Applicazioni della teoria del minimax a problemi ... - Portale Posta DMI

56 Capitolo 5. Problemi con due parametri
Dimostrazione. Senza perdita di generalità, in (5.27) possiamo assumere che s1 > 0 e
che B(0, R1) ⊂ Ω; scelto ε > 0 tale che
F (x, s1)dx > ε,
la sommabilità della funzione
B(0,R1)
x ↦→ max |F (x, s)|
|s|≤s1
implica l’esistenza di ζ > 0 tale che per ogni sottoinsieme misurabile A di Ω con m(A) < ζ
si ha
max |F (x, s)|dx < ε.
A |s|≤s1
Sia R2 > R1 tale che B(0, R2) ⊂ Ω e
m B(0, R2) \ B(0, R1) < ζ;
esiste una funzione simmetrica w ∈ C ∞ 0 (Ω) tale che w∞ = s1 e
di modo che si ha w ∈ X e
J(w) =
w(x) =
B(0,R1)
> ε −
s1 se x ∈ B(0, R1)
0 se x ∈ Ω \ B(0, R2) ,
F (x, s1)dx +
F (x, w(x))dx
B(0,R2)\B(0,R1)
B(0,R2)\B(0,R1) |s|≤s1
max |F (x, s)|dx > 0.
Dunque w è la funzione richiesta.
Lemma 5.16. Esiste δ > 0 tale che, definita ψ : X ×Λ → R∪{+∞} come nella Sezione
5.1, si ha
(5.16.1) sup inf ψ(u, λ) < inf
u∈X sup ψ(u, λ).
λ∈Λ u∈X
λ∈Λ
Dimostrazione. Per ogni t > 0 poniamo
η(t) = sup
u∈I t
J(u),
osservando che η(t) ≥ 0 per ogni t > 0; proveremo che
(5.34) lim
t→0 +
η(t)
= 0.
t
A tal fine, sia ε > 0: per (5.24) esiste kε > 0 tale che per q.o. x ∈ Ω e ogni s ∈ R,
ξ ∈ ∂sF (x, s)
|ξ| ≤ ε|s| + kε|s| r−1 ,