Applicazioni della teoria del minimax a problemi ... - Portale Posta DMI

Insiemi di Chebyshev 11
Dimostrazione. Sia {vn} una successione minimizzante per u in M, e sia PM(u) = {v}:
proveremo che vn → v.
Procediamo per assurdo, supponendo che esistano ε > 0 e una sottosuccessione, denotata
ancora {vn}, tale che vn − v ≥ ε per ogni n ∈ N: poiché M è approssimativamente
compatto, questa ammette un’estratta, che denotiamo nuovamente {vn}, convergente a un
elemento w ∈ M.
Si ha dunque w − v ≥ ε, mentre
w − u = d(u, M),
da cui segue w ∈ PM(u) ossia w = v, una contraddizione.
Se un insieme sequenzialmente debolmente chiuso M non ha la proprietà di Chebyshev,
esiste un punto dello spazio che ammette una proiezione metrica su M formata da almeno
due punti: in generale, tuttavia, non è possibile stabilire dove si trovi questo punto.
Una risposta a questa domanda è offerta dal seguente risultato di Tsar’kov, che sotto
opportune ipotesi migliora il Teorema 2.12: esso costituirà uno strumento fondamentale
per il metodo che svilupperemo nel Capitolo 6.
Teorema 2.14. ([113], Theorem 2) Siano (X, · ) uno spazio di Banach uniformemente
convesso con duale (X ∗ , · ∗) strettamente convesso, S un sottoinsieme denso e
convesso di X, M un sottoinsieme sequenzialmente debolmente chiuso e non convesso.
Allora, esiste ū ∈ S tale che PM(ū) contiene almeno due punti.
Nel Capitolo 8 ritorneremo sul problema della convessità degli insiemi di Chebyshev,
esaminando in particolare il caso degli spazi di Hilbert.