Applicazioni della teoria del minimax a problemi ... - Portale Posta DMI

Notazioni
Introduciamo alcune notazioni che saranno adottate nella presente tesi.
Insiemi e spazi topologici
Siano X, Y due insiemi e S ⊆ X × Y : si pone per ogni x ∈ X, y ∈ Y
Sx = {y ∈ Y : (x, y) ∈ S}, S y = {x ∈ X : (x, y) ∈ S}.
Sia Φ : X → R ∪ {+∞}: per ogni ρ ∈ R si pone
Φ ρ = {x ∈ X : Φ(x) < ρ}, Φρ = {x ∈ X : Φ(x) > ρ},
Φ ρ = {x ∈ X : Φ(x) ≤ ρ}, Φρ = {x ∈ X : Φ(x) ≥ ρ},
dom(Φ) = {x ∈ X : Φ(x) ∈ R}.
Siano (X, τ) uno spazio topologico, S ⊆ X: cl(S), int(S), ∂S denotano rispettivamente
la chiusura, l’interno e la frontiera di S.
Sia Φ : X → R ∪ {+∞}: τΦ è la meno fine topologia su X che include τ e gli insiemi
Φ ρ per ogni ρ ∈ R.
Rammentiamo che Φ è detto semi–continuo inferiormente (s.c.i.) se Φρ è aperto per
ogni ρ ∈ R, e semi–continuo superiormente (s.c.s.) se Φ ρ è aperto per ogni ρ ∈ R; inoltre,
Φ è sequenzialmente s.c.i. se per ogni successione {xn} in X convergente a x ∈ X si ha
lim inf
n
Φ(xn) ≥ Φ(x),
e sequenzialmente s.c.s. se per ogni successione {xn} in X convergente a x ∈ X si ha
Spazi di Banach
lim sup Φ(xn) ≤ Φ(x).
n
Con (X, · ) s’indica sempre uno spazio di Banach reale, e con (X ∗ , · ∗) il suo duale
topologico; la dualità fra X ∗ e X è denotata 〈·, ·〉; la dimensione di X è dim(X) ∈ N∪{∞}.
Si pone per ogni u ∈ X, R > 0
B(u, R) = {v ∈ X : v − u < R}, S(u, R) = {v ∈ X : v − u = R},
xi