Applicazioni della teoria del minimax a problemi ... - Portale Posta DMI

Insiemi di Chebyshev 99
allora, per ogni µ > 0 otteniamo
da cui
I1(u0 + µ¯v) = µ¯v 2 − inf
=
sup −u0 − u
u∈C
2 + 2µ〈¯v, u − u0〉
≤ −d 2 (u0, C) − 2µε,
u∈C u0 + µ¯v − u 2
lim
µ→+∞ I1(u0 + µ¯v) = −∞.
Dunque l’insieme Q è vuoto: in particolare, (8.2.1), donde la tesi del Teorema 8.2
con τ = +∞.
Così la dimostrazione è conclusa.
Nella prossima Sezione, il Teorema 8.3 sarà impiegato per uno studio sugli insiemi di
Chebyshev.
8.2 Una congettura sugli insiemi di Chebyshev non convessi
Come accennato all’inizio di questo Capitolo, Klee ha formulato in [60] la congettura che
esista uno spazio di Hilbert contenente insiemi di Chebyshev non convessi (in effetti, in
[60] si argomenta che ciò equivale all’esistenza di insiemi di Chebyshev con complementare
convesso, le cosiddette caverne di Klee, ma questo ci porterebbe troppo lontano dal nostro
tema).
A suffragio della propria ipotesi, Klee presenta il seguente Esempio:
Esempio 8.4. Nello spazio di Hilbert X = ℓ2 si consideri l’insieme
∞
K := {xn} ∈ X : nx 2
n < 1
e si definisca
n=1
M := {{xn} ∈ X : d({xn}, K) ≥ 1} ;
allora, M non è convesso, e il comportamento della proiezione metrica PM : X → 2 M si
può descrivere completamente:
• per ogni {xn} ∈ X \ K, PM({xn}) è un singoletto;
• per ogni {xn} ∈ K si ha PM({xn}) = ∅.
Ovviamente, l’Esempio 8.4 non presenta un insieme di Chebyshev non convesso, però
i punti “anomali” (cioè quelli che non ammettono punti di miglior approssimazione in M)
sono localizzati nell’insieme K, convesso e limitato.
Il nostro approccio è simile a quello esposto sopra, e conduce alla seguente Congettura: