Applicazioni della teoria del minimax a problemi ... - Portale Posta DMI

Funzionali localmente lipschitziani 15
Anche nel caso di funzionali continui e convessi, le definizioni introdotte sopra sono
compatibili con quelle dell’analisi convessa:
Lemma 3.4. ([81], Proposition 1.2) Siano (X; · ) uno spazio di Banach, Φ : X → R
un funzionale continuo e convesso. Allora, Φ è localmente lipschitziano e per ogni u, v ∈ X
si ha
Φ ◦ (u; v) = Φ ′ (u; v).
La derivata di Clarke gode di alcune proprietà intrinseche: riportiamo quelle che
saranno sfruttate nelle successive applicazioni.
Lemma 3.5. ([81], Chapter 1 passim) Siano (X, · ) uno spazio di Banach, Φ, Ψ :
X → R funzionali localmente lipschitziani. Allora, per ogni u, v ∈ X valgono le seguenti
condizioni:
(3.5.1) Φ ◦ (u; ·) : X → R è subadditiva e positivamente omogenea con esponente 1;
(3.5.2) (Φ + Ψ) ◦ (u; v) ≤ Φ ◦ (u; v) + Ψ ◦ (u; v);
(3.5.3) (λΦ) ◦ (u; v) = λΦ ◦ (u; v) per ogni λ > 0;
(3.5.4) (−Φ) ◦ (u; v) = Φ ◦ (u; −v);
(3.5.5) |Φ ◦ (u; v)| ≤ Lu, dove L è come nella Definizione 3.1.
Osserviamo che da (3.5.1), per il Teorema di Hahn–Banach, segue che ∂Φ(u) = ∅ per
ogni u ∈ X. Alcune proprietà intrinseche del gradiente di Clarke sono raccolte nel seguente
Lemma:
Lemma 3.6. ([81], Chapter 1 passim) Siano (X, · ) uno spazio di Banach, Φ, Ψ :
X → R funzionali localmente lipschitziani. Allora, per ogni u, v ∈ X valgono le seguenti
condizioni:
(3.6.1) ∂Φ(u) è convesso e debolmente ∗ compatto;
(3.6.2) la multifunzione ∂Φ : X → 2 X∗
(3.6.3) Φ ◦ (u; v) = max
u ∗ ∈∂Φ(u) 〈u∗ , v〉;
(3.6.4) ∂(λΦ)(u) = λ∂Φ(u) per ogni λ ∈ R;
(3.6.5) ∂(Φ + Ψ)(u) ⊆ ∂Φ(u) + ∂Ψ(u).
è debolmente ∗ s.c.s.;
Rammentiamo che la condizione (3.6.2) significa quanto segue: per ogni u ∈ X e ogni
sottoinsieme V di X ∗ aperto rispetto alla topologia debole ∗ e tale che ∂Φ(u) ⊆ V , esiste
un intorno U di u in X tale che per ogni v ∈ U si ha ∂Φ(v) ⊆ V .
Il classico Teorema di Lagrange trova, in questo contesto, il suo corrispondente nel
Teorema del valor medio di Lebourg: