Applicazioni della teoria del minimax a problemi ... - Portale Posta DMI

Capitolo 1
Teoremi di minimax
La teoria del minimax è nata da una costola della teoria dei giuochi strategici di Von
Neumann, per poi svilupparsi come un oggetto di studio a sé stante: lo scopo originario
di quella che sarebbe divenuta una vasta e raffinata disciplina, con ramificazioni in diversi
settori della matematica, era la risoluzione di un problema sorto nello studio delle funzioni
di decisione, che può essere enunciato nella seguente forma generale.
Siano X, Y due insiemi non vuoti, ψ : X ×Y → R una funzione: determinare condizioni
sotto le quali è verificata l’eguaglianza
sup
y∈Y
inf
x∈X
ψ(x, y) = inf
x∈X sup ψ(x, y).
Un teorema di minimax è dunque un risultato che, sotto opportune ipotesi riferite ai
dati X, Y e ψ, garantisca la validità dell’eguaglianza sopra, detta eguaglianza del minimax.
(Molti autori designano con la locuzione “teorema di minimax” risultati di analisi
funzionale non lineare di natura completamente diversa, del tipo del Teorema del passo di
montagna: nel presente lavoro cercheremo di evitare ogni ambiguità in merito.)
y∈Y
Notiamo che, nella situazione esposta sopra, si ha sempre
sup
y∈Y
inf
x∈X
ψ(x, y) ≤ inf
x∈X sup ψ(x, y),
come si verifica facilmente; pertanto, è sufficiente dimostrare la diseguaglianza inversa per
ottenere l’eguaglianza del minimax.
In questo Capitolo esporremo alcuni classici teoremi di minimax (Sezione 1.1), rimandando
il lettore ai volumi curati da Du e Pardalos [36] e da Ricceri e Simons [102] per una
più ampia trattazione dell’argomento; quindi ci soffermeremo su certi risultati più recenti
di Ricceri (Sezioni 1.2 e 1.3), e infine introdurremo rapidamente la nozione di punto di
sella e un risultato ad essa relativo (Sezione 1.4).
1.1 Teoremi classici di minimax
In questa Sezione forniremo un quadro molto sintetico degli sviluppi classici della teoria
del minimax, basandoci sull’articolo [106] di Simons.
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y∈Y