio di Hilbert separabile (come sottospazio di Y e per
il Lemma 5.11); il funzionale I è localmente lipschitziano e sequenzialmente debolmente
s.c.i. (in quanto è convesso); J è localmente lipschitziano e sequenzialmente debolmente
continuo (Lemma 5.14); scelto δ come nel Lemma 5.16, le condizioni (5.2.1) e (5.2.2) sono
verificate (Lemmi 5.14, 5.16).
Siano dunque λ0, λ1 ∈ Λ e σ1 > 0 come nel Teorema 5.2 (possiamo assumere λ0 > 0).
Siano λ, g come in (5.17.1): posto per ogni u ∈ X
Φ(u) = −JG(u),
si prova (ragionando come nel Lemma 5.14) che Φ : X → R è localmente lipschitziano e
sequenzialmente debolmente continuo: pertanto esiste µ1 > 0 tale che, per ogni µ ∈]0, µ1[,
vi sono due punti u0, u1 ∈ X di minimo locale per il funzionale ψ(·, λ) + µΦ(·), tali che
u0 = u1 e u0, u1 < σ1.

Nonlinearità discontinue e simmetriche 59
Dimostriamo che u0, u1 sono punti critici di Eλ,µ : Y → R: difatti tale funzionale è
G–invariante, come si prova osservando che per ogni g ∈ G e ogni u ∈ Y
Eλ,µ(gu) = gu2
2
= gu2
2
= u2
2
− λ
− λ
Ω
Ω
F (x, u(g −1
x))dx − µ G(x, u(g
Ω
−1 x))dx
F (gy, u(y))dy − µ G(gy, u(y))dy
− λ F (y, u(y))dy − µ
Ω
Ω
Ω
G(y, u(y))dy = Eλ,µ(u).
Inoltre, la restrizione di Eλ,µ a X differisce da ψ(·, λ)+µΦ(·) per una costante: dunque,
per il Teorema 3.20 (ridotto al caso χ ≡ 0), u0 e u1 sono punti critici di Eλ,µ.
Per il Lemma 5.13, si conclude che per ogni µ ∈]0, µ1[ il problema (5.31) ha almeno
due soluzioni simmetriche con norme minori di σ1 e (5.17.1) è acquisita.
e
Prima di dimostrare (5.17.2), occorre svolgere un po’ di calcoli: siano ¯µ ∈ R tale che
R = σ2 1
2
posto per ogni t > 0
si ha chiaramente
ϑ(t) =
0 < ¯µ <
1
2b∞c 2 2
2
+ λ1a∞ c2σ 2 1 + c r rσ r 1 + ¯µ (a2c2σ1 + a∞c r rσ r 1) ;
1
2 − ¯µb∞c 2
2 t 2 − λ1b r
r−q cqrt q − (λ1 + ¯µ)b1,
(5.38) lim ϑ(t) = +∞;
t→+∞
in particolare, esiste σ2 > σ1 tale che per ogni t ≥ σ2
(5.39) ϑ(t) > R.
Siano ora λ, g come in (5.17.2): trovato µ1 > 0 come in (5.17.2), si ponga
µ2 = min{µ1, ¯µ};
fissato µ ∈]0, µ2[, si ricava per ogni u ∈ X (rammentiamo che δ > 0)
Eλ,µ(u) ≥ u2
2
≥ u2
2
= ϑ(u);
− λ
− λ1
Ω
b(x) (1 + |u(x)| q
) dx − µ b(x)
Ω
1 + |u(x)| 2 dx
b1 + b r
r−q cq ru q
− ¯µ b1 + b∞c 2 2u 2

60 Capitolo 5. Problemi con due parametri
in particolare, il funzionale ψ(·, λ) + µΦ(·) risulta coercivo per (5.38).
Dimostriamo che Eλ,µ soddisfa la condizione di Palais–Smale a qualunque quota (si
veda la Definizione 3.15, nel caso χ ≡ 0): siano {vn} una successione in X e {εn} una
successione in ]0, +∞[ tali che {Eλ,µ(vn)} è limitata, εn → 0 e per ogni n ∈ N, v ∈ X
∇vn(x) · (∇vn(x) − ∇v(x))dx ≤ λJ
Ω
◦ F (vn; vn − v) + µJ ◦ G(vn; vn − v) + εnvn − v.
Dunque, {vn} è limitata, e, passando a una sottosuccessione, possiamo assumere che
esista v ∈ X tale che {vn} converga a v debolmente in X e fortemente in ciascuno degli
spazi L 2 (Ω) e L r (Ω); dalla stima
λ a(x)
Ω
|vn| + |vn| r−1 |vn − v|dx + µ
λa∞
vn2vn − v2 + vn r−1
r vn − vr
∇vn · (∇vn − ∇v)dx − εnvn − v ≤
Ω
Ω
a(x) 1 + |vn| r−1 |vn − v|dx + εnvn − v ≤
+µ a2vn − v2 + a∞vn r−1
r vn − vr
(in cui abbiamo omesso la dipendenza delle integrande da x) si deduce allora che
lim sup ∇vn · (∇vn − ∇v)dx ≤ 0;
n Ω
d’altra parte, poiché vn ⇀ v si ha
lim
n
sicché
cioè
Ω
∇v · (∇vn − ∇v)dx = 0,
lim sup (∇vn − ∇v) · (∇vn − ∇v)dx ≤ 0,
n Ω
vn − v → 0.
Rammentiamo ora il Teorema 3.17: siano u0, u1 ∈ B(0, σ1) i due punti di minimo locale
di Eλ,µ individuati da (5.17.1), e siano Γ, c definiti come nella Sezione 3.3; esiste allora un
punto critico u2 ∈ X \ {u0, u1} per Eλ,µ tale che
Dimostreremo adesso che
Eλ,µ(u2) = c.
(5.40) c ≤ R;
a tal fine, definiamo il cammino ¯γ ∈ Γ ponendo per ogni τ ∈ [0, 1]
¯γ(τ) = τu1 + (1 − τ)u0
,

Disequazione con ostacolo 61
e osserviamo che per ogni τ ∈ [0, 1] si ha ¯γ(τ) ∈ B(0, σ1) e
Eλ,µ(¯γ(τ)) ≤
¯γ(τ) 2 2
+ λ1a∞ c
2
2¯γ(τ) 2 + c r r¯γ(τ) r + ¯µ (a2c2¯γ(τ)2 + a∞c r r¯γ(τ) r ) ≤ R;
quindi, poiché
c ≤ sup Eλ,µ(¯γ(τ)),
τ∈[0,1]
si ha (5.40).
Da (5.39) e (5.40) segue che
u2 < σ2,
di modo che u0, u1, u2 ∈ B(0, σ2); inoltre, ragionando come sopra, deduciamo che si tratta
di tre soluzioni del problema (5.31), ovviamente simmetriche.
Questo conclude la dimostrazione.
Al termine di questa Sezione, proponiamo un esempio di applicazione del Teorema 5.17:
rileviamo che la nonlinearità principale del problema di séguito considerato ha infiniti punti
di discontinuità.
Esempio 5.18. Siano Ω, q, r come sopra e sia a ∈ L ∞ (Ω) ∩ L 1 (Ω) una funzione
simmetrica e non–negativa: la funzione f definita ponendo per ogni (x, s) ∈ Ω × R
f(x, s) = a(x) [|s|] q−1 + |s| r−1 sin |s| 2−2∗
(dove [·] denota la parte intera di un numero reale) soddisfa le condizioni (5.24), (5.25),
(5.26), (5.27).
Dunque, per il Teorema 5.17, esistono λ0 < λ1 e σ1 (tutti positivi) tali che, per ogni
λ ∈ [λ0, λ1] e ogni funzione di Carathéodory g : Ω × R → R, non–negativa e verificante
(5.28), esiste µ1 > 0 tale per ogni µ ∈]0, µ1[ il problema (5.31) ammette almeno due
soluzioni simmetriche in B(0, σ1).
5.4 Tre soluzioni per il problema dell’ostacolo su una disequazione
emivariazionale
Nella presente Sezione ci occuperemo di una disequazione variazionale–emivariazionale in
dimensione uno del tipo studiato nella Sezione 4.3: la scelta dei dati (in particolare dell’insieme
convesso C) configura la disequazione in esame come una versione generalizzata
del classico problema dell’ostacolo.
I dati numerici che andiamo a introdurre sono da considerare esemplificativi: per esem-
1 3
pio, non vi è nulla di speciale nell’intervallo , (si veda sotto, la definizione di C); si
4 4
è scelto, in questo caso, di sacrificare in una certa misura la generalità delle ipotesi alla
semplicità delle condizioni e dei calcoli.

62 Capitolo 5. Problemi con due parametri
Il dominio considerato è l’intervallo ]0, 1[, e sia a > 0; passiamo dunque a definire i potenziali
(in questo caso autonomi) come due funzioni F, G : R → R localmente lipschitziane
soddisfacenti alcune condizioni.
Per quanto riguarda F , assumiamo che esistano una funzione continua α : [0, +∞[→
[0, +∞[ e numeri reali h > 0, q ∈]1, 2[ tali che
(5.41) |ξ| ≤ α(|s|) per ogni s ∈ R, ξ ∈ ∂F (s);
(5.42) F (s) ≤ h (1 + |s| q ) per ogni s ∈ R.
(5.43)
Esistano inoltre k0, k1 > 2a e ζ ∈]0, 1[ tali che
1
k0
k 02
0
F (s)ds = 1
(5.44) max
|s|≤ 1
2 [ζk2 0 +(1−ζ)k2 1 ] 1 F (s) <
2
2ζ
k02 k0 0
k1
k 12
0
F (s)ds;
2(1 − ζ)
F (s)ds +
k1
k 12
0
F (s)ds.
In merito a G, richiediamo che, per un’opportuna funzione continua β : [0, +∞[→
[0, +∞[, si abbia
(5.45) |ξ| ≤ β(|s|) per ogni s ∈ R, ξ ∈ ∂G(s).
Osserviamo che in (5.41) e in (5.45) si può sempre supporre che α e β siano non–
decrescenti in [0, +∞[.
Nello spazio W 1,2
0 (]0, 1[) consideriamo l’insieme
C =
u ∈ W 1,2
0 (]0, 1[) : u(x) ≥ a per ogni x ∈
1 3
, ,
4 4
che risulta essere non vuoto, convesso e chiuso (in particolare, che C è chiuso segue dal
Lemma 4.6).
Studieremo la seguente disequazione variazionale–emivariazionale, dipendente dai parametri
λ, µ > 0: trovare u ∈ C tale che per ogni v ∈ C
(5.46)
1
0
u ′ (v ′ − u ′ ) + λF ◦ (u; u − v) + µG ◦ (u; u − v) dx ≥ 0
(dove abbiamo tralasciato per brevità la dipendenza di u e v da x).
Il risultato principale della Sezione assicura, sotto opportune restrizioni su λ e µ,
l’esistenza di due (o tre) soluzioni della disequazione (5.46) e una stima uniforme delle
loro norme.

Disequazione con ostacolo 63
Come premesso, la disequazione (5.46) generalizza il problema dell’ostacolo, data la
natura dell’insieme C: un problema simile è stato studiato da Kyritsi e Papageorgiou in
[75] (ma in dimensione maggiore di uno).
Nello studio del problema (5.46) si può applicare lo schema generale descritto nella
Sezione 4.3: poniamo X = W 1,2
0 (]0, 1[) e per ogni u ∈ X
1
1
JF (u) ≤
0
F (u(x))dx, JG(u) ≤
0
F (u(x))dx.
Per il Lemma 4.7 i funzionali JF , JG : X → R sono localmente lipschitziani e verificano
per ogni u, v ∈ X
J ◦ 1
F (u; v) ≤ F
0
◦ (u(x); v(x))dx, J ◦ 1
G(u; v) ≤
0
G ◦ (u(x); v(x))dx.
Detta χC la funzione indicatrice di C, per ogni λ, µ > 0 il funzionale dell’energia
associato al problema (5.46) si definisce ponendo per ogni u ∈ X
Infatti:
Eλ,µ(u) = u2
2 − λJF (u) − µJG(u) + χC(u).
Lemma 5.19. Per ogni λ, µ > 0, Eλ,µ : X → R ∪ {+∞} è un funzionale di Motreanu–
Panagiotopoulos, e ogni suo punto critico è una soluzione di (5.46).
Dimostrazione. Rammentiamo quanto stabilito nella Sezione 4.3 e poniamo per ogni
s ∈ R
H(s) = λF (s) + µG(s);
chiaramente H soddisfa la condizione (4.9), mentre il problema (4.10) è equivalente al
nostro (5.46): quindi basta applicare il Lemma 4.8.
Anche in questo caso, preferiamo articolare il ragionamento in più tappe, introducendo
alcuni lemmi preliminari.
Lemma 5.20. Il funzionale JF : X → R è sequenzialmente debolmente continuo e per
ogni λ ≥ 0 si ha
u2 (5.20.1) lim
u→+∞ 2 − λJF
(u) = +∞.
Dimostrazione. Proviamo che JF è sequenzialmente debolmente continuo, ragionando
per assurdo: siano {vn} una successione in X debolmente convergente a v ∈ X e ε > 0
tale che per ogni n ∈ N
(5.47) |JF (vn) − JF (v)| ≥ ε.
Per il Lemma 4.6, esiste una sottosuccessione, che denotiamo ancora {vn}, tale che
vn − v∞ → 0: pertanto, per ogni x ∈]0, 1[ si ha
lim n [F (vn(x)) − F (v(x))] = 0;

64 Capitolo 5. Problemi con due parametri
inoltre, possiamo assumere che vn∞, v∞ ≤ K per ogni n ∈ N (per un opportuno
K > 0), da cui, per il Teorema 3.7, si ha per ogni n ∈ N, x ∈]0, 1[
|F (vn(x)) − F (v(x))| ≤ 2Kα(K),
quindi, applicando il Teorema della convergenza dominata di Lebesgue, otteniamo
contro (5.47).
lim n [JF (vn) − JF (v)] = 0,
Sia ora λ ≥ 0: applicando (5.42) e (4.6.1) si ricava per ogni u ∈ X
da cui (5.20.1).
u 2
2 − λJF (u) ≥ u2
2
≥ u2
2
− λh
− λh
1
(1 + |u(x)|
0
q )dx
1 + uq
2q
,
Questo conclude la dimostrazione.
Lemma 5.21. Il funzionale JG : X → R è sequenzialmente debolmente continuo.
Dimostrazione. Si procede come nel Lemma 5.20.
Diversamente da quanto avviene nei casi precedenti, per il problema studiato in questa
Sezione la diseguaglianza di minimax (5.2.1) si ottiene indirettamente, ricorrendo al
Lemma 5.3; introduciamo alcune notazioni, ponendo Λ = [0, +∞[ e per ogni u ∈ X
I(u) = u2
2 , J(u) = JF (u).
Lemma 5.22. Esistono δ ∈ R e w0, w1 ∈ C verificanti (5.3.1) e (5.3.2).
Dimostrazione. Innanzitutto definiamo una funzione w ∈ X ponendo per ogni x ∈]0, 1[
⎧
⎪⎨ x
w(x) =
⎪⎩
se x ≤ 1
1 − x
2
se x > 1
2
;
quindi poniamo wi = kiw (i = 0, 1): si vede subito che wi ∈ C (ki ≥ 2a), e risulta
mentre
J(wi) =
I(wi) = 1
1
2
|ki|
2 0
2 dx + 1
2
1
2
0
F (kix)dx +
1
1
2
1
1
2
| − ki| 2 dx = k2 i
2 ,
F (ki(1 − x))dx = 2
ki
k i
2
0
F (s)ds.

Disequazione con ostacolo 65
Senza perdita di generalità, in (5.43) supponiamo
allora, posto
1
k0
k 02
0
F (s)ds < 1
k1
k 12
δ = ζJ(w0) + (1 − ζ)J(w1)
= 2ζ
k0
si deduce agevolmente (5.3.1).
k 02
0
2(1 − ζ)
F (s)ds +
0
k1
F (s)ds;
k 12
0
F (s)ds,
Proviamo ora (5.3.2), ponendo (secondo il simbolismo di [11])
A = (J(w1) − δ)I(w0) + (δ − J(w0))I(w1)
J(w1) − J(w0)
= 1
2 [ζk0 + (1 − ζ)k1] ,
B =
1
A 2
2
= 1
2 [ζk0 + (1 − ζ)k1] 1
2 ;
per ogni u ∈ J δ vale (grazie a (5.44)) la catena di diseguaglianze
da cui, usando (4.6.1), si ottiene
ovvero
max F (s) < δ ≤ J(u) ≤ max F (s),
|s|≤B |s|≤u∞
B < u∞ ≤ 1
2 u,
A < I(u).
Il funzionale I è coercivo e sequenzialmente debolmente s.c.s. e l’insieme J δ è sequenzialmente
debolmente chiuso (Lemma 5.20), quindi
inf I(u) > A.
u∈J δ
Ciò prova (5.3.2) e conclude la dimostrazione.
Possiamo ora introdurre il risultato principale:
Teorema 5.23. Siano a, F come sopra. Allora, esistono λ0, λ1 > 0 e σ1, σ2 > 0 tali
che λ0 < λ1 e
(5.23.1) per ogni λ ∈ [λ0, λ1] e ogni G come sopra, esiste µ1 > 0 tale che per ogni µ ∈]0, µ1[
il problema (5.46) ammette almeno due soluzioni in C ∩ B(0, σ1);

66 Capitolo 5. Problemi con due parametri
(5.23.2) per ogni λ ∈ [λ0, λ1] e ogni G come sopra, verificante anche
G(s) ≤ h(1 + s 2 ) per ogni s ∈ R,
esiste µ2 > 0 tale che per ogni µ ∈]0, µ2[ il problema (5.46) ammette almeno tre
soluzioni in C ∩ B(0, σ2).
Dimostrazione. Proviamo (5.23.1) applicando il Teorema 5.2 e il Lemma 5.3: X è uno
spazio di Hilbert separabile, I è localmente lipschitziano e sequenzialmente debolmente
s.c.i., J è localmente lipschitziano e sequenzialmente debolmente continuo (Lemma 5.20),
C è non vuoto, chiuso e convesso; inoltre, scelto δ come nel Lemma 5.22 e definita ψ
ponendo per ogni (u, λ) ∈ X × Λ
ψ(u, λ) = I(u) + λ(δ − J(u)) + χC(u),
dai Lemmi 5.22 e 5.3 segue la condizione (5.2.1); infine, da (5.20.1) segue immediatamente
(5.2.2).
Siano dunque λ0, λ1 ∈ Λ (possiamo supporre λ0 > 0) e σ1 > 0 come nel Teorema 5.2:
dati λ ∈ [λ0, λ1] e G come in (5.23.1), si ponga
Φ = −JG;
allora, Φ è localmente lipschitziano e sequenzialmente debolmente continuo (Lemma 5.21),
sicché esiste µ1 > 0 tale che per ogni µ ∈]0, µ1[ il funzionale ψ(·, λ)+µΦ(·) ammette almeno
due punti di minimo locale u0, u1 ∈ C ∩ B(0, σ1).
Poiché per ogni u ∈ X si ha
Eλ,µ(u) = ψ(u, λ) + µΦ(u) − λδ,
segue che u0 e u1 sono punti di minimo locale per Eλ,µ, e quindi soluzioni di (5.46).
Come al solito, la parte delicata è la dimostrazione della seconda parte della tesi: ad
essa premettiamo alcuni passaggi, fissando λ0, λ1, σ1 come in (5.23.1).
Sia ¯µ ∈ 0, 2
e sia per ogni t > 0
h
ovviamente,
ϑ(t) =
1 1
−
2 4 ¯µh
t 2 − λ1h
2q tq − (λ1 + ¯µ)h;
(5.48) lim ϑ(t) = +∞,
t→+∞
sicché, posto
R = σ2 1
2
+ λ1h 1 + σq 1
2q
+ ¯µh 1 + σ2
1
,
4

Disequazione con ostacolo 67
si trova un numero reale σ2 > σ1 tale che per ogni t ≥ σ2
(5.49) ϑ(t) > R.
Proviamo ora (5.23.2): siano λ ∈ [λ0, λ1] e G come in (5.23.2); allora esiste µ1 come in
(5.23.1), da cui ricaviamo
µ2 = min{µ1, ¯µ}.
Fissato µ ∈]0, µ2[, il funzionale Eλ,µ ammette almeno due punti di minimo locale
u0, u1 ∈ C ∩ B(0, σ1); inoltre, applicando (4.6.1), (5.42) e l’ipotesi di crescita su G, si ha
per ogni u ∈ X
1
Eλ,µ(u) ≥ u2
− λh
2
(1 + |u(x)|
0
q )dx − µh (1 + |u(x)|
0
2 )dx
≥ u2
2 − λ1h (1 + u q ∞) − µh 1 + u 2 ≥
∞
u2
− λ1h 1 +
2 uq
2q
− µh 1 + u2
= ϑ(u),
4
di modo che Eλ,µ risulta coercivo (per (5.48)).
Dimostriamo ora che Eλ,µ soddisfa la condizione di Palais–Smale a qualunque quota
(Definizione 3.15): siano {vn} una successione in C tale che {Eλ,µ(vn)} è limitata e {εn}
una successione infinitesima di numeri reali positivi tale che per ogni n ∈ N, v ∈ C
1
0
v ′ n(x)(v ′ n(x) − v ′ (x)) dx ≤ λJ ◦ F (vn; vn − v) + µJ ◦ G(vn; vn − v) + εnvn − v.
Poiché Eλ,µ è coercivo, {vn} è limitata: inoltre, passando a una sottosuccessione, possiamo
assumere che esista v ∈ C tale che {vn} converga a v debolmente in X e fortemente
in C 0 ([0, 1]) (Lemma 4.6); inoltre supponiamo che vn − v ≤ K, vn∞ ≤ H per ogni
n ∈ N (per opportuni H, K > 0): si ha allora
1
0
v ′ n(x)(v ′ n(x) − v ′ (x)) dx ≤ λα(H)vn − v∞ + µβ(H)vn − v∞ + εnK
per ogni n ∈ N, da cui
lim sup
n
1
mentre per convergenza debole si ha
Dunque
lim n
1
0
0
1
v ′ n(x)(v ′ n(x) − v ′ (x)) dx ≤ 0,
v ′ (x)(v ′ n(x) − v ′ (x)) dx = 0.
lim sup vn − v
n
2 ≤ 0,

68 Capitolo 5. Problemi con due parametri
cioè vn → v.
Siano Γ, c definiti come nella Sezione 3.3: per il Teorema 3.17 esiste un punto critico
u2 ∈ C \ {u0, u1} per Eλ,µ tale che
Proviamo che
Eλ,µ(u2) = c.
(5.50) c ≤ R.
Infatti, definito il cammino ¯γ ∈ Γ ponendo per ogni τ ∈ [0, 1]
si ha per ogni τ ∈ [0, 1]
sicché
Eλ,µ(¯γ(τ)) ≤ ¯γ(τ)2
2
≤ σ2 1
2
Da (5.49) e (5.50) segue che
¯γ(τ) = τu1 + (1 − τ)u0,
+ λ1h
+ λ1h 1 + ¯γ(τ)q
+ ¯µh 1 + ¯γ(τ)2
1 +
2q 4
σ1q 2q
σ12 + ¯µh 1 + = R,
4
c ≤ max
τ∈[0,1] Eλ,µ(¯γ(τ)) ≤ R.
u2 < σ2,
ergo u0, u1, u2 ∈ C ∩B(0, σ2); inoltre, per il Lemma 5.19 si tratta di tre soluzioni di (5.46).
Così la dimostrazione può dirsi conclusa.
Un breve commento: questa applicazione del metodo della diseguaglianza di minimax si
distingue dalla maggior parte delle precedenti in quanto prescinde completamente dall’uso
della funzione nulla; in particolare, il problema (5.46) non può ammettere la soluzione
nulla.
In coda, presentiamo un esempio di potenziale verificante tutte le ipotesi del Teorema
5.23.
Esempio 5.24. Siano a = 1
, q ∈]1, 2[ e F definita ponendo per ogni s ∈ R
2
⎧
⎨
F (s) =
⎩
s se s ≤ 1
s 5 se 1 < s ≤ 2
s q − 2 q + 32 se s > 2
essa soddisfa le condizioni (5.41) per α(s) = max{1, 5s 4 }, (5.42) per h = 32, (5.43) e (5.44)
per ζ = 6
7 , k0 = √ 2 e k1 = 4.
Pertanto, con questi dati vale quanto stabilito dal Teorema 5.23.
;

Capitolo 6
Un teorema di molteplicità per
problemi con perturbazione
interna
Nella Sezione 2.3 abbiamo introdotto gli insiemi di Chebyshev e presentato un risultato
di Tsar’kov, il Teorema 2.14: già alla sua prima comparsa in [113], questo risultato che
appartiene alla teoria dell’approssimazione metrica appariva legato alla molteplicità di
soluzioni per certe equazioni differenziali.
Ricceri, in [97], ha offerto un contributo a questo inedito connubio, aggiungendo un
collegamento con la teoria topologica del minimax, e stabilendo il seguente risultato di
molteplicità per le soluzioni di un’equazione astratta in uno spazio di Hilbert.
Teorema 6.1. ([97], Theorem 2) Siano (X, · ) uno spazio di Hilbert, S un sottoinsieme
convesso e denso di X, J ∈ C 1 (X, R) un funzionale verificante le seguenti
condizioni:
(6.1.1) esiste ρ ∈
J(u)
(6.1.2) lim inf ≥ 0;
u→+∞ u2
inf J(u), sup J(u) tale che J
u∈X u∈X
ρ non è convesso;
(6.1.3) J ′ : X → X è un operatore compatto.
Allora esistono ū ∈ S, ¯ λ > 0 tali che l’equazione
ammette almeno tre soluzioni in X.
u − ū + ¯ λJ ′ (u) = 0
La dimostrazione del Teorema 6.1 è delicata, ma a livello euristico si può riassumere
come segue: l’insieme J ρ è sequenzialmente debolmente chiuso e non convesso, quindi per
il Teorema 2.14 esiste ū ∈ S che ha almeno due distinte proiezioni metriche su di esso;
69

70 Capitolo 6. Problemi con perturbazione interna
tramite il Teorema 1.4, si deduce l’esistenza di ¯ λ > 0 tale che il funzionale
u ↦→
u − ū2
2
+ ¯ λ(J(u) − ρ)
ha almeno due minimi locali; quindi, applicando il Teorema del passo di montagna (Teorema
3.14), si trova un terzo punto critico, e tutti e tre sono soluzioni dell’equazione in
esame.
Il Teorema 6.1 trova un’immediata applicazione nel campo delle equazioni differenziali
semilineari, che rientrano nello schema rappresentato dall’equazione astratta: i due elementi
da cui questa dipende, ¯ λ e ū, sono visti rispettivamente come un autovalore e come
una perturbazione interna del problema.
Si è lavorato a lungo sugli sviluppi e sulle applicazioni di questo risultato di Ricceri:
in [46], Faraci e l’autore di questa tesi hanno applicato il Teorema 6.1 alle equazioni alle
differenze finite; in [45], gli stessi hanno esteso il Teorema 6.1 a una classe più ampia di
spazi di Banach, guadagnando un’applicazione a problemi al contorno (con condizioni sia
di Dirichlet che di Neumann) per equazioni quasilineari coinvolgenti il p–laplaciano su
dominî limitati; in [67], Kristály ha applicato il risultato a un’equazione di Schrödinger
su R N ; in [50], Faraci, Lisei, Varga e l’autore hanno esteso il risultato ai funzionali localmente
lipschitziani puntando a un’applicazione alle disequazioni emivariazionali su dominî
illimitati; infine, in [16], Breckner, Horváth e Varga hanno stabilito un risultato analogo
per i sistemi di disequazioni emivariazionali su dominî illimitati.
Si è così delineato un nuovo metodo, esposto nella sua forma più generale nell’articolo
[56] (pubblicato nel volume [9] curato da Blaga, Kristály e Varga), di cui il presente
Capitolo riprende più o meno i contenuti: riteniamo che il pregio maggiore del metodo in
questione sia la sua estrema generalità, in quanto l’ipotesi qualificante che J non sia quasi
convesso (6.1.1) è decisamente facile da verificare, mentre la condizione di crescita (6.1.2)
è molto comune nell’approccio variazionale; d’altra parte, la presenza di ciò che abbiamo
chiamato una perturbazione interna rende problematiche le applicazioni.
Il Capitolo ha la seguente struttura: dapprima dimostreremo il risultato generale (Sezione
6.1), quindi esporremo alcune applicazioni a un problema di Dirichlet con nonlinearità
discontinua (Sezione 6.2) e a un’inclusione differenziale su una striscia (Sezione
6.3)
6.1 Il risultato generale
Questa Sezione è dedicata al seguente risultato generale, che estende il Teorema 6.1:
Teorema 6.2. Siano (X, · ) uno spazio di Banach uniformemente convesso con
duale (X∗ , · ∗) strettamente convesso, S un sottoinsieme convesso, denso di X, p > 1
un numero reale, J : X → R un funzionale localmente lipschitziano, sequenzialmente
debolmente s.c.i. e verificante le seguenti condizioni:
(6.2.1) esiste ρ ∈ inf J(u), sup J(u) tale che J
u∈X u∈X
ρ non è convesso;

Il risultato generale 71
J(u)
(6.2.2) lim inf ≥ 0;
u→+∞ up (6.2.3) per ogni successione {un} in X, debolmente convergente a u ∈ X, esiste una
sottosuccessione {unk } tale che lim sup J(unk ; u − unk ) ≤ 0.
k→∞
Allora esistono ū ∈ S, ¯ λ > 0 tali che il funzionale
u ↦→
ammette almeno tre punti critici in X.
u − ūp
p
+ ¯ λJ(u)
Dimostrazione. L’insieme J ρ non è convesso; inoltre, poiché J è sequenzialmente debolmente
s.c.i., esso è sequenzialmente debolmente chiuso: per il Teorema 2.14, esistono
ū ∈ S e due punti v1, v2 ∈ J ρ (v1 = v2) tali che
v1 − ū = v2 − ū = inf v − ū.
ρ
v∈J
Ovviamente, si ha J(ū) > ρ; inoltre, J(vi) = ρ (i = 1, 2), come si vede facilmente
per assurdo: per esempio, se si avesse J(v1) < ρ, esisterebbe w = τū + (1 − τ)v1, per un
conveniente τ ∈]0, 1[, tale che J(w) = ρ; ne seguirebbe
una contraddizione.
w − ū = τv1 − ū < inf v − ū,
ρ
v∈J
Siamo ora in grado di provare l’asserto, e lo faremo procedendo per assurdo: per ogni
λ > 0, sia Φλ : X → R definito ponendo per ogni u ∈ X
Φλ(u) =
u − ūp
p
+ λJ(u)
(un funzionale localmente lipschitziano in forza del Lemma 3.4), e supponiamo che esso
ammetta al più due punti critici in X.
Adottando su X la topologia debole e denotando Λ = [0, +∞[, applicheremo il Teorema
1.4 alla funzione ψ definita da
ψ(u, λ) =
u − ūp
p
+ λ (J(u) − ρ) .
Naturalmente, occorre controllare le ipotesi di quel teorema di minimax: la condizione
(1.4.1) è ovviamente verificata, in quanto ψ(u, ·) è una funzione affine per ogni u ∈ X.
Per vagliare la condizione (1.4.2), fissiamo un vettore u0 ∈ Jρ, λ0 = 0 e un numero
reale
ρ0 > u0 − ūp ;
p

72 Capitolo 6. Problemi con perturbazione interna
è la palla chiusa di centro ū e raggio (pρ0) 1
p , insieme debolmente
così l’insieme ψ(·, λ0) ρ0
compatto (qui ricordiamo che X è riflessivo in quanto è uniformemente convesso).
La verifica della condizione (1.4.3) è un poco più laboriosa: fissato λ > 0 (il caso λ = 0
è banale), da (6.2.2) traiamo facilmente
lim ψ(u, λ) = +∞;
u→+∞
il funzionale ψ(·, λ) è dunque coercivo, oltre che sequenzialmente debolmente s.c.i. in quan-
u − ūp
to somma di u ↦→ , convesso e continuo, e di u ↦→ λ(J(u) − ρ), sequenzialmente
p
debolmente s.c.i.; per il Teorema di Eberlein–Smulyan, ψ(·, λ) risulta debolmente s.c.i.
Per provare la seconda parte di (1.4.3), dobbiamo prima dimostrare che il funzionale
localmente lipschitziano ψ(·, λ) soddisfa la condizione di Palais–Smale (Definizione 3.15,
adattata al caso χ ≡ 0): siano dunque {un} una successione in X tale che {ψ(un, λ)} è
limitata e {εn} una successione infinitesima in ]0, +∞[ tale che per ogni n ∈ N, v ∈ X
ψ ◦ (un, λ; v − un) + εnv − un ≥ 0;
proviamo che {un} ha una sottosuccessione convergente.
Per la coercività di ψ(·, λ), {un} è limitata, quindi ha un’estratta, ancora denotata
{un}, che converge debolmente a un certo u ∈ X: fissato ε > 0, possiamo assumere
(applicando (6.2.3) e passando ancora a un’estratta) che
εnu − un < ε
4 , J ◦ (un; u − un) < ε
4λ , 〈A(u − ū), u − un〉 < ε
2 ,
ove denotiamo A la mappa di dualità indotta su X dalla funzione peso t ↦→ tp
(si veda la
p
Sezione 2.2).
Usando il Lemma 2.6, ricaviamo
che a sua volta implica
0 ≤ ψ ◦ (un, λ; u − un) + εnu − un
≤ 〈A(un − ū), u − un〉 + λJ ◦ (un; u − un) + εnu − un
< 〈A(un − ū), u − un〉 + ε
2 ,
ε > 〈A(un − ū) − A(u − ū), (un − ū) − (u − ū)〉
≥ un − ū p−1 − u − ū p−1 (un − ū − u − ū) .
Pertanto, un − ū tende a u − ū: ciò prova che {un} converge (fortemente) a u.
Dimostriamo ora la seconda parte di (1.4.3), per assurdo: supponiamo che ψ(·, λ) ammetta
un minimo locale non globale; essendo debolmente s.c.i. e coercivo, questo funzionale
ha anche un minimo globale, cioè ha due distinti punti di minimo locale; allora il Teorema
3.17 (sempre per χ ≡ 0) garantisce l’esistenza di un terzo punto critico, così che anche il

Un problema di Dirichlet 73
funzionale Φλ (che differisce da ψ(·, λ) per una costante) avrebbe almeno tre punti critici,
contro l’ipotesi iniziale.
Possiamo applicare il Teorema 1.4 e ottenere l’eguaglianza di minimax seguente:
(6.1) sup inf ψ(u, λ) = inf
u∈X sup ψ(u, λ) =: α.
λ∈Λ u∈X
λ∈Λ
Poiché la funzione λ ↦→ inf ψ(u, λ) è s.c.s. e vale
u∈X
esiste ¯ λ ∈ Λ tale che
lim
λ→+∞ inf ψ(u, λ) = −∞,
u∈X
α = inf
u∈X ψ(u, ¯ λ).
D’altra parte, un ragionamento analogo a quello svolto all’inizio della dimostrazione
permette di stabilire che
α = inf
u∈J −1 u − ū
(ρ)
p
p
(in particolare, α > 0); di conseguenza, (6.1) assume la forma seguente:
(6.2) inf
u∈X Φ¯ λ (u) = inf
J(u)=ρ Φ¯ λ (u).
A questo punto, vediamo che ¯ λ > 0 (altrimenti avremmo α = 0); inoltre, osserviamo
che v1, v2 sono punti di minimo globale per la restrizione di Φ¯ λ all’insieme J −1 (ρ), sicché,
per (6.2), punti di minimo globale per Φ¯ λ tout court: ancora dal Teorema 3.17, allora, Φ¯ λ
(che ovviamente soddisfa la condizione di Palais–Smale) ammette almeno tre punti critici,
contro l’ipotesi iniziale.
La contraddizione raggiunta prova l’asserto.
Due parole sulla condizione (6.2.3): essa è stata formulata in modo da adattare al contesto
generale dei funzionali localmente lipschitziani l’idea di compattezza della derivata
espressa dalla condizione (6.1.3), che nel risultato originario era usata per provare la condizione
di Palais–Smale; nelle applicazioni, come si vedrà nelle Sezioni 5.2 e 5.3, (6.2.3)
segue dalle immersioni compatte degli spazi di Sobolev in convenienti spazi di Lebesgue, e
osserviamo che (6.2.3) implica la più usuale condizione (S+) per la derivata generalizzata
di Φλ (si veda il teso di Motreanu e Panagiotopoulos [81]).
6.2 Un problema di Dirichlet con nonlinearità discontinua
In questa Sezione presentiamo, come applicazione del Teorema 6.2, un risultato di molteplicità
per le soluzioni di un problema di Dirichlet su un dominio limitato con nonlinearità
fortemente discontinua, del genere di quelli esaminati nella Sezione 4.4.
Siano Ω un dominio limitato in R N (N ∈ N, N > 2) con frontiera regolare ∂Ω,
f : Ω × R → R una funzione tale che f(·, s) è misurabile per ogni s ∈ R; siamo inoltre Ω0

74 Capitolo 6. Problemi con perturbazione interna
un sottoinsieme misurabile di Ω con misura nulla, k > 0 e r ∈]1, 2[ tali che siano verificate
le seguenti condizioni:
(6.3) |f(x, s)| ≤ k(1 + |s| r−1 ) per ogni x ∈ Ω \ Ω0, s ∈ R;
(6.4) D =
x∈Ω\Ω0
{s ∈ R : f(x, ·) è discontinua in s} ha misura nulla.
Definite f− e f+ come nella Sezione 4.4, assumiamo che esse siano sup–misurabili e
verifichino
(6.5) f(x, s) = 0 per ogni x ∈ Ω \ Ω0, s ∈ D tali che f−(x, s) ≤ 0 ≤ f+(x, s).
Definito il potenziale F : Ω × R → R ponendo
F (x, s) =
s
0
f(x, t)dt,
introduciamo la seguente, cruciale ipotesi di non–convessità: esistano un sottoinsieme
aperto e non vuoto Ω1 di Ω e s1, s2, s3, σ1, σ2 ∈ R con s1 < s2 < s3, σ1 < σ2, tali
che
(6.6) F (x, s2) ≤ σ1 < σ2 ≤ min{F (x, s1), F (x, s3)} per q.o. x ∈ Ω1.
Sotto queste ipotesi, studiamo il problema di Dirichlet
(6.7)
−∆u = λf(x, ¯ u + ū(x))
u = 0
in Ω
in ∂Ω ,
dipendente dai dati ¯ λ ∈]0, +∞[, ū ∈ C ∞ 0
molteplicità:
(Ω); possiamo enunciare il seguente risultato di
Teorema 6.3. Siano Ω, f come sopra. Allora, esistono ¯ λ > 0 e ū ∈ C∞ 0 (Ω) tali che il
problema (6.7) ammette almeno tre soluzioni.
Dimostrazione. Applicheremo il Teorema 6.2 ponendo X = W 1,2
0 (Ω) (che come spazio
di Hilbert ha tutte le proprietà richieste), S = C∞ 0 (Ω) (sottospazio vettoriale denso di X),
p = 2 e definendo J = −JF : dai risultati della Sezione 4.4, infatti, segue che J è localmente
lipschitziano (cambia solo il nome della funzione...).
Per dimostrare che J è sequenzialmente debolmente continuo, rammentiamo che per
ogni ν ∈ [1, 2 ∗ [ l’immersione X ↩→ L ν (Ω) è compatta, con costante cν > 0 ([110], Theorem
A.5); da (6.3) e dal Teorema 3.7 segue che per ogni u, v ∈ X si ha
(6.8) |J(u) − J(v)| ≤ ku − v1 + k u r−1
r
+ v r−1
r u − vr.
Sia {un} una successione in X debolmente convergente a u ∈ X: esiste una sottosuccessione
{unk } tale che unk − u1 e unk − ur tendono entrambe a 0, da cui, usando

Un problema di Dirichlet 75
(6.8), è facile dedurre che J(unk ) → J(u); si può poi risalire alla successione originaria,
concludendo che J(un) → J(u).
Proviamo adesso che J soddisfa l’ipotesi (6.2.1): senza perdita di generalità possiamo
assumere, in (6.6), che s1 > 0; poniamo quindi
K = k(s3 + s r 3), ρ = − σ1 + σ2
2
m(Ω1)
e denotiamo Ω2 un insieme aperto tale che cl(Ω1) ⊂ Ω2 e cl(Ω2) ⊂ Ω, richiedendo anche
che
m(Ω2 \ Ω1) < σ2 − σ1
2K m(Ω1).
Con tecniche usuali, costruiamo u1 ∈ C ∞ 0 (Ω) tale che u1∞ = s1 e
inoltre, poniamo u2 = s2
u1 e u3 =
s1
s3
s1
s1 se x ∈ Ω1
u1(x) =
;
0 se x ∈ Ω \ Ω2
u3. Da (6.3) segue che per q.o. x ∈ Ω e ogni s ∈ R
(6.9) |F (x, s)| ≤ k (|s| + |s| r ) ,
da cui
J(u1) = −
Ω1
u1, così che u2 giace sul segmento di estremi u1 e
F (x, s1)dx − F (x, u1(x))dx
Ω2\Ω1
≤ −σ2m(Ω1) + Km(Ω2 \ Ω1)
< −σ2m(Ω1) + σ2 − σ1
2
m(Ω1) = ρ.
Similmente, ricaviamo J(u2) > ρ , J(u3) < ρ; dunque l’insieme J ρ non è convesso.
Proviamo ora che J soddisfa l’ipotesi (6.2.2): per ogni u ∈ X si ha
che implica
|J(u)| ≤ k (c1u + c r ru r ) ,
J(u)
lim = 0.
u→+∞ u2 Infine proviamo che J soddisfa l’ipotesi (6.2.3): sia {un} una successione in X debolmente
convergente a u ∈ X; possiamo allora assumere che, per un opportuno M > 0, si
abbia un ≤ M per ogni n ∈ N e che esista una sottosuccessione {unk } tale che
sicché
lim k unk − u1 = lim k unk − ur = 0,
J ◦ (unk ; u − unk ) ≤
Ω
k 1 + |unk |r−1 dx
≤ ku − unk 1 + kc r−1
r Mu − unk r,

76 Capitolo 6. Problemi con perturbazione interna
da cui chiaramente segue
lim sup J
k
◦ (unk ; u − unk ) ≤ 0.
Il Teorema 6.2, a questo punto, assicura l’esistenza di ū ∈ S e di ¯ λ > 0 tali che il
funzionale Φ¯ λ : X → R definito ponendo per ogni u ∈ X
Φ¯ λ (u) =
ammette almeno tre punti critici in X.
u − ū2
2
+ ¯ λJ(u)
Rimane da provare che questi inducono altrettante soluzioni di (6.7): ragioniamo come
nella Sezione 4.4, definendo una funzione h ponendo per ogni (x, s) ∈ Ω × R
poiché ū ∈ C ∞ 0
(4.13).
h(x, s) = ¯ λf(x, s + ū(x));
(Ω), non è difficile stabilire che h soddisfa le condizioni (4.11), (4.12) e
Detto u ∈ X un punto critico di Φ¯ λ , ragionando come nel Lemma 4.3, si individua una
funzione u∗ ∈ Lr′ (Ω) tale che per ogni v ∈ X
(∇u(x) − ∇ū(x)) · ∇v(x)dx =
ovvero si ha, in senso debole,
Ω
−∆u = u ∗ ;
Ω
u ∗ (x)v(x)dx,
poiché r ′ < 2, si ha u ∗ ∈ L 2 (Ω), da cui per classici risultati di regolarità si deduce che
u − ū ∈ W 2,2
loc
(Ω) (si veda per esempio Evans [42], p. 309).
Applichiamo infine il Lemma 4.10, stabilendo che u − ū è una soluzione di (6.7): tale
problema ha pertanto almeno tre soluzioni distinte, e la dimostrazione può dirsi conclusa.
Chiudiamo questa Sezione presentando due esempî in cui, per semplicità, esaminiamo
problemi autonomi: il secondo è probabilmente più interessante, a dispetto di una definizione
poco maneggevole della nonlinearità, perché essa presenta un insieme infinito e non
discreto di punti di discontinuità.
Esempio 6.4. Siano Ω come sopra e f : R → R definita da
0 se s ≤ 1
f(s) =
ln(s) − 1 se s > 1 .
Si vede facilmente che le condizioni (6.3), (6.4), (6.5), (6.6) sono soddisfatte (in particolare,
il solo punto di discontinuità di f è 1): dunque, per il Teorema 6.3, esistono ¯ λ > 0
e ū ∈ C∞ 0 (Ω) tali che il problema
−∆u = λ¯ ln(u + ū(x)) − 1 in Ω
u = 0 in ∂Ω
ammette almeno tre soluzioni.

Un’inclusione differenziale 77
Esempio 6.5. Siano Ω come sopra, r ∈]1, 2[ e f : R → R definita da
⎧
⎪⎨
−1 se s ≤ 0
f(s) = s
⎪⎩
r−1 n + 1
− se
n
1 1
≤ s < (n ∈ N, n > 1)
n n − 1
sr−1 .
− 1 se s ≥ 1
Questa nonlinearità soddisfa tutte le nostre ipotesi: la condizione (6.3) è banalmente
verificata per k = 2; la condizione (6.4) segue da
D =
1
n
: n ∈ N ;
per verificare la condizione (6.5) basta considerare il punto di discontinuità s = 1, e
osservare che f(1) = 0; la condizione (6.6) si prova rilevando che
di modo che esiste ¯s > 1 tale che
lim F (s) = +∞,
s→+∞
F (0) = 0 < 1 = min{F (−1), F (¯s)}.
Dunque, per il Teorema 6.3, esistono ¯ λ > 0 e ū ∈ C ∞ 0
ammette almeno tre soluzioni.
6.3 Un’inclusione differenziale su una striscia
(Ω) tali che il problema (6.7)
In questa Sezione applichiamo il Teorema 6.2 per stabilire un risultato di molteplicità per
un’inclusione differenziale su un dominio illimitato di tipo particolare: una striscia, vale a
dire un dominio dotato di una palese simmetria assiale, sul quale studieremo un problema
incentrato su un potenziale che presenta lo stesso tipo di simmetria.
Siano m, N ∈ N tali che N ≥ m + 2, ω ⊂ R m un dominio limitato con frontiera ∂ω
regolare tale che 0 ∈ ω, e Ω = ω × R N−m ; nel trattare problemi variazionali su dominî
illimitati, la mancanza di immersioni compatte degli spazi di Sobolev in opportuni spazi
di Lebesgue rappresenta un impedimento severo, che in casi particolari quale è quello in
esame può essere eluso tramite il ricorso ai gruppi di isometrie.
Denotiamo O(R N ) il gruppo delle isometrie lineari di R N e G il sottogruppo di O(R N )
formato dalle isometrie lineari che lasciano invariate le prime m coordinate (vale a dire G =
{idR m} × O(RN−m )): osserviamo che Ω è G–invariante; nel séguito, diremo simmetriche le
funzioni definite su Ω invarianti rispetto a G (geometricamente, si tratta di una simmetria
assiale o cilindrica).
Sia p ∈]1, N[; definiamo l’azione di G sullo spazio W 1,p (Ω) ponendo per ogni (g, u) ∈
G × W 1,p (Ω) e ogni x ∈ Ω
gu(x) = u(g −1 x).

78 Capitolo 6. Problemi con perturbazione interna
Si vede facilmente che G è un gruppo topologico compatto e che la sua azione su
W 1,p (Ω) è lineare e isometrica; i punti fissi rispetto a tale azione formano un sottospazio
chiuso
W 1,p
G (Ω) = {u ∈ W 1,p (Ω) : gu = u per ogni g ∈ G}
(richiamiamo qui i contenuti della Sezione 3.4).
Restringendoci a questo sottospazio, riguadagniamo la compattezza delle immersioni,
grazie al seguente Lemma dovuto a Lions:
Lemma 6.6. ([76], Lemme III.2) L’immersione W 1,p
G (Ω) ↩→ Lν (Ω) è continua (con
costante d’immersione cν > 0) per ogni ν ∈ [p, p ∗ ], e compatta per ogni ν ∈]p, p ∗ [.
(In effetti, il risultato originale di Lions riguarda il caso p = 2, ma nel caso generale
qui considerato la dimostrazione è praticamente identica.)
Siano inoltre F : Ω × R → R una funzione tale che F (x, 0) = 0 per q.o. x ∈ Ω, F (·, s) è
misurabile e simmetrica per ogni s ∈ R e F (x, ·) è localmente lipschitziana per q.o. x ∈ Ω,
r ∈]1, p[, a ∈ L ∞ (Ω) ∩ L 1 (Ω) una funzione non–negativa, R ∈]0, 1[ tale che B(0, R) ⊂ Ω e
s1 < s2 < s3, σ1 < σ2 numeri reali, e siano verificate le seguenti condizioni:
(6.10) |ξ| ≤ a(x)(1 + |s| r−1 ) per q.o. x ∈ Ω e ogni s ∈ R, ξ ∈ ∂F (x, s);
(6.11) F (x, s2) ≤ σ1 < σ2 ≤ min{F (x, s1), F (x, s3)} per q.o. x ∈ B(0, R).
Sotto queste ipotesi, studiamo la seguente inclusione differenziale: trovare u ∈ W 1,p (Ω)
tale che
(6.12) −∆pu + |u| p−2 u ∈ ¯ λ∂sF (x, u + ū(x)) per q.o. x ∈ Ω,
dipendente dai dati ¯ λ ∈]0, +∞[, ū ∈ C ∞ (Ω); possiamo enunciare il seguente risultato di
molteplicità:
Teorema 6.7. Siano Ω, p, F come sopra. Allora, esistono ¯ λ > 0 e ū ∈ C ∞ (Ω)
simmetrica tali che il problema (6.12) ammette almeno tre soluzioni simmetriche.
Dimostrazione. S’intende applicare il Teorema 6.2 nel seguente contesto: siano X =
W 1,p
G (Ω) (spazio di Banach uniformemente convesso con duale strettamente convesso, si
veda Adams [1]), S = X ∩ C∞ (Ω) (sottospazio vettoriale denso di X), J : X → R definito
per ogni u ∈ X da
J(u) = −JF (u).
Scelto q ∈]p, p ∗ [, per il Lemma 6.6 l’immersione X ↩→ L q (Ω) è continua (con costante
cq > 0) e compatta: per il Lemma 4.1, J è localmente lipschitziano.
Al fine di dimostrare che questo funzionale è sequenzialmente debolmente continuo,
consideriamo una successione {un} in X debolmente convergente a u ∈ X: passando a
un’estratta, possiamo supporre che un, u ≤ M per ogni n ∈ N (per un conveniente

Un’inclusione differenziale 79
M > 0) e che un −uq → 0, mentre si vede facilmente che a ∈ Lν (Ω) per ogni ν ∈]1, +∞[;
per ogni n ∈ N si ha
|J(un) − J(u)| ≤ a(x)(1 + |un(x)| r−1 + |u(x)| r−1 )|un(x) − u(x)|dx
da cui J(un) → J(u).
≤
Ω
aq ′ + 2a q
q−r cr−1 q M r−1
un − uq,
Proviamo ora che è verificata la condizione (6.2.1): assumendo (senza perdita di generalità)
che s1 > 0, fissiamo un numero reale δ tale che
e R1 > R tale che B(0, R1) ⊂ Ω e
denotiamo poi
ρ = − σ1 + σ2
2
e proviamo che l’insieme J ρ non è convesso.
0 < δ < (σ2 − σ1)m(B(0, R))
2a∞(s3 + s r 3 )
m(B(0, R1) \ B(0, R)) < δ;
m(B(0, R)) − a∞(s3 + s r 3)δ
È possibile costruire una funzione simmetrica u1 ∈ C∞ (Ω) tale che u∞ = s1 e
s1 se x ∈ B(0, R)
u1(x) =
0 se x ∈ Ω \ B(0, R1) ;
inoltre poniamo u2 = s2
u1 e u3 =
s1
s3
s1
Da quanto sopra segue che
J(u1) = −
B(0,R))
u1, così che u2 giace sul segmento [u1, u3].
F (x, s1)dx −
B(0,R1)\B(0,R)
F (x, u1(x))dx
≤ − σ2dx −
a(x)(|u1(x)| + |u1(x)|
B(0,R))
B(0,R1)\B(0,R)
r )dx
≤ −σ2 m(B(0, R)) + a∞(s3 + s r 3)δ < ρ;
analogamente si ricava J(u2) > ρ, J(u3) < ρ, ergo l’insieme J ρ non è convesso.
Le condizioni (6.2.2) e (6.2.3) sono verificate del pari: per provarlo, si procede come
nel Teorema 6.3.
Dunque, per il Teorema 6.2, esistono ū ∈ S e ¯ λ > 0 tali che la restrizione a X del
funzionale Φ : W 1,p (Ω) → R definito per ogni u ∈ W 1,p (Ω) da
Φ(u) =
u − ūp
p
+ ¯ λJ(u)

80 Capitolo 6. Problemi con perturbazione interna
ammette almeno tre punti critici.
Osserviamo che Φ è G–invariante: infatti, rammentando che l’azione di G su W 1,p (Ω) è
lineare e isometrica, che ū è una funzione simmetrica e che F (·, s) è anch’essa simmetrica
per ogni s ∈ R, si deduce che per ogni g ∈ G e ogni u ∈ W 1,p (Ω)
gu − ūp
Φ(gu) = −
p
¯
λ F (x, u(g
Ω
−1 x))dx
= g(u − ū)p
−
p
¯
λ F (g
Ω
−1 x, u(g −1 x))dx
= u − ūp
−
p
¯
λ F (y, u(y))dy = Φ (u).
Per il Teorema 3.20 (adattato al caso χ ≡ 0), il funzionale Φ ha tre punti critici: rimane
solo da constatare che, se u ∈ X è un punto critico di Φ, u − ū è una soluzione di (6.12),
e questo segue dal Lemma 4.3.
Possiamo concludere la dimostrazione stabilendo che (6.12) ammette almeno tre distinte
soluzioni simmetriche.
Presentiamo un esempio di problema del tipo (6.12) che si presta a essere risolto
mediante il Teorema 6.7: in esso appare un tipico potenziale localmente lipschitziano,
ottenuto “incollando” i grafici di funzioni con derivata continua.
Esempio 6.8. Si consideri la striscia Ω =]−1, 1[×R 2 , e si scelgano numeri reali 1 < r <
p < 3; sia poi a ∈ L ∞ (Ω) ∩ L 1 (Ω) una funzione non–negativa e simmetrica e si definisca il
potenziale F ponendo per ogni (x, s) ∈ Ω × R
F (x, s) = a(x) (1 − ||s| r − 1|) .
Tutte le ipotesi del Teorema 6.7 sono soddisfatte: pertanto, per un’opportuna funzione
simmetrica ū ∈ C ∞ (Ω) e un opportuno ¯ λ > 0, l’inclusione differenziale (6.12) ammette
almeno tre soluzioni simmetriche.
Ω

Capitolo 7
Punti di biforcazione per sistemi
hamiltoniani
La teoria della biforcazione è una disciplina complessa e dotata di applicazioni in vari
settori dell’analisi matematica: in modo alquanto grossolano ma efficace, possiamo descriverne
lo spirito dicendo che questa teoria studia problemi dipendenti da un parametro,
con particolare attenzione a quei valori del parametro in prossimità dei quali il numero
delle soluzioni del problema cambia.
Un’esposizione esauriente della teoria della biforcazione si può trovare nella monografia
[23] che Chow e Hale hanno dedicato all’argomento (rimandiamo il lettore anche al testo
di Ambrosetti e Prodi [2], che contiene diversi interessanti risultati): da essa traiamo la
seguente, generalissima Definizione.
Definizione 7.1. ([23], p. 2) Siano (X, τX), (Y, τY ) spazi topologici, Σ ⊂ X × Y un
insieme non vuoto e x ∈ X: x è un punto di biforcazione per Σ se esistono y ∈ Σx e tre
successioni {xn} in X, {y 1 n}, {y 2 n} in Y tali che y 1 n, y 2 n ∈ Σxn, y 1 n = y 2 n per ogni n ∈ N e
lim n xn = x, lim n y 1 n = lim n y 2 n = y.
La Definizione 7.1 formalizza l’idea seguente: si consideri un problema, dipendente
da un parametro x ∈ X, le cui soluzioni sono da cercare in Y , e Σ sia definito come
l’insieme delle coppie (x, y) tali che y è soluzione del problema indotto dal valore x del
parametro; allora x ∈ X è un punto di biforcazione per Σ se induce un problema che
ammette (almeno) una soluzione y ∈ Y tale che, per valori del parametro prossimi a x, i
problemi corrispondenti hanno due soluzioni distinte prossime a y.
Di solito, questo approccio viene seguito nello studio di problemi dipendenti da un
parametro reale (X = R): in questo Capitolo esamineremo invece (nello stesso spirito del
Capitolo 6) problemi dipendenti da un elemento dello stesso spazio in cui cerchiamo le
soluzioni (X = Y ), riprendendo i risultati stabiliti da Faraci e dall’autore della presente
tesi in [47].
Più precisamente, ci occuperemo di sistemi hamiltoniani, stabilendo che, sotto opportune
ipotesi, i punti di biforcazione per un sistema non lineare costituiscono un insieme
81

82 Capitolo 7. Biforcazione per sistemi hamiltoniani
“grande” (ovvero, non σ–compatto); seguendo un metodo simile, proveremo anche un
risultato di esistenza di soluzioni non banali per un sistema lineare dipendente da un
parametro reale e da una funzione.
Il Capitolo ha la seguente scansione: dapprima introdurremo alcune definizioni sugli
operatori non lineari fra spazi di Hilbert e due recenti risultati di Ricceri [100] sui punti
singolari di tali operatori, che saranno i nostri strumenti principali (Sezione 7.1); quindi
presenteremo in termini generali l’impostazione variazionale per i sistemi hamiltoniani
(Sezione 7.2); infine esporremo i nostri risultati relativi a sistemi non lineari (Sezione 7.3)
e lineari (Sezione 7.4).
7.1 Punti singolari di operatori non lineari
Premettiamo ai risultati di questa Sezione alcune Definizioni che saranno utilizzate nel
séguito: la prima è espressa in forma di chiasmo.
Definizione 7.2. Siano (X, · ) uno spazio di Hilbert, T : X → X un operatore: un
punto regolare di T è un punto u ∈ X tale che esistono due sottoinsiemi aperti U e V di X
tali che u ∈ U, T (u) ∈ V e la restrizione di T a U è un omeomorfismo fra U e V ; un punto
singolare di T è un punto non regolare, e ST denota l’insieme dei punti singolari di T ; un
valore singolare è un punto v ∈ T (ST ); un valore regolare è un punto v ∈ T (X) \ T (ST ).
Infine, se T ∈ C 1 (X, X), si pone
ˆST = u ∈ X : T ′ (u) ∈ L(X, X) non è suriettivo .
In margine alla Definizione 7.2, precisiamo quanto segue: dati uno spazio di Hilbert
(X, · ) e un operatore T ∈ C 1 (X, X), per ogni u ∈ X la derivata secondo Gâteaux
di T in u è definita come un operatore lineare continuo T ′ (u) ∈ L(X, X), e la mappa
T ′ : X → L(X, X) è continua.
Osserviamo anche che, nelle medesime ipotesi, l’insieme ˆ ST è chiuso: difatti, si verifica
facilmente che l’insieme degli operatori suriettivi è aperto in L(X, X) (si usa [2], Proposition
1.1), e X \ ˆ ST coincide con la retroimmagine di tale insieme tramite la mappa continua
T ′ ; quindi X \ ˆ ST è aperto.
Rammentiamo anche la seguente nozione topologica:
Definizione 7.3. Siano (X, τ) uno spazio topologico, S un sottoinsieme di X: S è
σ–compatto se esiste una successione {Sn} di sottoinsiemi compatti di X tale che
S =
Sn.
n∈N
Osserviamo che, se X è uno spazio di Hilbert di dimensione infinita, gli insiemi σ–
compatti in X si possono considerare “piccoli” in quanto, per esempio, tali insiemi non
possiedono punti interni: a converso, un insieme non σ–compatto sarà considerato “grande”.
Il problema della “grandezza” dell’insieme dei punti singolari di un operatore non
lineare è classico: in spazi di dimensione finita, un celebre risultato di Sard assicura che,

Punti singolari 83
sotto opportune ipotesi, tale insieme ha misura nulla (si veda [105]); Smale ha in un certo
senso esteso questo risultato al caso di spazi di dimensione infinita, provando in [108] che
i punti singolari di una certa classe di operatori formano insiemi di prima categoria (nel
senso di Baire); altri importanti risultati di struttura per l’insieme dei punti singolari di
un operatore non lineare sono quelli di Plastock [87] e di Sadyrkhanov [103].
In [100], Ricceri ha individuato per la prima volta una classe generale di operatori
potenziali fra spazi di Hilbert che hanno insiemi di punti (e di valori) singolari non σ–
compatti, servendosi di ipotesi di non–quasi–convessità e, indirettamente, della teoria del
minimax (come nel Teorema 6.1), sotto una ulteriore condizione di positiva omogeneità:
di séguito richiamiamo il risultato principale.
Teorema 7.4. ([100], Theorem 1) Siano (X, · ) uno spazio di Hilbert con dim(X) =
∞, J ∈ C 1 (X, R) un funzionale verificante le seguenti condizioni:
(7.4.1) J è sequenzialmente debolmente s.c.i.;
(7.4.2) esiste ρ ∈ inf J(u), sup J(u)
u∈X u∈X
tale che J ρ non è convesso;
(7.4.3) esiste α ∈]1, 2[ tale che J(µu) = µ α J(u) per ogni µ > 0, u ∈ X.
Inoltre, l’operatore T : X → X definito per ogni u ∈ X da
T (u) = u + J ′ (u)
sia chiuso. Allora, gli insiemi ST e T (ST ) non sono σ–compatti.
Nel seguente risultato, anch’esso dovuto a Ricceri, la positiva omogeneità del funzionale
espressa dalla condizione (7.4.3) è rimpiazzata dalla comparsa di un parametro reale, e la
tesi è decisamente più tecnica.
Teorema 7.5. ([100], Theorem 3) Siano (X, · ) uno spazio di Hilbert con dim(X) ≥
3, J ∈ C 2 (X, R) un funzionale verificante le seguenti condizioni:
(7.5.1) J ′ : X → X è compatto;
(7.5.2) esiste ρ ∈ inf J(u), sup J(u)
u∈X u∈X
tale che J ρ non è convesso;
J(u)
(7.5.3) lim inf ≥ 0.
u→+∞ u2 Inoltre, per ogni λ > 0 sia definito l’operatore Tλ : X → X ponendo per ogni u ∈ X
e sia verificata
(7.5.4) lim
u→+∞ Tλ(u) = +∞.
Tλ(u) = u + λJ ′ (u),

84 Capitolo 7. Biforcazione per sistemi hamiltoniani
Allora, esiste ¯ λ > 0 tale che l’insieme ˆ ST¯ λ contiene almeno un punto di accumulazione.
Un’altra nozione cui faremo riferimento nel séguito è quella di operatore proprio, di
cui ricordiamo la definizione.
Definizione 7.6. Siano (X; τ) uno spazio topologico, T : X → X un operatore: T è
proprio se T −1 (K) è compatto per ogni sottoinsieme compatto K di X.
Un’importante classe di operatori proprî è individuata dal seguente risultato di Sadyrkhanov.
Teorema 7.7. ([103], Theorem 1.1) Siano (X, ·) uno spazio di Hilbert con dim(X) =
∞, T : X → X un operatore continuo, chiuso e non costante. Allora, T è proprio.
Infine, includiamo per completezza il classico Teorema dell’invarianza del dominio,
enunciato in una forma adatta ai nostri scopi.
Teorema 7.8. ([117], Theorem 16.C) Siano (X, · ) uno spazio di Hilbert, O un
sottoinsieme aperto di X, R : O → X un operatore continuo e compatto. Inoltre l’operatore
T : O → X definito per ogni u ∈ O da
sia iniettivo. Allora, T è aperto.
T (u) = u + R(u)
7.2 Alcuni richiami sui sistemi del secondo ordine
In questa Sezione richiamiamo alcuni elementi della teoria dei sistemi di equazioni differenziali
ordinarie del secondo ordine con condizioni agli estremi periodiche, quale è esposta nel
testo di Mawhin e Willem [80]: denotato I = [0, 1], siano N ∈ N (N > 1) e A(·) = [aij(·)]
una matrice simmetrica N × N i cui termini sono funzioni aij ∈ L ∞ (I) (i, j = 1, . . . N), e
sia verificata, per un opportuno ν > 0, la seguente condizione:
(7.1) (A(x)s) · s ≥ ν|s| 2 per q.o. x ∈ I e ogni s ∈ R N .
Il simbolo H1 1 indica lo spazio delle funzioni u ∈ L2 (I, RN ) che ammettono derivata
debole ˙u ∈ L2 (I, RN ) e verificano u(0) = u(1): in particolare, ogni u ∈ H1 1 è una funzione
assolutamente continua, sicché ammette una derivata classica, coincidente con ˙u, quasi
si può definire un prodotto scalare ponendo per ogni
ovunque in I; in forza di (7.1), su H1 1
u, v ∈ H1 1
1
〈u, v〉 =
0
[ ˙u(x) · ˙v(x) + (A(x)u(x)) · v(x)] dx,
e questo induce una norma definita per ogni u ∈ H 1 T da
1
u = [| ˙u(x)| 2 + (A(x)u(x)) · u(x)] dx.
Il seguente Lemma stabilisce le proprietà di H 1 1 :
0

Sistemi non lineari 85
Lemma 7.9. ([80], Chapter 1 passim) (H1 1 , · ) è uno spazio di Hilbert di dimensione
infinita, e l’immersione H1 1 ↩→ C0 (I, R) è compatta (con costante c > 0).
Sia G : I × R N → R N una funzione di Carathéodory; ci occuperemo di sistemi del tipo
seguente:
(7.2)
⎧
⎨
⎩
ü = A(x)u + G(x, u) in I
u(1) − u(0) = ˙u(1) − ˙u(0) = 0
Secondo la definizione corrente, una soluzione di (7.2) è una funzione u ∈ H1 1
per ogni v ∈ H1 1 si abbia
1
(7.3)
0
[ ˙u(x) · ˙v(x) + (A(x)u(x)) · v(x) + G(x, u(x)) · v(x)] dx = 0.
La precedente definizione è motivata dal ragionamento che segue: se u ∈ H1 1
sopra, si dimostra che in realtà u ∈ C1 (I, RN ) con derivata ˙u ∈ H1 1
tale che
è come
; ne segue che ˙u(1) =
˙u(0), e che ˙u ammette una derivata debole ü, che verifica per q.o. x ∈ I
(si veda [80], Section 1.4).
ü(x) = A(x)u(x) + G(x, u(x))
7.3 Biforcazione per sistemi non lineari
Nella presente Sezione studieremo un sistema del tipo (7.2) in cui la nonlinearità è rappresentata
dal gradiente di una funzione scalare, detta potenziale: questi sistemi sono chiamati
hamiltoniani e per essi si può formulare una teoria variazionale (alcuni autori riservano la
denominazione di “sistemi hamiltoniani” a un altro tipo di problemi, e chiamano questi,
invece, “sistemi gradienti”).
Siano I, A come nella Sezione 7.2, e sia F : I × RN → R una funzione tale che F (·, s)
è misurabile per ogni s ∈ RN e F (x, ·) ∈ C1 (RN , R) per q.o. x ∈ I; supponiamo inoltre
che esistano a ∈ C0 (R, R) e b ∈ L1 (I) non–negative tali che per q.o. x ∈ I e ogni s ∈ RN
(7.4) max |F (x, s)| ,
∂F
(x, s)
∂si
: i = 1, . . . N ≤ a(|s|)b(x).
Inoltre, assumiamo che F non sia convessa rispetto alla seconda variabile, ovvero che
esistano un intervallo chiuso I0 ⊂]0, 1[, s1, s2 ∈ R N (s1 = s2), τ ∈]0, 1[ e σ1, σ2 ∈ R tali
che per q.o. x ∈ I0
(7.5) max {F (x, s1), F (x, s2)} ≤ σ1 < σ2 ≤ F (x, τs1 + (1 − τ)s2) .
Infine, supponiamo che F sia positivamente omogenea rispetto alla seconda variabile
con esponente α ∈]1, 2[, cioè che per q.o. x ∈ I e ogni s ∈ R N
(7.6) F (x, µs) = µ α F (x, s).

86 Capitolo 7. Biforcazione per sistemi hamiltoniani
Notiamo che in (7.4) si può scegliere, senza perdita di generalità, a crescente, mentre
da (7.6) segue che F (x, 0) = 0 per q.o. x ∈ I.
(7.7)
Data una funzione v ∈ H1 1 , studieremo il seguente sistema hamiltoniano:
⎧
⎨
⎩
ü = A(x)u + ∇F (x, u + v(x)) in I
u(1) − u(0) = ˙u(1) − ˙u(0) = 0
Qui v è considerata un parametro del problema, e ci interesseremo in particolare a
quelle funzioni v che sono punti di biforcazione per l’insieme
Σ := (v, u) ∈ H 1 1 × H 1 1 : u è soluzione di (7.7) ;
servendoci del Teorema 7.4, proveremo che l’insieme di tali punti di biforcazione non è σ–
compatto, e che, ogni volta che si scelga una funzione v che non è un punto di biforcazione
per Σ, il problema (7.7) da essa indotto ammette un numero finito di soluzioni.
Il nostro approccio è fondato sulla riscrittura di (7.7) nella forma di un’equazione in
H1 1 coinvolgente un certo operatore non lineare T : come si vedrà, i punti di biforcazione
per Σ coincidono coi valori singolari di T ; questa identificazione fra punti di biforcazione
di un problema e valori singolari di un operatore è già stata impiegata da ˇ Durikovič e
ˇDurikovičová in [37], nello studio di una singola equazione differenziale.
Né è nuova l’ipotesi di positiva omogeneità espressa dalla condizione (7.6): per esempio,
Ben–Naoum, Troestler e Willem hanno provato in [8] l’esistenza di una soluzione
non costante per un sistema hamiltoniano con un potenziale positivamente omogeneo di
esponente α > 1, α = 2.
La nostra scelta pone F nella classe dei potenziali sub–quadratici: vi sono diversi
risultati relativi a sistemi hamiltoniani con siffatti potenziali, fra i quali ricordiamo quello
stabilito da Tang e Wu in [112] (per un sistema con una matrice A non necessariamente
definita positiva); un risultato di molteplicità per sistemi con potenziale quadratico è stato
invece provato, usando metodi topologici, da Faraci e dall’autore della presente tesi in [44].
Una diversa condizione asintotica compare invece nel teorema di molteplicità per sistemi
hamiltoniani stabilito da Faraci in [43] (che contiene anche una disamina su alcuni
teoremi classici sui sistemi); rammentiamo anche il lavoro di Faraci e Livrea [51], ove è presentato
un risultato di biforcazione per sistemi hamiltoniani dipendenti da un parametro
reale.
Per preparare il terreno, denotiamo X = H 1 1
J ponendo per ogni u ∈ X
J(u) =
1
0
e definiamo su questo spazio un funzionale
F (x, u(x))dx.
Di séguito studiamo il funzionale J e la sua derivata:
Lemma 7.10. Siano X, J come sopra. Allora, J ∈ C 1 (X, R) e J ′ : X → X è un
operatore compatto; inoltre, sono verificate le seguenti condizioni:

Sistemi non lineari 87
(7.10.1) esiste ρ ∈
inf J(u), sup J(u) tale che J
u∈X u∈X
ρ non è convesso;
(7.10.2) J(µu) = µ α J(u), J ′ (µu) = µ α−1 J ′ (u) per ogni µ > 0, u ∈ X.
Dimostrazione. Con metodi classici si dimostra che J ∈ C 1 (X, R) e che la sua derivata
secondo Gâteaux è un operatore J ′ : X → X (identificando X con il suo duale in virtù
del Teorema di Riesz) definito da
per ogni u, v ∈ X.
〈J ′ (u), v〉 =
1
0
∇F (x, u(x)) · v(x)dx
Proviamo che J ′ è compatto: sia {un} una successione limitata in X; per il Lemma
7.9 esistono una sottosuccessione, ancora denotata {un}, e una funzione u ∈ X tali che
un − u∞ → 0, e poiché per ogni n ∈ N
J ′ (un) − J ′ 1
(u) ≤ c
0
|∇F (x, un(x)) − ∇F (x, u(x))| dx,
ne segue che J ′ (un) → J ′ (u) per il Teorema di Lebesgue (si sfrutta (7.4)).
Per provare (7.10.1), si procede come segue: sia
M = max{|s1|, |s2|},
e sia δ > 0 tale che per ogni sottoinsieme misurabile Ω di I con m(Ω) < δ si abbia
b(x)dx < (σ2 − σ1)m(I0)
;
2 a(M)
Ω
senza perdita di generalità possiamo supporre che
I1 := inf(I0) − δ
3 , sup(I0) + δ
⊂]0, 1[,
3
sicché m(I1 \ I0) < δ.
Per i = 1, 2 si costruisce una funzione ui ∈ C ∞ ([0, 1], R N ) tale che ui∞ = |si| e
pertanto ui ∈ X, e si ricava
J(ui) =
si se x ∈ I0
ui(x) =
;
0 se x ∈ I \ I1
I0
F (x, si)dx +
≤ σ1m(I0) + a(M)
< (σ1 + σ2)m(I0)
.
2
I1\I0
I1\I0
F (x, ui(x))dx
b(x)dx

88 Capitolo 7. Biforcazione per sistemi hamiltoniani
D’altra parte, definita u0 = τu1 + (1 − τ)u2, calcoli analoghi conducono a
di modo che J ρ , per
non è convesso.
J(u0) > (σ1 + σ2)m(I0)
,
2
ρ = (σ1 + σ2)m(I0)
,
2
Infine, (7.10.2) segue da (7.6), e con questo la dimostrazione è conclusa.
L’operatore T : X → X che regge il problema (7.7) è definito da
per ogni u ∈ X, e ha le seguenti proprietà:
T (u) = u + J ′ (u)
Lemma 7.11. Siano X, J, T come sopra. Allora, è verificata la condizione
(7.11.1) lim T (u) = +∞;
u→+∞
inoltre, T è un operatore chiuso e proprio.
Dimostrazione. Da (7.10.2) si deduce agevolmente che
d’altra parte, per ogni u ∈ X si ha
il che implica (7.11.1).
J
lim
u→+∞
′ (u)
= 0;
u
T (u) ≥ u
1 − J ′
(u)
,
u
Ora dimostriamo che T è una mappa chiusa: sia C un sottoinsieme chiuso di X,
proveremo che T (C) è parimenti chiuso; sia dunque {un} una successione in C tale che
T (un) → v per un opportuno v ∈ X, allora esiste un’estratta {unk } tale che J ′ (unk ) → w
per qualche w ∈ X (Lemma 7.10).
Dunque
unk = T (unk ) − J ′ (unk ) → v − w,
da cui v − w ∈ C; inoltre, risulta J ′ (v − w) = w, donde
cioè in particolare v ∈ T (C).
T (v − w) = v
Infine, T è proprio per il Teorema 7.7.
Possiamo ora introdurre il risultato principale, che descrive la struttura dell’insieme
dei punti di biforcazione per il problema (7.7) e fornisce anche informazioni sulle soluzioni
di (7.7) quando v non è un punto di biforcazione:

Sistemi non lineari 89
Teorema 7.12. Siano I, A, F come sopra. Allora, le seguenti condizioni sono verificate:
(7.12.1) l’insieme dei punti di biforcazione per l’insieme Σ è chiuso e non σ–compatto;
(7.12.2) per ogni v ∈ H 1 1
che non è un punto di biforcazione per l’insieme Σ, l’insieme
delle soluzioni del problema (7.7) è non vuoto e finito.
Dimostrazione. Proveremo (7.12.1) facendo ricorso al Teorema 7.4: tutte le ipotesi di
quel risultato sono verificate (in particolare, J è sequenzialmente debolmente continuo
perché J ′ è compatto).
Dunque gli insiemi ST e T (ST ) non sono σ–compatti: inoltre, si vede facilmente che
ST è chiuso, ergo anche T (ST ) è chiuso (Lemma 7.11).
Rimane da provare che T (ST ) coincide con l’insieme dei punti di biforcazione per Σ: a
tal fine osserviamo che per ogni v ∈ X si ha
(7.8) Σv = {u ∈ X : T (u + v) = v} ,
in quanto, per ogni u ∈ X, la condizione
equivale a
che a sua volta equivale a
1
0
T (u + v) = v
u + J ′ (u + v) = 0,
[ ˙u(x) · ˙w(x) + (A(x)u(x)) · w(x) + ∇F (x, u(x) + v(x)) · w(x)] dx = 0
per ogni w ∈ X, e questo vuol dire che (v, u) ∈ Σ.
Sia v ∈ T (ST ): per (7.8), esiste u ∈ Σv tale che u + v ∈ ST ; poiché u + v è
un punto
singolare per T , per ogni n ∈ N la restrizione di T alla palla aperta Bn := B u + v, 1
n
non è un omeomorfismo.
In effetti, T : Bn → T (Bn) non è una mappa iniettiva: infatti, se lo fosse, per il Teorema
7.8 sarebbe anche aperta, cioè un omeomorfismo, contro quanto appena acclarato.
Dunque, per ogni n ∈ N esistono w 1 n, w 2 n ∈ Bn, w 1 n = w 2 n, tali che T (w 1 n) = T (w 2 n) =: vn;
chiaramente
lim n w 1 n = lim n w 2 n = u + v, lim n vn = v,
così, posto u i n = w i n − vn (i = 1, 2), si ha
lim n u 1 n = lim n u 2 n = u
e pertanto v è un punto di biforcazione per Σ in base alla Definizione 7.1.

90 Capitolo 7. Biforcazione per sistemi hamiltoniani
D’altra parte, sia v ∈ X \ T (ST ): allora, da (7.8) segue facilmente
Σv ∩ (ST − v) = ∅.
Quindi v non è un punto di biforcazione per Σ: infatti, per ogni u ∈ Σv si ha che
u + v /∈ ST , sicché T è un omeomorfismo locale in u + v; in particolare esiste un intorno U
di u tale che la restrizione T : U + v → T (U + v) è iniettiva, quindi v non può verificare
la Definizione 7.1.
Con ciò, (7.12.1) è dimostrata.
Proviamo ora (7.12.2): sia v ∈ X \ T (ST ), e sia definito un funzionale Φ : X → R
ponendo per ogni u ∈ X
Φ(u) = u2
2
+ J(u + v);
si vede subito che Ψ ∈ C 1 (X, R), con derivata espressa per ogni u ∈ X da
Φ ′ (u) = u + J ′ (u + v) = T (u + v) − v,
sicché, per (7.8), Σv coincide con l’insieme dei punti critici di Φ.
Il funzionale Φ è coercivo: per dimostrarlo, osserviamo che J, essendo un funzionale
con derivata continua e compatta, è sequenzialmente debolmente continuo (si veda [118]),
quindi la sua restrizione alla palla B(0, 1) ammette minimo m ∈ R; applicando (7.6),
otteniamo allora che per ogni u ∈ X, u = −v,
rammentando che α < 2, si deduce che
Φ(u) = u2
2 + u + vα
u + v
J
u + v
≥ u2
2 + mu + vα ;
lim Φ(u) = +∞.
u→+∞
Inoltre, Φ è sequenzialmente debolmente s.c.i., dunque ammette minimo globale in X:
dunque Σv = ∅.
Dal Teorema 7.11, T è proprio, il che, congiunto con (7.8), implica che Σv è compatto;
inoltre, poiché v /∈ T (ST ), ogni u ∈ Σv ammette un intorno U tale che la restrizione di T
all’insieme U + v è iniettiva e in particolare
Σv ∩ U = {u},
cioè Σv è discreto: un insieme compatto e discreto in uno spazio di Hilbert è finito, e ciò
prova (7.12.2).

Sistemi lineari 91
La scelta di formulare il Teorema 7.12 nel contesto dei sistemi di equazioni è, in qualche
modo, obbligata: infatti, per conformarsi alle ipotesi (7.5) e (7.6), il potenziale F dev’essere,
rispetto alla seconda variabile, positivamente omogeneo con esponente maggiore di 1 e non
quasi–convesso, e queste restrizioni sono incompatibili per una funzione di una variabile
reale.
Invece, per N > 1, non è difficile trovare un potenziale confacente alle nostre condizioni,
come il seguente esempio mostra.
Esempio 7.13. Siano N = 2, A(·) = [aij(·)] una matrice 2 × 2 come sopra, α ∈]1, 2[
un numero reale, e si consideri il seguente sistema autonomo, dipendente dalla funzione
v ∈ H 1 1 :
⎧
⎪⎨
⎪⎩
ü1 = a11(x)u1 + a12(x)u2 + α|u1 + v1(x)| α−2 (u1 + v1(x)) in I
ü2 = a21(x)u1 + a22(x)u2 − α|u2 + v2(x)| α−2 (u2 + v2(x)) in I
u1(1) − u1(0) = ˙u1(1) − ˙u1(0) = 0
u2(1) − u2(0) = ˙u2(1) − ˙u2(0) = 0
Siamo ricondotti allo studio del potenziale F : R 2 → R definito per ogni (s1, s2) ∈ R 2
F (s1, s2) = |s1| α − |s2| α ,
che soddisfa tutte le ipotesi del Teorema 7.12: dunque l’insieme dei punti di biforcazione
v per il problema non è σ–compatto, e quando v non è un punto di biforcazione l’insieme
delle soluzioni è non vuoto e finito.
7.4 Esistenza per sistemi lineari
In questa Sezione studieremo un sistema di equazioni differenziali ordinarie del secondo
ordine lineari con condizioni agli estremi periodiche, dipendente da un parametro lineare
e da una funzione di H 1 1 .
Siano I, A come nella Sezione 7.2, e sia F : I × RN → R una funzione tale che F (·, s)
è misurabile per ogni s ∈ RN e F (x, ·) ∈ C2 (RN , R) per q.o. x ∈ I (denotiamo HF (x, ·)
la matrice hessiana di F (x, ·)), e che F (x, 0) = 0 per q.o. x ∈ I; supponiamo inoltre che
esistano a ∈ C0 (R, R) e b ∈ L1 (I) non–negative tali che per q.o. x ∈ I e ogni s ∈ RN
(7.9) max |F (x, s)| ,
∂F
(x, s)
∂si
,
∂
2
F
(x, s)
∂si∂sj
: i, j = 1, . . . N ≤ a(|s|)b(x).
Inoltre, assumiamo che F non sia convessa rispetto alla seconda variabile, ovvero che
esistano un intervallo chiuso I0 ⊂]0, 1[, s1, s2 ∈ R N (s1 = s2), τ ∈]0, 1[ e σ1, σ2 ∈ R tali
che per q.o. x ∈ I0
(7.10) max {F (x, s1), F (x, s2)} ≤ σ1 < σ2 ≤ F (x, τs1 + (1 − τ)s2) .

92 Capitolo 7. Biforcazione per sistemi hamiltoniani
Infine, supponiamo che F verifichi la seguente condizione di crescita:
|∇F (x, s)|
(7.11) lim ess sup
= 0.
|s|→+∞ x∈I |s|
(7.12)
Come nella Sezione 7.3, in (7.9) si può scegliere, senza perdita di generalità, a crescente.
Dati un numero reale λ > 0 e una funzione v ∈ H1 1 , studieremo il seguente sistema:
⎧
⎨
⎩
ü = A(x)u + λHF (x, v(x))u in I
u(1) − u(0) = ˙u(1) − ˙u(0) = 0
Denotando X = H1 1 , definiamo il funzionale J come nella Sezione 7.3.
Lemma 7.14. Siano X, J come sopra. Allora, J ∈ C2 (X, R), J ′ : X → X è un
operatore compatto e J ′′ (u) è un operatore lineare compatto e auto–aggiunto per ogni
u ∈ X; inoltre, sono verificate le seguenti condizioni:
(7.14.1) esiste ρ ∈ inf J(u), sup J(u)
u∈X u∈X
tale che J ρ non è convesso;
J
(7.14.2) lim
u→+∞
′ (u)
= 0;
u
J(u)
(7.14.3) lim = 0.
u→+∞ u2 Dimostrazione. Procedendo come nel Lemma 7.10, si dimostra che J ∈ C 2 (X, R), che
J ′ è compatto e che vale (7.14.1) (si noti che in questo caso si è assunto esplicitamente
che F (·, 0) ≡ 0); la derivata seconda di J si identifica per ogni u ∈ X con un operatore
J ′′ (u) ∈ L(X, X) tale che per ogni v, w ∈ X
〈J ′′ (u)(v), w〉 =
1
0
(HF (x, u(x))v(x)) · w(x)dx.
Dimostriamo ora che, per ogni u ∈ X, J ′′ (u) è un operatore compatto: sia {vn} una successione
in X con vn ≤ M per ogni n ∈ N (M > 0); intendiamo provare che {J ′′ (u)(vn)}
ha un’estratta convergente.
Fissato ε > 0, esiste δ > 0 tale che
J ′ (u + v) − J ′ (u) − J ′′ (u)(v)
v
per ogni v ∈ X con v < δ; scelto µ ∈
0, δ
M
< ε
3M
, la successione {u + µvn} è limitata:
giacché J ′ è compatto, troviamo una sottosuccessione, denotata ancora {vn}, tale che
{J ′ (u + µvn)} converge in X, quindi in particolare è una successione di Cauchy.

Sistemi lineari 93
Allora esiste ν ∈ N tale che
for all n, m > ν; si deduce allora che
J ′ (u − µvn) − J ′ (u − µvm) < εµ
3
J ′′ (u)(vn) − J ′′ (u)(vm) < ε
per ogni n, m > ν, e così, per completezza di X, è provata la convergenza di {J ′′ (u)(vn)}.
Osserviamo che, poiché la matrice HF (·, u(·)) è simmetrica, tale operatore risulta auto–
aggiunto.
I comportamenti di J ′ e J all’infinito sono determinati da quelli di ∇F e F rispettivamente:
pertanto, (7.14.2) segue da (7.11).
Similmente, (7.14.3) segue dal fatto che
F (x, s)
lim ess sup
|s|→+∞ x∈I |s| 2 = 0.
Così la dimostrazione è conclusa.
Anche il problema (7.12) si può studiare tramite un operatore non lineare: per ogni
λ > 0, definiamo Tλ : X → X ponendo per ogni u ∈ X
Tλ(u) = u + λJ ′ (u);
le proprietà di Tλ sono descritte dal seguente Lemma.
Lemma 7.15. Siano X, J come sopra. Allora, per ogni λ > 0 si ha Tλ ∈ C 1 (X, X) ed
è verificata la seguente condizione:
(7.15.1) lim
u→+∞ Tλ(u) = +∞.
Dimostrazione. Sia fissato λ > 0: la derivata di Tλ in u ∈ X è l’operatore T ′ λ (u) ∈
L(X, X) definito da
T ′ λ (u) = Id + λJ ′′ (u)
(dove Id ∈ L(X, X) è l’identità). Per provare (7.15.1), si ragiona come nel Lemma 7.11,
usando (7.14.2).
Il risultato principale di questa Sezione studia i dati λ, v che inducono problemi (7.12)
dotati di almeno una soluzione non banale: per ogni λ > 0, si ponga
Γλ := {v ∈ X : esiste u ∈ X, u = 0 soluzione di (7.12)} ;
il prossimo Teorema fornisce, per un appropriato λ, informazioni sulla struttura dell’insieme
Γλ.
Teorema 7.16. Siano I, A, F come sopra. Allora, esiste ¯ λ > 0 tale che l’insieme Γ¯ λ
contiene almeno un punto di accumulazione.

94 Capitolo 7. Biforcazione per sistemi hamiltoniani
Dimostrazione. Applicheremo il Teorema 7.5, le cui ipotesi sono verificate in forza dei
Lemmi 7.14 e 7.15: dunque esiste ¯ λ > 0 tale che l’insieme ˆ ST¯ λ (che raccoglie, lo ricordiamo,
tutti i punti v ∈ X tali che T ′ ¯ λ (v) non è suriettivo) ammette un punto di accumulazione
¯v ∈ X; già sappiamo che ˆ ST¯ λ è chiuso, quindi ¯v ∈ ˆ ST¯ λ .
(7.13)
Si tratta ora di dimostrare che, per ogni λ > 0,
STλ
ˆ = Γλ.
Sia v ∈ X: l’operatore lineare T ′ λ (v) soddisfa le ipotesi del classico Teorema di alternativa
di Fredholm, in quanto J ′′ (v) è compatto e auto–aggiunto (Lemma 7.14); dunque,
T ′ λ (v) è iniettivo se e solo se è suriettivo.
Quanto stabilito equivale a dire che v ∈ ˆ STλ se e solo se esiste u ∈ X, u = 0 tale che,
per ogni w ∈ X,
〈u + λJ ′′ (v)(u), w〉 = 0;
ovvero
1
0
[ ˙u(x) · ˙w(x) + (A(x)u(x)) · w(x) + λ(HF (x, v(x))u(x)) · w(x)] dx = 0.
In sintesi, abbiamo provato che v ∈ ˆ STλ se e solo se (7.12) ammette una soluzione non
banale.
Con ciò (7.13) è provata, e con essa la tesi.
Concludiamo la Sezione con un esempio.
Esempio 7.17. Siano N > 1, A(·) = [aij(·)] una matrice N × N simmetrica come nella
Sezione 7.3, e si consideri il seguente problema lineare, dipendente dai dati v ∈ H1 1 e λ > 0:
⎧
⎪⎨
⎪⎩
üi =
N
j=1 aij(x) + 2λe−|v(x)|2
(2vi(x)vj(x) − δij) uj in I
ui(1) − ui(0) = ˙ui(1) − ˙ui(0) = 0
i = 1, . . . N
(dove δij è il simbolo di Kronecker). Il potenziale F : RN → R legato a questo problema è
definito per ogni s ∈ RN da
F (s) = e −|s|2
− 1,
e soddisfa tutte le ipotesi del Teorema 7.16: dunque, esiste ¯ λ > 0 tale che l’insieme Γ¯ λ
contiene almeno un punto di accumulazione.

Capitolo 8
Buona posizione e insiemi di
Chebyshev non convessi
Riprendendo l’argomento lumeggiato nella Sezione 2.3, torniamo a occuparci del problema
della convessità degli insiemi di Chebyshev, esaminando in particolare il caso degli spazi
di Hilbert: dal Teorema 2.10 segue che, in uno spazio di Hilbert di dimensione finita, gli
insiemi di Chebyshev sono tutti e soli gli insiemi chiusi e convessi (si rammenti quanto
osservato nella Sezione 2.1).
Per gli spazi di Hilbert di dimensione infinita, invece, il problema è ancora aperto
(né, purtroppo, sarà risolto in questa sede): alcuni interessanti risultati di Asplund [5]
forniscono condizioni sufficienti per la convessità di un insieme di Chebyshev in uno spazio
di Hilbert; Klee, invece, ha avanzato in [60] la congettura che esista uno spazio di Hilbert
contenente almeno un insieme di Chebyshev non convesso.
In [48], Faraci e l’autore di questa tesi hanno presentato una congettura analoga,
basandosi su un teorema di buona posizione per un certo tipo di problemi di miglior
approssimazione in spazi di Hilbert: nel presente Capitolo riprendiamo i contenuti di [48],
esponendo dapprima il risultato di buona posizione (Sezione 8.1), quindi la congettura, le
sue motivazioni e un confronto con gli argomenti di Klee (Sezione 8.2).
8.1 Buona posizione per un problema di miglior approssimazione
Richiamiamo dalla monografia di Dontchev e Zolezzi [35] la seguente definizione:
Definizione 8.1. Siano (X, τ) uno spazio topologico, Φ : X → R un funzionale: il
problema di minimizzare Φ su X è ben posto (secondo Tychonov) se esiste x ∈ X tale che
(8.1.1) Φ(y) > Φ(x) per ogni y ∈ X, y = x;
(8.1.2) lim n yn = x per ogni successione {yn} in X tale che lim n Φ(yn) = Φ(x).
95

96 Capitolo 8. Buona posizione e insiemi di Chebyshev
In [99], Ricceri ha provato un teorema di buona posizione per problemi di minimizzazione
relativi a funzionali derivabili secondo Gâteaux con derivata localmente lipschitziana
su spazi di Hilbert: il suo metodo è basato sul concetto di punto di sella (si veda la Sezione
1.4).
Il teorema esposto in questa Sezione stabilisce, sotto opportune ipotesi, la buona posizione
del problema della miglior approssimazione di un punto in uno spazio di Hilbert per
mezzo di punti di un certo sottoinsieme dello stesso spazio: non si tratta, stricto sensu,
di una conseguenza del risultato di [99] in quanto il funzionale che regge il problema si
guarda bene dall’essere derivabile; tuttavia, la dimostrazione deve a quella del risultato di
Ricceri la sua idea centrale, ovvero l’uso di un teorema di punto di sella (Teorema 1.8).
Introduciamo ora i dati: siano (X, · ) uno spazio di Hilbert, C un sottoinsieme non
vuoto di X, u0 ∈ X e per ogni λ ∈ [0, 1] sia definito il funzionale Iλ : X → R ponendo per
ogni u ∈ X
Iλ(u) = u − u0 2 − λd 2 (u, C);
inoltre, per ogni t > 0 si ponga
Mt = {v ∈ X : d(v, C) ≥ t} .
Di séguito enunciamo e proviamo il risultato generale:
Teorema 8.2. Siano X, C, u0 come sopra e sia verificata la seguente condizione:
(8.2.1) I1(u0) > inf
u∈X I1(u).
Allora, esiste τ ∈ R ∪ {+∞}, τ > d(u0, C), tale che per ogni t ∈]d(x0, C), τ[ esiste ū ∈ Mt
verificante le seguenti condizioni:
(8.2.2) PMt(u0) = ū;
(8.2.3) lim n vn = ū per ogni successione {vn} minimizzante per u0 in Mt.
Dimostrazione. Per prima cosa, dimostriamo che il funzionale I1 è convesso: infatti,
per ogni u ∈ X si ha
I1(u) = sup 2〈v − u0, x〉 + u0
v∈C
2 − v 2 ,
sicché I1 risulta convesso come inviluppo superiore di una famiglia di funzionali affini; ne
segue anche che Iλ è strettamente convesso per ogni λ ∈ [0, 1[.
Sia Q l’insieme dei punti di minimo globale di I1 (che sono poi tutti i punti di minimo
locale), e si ponga
d(u0, Q)
ρ =
+∞
se Q = ∅
se Q = ∅
(poiché Q è chiuso, da (8.2.1) segue che ρ > 0); quindi sia
sup d(u, C) se ρ < +∞
τ = u∈B(u0,ρ)
.
+∞ se ρ = +∞

Buona posizione 97
Proviamo ora che
τ > d(u0, C),
osservando dapprima che ovviamente τ ≥ d(u0, C); inoltre, se fosse τ = d(u0, C), per ogni
u ∈ B(u0, ρ) avremmo
I1(u) = u − u0 2 − d 2 (u, C) ≥ −d 2 (u0, C) = I1(u0),
il che farebbe di u0 un punto di minimo di I1, contro l’ipotesi (8.2.1).
Sia ora t ∈]d(u0, C), τ[, scelto ad arbitrio.
Proviamo che d(u0, Mt) ∈]0, ρ[: difatti, d(u0, Mt) > 0 discende da u0 /∈ Mt (rammentiamo
che Mt è chiuso); d’altra parte, d(u0, Mt) < ρ in quanto, avendosi t < τ, deve esistere
u ∈ B(u0, ρ) ∩ Mt, così che
d(u0, Mt) ≤ u0 − u < ρ.
Applicheremo il Teorema 1.8, ponendo Λ = [0, 1] e per ogni (u, λ) ∈ X × Λ
ψ(u, λ) = u − u0 2 + λ t 2 − d 2 (u, C) ;
le ipotesi del Teorema 1.8 sono soddisfatte (con λ0 ∈ [0, 1[ arbitrario in (1.8.3)), ergo esiste
una coppia (ū, ¯ λ) ∈ X × Λ verificante
ū − u0 2 + ¯ λ t 2 − d 2 (ū, C)
= inf u − u0
u∈X
2 − ¯ λd 2 (u, C) + ¯ λt 2
= ū − u0 2 + sup
λ∈Λ
λ t 2 − d 2 (ū, C) .
La precedente eguaglianza ci fornisce molte informazioni su ū e ¯ λ: in primo luogo,
osserviamo che
(8.1) d(ū, C) ≤ t.
Ragionando per assurdo, supponiamo che d(ū, C) > t: ne segue ¯ λ = 0, che a sua volta
implica ū = u0 cioè d(ū, C) < t, una contraddizione.
(8.2)
Proviamo ora che
¯ λ < 1.
Infatti, si supponga ¯ λ = 1: ne segue ū ∈ Q, da cui ū − u0 ≥ ρ; questo, insieme a
(8.1), rende
I1(ū) ≥ ρ 2 − t 2 .
Poiché t < τ, esiste v ∈ B(u0, ρ) tale che d(v, C) > t e così
il che è incompatibile col fatto che ū ∈ Q.
I1(v) < ρ 2 − t 2 ,

98 Capitolo 8. Buona posizione e insiemi di Chebyshev
A questo punto, (8.1) può essere migliorata in
(8.3) d(ū, C) = t
(in particolare, ū ∈ Mt); procediamo ancora per assurdo, assumendo d(ū, C) < t, il che
implica ¯ λ = 1, contro (8.2).
Osserviamo che ū è un punto di minimo globale per il funzionale I¯ λ ; inoltre, per (8.2),
I¯ λ è strettamente convesso, continuo e coercivo, sicché ū è in effetti l’unico punto di minimo
e ogni successione {un} in X, tale che I¯ λ (un) → I¯ λ (ū), converge debolmente a ū (si veda
[35], Example 8, p. 3).
Dimostreremo ora la tesi, articolata come segue:
• proviamo che PMt(u0) = {ū}, ovvero che per ogni v ∈ Mt, v = ū, si ha v − u0 >
ū − u0: difatti si ha I¯ λ (v) > I¯ λ (ū), che per (8.3) implica
v − u0 2 > ū − u0 2 + ¯ λ d 2 (v, C) − t 2 ≥ ū − u0 2 ;
• proviamo che ogni successione {vn} in Mt tale che vn − u0 → ū − u0 converge a
ū: infatti, per ogni n ∈ N si ha
I¯ λ (vn) ≤ vn − u0 2 − ¯ λt 2 ,
e il secondo membro tende a I¯ λ (ū), quindi {vn} converge debolmente a ū; inoltre, per
risultati classici, la convergenza debole implica in questo caso la convergenza forte.
Con ciò la dimostrazione è completa.
In particolare, la condizione “variazionale” (8.2.1) è verificata se il punto u0 non
appartiene alla chiusura convessa di C: questo caso è studiato nel prossimo risultato.
Teorema 8.3. Siano X e C come sopra, sia K la chiusura convessa di C, u0 ∈ X \ K.
Allora, per ogni t > 0, esiste ū ∈ Mt verificante le seguenti condizioni:
(8.3.1) PMt(u0) = ū;
(8.3.2) lim n vn = ū per ogni successione {vn} minimizzante per u0 in Mt.
Dimostrazione. Fissato t > 0, distinguiamo i due casi seguenti:
• se d(u0, C) ≥ t, si ha x0 ∈ Mt, e non vi è nulla da provare;
• se d(u0, C) < t, applichiamo il Teorema 8.2: a tal fine proviamo che
inf
u∈X I1(u) = −∞.
Difatti, poiché u0 /∈ K, possiamo avvalerci del Teorema di separazione nella sua
forma più forte, che assicura l’esistenza di ¯v ∈ X, ¯v = 0, e di un numero reale ε > 0
tali che per ogni u ∈ K
〈¯v, u〉 ≤ 〈¯v, u0〉 − ε;

Insiemi di Chebyshev 99
allora, per ogni µ > 0 otteniamo
da cui
I1(u0 + µ¯v) = µ¯v 2 − inf
=
sup −u0 − u
u∈C
2 + 2µ〈¯v, u − u0〉
≤ −d 2 (u0, C) − 2µε,
u∈C u0 + µ¯v − u 2
lim
µ→+∞ I1(u0 + µ¯v) = −∞.
Dunque l’insieme Q è vuoto: in particolare, (8.2.1), donde la tesi del Teorema 8.2
con τ = +∞.
Così la dimostrazione è conclusa.
Nella prossima Sezione, il Teorema 8.3 sarà impiegato per uno studio sugli insiemi di
Chebyshev.
8.2 Una congettura sugli insiemi di Chebyshev non convessi
Come accennato all’inizio di questo Capitolo, Klee ha formulato in [60] la congettura che
esista uno spazio di Hilbert contenente insiemi di Chebyshev non convessi (in effetti, in
[60] si argomenta che ciò equivale all’esistenza di insiemi di Chebyshev con complementare
convesso, le cosiddette caverne di Klee, ma questo ci porterebbe troppo lontano dal nostro
tema).
A suffragio della propria ipotesi, Klee presenta il seguente Esempio:
Esempio 8.4. Nello spazio di Hilbert X = ℓ2 si consideri l’insieme
∞
K := {xn} ∈ X : nx 2
n < 1
e si definisca
n=1
M := {{xn} ∈ X : d({xn}, K) ≥ 1} ;
allora, M non è convesso, e il comportamento della proiezione metrica PM : X → 2 M si
può descrivere completamente:
• per ogni {xn} ∈ X \ K, PM({xn}) è un singoletto;
• per ogni {xn} ∈ K si ha PM({xn}) = ∅.
Ovviamente, l’Esempio 8.4 non presenta un insieme di Chebyshev non convesso, però
i punti “anomali” (cioè quelli che non ammettono punti di miglior approssimazione in M)
sono localizzati nell’insieme K, convesso e limitato.
Il nostro approccio è simile a quello esposto sopra, e conduce alla seguente Congettura:

100 Capitolo 8. Buona posizione e insiemi di Chebyshev
Congettura 8.5. Esistono uno spazio di Hilbert (X, ·), un sottoinsieme non vuoto
C di X e un numero reale t > 0 tali che, denotata K la chiusura convessa di C e definito
sono verificate le seguenti condizioni:
(8.5.1) Mt non è convesso;
Mt = {v ∈ X : d(v, C) ≥ t} ,
(8.5.2) PMt(u) è un singoletto per ogni u ∈ K.
La Congettura 8.5 è motivata come segue: supponendola vera, Mt sarebbe un insieme
di Chebyshev non convesso in X, in virtù del Teorema 8.3.
Alcune osservazioni sulla Congettura 8.5: ripensando al Teorema 2.12, si vede che, affinché
la Congettura 8.5 possa essere vera, occorre che l’insieme Mt non sia sequenzialmente
debolmente chiuso (ovvero, approssimativamente compatto); d’altra parte, dal Teorema
8.3 sappiamo che per ogni u ∈ X \ K e ogni successione {vn} in Mt minimizzante per u si
ha vn → u (8.3.2), quindi occorre che esistano almeno un punto ū ∈ K e una successione
{vn} in Mt minimizzante per ū che non converge a ū (si veda anche il Lemma 2.13).
In effetti, è alquanto facile scegliere i dati in modo che l’insieme Mt non sia convesso
né sequenzialmente debolmente chiuso: si pensi al caso in cui dim(X) = ∞ e C è un
singoletto, allora per ogni t > 0 l’insieme Mt è il complementare di una palla aperta di
raggio t.
Naturalmente, la difficoltà maggiore risiede nella condizione (8.5.2): questa appare
infatti molto difficile da verificare; tuttavia, se si ponesse tale difficoltà su un piatto della
bilancia, e sull’altro l’importanza del problema che sarebbe risolto qualora si provasse la
Congettura 8.5, riteniamo che quest’ultima prevarrebbe.

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