Applicazioni della teoria del minimax a problemi ... - Portale Posta DMI

Capitolo 3
Teoria dei punti critici per
funzionali non differenziabili
Molti interessanti problemi possono essere formalizzati, seguendo l’approccio variazionale,
al modo seguente: trovare i punti critici di un funzionale Φ definito su uno spazio di Banach
X.
Nella teoria classica, il significato del precedente problema è chiaro: si considera un
funzionale Φ che ammetta derivata secondo Gâteaux Φ ′ : X → X ∗ (magari continua), e si
cerca di risolvere l’equazione di Eulero
Φ ′ (u) = 0.
Tuttavia, la portata del metodo variazionale è ben più ampia: per esempio, nel campo
dell’ottimizzazione (vale a dire la ricerca degli estremi relativi e assoluti di un funzionale)
i funzionali trattati non sono tutti derivabili secondo Gâteaux.
Emerge quindi la necessità di elaborare nozioni di punto critico adatte a classi di
funzionali non abbastanza regolari per rientrare nella teoria classica: l’analisi convessa
ha sviluppato una teoria organica della differenziazione e dei punti critici per funzionali
convessi (si veda il lavoro di Ioffe e Levin [57] o, per un’impostazione molto generale,
la monografia di Zălinescu [116]); anche per i funzionali localmente lipschitziani è sorta,
soprattutto grazie alle idee di Clarke (si veda per esempio [27]), una teoria della derivazione
generalizzata e dei punti critici.
Tuttavia, molti problemi che sorgono in meccanica richiedono un uso congiunto delle
due tecniche: nasce così la classe dei funzionali di Motreanu–Panagiotopoulos, per i quali
esiste una definizione di punto critico senza che si definisca una vera e propria derivata.
Alcuni risultati esposti in questa tesi (segnatamente nei Capitoli 5 e 6) sono di tipo
variazionale: teoremi di esistenza e di molteplicità per i punti critici di certi funzionali
di Motreanu–Panagiotopoulos (o localmente lipschitziani) definiti su spazi di Banach, dai
quali si deducono poi risultati relativi alle soluzioni di problemi differenziali di varia natura.
Pertanto, non ci è parso superfluo dedicare un Capitolo all’esposizione di alcuni lineamenti
fondamentali della teoria dei punti critici per funzionali non differenziabili: nella
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