Applicazioni della teoria del minimax a problemi ... - Portale Posta DMI

96 Capitolo 8. Buona posizione e insiemi di Chebyshev
In [99], Ricceri ha provato un teorema di buona posizione per problemi di minimizzazione
relativi a funzionali derivabili secondo Gâteaux con derivata localmente lipschitziana
su spazi di Hilbert: il suo metodo è basato sul concetto di punto di sella (si veda la Sezione
1.4).
Il teorema esposto in questa Sezione stabilisce, sotto opportune ipotesi, la buona posizione
del problema della miglior approssimazione di un punto in uno spazio di Hilbert per
mezzo di punti di un certo sottoinsieme dello stesso spazio: non si tratta, stricto sensu,
di una conseguenza del risultato di [99] in quanto il funzionale che regge il problema si
guarda bene dall’essere derivabile; tuttavia, la dimostrazione deve a quella del risultato di
Ricceri la sua idea centrale, ovvero l’uso di un teorema di punto di sella (Teorema 1.8).
Introduciamo ora i dati: siano (X, · ) uno spazio di Hilbert, C un sottoinsieme non
vuoto di X, u0 ∈ X e per ogni λ ∈ [0, 1] sia definito il funzionale Iλ : X → R ponendo per
ogni u ∈ X
Iλ(u) = u − u0 2 − λd 2 (u, C);
inoltre, per ogni t > 0 si ponga
Mt = {v ∈ X : d(v, C) ≥ t} .
Di séguito enunciamo e proviamo il risultato generale:
Teorema 8.2. Siano X, C, u0 come sopra e sia verificata la seguente condizione:
(8.2.1) I1(u0) > inf
u∈X I1(u).
Allora, esiste τ ∈ R ∪ {+∞}, τ > d(u0, C), tale che per ogni t ∈]d(x0, C), τ[ esiste ū ∈ Mt
verificante le seguenti condizioni:
(8.2.2) PMt(u0) = ū;
(8.2.3) lim n vn = ū per ogni successione {vn} minimizzante per u0 in Mt.
Dimostrazione. Per prima cosa, dimostriamo che il funzionale I1 è convesso: infatti,
per ogni u ∈ X si ha
I1(u) = sup 2〈v − u0, x〉 + u0
v∈C
2 − v 2 ,
sicché I1 risulta convesso come inviluppo superiore di una famiglia di funzionali affini; ne
segue anche che Iλ è strettamente convesso per ogni λ ∈ [0, 1[.
Sia Q l’insieme dei punti di minimo globale di I1 (che sono poi tutti i punti di minimo
locale), e si ponga
d(u0, Q)
ρ =
+∞
se Q = ∅
se Q = ∅
(poiché Q è chiuso, da (8.2.1) segue che ρ > 0); quindi sia
sup d(u, C) se ρ < +∞
τ = u∈B(u0,ρ)
.
+∞ se ρ = +∞