Applicazioni della teoria del minimax a problemi ... - Portale Posta DMI

Problemi al contorno 35
Dimostrazione. Innanzitutto ricordiamo che, essendo X uno spazio di Hilbert, la relativa
mappa di dualità è l’identità (si veda la Sezione 2.2). Sia u ∈ X ∩ W 2,2
loc (Ω) un punto
critico per Φ: ragionando come nel Lemma 4.3, si deduce l’esistenza di u∗ ∈ Lr′ (Ω) tale
che per ogni v ∈ X
∇u(x) · ∇v(x)dx = u
Ω
Ω
∗ (x)v(x)dx,
ossia, u è una soluzione debole dell’equazione di Laplace
−∆u = u ∗
(sicché possiamo identificare −∆u con la funzione u ∗ ).
D’altra parte, applicando i Lemmi 4.3 e 4.9, risulta che u verifica per q.o. x ∈ Ω
l’inclusione
−∆u(x) ∈ [h−(x, u(x)), h+(x, u(x))];
definito l’insieme
E = {x ∈ Ω \ Ω0 : u(x) ∈ D} ,
per (4.12), impiegando un risultato di De Giorgi, Buttazzo e Dal Maso (si veda [32], Lemma
1) si può porre per ogni x ∈ E
∆u(x) = 0.
Sia ora x ∈ Ω \ Ω0; dimostriamo che
distinguendo due casi:
−∆u(x) = h(x, u(x)),
• se x /∈ E, l’inclusione diventa chiaramente
• se x ∈ E, per quanto sopra si ha
da cui, per (4.13),
−∆u(x) = h(x, u(x));
h−(x, u(x)) ≤ 0 ≤ h+(x, u(x)),
h(x, u(x)) = 0 = −∆u(x).
Con ciò, la tesi è provata.
Ovviamente, non v’è ragione per cui, in generale, un punto critico del funzionale Φ
ricada nello spazio W 2,2
loc (Ω): questo problema di regolarità dovrà essere affrontato caso
per caso, nelle applicazioni.
Nei Capitoli 5 e 6, presenteremo alcuni teoremi di esistenza e di molteplicità per le
soluzioni di problemi simili a (4.14).