Applicazioni della teoria del minimax a problemi ... - Portale Posta DMI

78 Capitolo 6. Problemi con perturbazione interna
Si vede facilmente che G è un gruppo topologico compatto e che la sua azione su
W 1,p (Ω) è lineare e isometrica; i punti fissi rispetto a tale azione formano un sottospazio
chiuso
W 1,p
G (Ω) = {u ∈ W 1,p (Ω) : gu = u per ogni g ∈ G}
(richiamiamo qui i contenuti della Sezione 3.4).
Restringendoci a questo sottospazio, riguadagniamo la compattezza delle immersioni,
grazie al seguente Lemma dovuto a Lions:
Lemma 6.6. ([76], Lemme III.2) L’immersione W 1,p
G (Ω) ↩→ Lν (Ω) è continua (con
costante d’immersione cν > 0) per ogni ν ∈ [p, p ∗ ], e compatta per ogni ν ∈]p, p ∗ [.
(In effetti, il risultato originale di Lions riguarda il caso p = 2, ma nel caso generale
qui considerato la dimostrazione è praticamente identica.)
Siano inoltre F : Ω × R → R una funzione tale che F (x, 0) = 0 per q.o. x ∈ Ω, F (·, s) è
misurabile e simmetrica per ogni s ∈ R e F (x, ·) è localmente lipschitziana per q.o. x ∈ Ω,
r ∈]1, p[, a ∈ L ∞ (Ω) ∩ L 1 (Ω) una funzione non–negativa, R ∈]0, 1[ tale che B(0, R) ⊂ Ω e
s1 < s2 < s3, σ1 < σ2 numeri reali, e siano verificate le seguenti condizioni:
(6.10) |ξ| ≤ a(x)(1 + |s| r−1 ) per q.o. x ∈ Ω e ogni s ∈ R, ξ ∈ ∂F (x, s);
(6.11) F (x, s2) ≤ σ1 < σ2 ≤ min{F (x, s1), F (x, s3)} per q.o. x ∈ B(0, R).
Sotto queste ipotesi, studiamo la seguente inclusione differenziale: trovare u ∈ W 1,p (Ω)
tale che
(6.12) −∆pu + |u| p−2 u ∈ ¯ λ∂sF (x, u + ū(x)) per q.o. x ∈ Ω,
dipendente dai dati ¯ λ ∈]0, +∞[, ū ∈ C ∞ (Ω); possiamo enunciare il seguente risultato di
molteplicità:
Teorema 6.7. Siano Ω, p, F come sopra. Allora, esistono ¯ λ > 0 e ū ∈ C ∞ (Ω)
simmetrica tali che il problema (6.12) ammette almeno tre soluzioni simmetriche.
Dimostrazione. S’intende applicare il Teorema 6.2 nel seguente contesto: siano X =
W 1,p
G (Ω) (spazio di Banach uniformemente convesso con duale strettamente convesso, si
veda Adams [1]), S = X ∩ C∞ (Ω) (sottospazio vettoriale denso di X), J : X → R definito
per ogni u ∈ X da
J(u) = −JF (u).
Scelto q ∈]p, p ∗ [, per il Lemma 6.6 l’immersione X ↩→ L q (Ω) è continua (con costante
cq > 0) e compatta: per il Lemma 4.1, J è localmente lipschitziano.
Al fine di dimostrare che questo funzionale è sequenzialmente debolmente continuo,
consideriamo una successione {un} in X debolmente convergente a u ∈ X: passando a
un’estratta, possiamo supporre che un, u ≤ M per ogni n ∈ N (per un conveniente