Applicazioni della teoria del minimax a problemi ... - Portale Posta DMI

Minimax e minimi locali 3
Teorema 1.3. ([62], Theorem 1.2) Siano X uno spazio di Hausdorff compatto, Y uno
spazio topologico, ψ : X × Y → R una funzione verificante le seguenti condizioni:
(1.3.1) ψ(·, y) è s.c.i. per ogni y ∈ Y ;
(1.3.2) ψ(x, ·) è s.c.s. per ogni x ∈ X;
(1.3.3)
y∈H
(1.3.4)
Allora,
x∈K
ψ(·, y) ρ è connesso per ogni H ⊆ Y finito, ρ > sup
y∈Y
ψ(·, y)ρ è connesso per ogni K ⊆ X, ρ > sup
y∈Y
sup
y∈Y
inf
x∈X
inf
x∈X
ψ(x, y) = inf
x∈X sup ψ(x, y).
y∈Y
inf
x∈X
ψ(x, y).
ψ(x, y);
Richiamiamo l’attenzione del lettore sulle “asimmetrie” delle ipotesi rispetto alle due
variabili, rimandando a [62] per altre versioni del teorema; osserviamo anche che, nel
confronto fra il Teorema 1.2 e il Teorema 1.3, il progresso è più che altro di natura teorica:
difatti, poiché la connessione non è conservata nell’intersezione di insiemi, le ipotesi (1.3.3)
e (1.3.4) sono di assai difficile verifica all’infuori del caso in cui ψ sia del tipo quasi–
convesso–concavo.
Nelle prossime Sezioni, introdurremo invece alcuni risultati accomunati dall’ipotesi che
l’insieme Y sia un intervallo reale, il che ovviamente semplifica alquanto le cose: difatti, i
sottoinsiemi connessi di R hanno intersezioni connesse.
1.2 Un teorema di minimax basato sui minimi locali
In questa Sezione richiamiamo un teorema di minimax topologico stabilito da Ricceri, la
cui dimostrazione fa uso di tecniche di analisi multivoca.
Teorema 1.4. ([95], Theorem 1, Remark 1) Siano X uno spazio topologico, Λ ⊆ R
un intervallo, ψ : X × Λ → R una funzione verificante le seguenti condizioni:
(1.4.1) ψ(x, ·) è continua e quasi–concava per ogni u ∈ X;
(1.4.2) esistono ρ0 > sup inf
x∈X ψ(x, λ) e λ0 ∈ Λ tali che l’insieme ψ(·, λ0) ρ0
è compatto;
λ∈Λ
(1.4.3) ψ(·, λ) è s.c.i. e non ammette minimi locali non globali per ogni λ ∈ Λ.
Allora,
sup inf ψ(x, λ) = inf
x∈X sup ψ(x, λ).
λ∈Λ x∈X
Il Teorema 1.4 migliora un precedente risultato di Borenshtein e Shul’man [15], nel
quale si richiede fra l’altro che ψ sia continua su X × Λ. Come si vedrà in séguito (Capitolo
6), la condizione di sola semicontinuità inferiore rispetto alla variabile x consente
applicazioni altrimenti impossibili.
λ∈Λ