Applicazioni della teoria del minimax a problemi ... - Portale Posta DMI

4 Capitolo 1. Teoremi di minimax
1.3 Un teorema di minimax per funzioni perturbate e le sue
conseguenze
I risultati esposti in questa Sezione, dovuti ancora a Ricceri, coronano (per ora) un lungo
processo di raffinamento; l’inizio di tale processo può essere rintracciato in [90], in cui è
presentato un teorema topologico di minimax basato su un principio di alternativa sulle
multifunzioni: come nella Sezione precedente, si studia una funzione ψ : X × Λ → R, dove
X è uno spazio topologico e Λ un intervallo reale; l’ipotesi cruciale di quel risultato è una
condizione di unicità del minimo locale di ψ(·, λ) per ogni λ ∈ Λ.
Successivamente, Ricceri è tornato sull’argomento, migliorando in [96] e in [98] i precedenti
risultati: nella nuova versione, l’ipotesi cruciale non è riferita a ψ(·, λ), bensì a una
funzione che differisce da essa per una piccola perturbazione.
Teorema 1.5. ([98], Theorem 1) Siano (X, τ) uno spazio di Hausdorff, Λ ⊆ R un
intervallo, ψ : X × Λ → R ∪ {+∞} una funzione propria, tale che ψ(x, ·) sia continua per
ogni x ∈ X. Siano inoltre Λ0 un sottoinsieme denso di Λ, ρ0 > sup inf ψ(x, λ) verificanti
le seguenti condizioni:
(1.5.1) ψ(x, ·)ρ è un intervallo per ogni x ∈ X, ρ < ρ0;
λ∈Λ x∈X
(1.5.2) ψ(·, λ) ρ è compatto e sequenzialmente compatto per ogni λ ∈ Λ0, ρ < ρ0;
(1.5.3) per ogni λ ∈ Λ0 esistono una funzione Φ : X → R, µ0 > 0 e una successione
Φ(x) > −∞, per ogni µ ∈]0, µ0[ la
Allora,
infinitesima {¯µn} in ]0, +∞[ tali che inf
x∈ψ(·,λ) ρ 0
funzione ψ(·, λ) + µΦ(·) è s.c.i. e per ogni n ∈ N la funzione ψ(·, λ) + ¯µnΦ(·) ha al
più un punto di minimo locale rispetto alla topologia τ ψ(·,λ) nell’insieme ψ(·, λ) ρ0 .
sup inf ψ(x, λ) = inf
x∈X sup ψ(x, λ).
λ∈Λ x∈X
Non affermeremo che il Teorema 1.5 sia di facile lettura, tuttavia questa è la forma di
tale risultato che più si presta alle applicazioni che seguiranno: in particolare, segnaliamo
un’importante conseguenza del Teorema 1.5, della quale faremo largo uso nel Capitolo 5.
Teorema 1.6. ([98], Theorem 4) Siano (X, τ) uno spazio di Hausdorff, Λ ⊆ R un
intervallo, ψ : X × Λ → R ∪ {+∞} una funzione propria, tale che ψ(x, ·) sia continua per
ogni x ∈ X. Siano inoltre Λ1 un sottoinsieme aperto e denso di Λ, ρ0 > sup inf ψ(u, λ)
verificanti le seguenti condizioni:
(1.6.1) sup inf ψ(x, λ) < inf
x∈X sup ψ(x, λ);
λ∈Λ x∈X
λ∈Λ
λ∈Λ
(1.6.2) ψ(x, ·)ρ è un intervallo per ogni x ∈ X, ρ < ρ0;
λ∈Λ u∈X
(1.6.3) ψ(·, λ) ρ è compatto, sequenzialmente compatto per ogni λ ∈ Λ1, ρ < ρ0.