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22 Capitolo 3. Teoria dei punti critici 3.4 Il Principio della criticità simmetrica Studiando un problema variazionale che presenta una simmetria, è in generale proficuo cercare soluzioni che siano dotate della stessa simmetria; lo studio può essere decisamente semplificato allorché sia possibile considerare solo gli elementi dello spazio delle soluzioni dotati di questa simmetria. Uno strumento fondamentale, in questo contesto, è il Principio della criticità simmetrica, introdotto da Palais in [85] e in séguito esteso a problemi sempre più generali. Prima di introdurre questo risultato, occorre rendere l’idea intuitiva di simmetria più rigorosa: a tal fine, si può impiegare il concetto di azione di un gruppo su uno spazio di Banach. Definizione 3.18. Siano (X, · ) uno spazio di Banach, G un gruppo topologico. Un’azione di G su X è un’applicazione continua (g, u) ↦→ gu da G × X in X, tale che per ogni g, h ∈ G e ogni u ∈ X si abbia (gh)u = g(hu). L’azione è lineare isometrica se u ↦→ gu è un’isometria lineare per ogni g ∈ G. Un sottoinsieme K di X è G–invariante se gu ∈ K per ogni g ∈ G, u ∈ K. Un funzionale Φ : X → R ∪ {+∞} è G–invariante se Φ(gu) = Φ(u) per ogni g ∈ G, u ∈ X. Un’azione lineare isometrica di G su X induce un’azione di G sul duale (X ∗ , · ∗), definita per ogni g ∈ G, u ∗ ∈ X ∗ e per ogni u ∈ X da 〈gu ∗ , u〉 = 〈u ∗ , g −1 u〉. In entrambe le azioni sono individuati gli insiemi dei punti fissi XG = {u ∈ X : gu = u per ogni g ∈ G} , X ∗ G = {u∗ ∈ X ∗ : gu ∗ = u ∗ per ogni g ∈ G} , che nelle applicazioni rappresentano gli elementi simmetrici di X e X∗ rispettivamente; tanto XG che X∗ G sono sottospazi chiusi di X e X∗ rispettivamente, e X∗ G è linearmente isometrico al duale di XG. Denotando con ΦG la restrizione a XG di un funzionale Φ definito su X, enunciamo come segue il Principio della criticità simmetrica di Palais: Teorema 3.19. ([85], Theorem 5.4) Siano (X, · ) uno spazio di Banach riflessivo, G un gruppo topologico compatto che agisce su X linearmente e isometricamente, Φ ∈ C 1 (X, R) un funzionale G–invariante e u ∈ XG un punto critico per ΦG. Allora, u è un punto critico per Φ. Successivamente, il risultato è stato esteso a classi di funzionali invarianti sempre più ampie: in [63], Krawcewicz e Marzantowicz hanno provato una versione per funzionali localmente lipschitziani e gruppi finiti; in [61], Kobayashi e Ôtani hanno studiato i funzionali di Szulkin, e in [71] Kristály, Cs. Varga e V. Varga hanno infine esteso la teoria ai funzionali di Motreanu–Panagiotopoulos.
Il Principio della criticità simmetrica 23 Teorema 3.20. ([71], Theorem 2.1) Siano (X, · ) uno spazio di Banach riflessivo, G un gruppo topologico compatto che agisce su X linearmente e isometricamente, Φ : X → R un funzionale localmente lipschitziano e G–invariante, χ : X → R ∪ {+∞} proprio, convesso, s.c.i., continuo su dom(χ) e G–invariante, Ψ = Φ + χ e u ∈ XG un punto critico per ΨG. Allora, u è un punto critico per Ψ. Nei Capitoli 5 e 6, applicheremo questo risultato a problemi variazionali di diversa natura su dominî illimitati, sfruttando la simmetria dei dati e ottenendo soluzioni simmetriche.
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