Applicazioni della teoria del minimax a problemi ... - Portale Posta DMI

Capitolo 2
Alcuni richiami sugli spazi di
Banach
Gli spazi di Banach sono l’ambiente naturale di tutta l’analisi funzionale, e le proprietà
astratte di questi spazi rivestono grande importanza anche nello studio di problemi variazionali
come quelli che in questa tesi intendiamo affrontare.
In questo Capitolo, la cui funzione è solo quella di fornire un glossario per gli sviluppi
successivi, richiameremo alcune nozioni astratte relative agli spazi di Banach: dapprima
forniremo alcune definizioni di convessità (Sezione 2.1), quindi introdurremo le mappe di
dualità (Sezione 2.2), e infine esamineremo gli insiemi di Chebyshev e i problemi ad essi
legati, concedendoci qualche dettaglio (Sezione 2.3).
2.1 Nozioni di convessità
Nello studio degli spazi di Banach è di grande importanza la nozione di convessità, che
collega la struttura lineare dello spazio alla sua struttura metrica: in termini un poco
vaghi, possiamo dire che questo concetto corrisponde a quello della “rotondità” delle sfere.
Esistono varie definizioni di convessità per uno spazio di Banach; qui citeremo solo
quelle che saranno impiegate nelle applicazioni, rimandando il lettore alla monografia di
Diestel [34] per una trattazione esaustiva dell’argomento.
Introduciamo dapprima la definizione di stretta convessità, che corrisponde alla condizione
che le sfere non contengano segmenti:
Definizione 2.1. Sia (X, · ) uno spazio di Banach: esso è strettamente convesso se
per ogni u, v ∈ S(0, 1) esiste τ ∈]0, 1[ tale che τu + (1 − τ)v /∈ S(0, 1).
Più nota è la seguente definizione di uniforme convessità:
Definizione 2.2. Sia (X, · ) uno spazio di Banach: esso è uniformemente convesso
se per ogni ε > 0 esiste δ > 0 tale che per ogni u, v ∈ S(0, 1) con u − v ≥ ε si ha
u + v ≤ 2(1 − δ).
Ovviamente, uno spazio di Banach uniformemente convesso è a fortiori strettamente
convesso.
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