Applicazioni della teoria del minimax a problemi ... - Portale Posta DMI

Due minimi locali 41
Inoltre, per ogni i ∈ {0, 1} il funzionale ψ(·, λ) + µΦ(·) ha in ui un minimo locale
forte: infatti, per definizione di τ ψ(·,λ) esistono un sottoinsieme U debolmente aperto di X
e ρ ∈ R tali che per ogni u ∈ U ∩ ψ(·, λ) ρ si ha
(5.2) ψ(u, λ) + µΦ(u) ≥ ψ(ui, λ) + µΦ(ui).
Giacché la restrizione di ψ(·, λ)+µΦ(·) all’insieme C è continua, esiste un sottoinsieme
V aperto (rispetto alla topologia forte) di X tale che
ψ(·, λ) ρ = V ∩ C;
si vede subito che per ogni u ∈ U ∩ V vale (5.2), di modo che ui risulta essere un punto di
minimo locale per ψ(·, λ) + µΦ(·) rispetto alla topologia forte.
Questo conclude la dimostrazione.
Un commento: nell’ultima parte della dimostrazione del Teorema 5.2, è imprescindibile
la continuità della funzione χC (e quindi del funzionale in esame) sull’insieme dom(χC) =
C; rammentiamo, in proposito, quanto osservato a margine della Definizione 3.9.
Nelle applicazioni del Teorema 5.2 a problemi variazionali, occorre trovare condizioni
sui dati che garantiscano le sue ipotesi fondamentali: in particolare, la condizione (5.2.1)
può essere garantita attraverso ipotesi intermedie tutt’altro che banali; Bonanno, in [11],
ha introdotto alcune condizioni che implicano la diseguaglianza (5.2.1) o sono ad essa
equivalenti.
Il seguente Lemma è analogo a un risultato di [11] (Proposition 2.1).
Lemma 5.3. Siano X, I, J, C, Λ e ψ come sopra, e siano δ ∈ R, w0, w1 ∈ C verificanti
le seguenti condizioni:
(5.3.1) J(w0) < δ < J(w1);
(5.3.2) inf
u∈C∩J δ
I(u) > (J(w1) − δ)I(w0) + (δ − J(w0))I(w1)
.
J(w1) − J(w0)
Allora, vale la diseguaglianza (5.2.1).
Dimostrazione. Sia
m = inf
u∈C∩J δ
I(u)
(si ha m ∈ R in quanto w1 ∈ C ∩ J δ); da (5.3.1), (5.3.2) segue
(5.3)
Fissato λ ∈ Λ, vanno distinti due casi:
I(w1) − m
J(w1) − δ < I(w0) − m
J(w0) − δ .
• se λ > I(w1) − m
J(w1) − δ , si ha ψ(w1, λ) < m;
• se λ ≤ I(w1) − m
J(w1) − δ , applicando (5.3) si ha ψ(w0, λ) < m.