Applicazioni della teoria del minimax a problemi ... - Portale Posta DMI

66 Capitolo 5. Problemi con due parametri
(5.23.2) per ogni λ ∈ [λ0, λ1] e ogni G come sopra, verificante anche
G(s) ≤ h(1 + s 2 ) per ogni s ∈ R,
esiste µ2 > 0 tale che per ogni µ ∈]0, µ2[ il problema (5.46) ammette almeno tre
soluzioni in C ∩ B(0, σ2).
Dimostrazione. Proviamo (5.23.1) applicando il Teorema 5.2 e il Lemma 5.3: X è uno
spazio di Hilbert separabile, I è localmente lipschitziano e sequenzialmente debolmente
s.c.i., J è localmente lipschitziano e sequenzialmente debolmente continuo (Lemma 5.20),
C è non vuoto, chiuso e convesso; inoltre, scelto δ come nel Lemma 5.22 e definita ψ
ponendo per ogni (u, λ) ∈ X × Λ
ψ(u, λ) = I(u) + λ(δ − J(u)) + χC(u),
dai Lemmi 5.22 e 5.3 segue la condizione (5.2.1); infine, da (5.20.1) segue immediatamente
(5.2.2).
Siano dunque λ0, λ1 ∈ Λ (possiamo supporre λ0 > 0) e σ1 > 0 come nel Teorema 5.2:
dati λ ∈ [λ0, λ1] e G come in (5.23.1), si ponga
Φ = −JG;
allora, Φ è localmente lipschitziano e sequenzialmente debolmente continuo (Lemma 5.21),
sicché esiste µ1 > 0 tale che per ogni µ ∈]0, µ1[ il funzionale ψ(·, λ)+µΦ(·) ammette almeno
due punti di minimo locale u0, u1 ∈ C ∩ B(0, σ1).
Poiché per ogni u ∈ X si ha
Eλ,µ(u) = ψ(u, λ) + µΦ(u) − λδ,
segue che u0 e u1 sono punti di minimo locale per Eλ,µ, e quindi soluzioni di (5.46).
Come al solito, la parte delicata è la dimostrazione della seconda parte della tesi: ad
essa premettiamo alcuni passaggi, fissando λ0, λ1, σ1 come in (5.23.1).
Sia ¯µ ∈ 0, 2
e sia per ogni t > 0
h
ovviamente,
ϑ(t) =
1 1
−
2 4 ¯µh
t 2 − λ1h
2q tq − (λ1 + ¯µ)h;
(5.48) lim ϑ(t) = +∞,
t→+∞
sicché, posto
R = σ2 1
2
+ λ1h 1 + σq 1
2q
+ ¯µh 1 + σ2
1
,
4