Applicazioni della teoria del minimax a problemi ... - Portale Posta DMI

44 Capitolo 5. Problemi con due parametri
In forza delle condizioni (5.6) e (5.11), JF e JG sono funzionali localmente lipschitziani
e verificano per ogni u, v ∈ X
J ◦ F (u; v) ≤
(si veda il Lemma 4.1).
F
Ω
◦ s (x, u(x); v(x))dx, J ◦ G(u; v) ≤
Ω
G ◦ s(x, u(x); v(x))dx
Per ogni λ, µ > 0, il funzionale dell’energia associato al problema (5.14) è definito
ponendo per ogni u ∈ X
Vale infatti quanto segue:
Eλ,µ(u) = up
p − λJF (u) − µJG(u) + χC(u).
Lemma 5.4. Per ogni λ, µ > 0, Eλ,µ : X → R ∪ {+∞} è un funzionale di Motreanu–
Panagiotopoulos, e ogni suo punto critico è una soluzione di (5.14).
Dimostrazione. Rammentiamo quanto stabilito nella Sezione 4.2 e poniamo per ogni
(x, s) ∈ Ω × R
H(x, s) = λF (x, s) + µG(x, s);
chiaramente H soddisfa le condizioni (4.1), (4.5) e (4.6), mentre il problema (4.7) è
equivalente al nostro (5.14): quindi basta applicare il Lemma 4.5.
Grazie al Teorema 5.2, proveremo, sotto opportune restrizioni sui parametri λ, µ,
l’esistenza di almeno due punti di minimo locale in C per Eλ,µ; quindi, servendoci del
Teorema 3.17, affiancheremo a essi un terzo punto critico; poiché la dimostrazione del
nostro risultato è alquanto laboriosa, preferiamo alleggerirla introducendo alcuni lemmi
preliminari.
Lemma 5.5. Il funzionale JF : X → R è sequenzialmente debolmente continuo e per
ogni λ ≥ 0 si ha
up (5.5.1) lim
u→+∞ p − λJF
(u) = +∞.
Dimostrazione. Proviamo che JF è sequenzialmente debolmente continuo, ragionando
per assurdo: siano {vn} una successione in X debolmente convergente a v ∈ X e ε > 0 tali
che per ogni n ∈ N
(5.15) |JF (vn) − JF (v)| ≥ ε.
Poiché l’immersione X ↩→ Lr (Ω) è compatta, esiste una sottosuccessione, ancora denotata
{vn}, tale che vn − vr → 0; possiamo anche assumere che vnr, vr ≤ K per
ogni n ∈ N (per un opportuno K > 0): applicando il Teorema 3.7 e (5.6) si ottiene
|JF (vn) − JF (v)| ≤ |F (x, vn(x)) − F (x, v(x))|dx
Ω
≤ 2k 1 + |vn(x)| r−1 + |v(x)| r−1 |vn(x) − v(x)|dx
≤ 2k
Ω
m(Ω) r−1
r + 2K r−1
vn − vr,