Applicazioni della teoria del minimax a problemi ... - Portale Posta DMI

Capitolo 6
Un teorema di molteplicità per
problemi con perturbazione
interna
Nella Sezione 2.3 abbiamo introdotto gli insiemi di Chebyshev e presentato un risultato
di Tsar’kov, il Teorema 2.14: già alla sua prima comparsa in [113], questo risultato che
appartiene alla teoria dell’approssimazione metrica appariva legato alla molteplicità di
soluzioni per certe equazioni differenziali.
Ricceri, in [97], ha offerto un contributo a questo inedito connubio, aggiungendo un
collegamento con la teoria topologica del minimax, e stabilendo il seguente risultato di
molteplicità per le soluzioni di un’equazione astratta in uno spazio di Hilbert.
Teorema 6.1. ([97], Theorem 2) Siano (X, · ) uno spazio di Hilbert, S un sottoinsieme
convesso e denso di X, J ∈ C 1 (X, R) un funzionale verificante le seguenti
condizioni:
(6.1.1) esiste ρ ∈
J(u)
(6.1.2) lim inf ≥ 0;
u→+∞ u2
inf J(u), sup J(u) tale che J
u∈X u∈X
ρ non è convesso;
(6.1.3) J ′ : X → X è un operatore compatto.
Allora esistono ū ∈ S, ¯ λ > 0 tali che l’equazione
ammette almeno tre soluzioni in X.
u − ū + ¯ λJ ′ (u) = 0
La dimostrazione del Teorema 6.1 è delicata, ma a livello euristico si può riassumere
come segue: l’insieme J ρ è sequenzialmente debolmente chiuso e non convesso, quindi per
il Teorema 2.14 esiste ū ∈ S che ha almeno due distinte proiezioni metriche su di esso;
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