Applicazioni della teoria del minimax a problemi ... - Portale Posta DMI

94 Capitolo 7. Biforcazione per sistemi hamiltoniani
Dimostrazione. Applicheremo il Teorema 7.5, le cui ipotesi sono verificate in forza dei
Lemmi 7.14 e 7.15: dunque esiste ¯ λ > 0 tale che l’insieme ˆ ST¯ λ (che raccoglie, lo ricordiamo,
tutti i punti v ∈ X tali che T ′ ¯ λ (v) non è suriettivo) ammette un punto di accumulazione
¯v ∈ X; già sappiamo che ˆ ST¯ λ è chiuso, quindi ¯v ∈ ˆ ST¯ λ .
(7.13)
Si tratta ora di dimostrare che, per ogni λ > 0,
STλ
ˆ = Γλ.
Sia v ∈ X: l’operatore lineare T ′ λ (v) soddisfa le ipotesi del classico Teorema di alternativa
di Fredholm, in quanto J ′′ (v) è compatto e auto–aggiunto (Lemma 7.14); dunque,
T ′ λ (v) è iniettivo se e solo se è suriettivo.
Quanto stabilito equivale a dire che v ∈ ˆ STλ se e solo se esiste u ∈ X, u = 0 tale che,
per ogni w ∈ X,
〈u + λJ ′′ (v)(u), w〉 = 0;
ovvero
1
0
[ ˙u(x) · ˙w(x) + (A(x)u(x)) · w(x) + λ(HF (x, v(x))u(x)) · w(x)] dx = 0.
In sintesi, abbiamo provato che v ∈ ˆ STλ se e solo se (7.12) ammette una soluzione non
banale.
Con ciò (7.13) è provata, e con essa la tesi.
Concludiamo la Sezione con un esempio.
Esempio 7.17. Siano N > 1, A(·) = [aij(·)] una matrice N × N simmetrica come nella
Sezione 7.3, e si consideri il seguente problema lineare, dipendente dai dati v ∈ H1 1 e λ > 0:
⎧
⎪⎨
⎪⎩
üi =
N
j=1 aij(x) + 2λe−|v(x)|2
(2vi(x)vj(x) − δij) uj in I
ui(1) − ui(0) = ˙ui(1) − ˙ui(0) = 0
i = 1, . . . N
(dove δij è il simbolo di Kronecker). Il potenziale F : RN → R legato a questo problema è
definito per ogni s ∈ RN da
F (s) = e −|s|2
− 1,
e soddisfa tutte le ipotesi del Teorema 7.16: dunque, esiste ¯ λ > 0 tale che l’insieme Γ¯ λ
contiene almeno un punto di accumulazione.