Applicazioni della teoria del minimax a problemi ... - Portale Posta DMI

48 Capitolo 5. Problemi con due parametri
(5.9.2) per ogni λ ∈ [λ0, λ1] e ogni G come sopra, verificante anche
G(x, s) ≤ h(1 + |s| p ) per q.o. x ∈ Ω e ogni s ∈ R,
esiste µ2 > 0 tale che per ogni µ ∈]0, µ2[ il problema (5.14) ammette almeno tre
soluzioni in C ∩ B(0, σ2);
Dimostrazione. Proviamo (5.9.1) applicando il Teorema 5.2: i dati sono conformi alle
sue ipotesi, in quanto X è uno spazio di Banach riflessivo e separabile, I è localmente
lipschitziano e sequenzialmente debolmente s.c.i. (in quanto è convesso), J è localmente
lipschitziano e sequenzialmente debolmente continuo (Lemma 5.5), C è non vuoto, chiuso
e convesso; inoltre, scelto δ come nel Lemma 5.8, da (5.8.1) segue (5.2.1), mentre da (5.5.1)
segue (5.2.2).
Siano dunque λ0, λ1 ∈ Λ (possiamo supporre λ0 > 0) e σ1 > 0 come nel Teorema 5.2:
dati λ ∈ [λ0, λ1] e G come in (5.9.1), si ponga
Φ = −JG;
allora, Φ è localmente lipschitziano e sequenzialmente debolmente continuo (Lemma 5.6),
sicché esiste µ1 > 0 tale che per ogni µ ∈]0, µ1[ il funzionale ψ(·, λ) + µΦ(·) ammette
almeno due punti di minimo locale u0, u1 ∈ C ∩ B(0, σ1).
Poiché per ogni u ∈ X si ha
Eλ,µ(u) = ψ(u, λ) + µΦ(u) − λδ,
segue che u0 e u1 sono punti di minimo locale per Eλ,µ, e quindi soluzioni di (5.14) (Lemma
5.4).
Proviamo ora (5.9.2), non senza aver premesso alcuni calcoli: acquisiti λ0, λ1 e σ1, sia
fissato ¯µ ∈ R tale che
0 < ¯µ < 1
phc p p
e si ponga per ogni t > 0
chiaramente
ϑ(t) =
1
p − ¯µhcp
p t p − λ1hc q qt q − (λ1 + ¯µ)hm(Ω);
(5.21) lim ϑ(t) = +∞,
t→+∞
quindi, posto
esiste σ2 > σ1 tale che per ogni t ≥ σ2
R = σp 1
p + λ1k c p pσ p
1 + crrσ r 1 + ¯µk (c1σ1 + c r rσ r 1) ,
(5.22) ϑ(t) > R.