Applicazioni della teoria del minimax a problemi ... - Portale Posta DMI

Sistemi lineari 93
Allora esiste ν ∈ N tale che
for all n, m > ν; si deduce allora che
J ′ (u − µvn) − J ′ (u − µvm) < εµ
3
J ′′ (u)(vn) − J ′′ (u)(vm) < ε
per ogni n, m > ν, e così, per completezza di X, è provata la convergenza di {J ′′ (u)(vn)}.
Osserviamo che, poiché la matrice HF (·, u(·)) è simmetrica, tale operatore risulta auto–
aggiunto.
I comportamenti di J ′ e J all’infinito sono determinati da quelli di ∇F e F rispettivamente:
pertanto, (7.14.2) segue da (7.11).
Similmente, (7.14.3) segue dal fatto che
F (x, s)
lim ess sup
|s|→+∞ x∈I |s| 2 = 0.
Così la dimostrazione è conclusa.
Anche il problema (7.12) si può studiare tramite un operatore non lineare: per ogni
λ > 0, definiamo Tλ : X → X ponendo per ogni u ∈ X
Tλ(u) = u + λJ ′ (u);
le proprietà di Tλ sono descritte dal seguente Lemma.
Lemma 7.15. Siano X, J come sopra. Allora, per ogni λ > 0 si ha Tλ ∈ C 1 (X, X) ed
è verificata la seguente condizione:
(7.15.1) lim
u→+∞ Tλ(u) = +∞.
Dimostrazione. Sia fissato λ > 0: la derivata di Tλ in u ∈ X è l’operatore T ′ λ (u) ∈
L(X, X) definito da
T ′ λ (u) = Id + λJ ′′ (u)
(dove Id ∈ L(X, X) è l’identità). Per provare (7.15.1), si ragiona come nel Lemma 7.11,
usando (7.14.2).
Il risultato principale di questa Sezione studia i dati λ, v che inducono problemi (7.12)
dotati di almeno una soluzione non banale: per ogni λ > 0, si ponga
Γλ := {v ∈ X : esiste u ∈ X, u = 0 soluzione di (7.12)} ;
il prossimo Teorema fornisce, per un appropriato λ, informazioni sulla struttura dell’insieme
Γλ.
Teorema 7.16. Siano I, A, F come sopra. Allora, esiste ¯ λ > 0 tale che l’insieme Γ¯ λ
contiene almeno un punto di accumulazione.