Applicazioni della teoria del minimax a problemi ... - Portale Posta DMI

68 Capitolo 5. Problemi con due parametri
cioè vn → v.
Siano Γ, c definiti come nella Sezione 3.3: per il Teorema 3.17 esiste un punto critico
u2 ∈ C \ {u0, u1} per Eλ,µ tale che
Proviamo che
Eλ,µ(u2) = c.
(5.50) c ≤ R.
Infatti, definito il cammino ¯γ ∈ Γ ponendo per ogni τ ∈ [0, 1]
si ha per ogni τ ∈ [0, 1]
sicché
Eλ,µ(¯γ(τ)) ≤ ¯γ(τ)2
2
≤ σ2 1
2
Da (5.49) e (5.50) segue che
¯γ(τ) = τu1 + (1 − τ)u0,
+ λ1h
+ λ1h 1 + ¯γ(τ)q
+ ¯µh 1 + ¯γ(τ)2
1 +
2q 4
σ1q 2q
σ12 + ¯µh 1 + = R,
4
c ≤ max
τ∈[0,1] Eλ,µ(¯γ(τ)) ≤ R.
u2 < σ2,
ergo u0, u1, u2 ∈ C ∩B(0, σ2); inoltre, per il Lemma 5.19 si tratta di tre soluzioni di (5.46).
Così la dimostrazione può dirsi conclusa.
Un breve commento: questa applicazione del metodo della diseguaglianza di minimax si
distingue dalla maggior parte delle precedenti in quanto prescinde completamente dall’uso
della funzione nulla; in particolare, il problema (5.46) non può ammettere la soluzione
nulla.
In coda, presentiamo un esempio di potenziale verificante tutte le ipotesi del Teorema
5.23.
Esempio 5.24. Siano a = 1
, q ∈]1, 2[ e F definita ponendo per ogni s ∈ R
2
⎧
⎨
F (s) =
⎩
s se s ≤ 1
s 5 se 1 < s ≤ 2
s q − 2 q + 32 se s > 2
essa soddisfa le condizioni (5.41) per α(s) = max{1, 5s 4 }, (5.42) per h = 32, (5.43) e (5.44)
per ζ = 6
7 , k0 = √ 2 e k1 = 4.
Pertanto, con questi dati vale quanto stabilito dal Teorema 5.23.
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