Applicazioni della teoria del minimax a problemi ... - Portale Posta DMI

Un problema di Dirichlet 75
(6.8), è facile dedurre che J(unk ) → J(u); si può poi risalire alla successione originaria,
concludendo che J(un) → J(u).
Proviamo adesso che J soddisfa l’ipotesi (6.2.1): senza perdita di generalità possiamo
assumere, in (6.6), che s1 > 0; poniamo quindi
K = k(s3 + s r 3), ρ = − σ1 + σ2
2
m(Ω1)
e denotiamo Ω2 un insieme aperto tale che cl(Ω1) ⊂ Ω2 e cl(Ω2) ⊂ Ω, richiedendo anche
che
m(Ω2 \ Ω1) < σ2 − σ1
2K m(Ω1).
Con tecniche usuali, costruiamo u1 ∈ C ∞ 0 (Ω) tale che u1∞ = s1 e
inoltre, poniamo u2 = s2
u1 e u3 =
s1
s3
s1
s1 se x ∈ Ω1
u1(x) =
;
0 se x ∈ Ω \ Ω2
u3. Da (6.3) segue che per q.o. x ∈ Ω e ogni s ∈ R
(6.9) |F (x, s)| ≤ k (|s| + |s| r ) ,
da cui
J(u1) = −
Ω1
u1, così che u2 giace sul segmento di estremi u1 e
F (x, s1)dx − F (x, u1(x))dx
Ω2\Ω1
≤ −σ2m(Ω1) + Km(Ω2 \ Ω1)
< −σ2m(Ω1) + σ2 − σ1
2
m(Ω1) = ρ.
Similmente, ricaviamo J(u2) > ρ , J(u3) < ρ; dunque l’insieme J ρ non è convesso.
Proviamo ora che J soddisfa l’ipotesi (6.2.2): per ogni u ∈ X si ha
che implica
|J(u)| ≤ k (c1u + c r ru r ) ,
J(u)
lim = 0.
u→+∞ u2 Infine proviamo che J soddisfa l’ipotesi (6.2.3): sia {un} una successione in X debolmente
convergente a u ∈ X; possiamo allora assumere che, per un opportuno M > 0, si
abbia un ≤ M per ogni n ∈ N e che esista una sottosuccessione {unk } tale che
sicché
lim k unk − u1 = lim k unk − ur = 0,
J ◦ (unk ; u − unk ) ≤
Ω
k 1 + |unk |r−1 dx
≤ ku − unk 1 + kc r−1
r Mu − unk r,