Applicazioni della teoria del minimax a problemi ... - Portale Posta DMI

Nonlinearità discontinue e simmetriche 51
Esempio 5.10. Siano Ω, p come sopra e siano q ∈]1, p[, r ∈]p, p ∗ [: dette a, b ∈ L ∞ (Ω)
due funzioni non–negative, siano F , G le funzioni definite ponendo per ogni (x, s) ∈ Ω × R
F (x, s) = a(x) min{|s| q , |s| r },
G(x, s) = b(x) min{|s| p , |s| r } + s;
allora, applicando (5.9.2), si prova l’esistenza di λ0, λ1 > 0 e di σ2 > 0 tali che per ogni
λ ∈ [λ0, λ1] esiste µ2 > 0 tale che per ogni µ ∈]0, µ2[ il problema (5.14) ammette almeno
tre soluzioni con norme minori di σ2 (e tali soluzioni sono non–nulle).
5.3 Tre soluzioni per un problema di Dirichlet con nonlinearità
discontinue e simmetriche
Nella presente Sezione studieremo un problema di Dirichlet con nonlinearità fortemente
discontinue (del tipo introdotto nella Sezione 4.4) su una striscia illimitata: per ovviare
agli inconvenienti dovuti al tipo di dominio considerato, supporremo che le nonlinearità
coinvolte abbiano una simmetria cilindrica e sfrutteremo il Principio della criticità
simmetrica.
Siano m, N ∈ N tali che N ≥ m + 2, ω ⊂ R m un dominio limitato con frontiera ∂ω
regolare tale che 0 ∈ ω, e Ω = ω × R N−m .
Denotiamo O(R N ) il gruppo delle isometrie lineari di R N e G il sottogruppo di O(R N )
formato dalle isometrie lineari che lasciano invariate le prime m coordinate (vale a dire G =
{idR m} × O(RN−m )): osserviamo che Ω è G–invariante; nel séguito, diremo simmetriche le
funzioni definite su Ω invarianti rispetto a G (geometricamente, si tratta di una simmetria
assiale o cilindrica).
Siano Ω0 un sottoinsieme di Ω di misura nulla e f, g : Ω × R → R due funzioni tali che
f(·, s) e g(·, s) sono misurabili e simmetriche per ogni s ∈ R.
Occorre formulare alcune ipotesi sulla funzione f, che rappresenta la nonlinearità principale
del problema che siamo in procinto di studiare: in primo luogo, assumiamo che
esistano r ∈]2, 2 ∗ [ e una funzione a ∈ L ∞ (Ω) ∩ L 1 (Ω) a valori quasi ovunque non negativi,
non identicamente nulla, tali che
(5.24) |f(x, s)| ≤ a(x) |s| + |s| r−1 per ogni x ∈ Ω \ Ω0, s ∈ R.
Inoltre, concediamo alla funzione f(x, ·) (per q.o. x ∈ Ω) un forte grado di discontinuità,
richiedendo solo la seguente condizione:
(5.25) Df =
{s ∈ R : f(x, ·) è discontinua in s} ha misura nulla.
x∈Ω\Ω0
Le precedenti ipotesi consentono di definire, per q.o. x ∈ Ω e ogni s ∈ R, il potenziale
F ponendo
F (x, s) =
s
0
f(x, t)dt;