Applicazioni della teoria del minimax a problemi ... - Portale Posta DMI

Soluzioni positive 45
da cui JF (vn) → JF (v), contro (5.15).
Proviamo ora (5.5.1): basta ricordare (5.7) e osservare che per ogni λ ≥ 0 e ogni u ∈ X
u p
p − λJF (u) ≥ up
p
− λh (1 + |u(x)|
Ω
q ) dx
≥ up
p − λh m(Ω) + c q qu q .
Così la dimostrazione è conclusa.
Lemma 5.6. Il funzionale JG : X → R è sequenzialmente debolmente continuo.
Dimostrazione. Si procede come per il Lemma 5.5.
Lemma 5.7. Esiste w ∈ C tale che JF (w) > 0.
Dimostrazione. Sia ε ∈ R verificante
0 < ε <
Ω1
F (x, s1)dx.
Usando (5.6) e il Teorema 3.7 si prova che la funzione
x ↦→ max |F (x, s)|
|s|≤s1
è sommabile: pertanto esiste ζ > 0 tale che per ogni sottoinsieme misurabile A di Ω con
m(A) < ζ si ha
(5.16)
max |F (x, s)|dx < ε.
A |s|≤s1
Sia dunque Ω2 un aperto tale che cl(Ω1) ⊂ Ω2, cl(Ω2) ⊂ Ω e m(Ω2 \ Ω1) < ζ: per
risultati classici, esiste una funzione w ∈ C ∞ 0 (Ω) tale che w(x) ∈ [0, s1] per ogni x ∈ Ω e
chiaramente w ∈ C e
JF (w) =
s1 se x ∈ Ω1
w(x) =
;
0 se x ∈ Ω \ Ω2
Ω1
> ε −
F (x, s1)dx +
Ω2\Ω1
Ω2\Ω1
max |F (x, s)|dx,
|s|≤s1
F (x, w(x))dx
che per (5.16) implica la tesi.
Il prossimo Lemma è il cuore della presente Sezione: esso consente di acquisire (per
via diretta, senza adoperare esplicitamente il Lemma 5.3) la diseguaglianza di minimax
(5.2.1).