Applicazioni della teoria del minimax a problemi ... - Portale Posta DMI

Capitolo 8
Buona posizione e insiemi di
Chebyshev non convessi
Riprendendo l’argomento lumeggiato nella Sezione 2.3, torniamo a occuparci del problema
della convessità degli insiemi di Chebyshev, esaminando in particolare il caso degli spazi
di Hilbert: dal Teorema 2.10 segue che, in uno spazio di Hilbert di dimensione finita, gli
insiemi di Chebyshev sono tutti e soli gli insiemi chiusi e convessi (si rammenti quanto
osservato nella Sezione 2.1).
Per gli spazi di Hilbert di dimensione infinita, invece, il problema è ancora aperto
(né, purtroppo, sarà risolto in questa sede): alcuni interessanti risultati di Asplund [5]
forniscono condizioni sufficienti per la convessità di un insieme di Chebyshev in uno spazio
di Hilbert; Klee, invece, ha avanzato in [60] la congettura che esista uno spazio di Hilbert
contenente almeno un insieme di Chebyshev non convesso.
In [48], Faraci e l’autore di questa tesi hanno presentato una congettura analoga,
basandosi su un teorema di buona posizione per un certo tipo di problemi di miglior
approssimazione in spazi di Hilbert: nel presente Capitolo riprendiamo i contenuti di [48],
esponendo dapprima il risultato di buona posizione (Sezione 8.1), quindi la congettura, le
sue motivazioni e un confronto con gli argomenti di Klee (Sezione 8.2).
8.1 Buona posizione per un problema di miglior approssimazione
Richiamiamo dalla monografia di Dontchev e Zolezzi [35] la seguente definizione:
Definizione 8.1. Siano (X, τ) uno spazio topologico, Φ : X → R un funzionale: il
problema di minimizzare Φ su X è ben posto (secondo Tychonov) se esiste x ∈ X tale che
(8.1.1) Φ(y) > Φ(x) per ogni y ∈ X, y = x;
(8.1.2) lim n yn = x per ogni successione {yn} in X tale che lim n Φ(yn) = Φ(x).
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