Applicazioni della teoria del minimax a problemi ... - Portale Posta DMI

Nonlinearità discontinue e simmetriche 57
da cui, usando il Teorema 3.7, per q.o. x ∈ Ω e ogni s ∈ R si ottiene
|F (x, s)| ≤ ε|s| 2 + kε|s| r .
Da quanto sopra ricaviamo che per ogni u ∈ X
da cui per ogni t > 0
che a sua volta implica (5.34).
J(u) ≤ εc 2 2u 2 + kεc r ru r ,
η(t) ≤ εc 2 2(2t) + kεc r r(2t) r
2 ,
Richiamando il Lemma 5.15, determiniamo t ∈]0, I(w)[ e δ ∈ R tali che
(5.35) η(t) < δ < tJ(w)
I(w) ,
sicché in particolare J(w) > δ.
Possiamo ora provare la diseguaglianza (5.16.1): in primo luogo, osserviamo che la
funzione
λ ↦→ inf ψ(u, λ)
u∈X
è s.c.s. (come inviluppo inferiore di funzioni continue) e verifica
ergo esiste ¯ λ ∈ Λ tale che
Dimostriamo che
lim
λ→+∞ inf ψ(u, λ) = −∞,
u∈X
sup inf
λ∈Λ u∈X
ψ(u, λ) = inf
u∈X ψ(u, ¯ λ).
(5.36) inf
u∈X ψ(u, ¯ λ) < t,
distinguendo due casi:
• se ¯ λ < t
, si ricava
δ
• se ¯ λ ≥ t
, da (5.35) si ricava
δ
ψ(0, ¯ λ) = ¯ λδ < t;
ψ(w, ¯ λ) ≤ I(w) + t
(δ − J(w)) < t.
δ