Applicazioni della teoria del minimax a problemi ... - Portale Posta DMI

Disequazioni variazionali–emivariazionali 29
Chiamiamo disequazione variazionale–emivariazionale il seguente problema: trovare
u ∈ C tale che
(4.4) 〈A(u), v − u〉 ≤ H ◦ s (x, u(x); v(x) − u(x))dx per ogni v ∈ C.
Ω
Il problema (4.4) è ricondotto alla forma astratta (3.1) grazie al seguente Lemma:
Lemma 4.4. Siano Ω, H e X come sopra. Allora, ogni punto critico di Ψ è una soluzione
di (4.4).
Dimostrazione. Basta ricordare le definizione di punto critico secondo Szulkin e quanto
osservato nella Sezione 4.1.
Per le disequazioni variazionali–emivariazionali, passare alla forma multivoca è più
complicato rispetto al caso delle disequazioni emivariazionali: tale difficoltà si può far
risalire al fatto che la derivata del funzionale Φ nel punto u non è calcolata in tutte le
possibili direzioni dello spazio, bensì solo in quelle rappresentate da vettori del tipo v − u
con v ∈ C.
Non stupisce, pertanto, che per trasformare (4.4) in un’inclusione differenziale con
vincoli occorra restringersi a un caso particolare, seguendo un metodo che dobbiamo alla
lettura di [72].
Assumiamo dunque che Ω sia limitato, che p ∈]1, N[ e r ∈]p, p ∗ [, poniamo X =
W 1,p
0 (Ω); sia
C = {u ∈ X : u(x) ≥ 0 per q.o. x ∈ Ω} ;
oltre a (4.1), supponiamo che H verifichi, per un opportuno M > 0, le seguenti condizioni:
(4.5) ξ ≥ 0 (oppure ξ ≤ 0) per q.o. x ∈ Ω e ogni s ≥ m, ξ ∈ ∂sH(x, s);
(4.6) ξ ≥ 0 per q.o. x ∈ Ω e ogni ξ ∈ ∂sH(x, 0).
Rileviamo come, in questo caso, la mappa di dualità si identifichi con −∆p, dove ∆p è
l’operatore p–laplaciano, ossia per ogni u, v ∈ X
〈A(u), v〉 =
Ω
|∇u(x)| p−2 ∇u(x) · ∇v(x)dx.
Consideriamo quindi il seguente problema: trovare u ∈ C tale che
(4.7) A(u) ∈ ∂sH(x, u) per q.o. x ∈ Ω.
Anche questo problema si riduce a una ricerca di punti critici:
Lemma 4.5. Siano Ω, H, X e Ψ come sopra. Allora, ogni punto critico di Ψ è una
soluzione di (4.7).