Applicazioni della teoria del minimax a problemi ... - Portale Posta DMI

Disequazione con ostacolo 61
e osserviamo che per ogni τ ∈ [0, 1] si ha ¯γ(τ) ∈ B(0, σ1) e
Eλ,µ(¯γ(τ)) ≤
¯γ(τ) 2 2
+ λ1a∞ c
2
2¯γ(τ) 2 + c r r¯γ(τ) r + ¯µ (a2c2¯γ(τ)2 + a∞c r r¯γ(τ) r ) ≤ R;
quindi, poiché
c ≤ sup Eλ,µ(¯γ(τ)),
τ∈[0,1]
si ha (5.40).
Da (5.39) e (5.40) segue che
u2 < σ2,
di modo che u0, u1, u2 ∈ B(0, σ2); inoltre, ragionando come sopra, deduciamo che si tratta
di tre soluzioni del problema (5.31), ovviamente simmetriche.
Questo conclude la dimostrazione.
Al termine di questa Sezione, proponiamo un esempio di applicazione del Teorema 5.17:
rileviamo che la nonlinearità principale del problema di séguito considerato ha infiniti punti
di discontinuità.
Esempio 5.18. Siano Ω, q, r come sopra e sia a ∈ L ∞ (Ω) ∩ L 1 (Ω) una funzione
simmetrica e non–negativa: la funzione f definita ponendo per ogni (x, s) ∈ Ω × R
f(x, s) = a(x) [|s|] q−1 + |s| r−1 sin |s| 2−2∗
(dove [·] denota la parte intera di un numero reale) soddisfa le condizioni (5.24), (5.25),
(5.26), (5.27).
Dunque, per il Teorema 5.17, esistono λ0 < λ1 e σ1 (tutti positivi) tali che, per ogni
λ ∈ [λ0, λ1] e ogni funzione di Carathéodory g : Ω × R → R, non–negativa e verificante
(5.28), esiste µ1 > 0 tale per ogni µ ∈]0, µ1[ il problema (5.31) ammette almeno due
soluzioni simmetriche in B(0, σ1).
5.4 Tre soluzioni per il problema dell’ostacolo su una disequazione
emivariazionale
Nella presente Sezione ci occuperemo di una disequazione variazionale–emivariazionale in
dimensione uno del tipo studiato nella Sezione 4.3: la scelta dei dati (in particolare dell’insieme
convesso C) configura la disequazione in esame come una versione generalizzata
del classico problema dell’ostacolo.
I dati numerici che andiamo a introdurre sono da considerare esemplificativi: per esem-
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pio, non vi è nulla di speciale nell’intervallo , (si veda sotto, la definizione di C); si
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è scelto, in questo caso, di sacrificare in una certa misura la generalità delle ipotesi alla
semplicità delle condizioni e dei calcoli.