Applicazioni della teoria del minimax a problemi ... - Portale Posta DMI

Disequazioni variazionali–emivariazionali in dimensione uno 31
dove si è posto
Osserviamo che
|∇u| p−2 ∇u · ∇(u + εv)dx =
Ωε
Ωε = {x ∈ Ω : u(x) + εv(x) < 0} .
≥ ε
{x∈Ωε : u(x)>0}
{x∈Ωε : u(x)>0}
|∇u| p−2 ∇u · ∇(u + εv)dx
|∇u| p−2 ∇u · ∇v dx.
È il momento di sfruttare le ipotesi fatte su H: da (4.1) e dal Lemma 4.1 segue che,
per q.o. x ∈ Ωε tale che u(x) ≤ M, si ha |w ∗ (x)| ≤ K (dove K = a∞(1 + M r−1 )); in
(4.5), supponiamo che per q.o. x ∈ Ω tale che u(x) ≥ M si abbia w ∗ (x) ≥ 0 (se vale la
diseguaglianza opposta si procede in modo simile); da (4.6) segue che, per q.o. x ∈ Ωε tale
che u(x) = 0, si ha w ∗ (x) ≥ 0.
Da queste relazioni si ricava che
− w ∗
(u + εv)dx ≥ −
Ωε
≥ K
≥ εK
{x∈Ωε : 0