Applicazioni della teoria del minimax a problemi ... - Portale Posta DMI

82 Capitolo 7. Biforcazione per sistemi hamiltoniani
“grande” (ovvero, non σ–compatto); seguendo un metodo simile, proveremo anche un
risultato di esistenza di soluzioni non banali per un sistema lineare dipendente da un
parametro reale e da una funzione.
Il Capitolo ha la seguente scansione: dapprima introdurremo alcune definizioni sugli
operatori non lineari fra spazi di Hilbert e due recenti risultati di Ricceri [100] sui punti
singolari di tali operatori, che saranno i nostri strumenti principali (Sezione 7.1); quindi
presenteremo in termini generali l’impostazione variazionale per i sistemi hamiltoniani
(Sezione 7.2); infine esporremo i nostri risultati relativi a sistemi non lineari (Sezione 7.3)
e lineari (Sezione 7.4).
7.1 Punti singolari di operatori non lineari
Premettiamo ai risultati di questa Sezione alcune Definizioni che saranno utilizzate nel
séguito: la prima è espressa in forma di chiasmo.
Definizione 7.2. Siano (X, · ) uno spazio di Hilbert, T : X → X un operatore: un
punto regolare di T è un punto u ∈ X tale che esistono due sottoinsiemi aperti U e V di X
tali che u ∈ U, T (u) ∈ V e la restrizione di T a U è un omeomorfismo fra U e V ; un punto
singolare di T è un punto non regolare, e ST denota l’insieme dei punti singolari di T ; un
valore singolare è un punto v ∈ T (ST ); un valore regolare è un punto v ∈ T (X) \ T (ST ).
Infine, se T ∈ C 1 (X, X), si pone
ˆST = u ∈ X : T ′ (u) ∈ L(X, X) non è suriettivo .
In margine alla Definizione 7.2, precisiamo quanto segue: dati uno spazio di Hilbert
(X, · ) e un operatore T ∈ C 1 (X, X), per ogni u ∈ X la derivata secondo Gâteaux
di T in u è definita come un operatore lineare continuo T ′ (u) ∈ L(X, X), e la mappa
T ′ : X → L(X, X) è continua.
Osserviamo anche che, nelle medesime ipotesi, l’insieme ˆ ST è chiuso: difatti, si verifica
facilmente che l’insieme degli operatori suriettivi è aperto in L(X, X) (si usa [2], Proposition
1.1), e X \ ˆ ST coincide con la retroimmagine di tale insieme tramite la mappa continua
T ′ ; quindi X \ ˆ ST è aperto.
Rammentiamo anche la seguente nozione topologica:
Definizione 7.3. Siano (X, τ) uno spazio topologico, S un sottoinsieme di X: S è
σ–compatto se esiste una successione {Sn} di sottoinsiemi compatti di X tale che
S =
Sn.
n∈N
Osserviamo che, se X è uno spazio di Hilbert di dimensione infinita, gli insiemi σ–
compatti in X si possono considerare “piccoli” in quanto, per esempio, tali insiemi non
possiedono punti interni: a converso, un insieme non σ–compatto sarà considerato “grande”.
Il problema della “grandezza” dell’insieme dei punti singolari di un operatore non
lineare è classico: in spazi di dimensione finita, un celebre risultato di Sard assicura che,