Applicazioni della teoria del minimax a problemi ... - Portale Posta DMI

Soluzioni positive 49
Siano ora λ ∈ [λ0, λ1] e G come in (5.9.2): determinato µ1 > 0 come in (5.9.1), poniamo
µ2 = min{µ1, ¯µ}.
Fissato µ ∈]0, µ2[, per ogni u ∈ X si ha
Eλ,µ(u) ≥ up
− λh
p
(1 + |u(x)| q
) dx − µh
Ω
Ω
(1 + |u(x)| p ) dx
≥ up
p − λ1h m(Ω) + c q qu q − ¯µh m(Ω) + c p pu p = ϑ(u);
questo, insieme a (5.21), implica che Eλ,µ è coercivo.
Proviamo ora che Eλ,µ soddisfa la proprietà di Palais–Smale a qualunque quota (si
veda la Definizione 3.15): siano, a tal fine, {vn} una successione in C tale che {Eλ,µ(vn)} è
limitata e {εn} una successione infinitesima di numeri reali positivi, in modo che per ogni
n ∈ N, v ∈ C (omettendo la dipendenza delle integrande da x)
|∇vn|
Ω
p−2 ∇un · (∇vn − ∇v)dx ≤ λJ ◦ F (vn; vn − v) + µJ ◦ G(vn; vn − v) + εnvn − v.
Dunque, {vn} è limitata, e, passando a una sottosuccessione, possiamo assumere che
esista v ∈ C tale che {vn} converga a v debolmente in X e fortemente in ciascuno degli
spazi L 1 (Ω), L p (Ω) e L r (Ω); dalla stima
Ω
|∇vn| p−2 ∇vn · (∇vn − ∇v)dx ≤
λk vn p−1
p vn − vp + vn r−1
r vn − vr +µk vn − v1 + vn r−1
r vn − vr +εnvn−v
si deduce allora che
lim sup |∇vn|
n Ω
p−2 ∇vn · (∇vn − ∇v)dx ≤ 0;
d’altra parte, poiché vn ⇀ v si ha
lim |∇v|
n
p−2 ∇v · (∇vn − ∇v)dx = 0,
Ω
sicché
lim sup |∇vn|
n Ω
p−2 ∇vn − |∇v| p−2 ∇v · (∇vn − ∇v)dx ≤ 0.
Rammentando le proprietà delle mappe di dualità (Lemma 2.6) segue
vn − v → 0.
È il momento di ricorrere al Teorema 3.17: siano u0, u1 ∈ C ∩ B(0, σ1) i due punti di
minimo locale di Eλ,µ individuati da (5.9.1), e siano Γ, c definiti come nella Sezione 3.3;
esiste allora un punto critico u2 ∈ C \ {u0, u1} per Eλ,µ tale che
Eλ,µ(u2) = c.