Applicazioni della teoria del minimax a problemi ... - Portale Posta DMI

Introduzione
Nihil certi habemus in nostra scientia, nisi nostram mathematicam.
Nicola Cusano, De Possest (1460).
Il problema del minimax si può formulare come segue.
Siano X, Y due insiemi non vuoti, ψ : X ×Y → R una funzione: determinare condizioni
sotto le quali è verificata l’eguaglianza
sup
y∈Y
inf
x∈X
ψ(x, y) = inf
x∈X sup ψ(x, y).
Originariamente collegato alla teoria dei giuochi strategici di Von Neumann, il problema
precedente presenta alcune caratteristiche che lo rendono estremamente affascinante
agli occhi dei matematici: in primo luogo la sua formulazione, semplice ed elegante benché
molto generale; quindi l’importanza delle applicazioni, che spaziano dalla teoria economica
dell’equilibrio alle equazioni differenziali; infine la varietà delle possibili soluzioni, che impiegano
metodi basati sull’analisi convessa, sulla topologia, sui teoremi di punto fisso, sulle
discipline computazionali o sulle multifunzioni (per non menzionare che alcuni approcci).
La letteratura degli ultimi decenni offre un numero impressionante di teoremi di minimax,
ovvero di risultati che, sotto convenienti ipotesi relative agli insiemi X e Y e alla
funzione ψ, assicurano che l’eguaglianza sopra (detta, prevedibilmente, eguaglianza del
minimax) sia verificata: questi risultati differiscono per i metodi dimostrativi e per le ipotesi
adottate, che nel corso degli anni si sono fatte via via più raffinate; la loro varietà è
tale da far considerare il complesso dei risultati relativi a questo problema una teoria a sé
stante nell’àmbito della matematica pura, detta teoria del minimax.
In particolare, un’idea ricorrente nella teoria del minimax, sulla quale è basato il celebre
teorema di M. Sion, è la seguente: se X e Y sono sottoinsiemi convessi e compatti di
spazi vettoriali topologici e la funzione ψ è del tipo convesso–concavo (ovvero è convessa
rispetto alla prima variabile e concava rispetto alla seconda), oltre a soddisfare opportune
condizioni di semicontinuità, l’eguaglianza del minimax è verificata.
In effetti, le ipotesi di convessità e concavità espresse sopra sono ridondanti, e H.
König le ha sostituite con sofisticate condizioni topologiche sulla connessione di certe
intersezioni di sopralivelli e sottolivelli di ψ: rimuovendo l’idea di convessità a favore di
quella di connessione, si realizza un notevole progresso nella generalizzazione della teoria,
v
y∈Y