Applicazioni della teoria del minimax a problemi ... - Portale Posta DMI

76 Capitolo 6. Problemi con perturbazione interna
da cui chiaramente segue
lim sup J
k
◦ (unk ; u − unk ) ≤ 0.
Il Teorema 6.2, a questo punto, assicura l’esistenza di ū ∈ S e di ¯ λ > 0 tali che il
funzionale Φ¯ λ : X → R definito ponendo per ogni u ∈ X
Φ¯ λ (u) =
ammette almeno tre punti critici in X.
u − ū2
2
+ ¯ λJ(u)
Rimane da provare che questi inducono altrettante soluzioni di (6.7): ragioniamo come
nella Sezione 4.4, definendo una funzione h ponendo per ogni (x, s) ∈ Ω × R
poiché ū ∈ C ∞ 0
(4.13).
h(x, s) = ¯ λf(x, s + ū(x));
(Ω), non è difficile stabilire che h soddisfa le condizioni (4.11), (4.12) e
Detto u ∈ X un punto critico di Φ¯ λ , ragionando come nel Lemma 4.3, si individua una
funzione u∗ ∈ Lr′ (Ω) tale che per ogni v ∈ X
(∇u(x) − ∇ū(x)) · ∇v(x)dx =
ovvero si ha, in senso debole,
Ω
−∆u = u ∗ ;
Ω
u ∗ (x)v(x)dx,
poiché r ′ < 2, si ha u ∗ ∈ L 2 (Ω), da cui per classici risultati di regolarità si deduce che
u − ū ∈ W 2,2
loc
(Ω) (si veda per esempio Evans [42], p. 309).
Applichiamo infine il Lemma 4.10, stabilendo che u − ū è una soluzione di (6.7): tale
problema ha pertanto almeno tre soluzioni distinte, e la dimostrazione può dirsi conclusa.
Chiudiamo questa Sezione presentando due esempî in cui, per semplicità, esaminiamo
problemi autonomi: il secondo è probabilmente più interessante, a dispetto di una definizione
poco maneggevole della nonlinearità, perché essa presenta un insieme infinito e non
discreto di punti di discontinuità.
Esempio 6.4. Siano Ω come sopra e f : R → R definita da
0 se s ≤ 1
f(s) =
ln(s) − 1 se s > 1 .
Si vede facilmente che le condizioni (6.3), (6.4), (6.5), (6.6) sono soddisfatte (in particolare,
il solo punto di discontinuità di f è 1): dunque, per il Teorema 6.3, esistono ¯ λ > 0
e ū ∈ C∞ 0 (Ω) tali che il problema
−∆u = λ¯ ln(u + ū(x)) − 1 in Ω
u = 0 in ∂Ω
ammette almeno tre soluzioni.