Applicazioni della teoria del minimax a problemi ... - Portale Posta DMI

Un’inclusione differenziale 79
M > 0) e che un −uq → 0, mentre si vede facilmente che a ∈ Lν (Ω) per ogni ν ∈]1, +∞[;
per ogni n ∈ N si ha
|J(un) − J(u)| ≤ a(x)(1 + |un(x)| r−1 + |u(x)| r−1 )|un(x) − u(x)|dx
da cui J(un) → J(u).
≤
Ω
aq ′ + 2a q
q−r cr−1 q M r−1
un − uq,
Proviamo ora che è verificata la condizione (6.2.1): assumendo (senza perdita di generalità)
che s1 > 0, fissiamo un numero reale δ tale che
e R1 > R tale che B(0, R1) ⊂ Ω e
denotiamo poi
ρ = − σ1 + σ2
2
e proviamo che l’insieme J ρ non è convesso.
0 < δ < (σ2 − σ1)m(B(0, R))
2a∞(s3 + s r 3 )
m(B(0, R1) \ B(0, R)) < δ;
m(B(0, R)) − a∞(s3 + s r 3)δ
È possibile costruire una funzione simmetrica u1 ∈ C∞ (Ω) tale che u∞ = s1 e
s1 se x ∈ B(0, R)
u1(x) =
0 se x ∈ Ω \ B(0, R1) ;
inoltre poniamo u2 = s2
u1 e u3 =
s1
s3
s1
Da quanto sopra segue che
J(u1) = −
B(0,R))
u1, così che u2 giace sul segmento [u1, u3].
F (x, s1)dx −
B(0,R1)\B(0,R)
F (x, u1(x))dx
≤ − σ2dx −
a(x)(|u1(x)| + |u1(x)|
B(0,R))
B(0,R1)\B(0,R)
r )dx
≤ −σ2 m(B(0, R)) + a∞(s3 + s r 3)δ < ρ;
analogamente si ricava J(u2) > ρ, J(u3) < ρ, ergo l’insieme J ρ non è convesso.
Le condizioni (6.2.2) e (6.2.3) sono verificate del pari: per provarlo, si procede come
nel Teorema 6.3.
Dunque, per il Teorema 6.2, esistono ū ∈ S e ¯ λ > 0 tali che la restrizione a X del
funzionale Φ : W 1,p (Ω) → R definito per ogni u ∈ W 1,p (Ω) da
Φ(u) =
u − ūp
p
+ ¯ λJ(u)